STUDIO E CARATTERIZZAZIONE DI AMPLIFICATORI RAMAN IN FIBRA OTTICA

Transcript

1 UNIVESITÀ DEGLI STUDI DI PAMA FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATUALI COSO DI LAUEA IN FISICA STUDIO E CAATTEIZZAZIONE DI AMPLIFICATOI AMAN IN FIBA OTTICA elatore: Chiar.mo Prof. OBETO COÏSSON Correlatori: Dott. STEFANO SELLEI Dott. ANNAMAIA CUCINOTTA Candidato: DANIELE PONTIOLI ANNO ACCADEMICO 00-00

2 Ai miei genitori

3 Indice Introduzione... L effetto aman in fibra Effetti non lineari in fibra L effetto aman spontaneo e stimolato L effetto Brillouin Lo spettro di guadagno aman nella silice. 8.5 Spettri di guadagno aman per altri tipi di ossidi... 9 Teoria dell effetto aman.... Trattazione classica dell effetto aman spontaneo.... Scattering aman stimolato in condizione stazionaria. 5.3 Le equazioni di propagazione Il guadagno aman Scattering Brillouin stimolato in fibra Soglia aman e soglia Brillouin Potenze critiche aman e Brillouin Abbassamento della soglia Brillouin causato da amplificazione aman Effetto aman nel caso non stazionario... 35

4 .7. Transitori nel profilo del segnale in amplificatori aman saturati Trasferimento di rumore di intensità relativa negli amplificatori aman. 4.8 Teoria quantistica dell effetto aman Misure di effetto aman spontaneo Introduzione Descrizione degli strumenti Banco ottico Misure e discussione Amplificazione aman stimolata in condizioni stazionarie.57 Introduzione Preparazione e caratterizzazione delle fibre Misure del coefficiente di assorbimento Misure del coefficiente modale di guadagno aman Controllo della polarizzazione Misure di guadagno on-off a varie potenze di segnale Misure di soglia Brillouin in presenza di amplificazione aman. 7 5 Dinamica degli amplificatori aman. 80 Introduzione Misure di transitori in configurazione di pompaggio contropropagante Misure di transitori in configurazione di pompaggio copropagante. 85 Conclusioni 89 Bibliografia 9

5 Introduzione La fibra ottica si sta dimostrando il mezzo più adeguato per il trasporto dell informazione nell era in cui la comunicazione di massa richiede sempre maggiori capacità e velocità trasmissive. A differenza della comunicazione su cavi elettrici la fibra ottica presenta una larghissima banda di trasmissione, che si ottiene sia agendo sulla velocità di modulazione del singolo segnale (Bit ate), sia affiancando più canali in una stessa fibra discriminandoli fra loro in base ad una proprietà fisica, tipicamente la lunghezza d onda (multiplazione del segnale in lunghezza d onda o WDM). Per quanto riguarda la velocità sul singolo canale gli attuali sistemi di telecomunicazione in commercio permettono velocità fino a 0 Gb/s, ma già si sta cercando di adeguarsi al nuovo standard di 40 Gb/s. I limiti in questo caso sono costituiti da effetti lineari e non, quali la dispersione cromatica e la self phase modulation, che determinano il deterioramento della forma di un impulso così breve, e che causano un conseguente aumento degli errori al ricevitore. Per quanto concerne invece la multiplazione in lunghezza d onda, attualmente la trasparenza delle fibre permette di poter affiancare un numero elevato di segnali molto ravvicinati l uno all altro (fino a 0.4 nm), in una finestra larga anche più di 00 nm. La multiplazione permette di raggiungere su una sola fibra le vertiginose velocità di trasmissione delle decine di Tb/s (0 bit/s). I limiti in questo caso sono dovuti alla possibilità di disporre di sorgenti a banda

6 sufficientemente stretta, alla capacità dei componenti di discriminare segnali così ravvicinati e agli eventuali effetti di cross talk che si possono instaurare fra i segnali stessi. Uno dei problemi che presenta la trasmissione del segnale in fibra è quello di far fronte all attenuazione subita da parte dei segnali durante la loro propagazione. La tecnica di amplificazione ottica attualmente più diffusa è quella per mezzo di amplificatori discreti con fibra drogata mediante ioni di terre rare, principalmente l erbio (EDFA). La fibra drogata viene pompata mediante un laser di servizio che provoca in essa una inversione di popolazione. All arrivo del segnale si innesca un processo a valanga che produce una emissione stimolata ed una conseguente amplificazione. Il maggior limite di questi amplificatori è la loro rumorosità e il fatto che la posizione della loro banda di amplificazione è vincolata dalla spaziatura dei livelli elettronici del drogante. Da qualche tempo sta riscuotendo un grande interesse un metodo di amplificazione ottica alternativo, che sfrutta il fenomeno dello scattering aman stimolato. Questo si verifica quando si accoppia nella normale fibra passiva il segnale da amplificare ed un altro molto più intenso ad una frequenza maggiore, opportunamente selezionata, detto onda di pompa; fisicamente, se entrambi percorrono un tratto di fibra sufficientemente lungo, si assiste al trasferimento di potenza dal segnale a frequenza maggiore a quello a frequenza minore. Il principale limite dell amplificazione aman, che è stato anche quello che non ha permesso il suo sviluppo su scala commerciale fino ad oggi, è stata l impossibilità di disporre fino a qualche anno fa di sorgenti laser di pompa ad alta potenza e basso costo. Questo limite oggi è stato superato e si stanno scoprendo tutti i vantaggi di questa nuova tecnica. Innanzi tutto l amplificatore aman, a differenza di quello all erbio, è in grado di amplificare su una banda praticamente illimitata, a qualsiasi lunghezza d onda di interesse nelle telecomunicazioni. Questo perché la posizione spettrale della banda di guadagno dipende unicamente dalla frequenza dell onda di pompa. Inoltre la banda di guadagno aman è molto larga, ed è possibile allargarla ulteriormente ed appiattirla affiancando più laser di pompa a lunghezza d onda diversa ed opportunamente equalizzati; ciò rende questa tecnica di amplificazione la più idonea nei sistemi WDM. L amplificatore aman ha una natura distribuita, nel senso che per avere guadagni significativi è necessario che pompa e segnale viaggino insieme in fibra per un lungo tratto, dell ordine dei chilometri. Adottare l amplificazione aman di tipo distribuito ha numerosi

7 vantaggi: da un lato questa permette di mantenere la potenza del segnale alta su tutta la tratta e quindi ridurne il rapporto segnale rumore nella trasmissione; peraltro gli amplificatori aman sono molto meno rumorosi di quelli all erbio. Dall altro permette, se affiancata agli EDFA, di ridurne il numero dei moduli discreti nella tratta e quindi di diminuirne i costi di realizzazione. Nondimeno è pure possibile la realizzazione di amplificatori aman concentrati o discreti, sfruttando ad esempio i moduli a compensazione di dispersione posti alla fine di una tratta. Questi moduli servono a compensare gli effetti indesiderati dovuti alla dispersione cromatica che modifica la forma degli impulsi; sono costituiti da fibre che presentano caratteristiche fisiche che le rendono particolarmente idonee a questo tipo di amplificazione. L amplificazione concentrata implica il fatto che i segnali raggiungono valori di potenza elevati per poter essere successivamente lanciati in fibra, e per poter percorrere un tragitto sufficientemente lungo prima di essere di nuovo amplificati. L amplificazione distribuita si presta bene a rivestire il ruolo di preamplificazione, ad esempio per preparare il segnale ad essere manipolato mediante moduli add-drop, e successivamente ad essere iniettato in amplificatori di potenza. L amplificazione concentrata invece può essere usata come amplificazione di potenza. Scopo di questo lavoro di tesi è stato lo studio degli amplificatori aman in fibra sia nel caso stazionario, sia in quello dinamico; in particolare lo studio di alcuni effetti indesiderati che possono influenzare il comportamento degli amplificatori in condizioni di alta potenza di segnale (>0dBm). Si è dapprima introdotto un modello teorico che consentisse di descrivere l amplificazione ottica attraverso il processo dello scattering aman stimolato. Quindi si è proceduto alla caratterizzazione sperimentale di alcuni tipi di fibra per determinare quale avesse le caratteristiche migliori per l amplificazione aman. L indagine è continuata testando gli amplificatori in condizione stazionaria di alta potenza del segnale, cioè in regime di saturazione. Si è infine proceduto all amplificazione aman di un segnale ad alta potenza modulato; con ciò si è voluto simulare la condizione in cui in un amplificatore in regime di saturazione si abbiano cambiamenti repentini nel livello di potenza del segnale, i quali avvengono molto di frequente nei sistemi di trasmissione reali. Il presente lavoro di tesi è stato svolto presso il dipartimento di Ingegneria dell Informazione dell Università di Parma. 3

8 Capitolo L effetto aman in fibra. Effetti non lineari in fibra La propagazione di un campo elettromagnetico intenso in un dielettrico è accompagnata da effetti di tipo non lineare. La risposta non lineare di un mezzo ha come conseguenza che due o più campi elettromagnetici a frequenza diversa che si propagano in esso possano interagire fra loro; questa mutua interazione può consistere in uno sfasamento indotto dall uno sull altro oppure in un trasferimento di potenza da un segnale all altro; ciò non è possibile in un mezzo lineare, in quanto in esso campi ottici a frequenza diversa sono fra loro ortogonali. In una fibra ottica questi effetti non lineari sono amplificati dal fatto che il fascio luminoso si propaga guidato in essa mantenendo costantemente uno stretto profilo trasversale (spot size), quindi mantenendo un alta intensità, e questo avviene per un lungo tratto, grazie alla bassissima attenuazione che la luce subisce nella guida d onda. La propagazione in fibra consente di amplificare la non linearità fino ad un fattore 0 9 [] rispetto a quella che si avrebbe se la luce si propagasse nello stesso mezzo bulk. Gli effetti non lineari possono essere di tipo elastico oppure di tipo anelastico. I primi in generale non comportano uno scambio energetico con il mezzo perché in essi sono coinvolti solo i fotoni e in una fibra ottica i principali effetti di questo tipo sono il four wave mixing (FWM), la self phase modulation (SPM) e la cross phase modulation (XPM). I secondi invece comportano uno scambio energetico con il mezzo ed implicano una interazione di tipo fotonefonone. I principali effetti non lineari in fibra sono lo scattering aman stimolato (SS) e lo scattering Brillouin stimolato (SBS). 4

9 . L effetto aman spontaneo e stimolato L effetto aman è un esempio di interazione non lineare anelastica della radiazione con la materia: un campo elettromagnetico intenso può interagire con i modi vibrazionali propri del materiale di cui è composta la fibra ottica e dare luogo a un nuovo campo a frequenza diversa. Si consideri un modello classico; il campo elettromagnetico dell onda incidente, che funge da campo di pompa, interagisce con il materiale mettendo in oscillazione gli elettroni di cui è composto. A causa dell agitazione termica è possibile che siano già attivati dei modi vibrazionali molecolari alla loro frequenza di risonanza, la quale è molto inferiore a quella dei campi ottici, ciò a causa della notevole massa dei nuclei. Le oscillazioni atomiche alterano in generale sia il momento di dipolo sia la polarizzabilità della molecola poiché causano un periodico cambiamento nella distribuzione delle cariche elettriche in essa. Macroscopicamente si ha come conseguenza una modulazione alla frequenza di risonanza molecolare dell indice di rifrazione del mezzo, e l interazione fra questo e l onda di pompa produce la generazione di nuova radiazione a frequenza diversa da quella della radiazione incidente; in particolare, lo spettro dell onda luminosa emergente presenta due side bands accanto alla frequenza iniziale spostate fra loro di una quantità pari alla frequenza di vibrazione molecolare. Se si considera un modello classico è necessario assumere che le vibrazioni molecolari siano già presenti prima che i dipoli siano investiti dall onda. In realtà l effetto aman può causare esso stesso una eccitazione vibrazionale delle molecole e questo si può capire con un semplice modello quanto meccanico. Si consideri la Fig... n n ω P ω S ω P ω A n g n g a) b) Fig.. : Processo aman Stokes a) ed anti Stokes b) in base ad un modello quanto meccanico. 5

10 in essa sono evidenziati i livelli energetici associati ai modi vibrazionali ed agli stati elettronici delle molecole del mezzo. Nel primo caso l assorbimento di un fotone da parte della molecola la porta da uno stato energetico iniziale g in uno stato eccitato virtuale (così chiamato perché non corrisponde a nessuno stato vibrazionale eccitato) associato allo stato eccitato elettronico n, da cui essa decade molto velocemente portandosi nello stato vibrazionale eccitato n con l emissione di un altro fotone. Quest ultimo presenta una frequenza inferiore rispetto al fotone incidente perché parte della sua energia è stata ceduta al mezzo. Quello descritto è lo shift Stokes. È anche possibile uno shift anti Stokes in cui la molecola a causa della transizione virtuale passa da uno stato vibrazionale primitivo eccitato n allo stato finale g, sempre passando attraverso ad un livello virtuale. In questo caso la radiazione emessa dalla molecola ha energia maggiore rispetto a quella incidente, e ciò a spese della energia vibrazionale di quella. Nella fibra ottica lo scattering Stokes è assolutamente predominante su quello anti-stokes per due motivi: da un lato, in condizioni di equilibrio termico il livello g è molto più popolato del livello n in base al fattore di Boltzmann exp( / T ) ; dall altro, la transizione anti- Stokes nella fibra ottica risulta vietata perché, a causa della natura guidata della luce in essa, non possono essere soddisfatte opportune condizioni di phase matching []. Quello descritto è l effetto aman spontaneo. Tipicamente esso è in grado di convertire una minima parte dell energia trasportata dal campo incidente, circa un fattore 0-6 di questa, in un onda elettromagnetica a frequenza inferiore. Questo effetto ha importanti applicazioni in spettroscopia, ma nella trasmissione ottica in fibra si riduce ad un debole fenomeno di disturbo. La situazione cambia quando l onda di pompa diventa sufficientemente intensa da generare un onda Stokes secondo le modalità sopra descritte in grado di interagire con la prima. In questo caso le due onde a frequenza diversa si propagano all interno della fibra e interagiscono fra di loro. In particolare si può ottenere dal loro mixing una modulazione a frequenza vicina a quella di risonanza aman, che eccita direttamente i modi vibrazionali. Si crea in definitiva un rinforzo reciproco che porta ad un rapido incremento dell intensità dell onda Stokes a spese di quella di pompa; questo fenomeno è detto scattering aman stimolato e si manifesta nella fibra ottica con un forte trasferimento di potenza dall onda di pompa all onda Stokes. hω ng k B 6

11 .3 L effetto Brillouin Come precedentemente accennato un altro effetto non lineare anelastico che ha importanti conseguenze nella trasmissione ottica in fibra è lo scattering Brillouin stimolato. Analogamente all effetto aman, l effetto Brillouin comporta una interazione di tipo fotonefonone, solo che nel primo caso sono coinvolti i fononi ottici, mentre qui entrano in gioco i fononi acustici del mezzo in cui la luce si propaga. Considerando di nuovo un modello classico, in condizioni di equilibrio termico risultano già attivate all interno della fibra delle onde acustiche, le quali, agendo come onde di pressione, producono una variazione periodica dell indice di rifrazione del mezzo; ciò che si ha in definitiva è un debole reticolo di diffrazione che viaggia nella fibra alla velocità del suono. All arrivo dell onda di pompa si può avere una debole diffrazione Bragg di questa, se il reticolo ha la periodicità giusta, e l onda riflessa, che viaggia in direzione opposta alla prima, presenta una frequenza leggermente inferiore a causa dell effetto Doppler, poiché il reticolo di diffrazione è in moto. Quello descritto è l effetto Brillouin spontaneo. Si ha un processo stimolato quando l onda Stokes diventa sufficientemente intensa da interagire con l onda di pompa; l accoppiamento delle due onde rinforza il reticolo di diffrazione attraverso un processo detto di elettrostrizione, in base al quale un campo elettrico è in grado di indurre una deformazione spaziale e quindi un cambiamento locale dell indice di rifrazione del materiale. Si innesca di nuovo un processo circolare di rinforzo reciproco fra onda Stokes e onda acustica e si parla in questo caso di scattering Brillouin stimolato. La situazione fisica è chiarita in Fig... Pompa Stokes Onda acustica Fig.. : Scattering Brillouin stimolato: è evidenziata l interazione delle due onde Stokes e di pompa con l onda di pressione. 7

12 .4 Lo spettro di guadagno aman nella silice La fibra ottica è composta principalmente da silice nello stato vetroso; essa si può rappresentare come un network continuo di gruppi tetraedrici SiO 4 quasi perfetti disposti in varie orientazioni e connessi fra loro in modo tale che gli atomi di ossigeno ai vertici del tetraedro siano condivisi dai gruppi contigui, così da rispettare la proporzione stechiometrica. La silice presenta un grande numero di modi vibrazionali, ciascuno caratterizzato da una propria frequenza di risonanza. Si definiscono modi aman attivi quelli che coincidono con oscillazioni atomiche le quali non cambiano il momento di dipolo elettrico della molecola (vedi par.. ). In Fig.. 3 sono rappresentati tre tipi diversi di modi di oscillazione nella molecola di silice. ) ) 3) Fig.. 3: Esempi di modi di vibrazione della silice. Il primo consiste nello spostamento rigido dei quattro ossigeni rispetto al silicio che si muove in direzione opposta. La sua frequenza di oscillazione è fissata a 065 cm -. Il secondo è dato dall espansione e contrazione del tetraedro con il silicio fisso al centro; la risonanza è fissata a 800 cm -. L ultimo modo normale di oscillazione corrisponde alle frequenze di 440, 490 cm -, rispettivamente associate alla versione trasversale ottica e longitudinale ottica della vibrazione fononica. L attivarsi di questi e di altri modi, congiuntamente agli effetti di allargamento dovuti a forze coulombiane a lungo range determina lo spettro di guadagno aman g ( ν ), che nel caso della silice è rappresentato in Fig.. 4. sr 8

13 . g sr (f pompa -f) (x0-3 m/w) (f pompa - f) (THz) Fig.. 4: Spettro di guadagno aman per la silice con f pompa = µm. Lo spettro si estende in frequenza per circa 40 THz. Si vede l andamento del coefficiente di guadagno aman in funzione della differenza della frequenza ν fra l onda di pompa e l onda Stokes. Il g ( ν ) definisce l entità del trasferimento di potenza fra le due onde; è sr massimo quando lo shift fra di esse è pari a 3. THz ( cm - =30 GHz). Il picco principale è posto ad uno shift di 3, THz dalla frequenza dell onda di pompa. La figura si riferisce ad una frequenza di pompa di µm; in generale per un onda di pompa a lunghezza d onda λ p il g sr di ottiene dalla relazione (.): λref g sr = g sr (.) λ p λ ref ove ref λ è la lunghezza d onda di pompa a cui è noto g (in questo caso λ = µm). sr ref.5 Spettri di guadagno aman per altri tipi di ossidi Le fibre ottiche non sono costituite di pura silice, bensì vengono aggiunti altri composti per modificarne le caratteristiche ottiche. Le fibre più comuni consistono di silice in cui è stato 9

14 aggiunto nel nucleo (core) germania (GeO ) per aumentarne l indice di rifrazione, e consentire quindi alla luce di essere guidata. È stato dimostrato sperimentalmente [3] che l ossido di germanio presenta un coefficiente di guadagno aman molto maggiore di quello della silice. In Fig.. 5 sono mostrati gli spettri di guadagno aman per gli ossidi GeO, P O 5, B O 3 e SiO. Guadagno aman (unità arbitraria) Shift di frequenza (cm - ) Fig.. 5: Spettri di guadagno aman per alcuni ossidi. In ascissa si ha lo scostamento in frequenza in cm - fra l onda di pompa e l onda Stokes, in ordinata si ha il coefficiente di guadagno normalizzato rispetto al valore di picco di quello della silice. Di questi ossidi la germania è quella che presenta il guadagno più grande ed anche lo spettro più largo, con un picco posto a 40 cm -. Drogando con germanio in piccole quantità una fibra di silice si va perciò ad incrementare anche il coefficiente di guadagno aman di questa. In generale il profilo dello spettro di guadagno aman è dato da un valore medio del contributo della silice e del germanio, opportunamente pesato in base alla composizione chimica della fibra. Il germanio quindi ha un duplice vantaggio: da una parte consente alla luce di essere guidata con più efficacia, e quindi di fare sì che la sua potenza 0

15 rimanga tutta concentrata in una piccola porzione della sezione trasversale della fibra, aumentando la non linearità di questa, dall altra consente di rendere più efficiente il trasferimento di energia fra la pompa ed il segnale nell amplificatore aman. Si è dimostrato [4] che per piccole concentrazioni il aumenta linearmente con la concentrazione di g sr germania stessa. Alte concentrazioni invece (superiori a 30% mol) sono controproducenti perché tendono ad aumentare le perdite per scattering e gli stress all interfaccia core-cladding.

16 Capitolo Teoria dell effetto aman. Trattazione classica dell effetto aman spontaneo Per comprendere fisicamente l effetto aman spontaneo si consideri la polarizzazione P di un mezzo dielettrico: P = χe ε Nα E (.) ε 0 = 0 p ε 0 è la costante dielettrica del vuoto, χ è la suscettività elettrica, in generale una grandezza tensoriale, N la densità del numero di molecole nel mezzo, α la polarizzabilità associata ad p una molecola, E è il vettore del campo elettrico esterno applicato. Si consideri una singola molecola; se il mezzo è lineare, α p è semplicemente un fattore di proporzionalità che lega il momento di dipolo indotto al campo elettrico applicato. Si noti però che in generale la polarizzabilità dipende dalla posizione relativa degli atomi della molecola in un dato istante di tempo; infatti se questi oscillano formano un dipolo variabile. La risposta del mezzo alla luce incidente dipende da come gli elettroni si distribuiscono su questo dipolo. Al variare della posizione degli atomi, perciò, la molecola si polarizzerà diversamente quando è applicato un campo esterno. Si può quindi espandere al primo ordine la polarizzabilità α p della molecola in funzione dello spostamento atomico q(t), trattato per comodità come uno scalare:

17 α p α p ( t) = α p (0) + qν ( t) = α p0 + α pq q q= 0 ν ( t) (.) q ν (t) rappresenta un modo normale di oscillazione caratterizzato dalla particolare frequenza di risonanza ν. Si noti che è sempre possibile, dato un sistema di n oscillatori armonici ciascuno caratterizzato dal vettore spostamento (i) u, con i =,..., n, esprimere la sua configurazione spaziale come combinazione lineare di modi normali, tramite una trasformazione unitaria. Gli oscillatori rappresentano in questo caso gli n atomi della molecola che si spostano dal loro punto di equilibrio a causa del moto termico. Il fatto di ritenere gli atomi degli oscillatori armonici deriva dal supporre che questi si spostino di una piccola quantità dal loro punto di equilibrio. Si consideri una molecola che possiede una simmetria per inversione, quale ad esempio la silice; in questo caso tutti i modi normali del sistema hanno parità o pari o dispari in quanto sono autostati dell operatore parità. Un modo pari è tale da essere lasciato invariato dall operatore di parità, mentre un modo dispari cambia segno sotto la stessa operazione. In Fig.. sono rappresentati, nel caso di una semplice molecola triatomica, rispettivamente un modo di oscillazione pari ed uno dispari. ) a b a ) a b a Fig.. : Due esempi di modi normali di oscillazione per una molecola triatomica. Come si può notare, nel primo caso, il momento di dipolo della molecola non cambia, mentre si ha un cambiamento sostanziale della sua polarizzabilità. Nel secondo caso invece si ha una variazione notevole del momento di dipolo, mentre almeno al primo ordine la polarizzabilità rimane invariata. Da questo ragionamento si può concludere che il contributo all attività aman deriva solo dai modi con parità pari, detti anche modi aman attivi: essi sono tali da 3

18 non cambiare il momento di dipolo della molecola. I modi di oscillazione dispari sono invece detti infrarossi attivi e comportano un assorbimento della radiazione, se questa è alla frequenza di risonanza della vibrazione molecolare. Se invece la molecola non possiede un centro di inversione, tutti i modi normali di oscillazione sono contemporaneamente aman ed infrarossi attivi [5]. Si supponga ora che per una molecola in equilibrio termico con l ambiente sia attivato il modo di oscillazione pari alla frequenza ν : Q ν e * Q ν * q ( t) = Q exp( iω t) + Q exp( iω t) (.3) ν ν ν ν sono le ampiezze di oscillazione dovute all agitazione termica; il simbolo * sta per complesso coniugato. Si supponga che la molecola venga investita da un campo elettromagnetico monocromatico a frequenza ω I avente la seguente espressione: ν * E( t) = E exp( iω t) + E exp( iω t) (.4) I La non linearità aman fornisce allora un contributo alla polarizzazione della molecola dato da: P NL 0 = ε Nα q( t) E( t) 0 = ε Nα p p * [ E Q exp( i( ω + ω ) t) + E Q exp( i( ω ω ) t) ] + c. c. I ν Si può notare che nella polarizzazione non lineare aman alle frequenze Stokes I ν I I ν P NL I I I ν (.5) compaiono componenti vibrazionali ( ωi ω ν ) ed anti Stokes ( ω I + ω ν ) ; tali frequenze compariranno anche nello spettro della radiazione emessa dalla molecola. Il peso che ha il contributo aman sull emissione complessiva è dato dal coefficiente dello sviluppo di Taylor α p. Si capisce quindi, da queste equazioni classiche, come avviene fisicamente il fenomeno dell emissione aman spontanea. Questa trattazione è però molto semplificata. Ad esempio non tiene conto della differenza fra la probabilità di emissione Stokes ed anti-stokes, che può essere spiegata solo con considerazioni di tipo quantistico (vedi par..8). 4

19 . Scattering aman stimolato in condizione stazionaria Attraverso un modello classico di tipo elettromagnetico è possibile descrivere il fenomeno dell effetto aman stimolato. Si considerino ora due campi ottici, alle frequenze Stokes ω e di pompa ω, che si propagano insieme nella medesima direzione comodità i campi siano copolarizzati lungo l asse scalare. Sia E tot = E + E in una fibra ottica. Per xˆ : ciò consente di effettuare una trattazione il campo elettrico totale e si assuma la seguente fattorizzazione: ~ E j ( x, y, z, t) = F j ( x, y) A j ( z, t) exp( iω jt) + c. c. (.6) con j =,. ( x, y) rappresenta la distribuzione radiale del campo nella fibra ed è ottenuto F j risolvendo l equazione delle onde imponendo le condizioni al contorno determinate dalla geometria della fibra. Per una fibra step index monomodale, l andamento radiale del campo elettrico è determinato dalle funzioni di Bessel e di Bessel modificate di prima e seconda ~ specie opportunamente raccordate [6]. A j ( z, t) è da intendersi come: ~ A ( z, t) = A ( z, t)exp( iβ z) (.7) j j j ẑ con β j costante di propagazione del modo ed A j ( z, t) inviluppo dell impulso lentamente variabile. Per il momento viene trascurato l andamento del campo elettrico lungo x, y, ma si considera solamente l evoluzione dei modi ottici della fibra lungo z; per comodità quindi si pone: E0 j = F j ( x, y) A j ( z, t) (.8) Il modello usato è il seguente [7]: il mezzo aman consiste di N oscillatori armonici per unità di volume, ciascuno coincidente con una molecola. Gli oscillatori siano indipendenti l uno dall altro, cioè non interferiscano nel loro moto. Detta q ν ( z, t) la coordinata normale di vibrazione della singola molecola, questa soddisfa l equazione del moto dell oscillatore armonico forzato e smorzato: q q m + mη + k q = F( z, t) ν (.9) t t m è la massa atomica, η è un coefficiente di smorzamento, è la costante elastica. L oscillatore è smorzato perché le vibrazioni molecolari presenti nella fibra hanno un tempo di k ν 5

20 vita medio breve, a causa della natura amorfa della silice. La forzante è data dalla cosiddetta forza ponderomotrice, il cui potenziale per una singola molecola è pari a: w e = α p ( t) Etot (.0) con α (t) definito secondo la (.), E tot = E + E campo elettrico totale. La forza agente sul p singolo oscillatore è il gradiente della (.0): we F( z, t) = (.) q Si procede quindi a sostituire l espressione del campo elettrico totale nella (.0), e nel calcolare E si tengono solamente i termini oscillanti alla frequenza differenza ( ω ω ) quanto la risposta molecolare può avvenire solo a basse frequenze, a causa della relativamente grande massa degli atomi. L espressione ottenuta è sostituita nell equazione del moto (.9) dalla quale si ricava q ( z, t) nella forma q ( z, t) = Q( z) exp[ i( ω ω ) t] + c. c. ; sostituendo questa espressione in quella della polarizzazione non lineare (.5) si vede che questa diventa la somma di vari contributi oscillanti alle frequenze ω, ω, ω ω e ω ω. Solo quelli oscillanti alle frequenze Stokes ω e di pompa ω sono rilevanti, in quanto per gli altri devono essere soddisfatte opportune condizioni di phase matching che non sono in generale verificate in fibra []. Scrivendo la polarizzazione nella forma: P ~ ω j ( z, t) = PNL exp( iω jt) c. c. ω j NL + j si definisce una suscettività complessa aman χ attraverso l espressione []: ~ P ω j NL ω ω 0 0(3 j) 0 j j z, in (.) j = ε χ E E exp( iβ ) (.3) con j =,. Nel caso dell onda Stokes la suscettività complessa ha la forma: Studi relativi alla pressione di radiazione mostrano di come su una particella di carica q e massa m investita da un onda elettromagnetica di frequenza ω si eserciti una forza, detta ponderomotrice, il cui valore dipende solo r dal vettore di campo elettrico, secondo la relazione: q * f ( EE ˆ ˆ p = ), essendo Ê l ampiezza complessa del 4mω campo. P. Mulser ha interpretato in termini di pressione di radiazione lo scattering aman stimolato nei mezzi densi. 6

21 [ ω ] [ ] ν ( ω ω) + iη( ω ω) ων ( ω ω) + η ( ω ω) ω ε 0Nα p χ = (.4) 8m In essa ω ν è la pulsazione alla frequenza di risonanza per il modo vibrazionale eccitato. Poiché nell espressione della polarizzazione (.3) appare il prodotto di tre campi elettrici, si può affermare che lo scattering aman stimolato è un processo non lineare del terzo ordine. In Fig.. si vedono gli andamenti della parte reale e la parte complessa della suscettività aman Stokes..5 an (unità arbitraria) Suscettività am ω e( ) χ ω Im( ) ω ν χ ( ω ) ω Fig.. : Andamento della parte reale e complessa della suscettività aman. Quando ω ω = ω la suscettività diventa completamente immaginaria e assume il valore ν massimo. La forma della parte immaginaria è quella di una lorenziana centrata nel punto di ascissa ω ν. Si noti che la suscettività dell onda di pompa è la complessa coniugata di quella dell onda Stokes, cioè segno opposto. χ ( χ ) * ω ω =, perciò le parti immaginarie delle due espressioni hanno I campi e le polarizzazioni così ottenute vengono quindi sostituiti nell equazione delle onde valida per i mezzi non lineari []: E PNL µ (.5) t t E 0ε 0ε r = µ 0 7

22 L equazione viene risolta per ed E in approssimazione di inviluppi complessi lentamente E variabili rispetto alla coordinata z (approssimazione SVEA). Si ottiene: de dz de dz iω = E0 E0 (.6 a) nc 0 ω χ iω = E0 E0 (.6 b) nc 0 ω χ n è l indice di rifrazione del mezzo pari a n ( ε ε ) =. Si passa dalle espressioni dei campi a 0 r quelli delle intensità luminose notando che I = e che: j E 0 j Alla fine si ottiene: d dz * ( E E ) * de0 * de0 = E0 E0 (.7) dz dz di dz di dz Im( χ ω ) ω = I I αi = g sr I I αi (.8 a) nc Im( χ ω ) ω ω = II αi = g sr II α I (.8 b) nc ω Il sistema ottenuto è composto da due equazioni differenziali non lineari accoppiate. Queste espressioni sono le equazioni di propagazione per l intensità dell onda di pompa e dell onda Stokes che viaggiano insieme in fibra. g sr questo modello, assume la forma analitica: g è il coefficiente di guadagno aman che, in base a ω ε 0Nα p η( ω ω ) sr = (.9) nc [ ω ( ω ω ) ] + η ( ω ) 8m ω ν Il profilo della lorenziana appare una buona approssimazione dello spettro aman ricavato per la silice mostrato in figura.; infatti nel modello presentato si è assunto che gli oscillatori vibrassero tutti ad una sola frequenza di risonanza, mentre in realtà sono tanti i modi normali eccitati, come visto nel capitolo. Come si può notare dalle (.8) il coefficiente di guadagno aman è legato alla parte immaginaria della suscettività aman. Si può trattare χ ω j come una funzione di trasferimento che lega la risposta j P ω NL del sistema, il mezzo attivo aman, alla causa che la ha generata, cioè 8

23 il campo elettrico E j. In base alla teoria della risposta lineare la trasformata di Fourier della funzione di trasferimento, definita nel dominio delle frequenze, rappresenta la risposta impulsiva, ossia la risposta temporale del sistema ad uno stimolo deltiforme. In Fig.. 3 si può osservare l andamento della risposta impulsiva del mezzo aman ottenuta a partire dallo spettro di guadagno della silice. Funzione di risposta aman h (t) (unità arbitraria) Tempo (picosecondi) Fig.. 3: Andamento della funzione di risposta aman ottenuto a partire dallo spettro di guadagno della silice. Come si può notare essa è molto simile a quella di un oscillatore armonico forzato e smorzato. Si è infatti proceduto ad approssimare questo andamento con la funzione analitica [8]: h τ + τ ( t) = exp τ ) τ τ ( t / τ ) sin( t / Si ha un buon accordo con i dati sperimentali scegliendo come parametri caratteristici: τ =. fs, τ = 3 fs. τ è legato al periodo di oscillazione dell oscillatore attraverso T l espressione τ =, τ rappresenta il tempo di smorzamento. Appare da questi dati che la π risposta aman ha tempi caratteristici molto brevi, in quanto il periodo di oscillazione è di circa femtosecondi. Si può affermare che l interazione aman deriva dal fatto che la 9

24 risposta del mezzo non è istantanea, pur essendo velocissima. Tale fatto, infatti, comporta la presenza di una parte immaginaria non nulla nella suscettività aman; è grazie all estrema velocità di risposta che la curva di guadagno presenta un allargamento spettrale così grande..3 Le equazioni di propagazione Le grandezze che intervengono in pratica sono le potenze ottiche. Per passare dall intensità alla potenza trasportata è necessario integrare le (.8) sulla sezione trasversa della fibra: Pj = I jdxdy (.0) L intensità luminosa sulla sezione trasversa della fibra infatti non è costante, ma dipende dal fattore F j ( x, y) che compare nella (.6), finora trascurato. L integrale della (.0) è svolto su questa funzione. Per comodità si associa alla distribuzione trasversa del modo un area efficace A eff data da []: A eff = 4 F( x, y) F( x, y) dxdy dxdy (.) Essa, moltiplicata per l intensità luminosa di picco, fornisce la potenza effettiva trasmessa nella fibra. Per le potenze si ottiene il sistema: dp dz dp dz = Kg P P α P (. a) ω = K g P P α P (. b) ω g sr g = (.3) Aeff g è detto il coefficiente modale di guadagno aman; K è un coefficiente introdotto per trattare il caso più generale in cui le onde abbiano polarizzazione qualsiasi fra loro; esso vale se esse sono perfettamente polarizzate, 0 se i vettori dei campi sono ortogonali fra loro. In 0

25 quest ultimo caso non si ha accoppiamento aman. Se infine le onde sono completamente depolarizzate, cioè assumono polarizzazioni casuali, si assume per K il valore. Il sistema (.) consente di descrivere completamente un amplificatore aman in una fibra di data attenuazione α nella configurazione copropagante, cioè quando pompa e segnale viaggiano nella stessa direzione. Esso ammette una soluzione analitica se si assume α = α = α. Le soluzioni sono in questo caso []: ove si è posto: Ψ r ω = ω P ω P ( z) = P0 exp( ω α P0 exp( αz) P ( z) = + Ψ g exp r Ψr z) + Ψ [ exp( αz) ] r g exp P0 sr P0 P0 sr 0 0 αa P 0 è la potenza del segnale in ingresso alla fibra, eff ω = ω P 0 P L A eff eff (.4 a) (.4 b) (.5) ω P0 quella di pompa; P0 = P0 + P0, ma ω essendo generalmente valida l approssimazione ω ω si può confondere con la potenza totale in ingresso della fibra. Nella (.5) l espressione [ exp( α z)] α P 0 è detta lunghezza efficace; essa rappresenta la lunghezza della fibra in cui l amplificazione è efficiente. Se la lunghezza della fibra è molto grande, oppure se α >>, allora L eff, ossia dipende α esclusivamente da α. Se invece α << allora L eff L. In Fig.. 4 è mostrata la risoluzione numerica del sistema delle equazioni di propagazione (.) con i seguenti valori: K=0.5 (onde completamente depolarizzate), 4 g = 5 0 m/w, A = 0 µm, α = db/km, sr eff α = 0.68 db/km. Si è assunto che la potenza della pompa in ingresso fibra sia pari ad W (30 dbm) e quella del segnale mw ( dbm).

26 Potenza (W) L (m) P pompa P segnale Fig.. 4: Andamenti delle potenze del segnale e della pompa lungo la fibra. Si può notare che all aumentare della distanza percorsa dai due segnali si ha un progressivo svuotamento della pompa e una conseguente crescita della potenza nel segnale. Lo svuotamento è dovuto non solo all interazione aman, ma anche all attenuazione della fibra. Dalla figura si nota che oltre a circa Km l amplificatore diventa inefficace perché le perdite superano il guadagno aman. È particolarmente istruttiva una soluzione approssimata che si ottiene ammettendo che l onda di pompa non risenta dell effetto dell interazione aman: l approssimazione di non svuotamento. Questa è lecita all inizio dell amplificazione, quando la pompa è molto più intensa del segnale che amplifica. Quest ultima condizione ha validità molto generale, infatti, a causa della scarsa efficienza dell amplificazione aman è necessario disporre di segnali di pompaggio dell ordine delle centinaia di mw, mentre i segnali che trasportano l informazione in fibra raggiungono qualche mw. Le soluzioni in approssimazione di non svuotamento si ottengono trascurando il primo termine a secondo membro della (. b); da questa si ottiene immediatamente: P ( 0 z z) P exp( α ) (.6 a) ossia la pompa si svuota solo a causa dell attenuazione dovuta alla fibra. Per il segnale invece:

27 g sr P0Leff P z ( z) P0 exp α (.6 b) Aeff L amplificazione aman stimolata può avvenire anche quando pompa e segnale viaggiano in direzioni opposte, cioè in configurazione contropropagante. Per ottenere le equazioni di propagazione, in questo caso, è sufficiente porsi ad esempio nel sistema di riferimento del segnale e compiere la trasformazione di coordinate z z nell equazione della pompa. Si ottiene: dp dz dp dz = Kg P P α P (.7 a) ω p = + K g P P + α P (.7 b) ω s Si può dare una giustificazione al cambio dei segni in questi termini: rispetto alla direzione di propagazione del segnale, la pompa, viaggiando nel senso opposto, risulta amplificata a causa dello svuotamento dovuto all interazione aman e all attenuazione della fibra. Nel caso contropropagante il sistema dato dalle (.7) non ammette soluzioni analitiche, per cui è necessaria una risoluzione di tipo numerico, oppure un approccio in approssimazione di non svuotamento della pompa. Le equazioni di propagazione si possono generalizzare in modo da includere anche la presenza dell effetto aman spontaneo, che è presente anche quando si ha scattering aman stimolato. Detta P spont la potenza del segnale generato per effetto aman spontaneo le equazioni assumono la forma: dp dz dp dz = Kg ( P + P ) P α P (.8 a) spont ω p = m K g ( P + Pspont ) P m α P (.8 b) ω s ove il doppio segno nella (.8 b) rappresenta rispettivamente il caso di pompaggio copropagante e contropropagante. Si noti che la potenza aman spontanea non coinvolge solo un modo ottico, ma piuttosto una banda, la banda di amplificazione aman (vedi par..6). 3

28 .4 Il guadagno aman Si definisce guadagno di un amplificatore il rapporto fra la potenza del segnale in uscita e quella del segnale in ingresso. Viene in pratica usata un espressione per il guadagno in decibel: P ( L) GamdB ( L) = 0 log. (.9) ( G ) am ( L) = 0 log P0 Sostituendo le soluzioni ottenute risolvendo le equazioni di propagazione appena introdotte si può dare una espressione analitica del guadagno aman dipendente dai parametri caratteristici del sistema. Nel caso copropagante mediante l uso delle equazioni (.4) e (.5) si ottiene: G Ψ sat r P0 Ψr ( L) = exp( αl) (.30) P + Ψ = P 0 r P exp g sr Leff. Aeff P Sfruttando invece il risultato approssimato nel caso di non svuotamento della pompa: G exp P0 exp( α L) ( L) = exp( α L) exp g sr. (.3) Aeff α In Fig.. 5 si può notare l andamento del guadagno in un amplificatore aman in configurazione copropagante in funzione della lunghezza della fibra sia nel caso in cui si tenga conto della saturazione della pompa (guadagno saturato), sia in approssimazione di non svuotamento Guadagno (db) Gsat (db) Gexp (db) L (m) Fig.. 5: Andamento del guadagno in funzione della lunghezza della fibra aman. 4

29 I dati utilizzati nella simulazione sono gli stessi di pag.. Si può notare che dopo una prima fase in cui le curve si sovrappongono, l approssimazione di non svuotamento inizia a fornire una sovrastima del guadagno perché il segnale raggiunge un valore tale da far saturare la pompa. Nelle misure si usa in genere il guadagno on off; esso rappresenta il rapporto fra la potenza del segnale in uscita con pompa accesa e quella con pompa spenta: G on P( p on) ( L) off ( L) =. (.3) P ( L) ( p off ).5 Scattering Brillouin stimolato in fibra La differenza sostanziale fra lo scattering aman stimolato e lo scattering Brillouin stimolato in fibra è che in quest ultimo l interazione delle due onde ottiche avviene con un onda acustica e non con una vibrazione molecolare. Lo studio classico di questo fenomeno consente fra l altro di fare alcune considerazioni su alcune importanti caratteristiche dell effetto aman stimolato che sono state volutamente tralasciate fino ad ora, quale la sua natura auto phasematched e la possibilità di amplificare il segnale nelle due configurazioni co- e contropropagante, cosa, quest ultima, che non si verifica nell effetto Brillouin. Il fenomeno fisico su cui si basa lo scattering Brillouin stimolato, come già accennato nel capitolo, è l effetto elettrostrittivo: la presenza di un campo elettrico variabile nella fibra produce una deformazione (strain) variabile nel tempo in grado di generare un onda acustica. Le tre onde che si propagano in fibra sono: E ( z, t) = E0( z)exp( i( ω t + βz) ) + c. c. (.33 a) E ( z, t) = E0 ( z) exp( i( ω t β z) ) + c. c. (.33 b) ( i( t z ) c.. q( z, t) = Q( z)exp ω p β p + c (.33 c) E è il campo dell onda Stokes, E quello dell onda di pompa; q( z, t) è lo spostamento causato dall onda acustica. Si è assunto anche qui che le tre onde siano copolarizzate per poter effettuare una trattazione scalare. E 0 con j =, è da intendersi secondo l equazione (.8), j mentre Q(z) rappresenta lo spostamento dall equilibrio di un piccolo volume del mezzo; z 5

30 definisce la posizione lungo l asse della fibra. In base ai segni nella (.33 a) e (.33 b) si nota che l onda si propaga lungo le z positive, mentre l onda è contropropagante rispetto a quella. Nel processo di scattering si deve conservare energia e momento, cioè si deve avere: h ω (.34) = hω + hω p ω p = ω ω h k (.35) = hk p hk k p = k + k Si nota che ω p << ω,ω, perché la velocità del fonone acustico è molto minore di quella dei fotoni; si deduce quindi che k p k e che la frequenza Stokes, in condizioni di phase matching, è: v ω = = n p ω0 ω (.36) c dove n è l indice di rifrazione della fibra per l onda di pompa e Stokes, è la velocità del suono. Per giustificare l andamento di tipo ondulatorio dell espressione (.33 c) si consideri un volumetto infinitesimo dxdydz soggetto al campo elettrico E. spostamento di un punto z di questo volumetto dalla sua posizione di equilibrio; v p q( z, t) rappresenti q z perciò è la deformazione monodimensionale lungo z. Si introduce fenomenologicamente un parametro γ, detto coefficiente elettrostrittivo, che descrive il cambiamento δε della costante dielettrica indotto dalla deformazione secondo l equazione: q δε = γ. (.37) z Tutto ciò modifica la densità di energia elettrostatica in base alla relazione: q E z w e = γ (.38) La deformazione implica la presenza di una pressione p, ottenuta uguagliando il lavoro per unità di volume q p z sul volumetto alla densità di energia. Si ottiene: p E = γ. (.39) 6

31 La forza elettrostatica per unità di volume è data dalla derivata di p rispetto a z, cambiata di segno: p γ E F = = z z (.40) L equazione del moto per la deformazione q( z, t) si ottiene includendo i termini dovuti allo smorzamento a causa dell attrito, pilotati dal coefficiente fenomenologico ς e dagli effetti elastici pilotati dal modulo di elasticità bulk T e = ρv, che è il coefficiente di proporzionalità fra la densità del materiale e la pressione applicata (più grande è comprimibile). Si ottiene alla fine l equazione delle onde: T e più il mezzo è q q q γ E ρ + ρζ Te = (.4) t t z z A partire da questa, sostituendo ad E E + E e con l approssimazione SVEA per gli inviluppi complessi, si ottiene per Q l espressione: dq dz γ * α p = E0E0 exp( i kz) Q (.4 a) 4ρv p ζ ove α p = e k = k + k k p è il mismatch di fase fra le tre onde. v p A questo punto si considera di nuovo l equazione delle onde elettromagnetiche non lineare con: P NL q = γ E. (.43) z Sostituendo le espressioni ottenute nell equazione delle onde, in approssimazione di inviluppo lentamente variabile si ricavano le equazioni per gli inviluppi complessi dei campi ottici []: de γk pk α dz 0 * = E 0Q exp( i kz) + E0 (.4 b) 4ε 0n de γk pk α dz 0 * = E 0Q exp( i kz) E0. (.4 c) 4ε 0n Si sono introdotti in modo fenomenologico i secondi termini a secondo membro per tenere conto degli effetti di attenuazione della fibra. 7

32 Le equazioni (.4 b) e (.4 c) formano assieme alla (.4 a) un set di equazioni accoppiate. Si noti qui l importanza del phase matching nell efficienza del processo di accoppiamento, a causa della presenza del termine exp( i kz). Solo se k = 0 l efficienza dell accoppiamento fra le tre onde è massimo. Se però si assume che l onda di pressione sia fortemente smorzata, e ciò è lecito perché il tempo di vita medio del fonone acustico nella silice è piccolo (dell ordine del nanosecondo) ci si riduce da un sistema di tre equazioni a solo due equazioni accoppiate, per la pompa e per l onda Stokes []. Alla fine dei calcoli si ottiene un sistema di due equazioni di propagazione per le potenze ottiche del tutto analogo a quello ottenuto nel caso di scattering aman stimolato: In esse g dp dz dp dz = g P P + αp (.44 a) B = g P P αp. (.44 b) B b g B = con g b coefficiente di guadagno Brillouin. Per quanto riguarda i segni, essi Aeff indicano che l onda Stokes è contropropagante rispetto all onda di pompa, che procede nella direzione delle z positive. α è il coefficiente di attenuazione della fibra, posto uguale per le due onde. L amplificazione per scattering di Brillouin stimolato si può descrivere sostanzialmente con le stesse equazioni di propagazione incontrata per lo studio dell amplificatore aman nella configurazione contropropagante. L andamento del coefficiente di guadagno Brillouin gb in funzione di ν è approssimabile anche in questo caso ad una lorenziana, molto più stretta che nel caso di amplificazione aman. Un valore g B tipico di picco per per fibre silicate è 5 0 m/w, e la larghezza di banda di amplificazione è dell ordine delle decine di MHz, invece che del THz, come nel caso del aman; il suo valore dipende fortemente dalla presenza di irregolarità nella struttura della fibra. Poiché il fonone acustico ha una frequenza più bassa di quello ottico, dalla condizione di conservazione dell energia del processo si deduce che anche lo shift fra onda di pompa e onda Stokes è molto inferiore rispetto a quello aman, dell ordine della decina di GHz. In Fig.. 6 si può vedere la forma dello spettro di guadagno Brillouin per la silice. 8

33 Guadagno Brillouin (unità arbitraria) ν pompa segnale (GHz) Fig.. 6: Spettro di guadagno Brillouin nella silice. L effetto Brillouin è in generale un fenomeno indesiderato perché limita la trasmissione dei segnali in fibra ad alta potenza; in presenza di esso gran parte della potenza lanciata non può essere sfruttata perché viene riflessa indietro dalla fibra sotto forma di onda Stokes. Tali riflessioni possono fra l altro destabilizzare e rovinare le sorgenti laser. L effetto Brillouin stimolato, in quanto coinvolge l interazione mutua di tre onde, dipende in generale dal phase matching di queste; affinché cioè l effetto sia massimo si deve avere k = 0. Poiché però l onda acustica ha un tempo di vita medio breve nella fibra la dipendenza da k scompare in quanto l interazione a tre onde diventa localizzata punto per punto nella fibra. In pratica l onda di pompa e l onda Stokes possono avere anche una fase casuale per poter interagire fra loro, poiché l accoppiamento in fibra avviene con un numero elevato di onde acustiche rapidamente smorzate e fra loro indipendenti. Questo fatto vale a maggior ragione per il processo di scattering aman stimolato, in cui l interazione ottica si ha con una vibrazione molecolare, il cui tempo di smorzamento è, come visto, dell ordine del femtosecondo. Tutto ciò garantisce che i processi di scattering Brillouin e aman stimolati siano auto phase-matched, a differenza di altri fenomeni che possono verificarsi in fibra, quali il four-wave mixing e l amplificazione parametrica, i quali necessitano del matching di fase fra le onde interagenti. Inoltre, nel caso di effetto aman stimolato, si può affermare che la curva di dispersione della vibrazione molecolare è piatta, nel senso che la pulsazione caratteristica della risonanza ha un valore fisso, indipendente da quello che può assumere k. ω ν 9