Appunti di Macroeconomia 1

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1 Appunti di Macroeconomia 1 Giovanni Pica Università di Salerno 4 marzo Queste note sono state scritte come supporto didattico al corso di Macro Avanzata (Laurea Magistrale in Economia, Università di Salerno). Si basano sugli appunti e sui testi indicati di seguito e non contengono alcun contributo originale. Sono incomplete e potrebbero contenere errori dei quali sono, ovviamente, il solo responsabile. La prima parte (Crescita Economica) si basa sugli appunti del Prof. Tullio Jappelli (Università Federico II di Napoli), che ringrazio per avermene dato disponibilità, eccetto la parte relativa ai modelli di crescita endogena basata su Advanced Macroeconomics, David Romer, McGraw Hill, 3rd edition, La seconda parte (Ciclo Economico) si basa sugli appunti del Prof. Tullio Jappelli per la parte sul ciclo economico reale, sul testo Metodi dinamici e fenomeni macroeconomici, di Fabio-Cesare Bagliano e Giuseppe Bertola, Il Mulino, 1999 per la discussione del modello di Diamond (1982) e su Advanced Macroeconomics, David Romer, McGraw Hill, 3rd edition, 2006 (nonché sugli articoli indicati in bibliografia) per il resto. Disponibili online:

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3 Indice I La crescita economica I-1 I.1 Perché studiarla? I-1 I.1.1 Evidenza empirica e regolarità statistiche I-2 I.2 Il modello di crescita di Solow I-4 I.2.1 Struttura e ipotesi del modello I-4 I.2.2 Discussione delle ipotesi I-5 I.2.3 Lo stato stazionario I-7 I.2.4 La golden rule e l inefficienza dinamica I-13 I.2.5 Crescita e progresso tecnico nel modello di Solow I-14 I.2.6 La convergenza del reddito I-17 I.2.7 Il modello di Solow e le questioni poste dalla teoria della crescita I-17 I.2.8 Contabilità della crescita: contributo dei fattori produttivi alla crescita.. I-19 I.3 Il modello di Solow con capitale umano I-21 I.4 Il modello di Solow con ricerca e sviluppo I-22 I.4.1 Ipotesi I-23 I.4.2 Dinamica della conoscenza e del capitale I-23 I.4.3 La natura della conoscenza I-27 I.4.4 I modelli di crescita endogena e le questioni poste dalla teoria della crescita I-28 I.4.5 Il ruolo del contesto istituzionale e sociale I-29 II Il ciclo economico II-1 II.1 Il ciclo economico: regolarità statistiche II-1 II.2 Teoria del ciclo economico reale II-4 II.2.1 Ipotesi del modello RBC II-4 II.2.2 Le scelte del consumatore II-5 II.2.3 Versione semplificata del modello II-7 II.3 Il modello keynesiano AS AD II-10 II.3.1 La domanda aggregata AD II-10 II.3.2 L offerta aggregata AS II-13 II.3.3 Il trade-off tra output e inflazione II-18 II.4 Fondamenti microeconomici delle rigidità nominali II-21 II.4.1 Il ruolo dell informazione (Lucas, 1972) II-21 II.4.2 Concorrenza monopolistica e menu costs (Blanchard e Kiyotaki, 1987)... II-27 II.4.3 Concorrenza monopolistica e contratti predeterminati (Fischer, 1977)... II-40 II.4.4 Menu costs e fluttuazioni economiche: il ruolo delle rigidità reali II-43 II.4.5 Concorrenza monopolistica e state-dependent pricing (Caplin e Spulber, 1987)II-45 II.5 Modelli non walrasiani II-49 II.5.1 Esternalità di scambio, complementarietà strategica e molteplicità di stati stazionari II-49 II.5.2 Modelli di matching II-56 III Soluzione esercizi III-1 III.1 Esercizi sulla crescita III-1 iii

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5 Parte I La crescita economica 1 I.1 Perché studiarla? L analisi dei fattori che influenzano e determinano la crescita del prodotto interno lordo (PIL) di un paese è uno dei temi più importanti affrontati dalla teoria macroeconomica. La sua rilevanza può ricavarsi dall analisi di alcune tabelle. La tabella I.1 riporta i dati del PIL reale italiano (misurato in dollari del 1985) dal 1870 al I tassi di crescita annuali variano dallo 0.5% del ventennio al 5% del ventennio La crescita media annuale nel corso dei 120 anni considerati è del 2% circa. Tabella I.1: La crescita economica in Italia dal 1870 al 1990 Anno PIL pro-capite reale ($ 1985) Tasso di crescita annuale Media Cosa sarebbe successo se, in media, la crescita annua fosse stata del 1.5%? O del 2.5%? O del 3.5%? La risposta è riportata nella tabella I.2. Il livello del PIL reale, alla fine del periodo considerato, sarebbe stato molto diverso. Mezzo punto percentuale di crescita in meno all anno (cioè una crescita media annuale dell 1.5%) nel periodo avrebbe comportato, nel 1990, un PIL inferiore del 44% ( $) rispetto a quello osservato nella realtà. Mezzo punto percentuale di crescita in più all anno (crescita media annua dell 2.5%) avrebbe invece comportato, nel 1990, un PIL reale pari a $, maggiore dell 84% rispetto a quello realizzatosi. Come si vede, variazioni minime dei tassi di crescita annui comportano, nel lungo periodo, variazioni sostanziali nel livello di ricchezza di un paese. La crescita del reddito pro capite, almeno a ritmi così sostenuti (1-2% l anno, ma in alcuni casi, come la Cina, 6-8% l anno) è un fenomeno relativamente recente. In particolare, prima della rivoluzione industriale inglese, era un eccezione piuttosto che la regola. Per esempio, nel periodo dal 1580 al 1820, in Olanda, uno dei paesi dall economia più fiorente, la crescita era dello 0.2% all anno. Nel periodo dal 1820 al 1890, l economia più fiorente era il Regno Unito la cui crescita è stata dell 1.2% all anno (ben sei volte maggiore che in Olanda nel periodo dal 1580 al 1820). Infine, nel periodo , il tasso di crescita medio annuo degli Stati Uniti (l economia più forte, in 1 Questa parte è basata sugli appunti del Prof. Tullio Jappelli (Università Federico II di Napoli), eccetto la discussione relativa alla crescita endogena basata su Advanced Macroeconomics, David Romer, McGraw Hill, 3rd edition, I-1

6 I. La crescita economica Tabella I.2: Ipotesi relative a differenti tassi di crescita annuali negli ultimi 120 anni Tassi di crescita PIL media, durante questo periodo) è stato del 2.2%, quasi il doppio di quello dell economia inglese nel periodo Queste differenze possono sembrare contenute, ma non è affatto così. Un modo per comprendere l importanza del tasso di crescita di lungo periodo del sistema economico è quello di calcolare il tempo necessario a raddoppiare il reddito nazionale in funzione del tasso di crescita ρ: Y 0 e ρt = 2Y 0 (I.1) da cui T = ln 2 ρ Ad esempio se ρ = 0.01, T = 69, e quindi il reddito raddoppia ogni 69 anni; se ρ = 0.03, T = 23; se infine l economia cresce al tasso se ρ = 0.05 il reddito nazionale raddoppia ogni 14 anni. In questi ultimi 100 anni ci sono stati esempi di crescita sostenuta che ha portato alcuni paesi in via di sviluppo ad avvicinarsi considerevolmente ai livelli di reddito pro-capite dei paesi avanzati (tra cui alcuni veri e propri miracoli localizzati nella regione del sud-est asiatico, vedi le cosiddette tigri asiatiche) ma ci sono stati anche anche molti casi di regresso e di allontanamento dai paesi ricchi (specie nell area dell Africa sub-sahariana), specie negli ultimi anni. Scopo di questa parte del corso è l analisi dei fattori che influenzano e determinano la crescita economica di un paese, con particolare attenzione all analisi degli strumenti di politica economica. A questo scopo, ci doteremo di alcuni strumenti analitici che ci permettano di analizzare il tema della crescita utilizzando un modello formale (sezione I.2). Un modello è una rappresentazione semplificata della realtà, basata su una serie di ipotesi, che permette di concentrarsi sugli elementi essenziali del tema oggetto dell analisi tralasciando quelli irrilevanti. Un modello non deve perciò essere (necessariamente) realistico. Anzi, quasi mai lo è. Non lo è perché il suo scopo non è offrire una fotografia del mondo, ma aiutare a mettere in relazione aspetti di un problema che una rappresentazione più articolata e complessa non permetterebbe di cogliere. Le semplificazioni offerte da un modello sono quindi funzionali ad una migliore comprensione dei fenomeni oggetti di studio. Inoltre la struttura formale del modello consente di verificare che la teoria sia internamente coerente. L efficacia di un modello dipende, ovviamente, non solo dalla sua capacità di migliorare la comprensione dei fenomeni studiati, ma anche dalla sua capacità di generare implicazioni riscontrabili nella realtà. (I.2) I.1.1 Evidenza empirica e regolarità statistiche In via schematica, le principali regolarità statistiche che riguardano la crescita economica sono le seguenti: 1. Il reddito pro-capite nei paesi attualmente industrializzati è cresciuto di volte dalla rivoluzione industriale a oggi. 2. Prima della rivoluzione industriale la crescita del reddito era praticamente nulla. Il reddito fluttuava intorno al livello di sussistenza. 3. Attualmente, le differenze di produttività (output per lavoratore) tra paesi sono enormi: i paesi meno produttivi hanno livelli di output per lavoratore pari a meno del 5% del livello degli Stati Uniti. I-2

7 I.1. Perché studiarla? 4. Le differenze di produttività registrate nelle ultime decadi sono persistenti. Non vi è tendenza né alla convergenza né alla divergenza. La maggior parte dei paesi ha mantenuto la propria posizione relativamente agli Stati Uniti (con alcune eccezioni: Taiwan, South Korea, Singapore). 5. Viste in una prospettiva di più lungo periodo, le differenze tra paesi sembrano aumentare, cioè i paesi sembrano divergere: prima della rivoluzione industriale il reddito era intorno al livello di sussistenza. Oggi una parte della popolazione mondiale è ricca e un altra parte (maggiore) ancora a livelli di sussistenza. Ad un livello di dettaglio maggiore, si elencano di seguito alcune regolarità statistiche relative al fenomeno della crescita (Kaldor, 1961): 1. L output pro-capite cresce nel tempo ad un tasso che non tende a diminuire. 2. Lo stock di capitale fisico per lavoratore cresce nel tempo. 3. Il rendimento del capitale fisico è pressoché costante. 4. Il rapporto tra capitale fisico e output è pressoché costante. 5. Le quote del reddito da lavoro e del reddito da capitale sul reddito nazionale sono pressoché costanti. 6. I tassi di crescita dell output pro-capite differiscono in maniera sostanziale tra paesi. Mentre il punto 6 è tuttora riscontrabile nei dataset internazionali, i punti 1, 2, 4 e 5 valgono sostanzialmente solo per i paesi attualmente sviluppati. Il punto numero 3 non sembra invece essere valido e deve essere rimpiazzato dal seguente punto: 3bis. Il rendimento del capitale fisico tende a diminuire quando l economia si sviluppa. Infine, l ultimo fatto stilizzato viene detto convergenza condizionata: se si guarda a gruppi omogenei di paesi (es.: stati degli USA, regioni europee, paesi OCSE) in dati cross-section (cioè senza variazione temporale), i paesi inizialmente più poveri tendono a crescere più rapidamente, mantenendo costanti alcune variabili quali il livello iniziale di capitale umano, la propensione al risparmio, la fertilità, eccetera... I-3

8 I. La crescita economica I.2 Il modello di crescita di Solow Gli incrementi di produttività osservati possono essere stati causati da vari fattori: 1. Accumulazione di capitale (fisico) per lavoratore. Per capitale fisico si intendono tutti i beni durevoli utilizzati come input nel processo produttivo. Al giorno d oggi i lavoratori sono più produttivi di quanto non fossero nel passato perché dispongono di un maggiore ammontare di capitale con il quale lavorare. 2. Accumulazione di capitale umano. Al giorno d oggi nei paesi industrializzati la quasi totalità della popolazione è in grado di leggere e scrivere. In alcuni paesi quasi la metà degli studenti proseguono gli studi al termine della scuola secondaria. 3. Tecnologia o accumulazione di conoscenza ( idee ). Nel corso del tempo, gli individui hanno accumulato conoscenze che permettono di produrre una maggiore quantità di output utilizzando la stessa quantità di input. I meccanismi attraverso cui si accumulano conoscenze comprendono: (a) Esternalità di apprendimento: si apprende basandosi sulla propria esperienza e su quella altrui. (b) Specializzazione: mercati più ampi permettono di focalizzarsi su un numero limitato di compiti. (c) Ricerca e sviluppo: imprese e individui dedicano parte del loro tempo alla ricerca di idee (invenzioni) da brevettare. Il modello di Solow (1956), anche detto modello di Solow-Swan (Swan, 1956), si sofferma nella sua versione base solo sul ruolo dell accumulazione di capitale fisico, cercando di capire se è sufficiente a spiegare la crescita di lungo periodo. Le ragioni per le quali il modello di Solow si concentra esclusivamente sull accumulazione di capitale fisico sono le seguenti: 1. l accumulazione di capitale fisico è chiaramente parte integrante del processo di crescita. 2. l accumulazione di capitale fisico è un fenomeno empiricamente rilevante. 3. l accumulazione di capitale fisico è un ingrediente necessario anche in modelli di crescita che si concentrano su differenti determinanti della crescita. Il risultato principale del modello di Solow è tuttavia un risultato negativo. L accumulazione di capitale e il risparmio non possono spiegare la crescita di lungo periodo. Per questo motivo si passerà poi a modelli con capitale umano (sezione I.3) e alla teoria della crescita endogena (sezione I.4) nella quale si considera esplicitamente il ruolo dell accumulazione della conoscenza. I.2.1 Struttura e ipotesi del modello Il modello di Solow è un modello di equilibrio generale, cioè un modello che rappresenta l economia nel suo complesso nel quale è quindi possibile studiare il fenomeno della crescita tenendo conto delle interazioni che si sviluppano tra i diversi mercati. Nel modello di Solow in ogni periodo i mercati considerati (mercato del lavoro, mercato dei beni e mercato dei capitali) sono in equilibrio. I diversi periodi sono legati dalla possibilità di rinunciare a consumo presente e risparmiare allo scopo di accumulare capitale e consumare di più nel futuro. Allo scopo di costruire il modello di Solow è necessario specificare (i) le preferenze degli individui; (ii) la tecnologia produttiva delle imprese; (iii) la struttura dei mercati e (iv) il concetto di equilibrio. I-4

9 I.2. Il modello di crescita di Solow 1. Preferenze degli individui: offerta di lavoro e risparmio. Nel modello si ipotizza che, nel periodo t, la forza lavoro sia pari a N t e che gli individui offrono tale quantità di lavoro in maniera inelastica. Si assume inoltre che la forza lavoro cresce al tasso esogeno n: N t = n (I.3) N t Gli individui risparmiano una frazione costante s del reddito. 2. Tecnologia. Supponiamo che la funzione di produzione Y t = F (K t, N t ), con F K > 0, F N > 0, F KK < 0, F NN < 0, sia una funzione omogenea di grado 1. In altre parole la funzione è caratterizzata da rendimenti di scala costanti nei fattori produttivi e decrescenti nell unico fattore riproducibile (il capitale). Inoltre si assume che lim K 0 F K = e lim K F K = 0 (condizioni di Inada). 3. Struttura di mercato ed equilibrio. I.2.2 Si ipotizza che tutti i mercati siano perfettamente concorrenziali e quindi tutti gli agenti economici (imprese e individui) prendano i prezzi come dati. In equilibrio la domanda e l offerta sono uguali in tutti i mercati. Tali ipotesi sono discusse di seguito. Discussione delle ipotesi Funzione di produzione Data una funzione di produzione in cui la quantità prodotta (Y ) dipende dalla quantità di capitale (K) e di lavoro (N) impiegate nel processo produttivo Y = F (K, N) con F K > 0, F N > 0, F KK < 0, F NN < 0, la funzione si dice omogenea di grado ρ se: F (λk, λn) = λ ρ Y Nel caso in cui ρ = 1, la funzione di produzione si dice a rendimenti di scala costanti. In questo caso è possibile esprimere la funzione di produzione unicamente in termini del rapporto capitale-lavoro: ( ) K F N, 1 = f (k) = y dove k = K/N e y = Y/N. Ne segue che le produttività marginali del lavoro e del capitale sono esclusivamente funzione di k. Infatti: Y K = F (K, N) K = Nf( K N ) K = f (k) e Y N = Nf( K N ) = f(k) kf (k) N Inoltre, se i rendimenti di scala sono costanti (ρ = 1), vale il teorema di Eulero. Infatti, derivando rispetto a λ la relazione F (λk, λn) = λy, si ottiene: F (λk, λn) F (λk, λn) K + N = Y λk λn che vale per ogni valore di λ, per cui anche per λ = 1, da cui: F (K, N) F (K, N) K + N = Y (Teorema di Eulero) K N Il teorema di Eulero ci dice che, con rendimenti di scala costanti, se il prezzo dei fattori produttivi riflette la produttività marginale, l intera produzione viene usata per pagare i fattori produttivi. I-5

10 I. La crescita economica Massimizzazione dei profitti in concorrenza perfetta Supponiamo che in ogni periodo lo stock di capitale utilizzato nella produzione si deprezzi di una frazione costante λ > 0. La produzione lorda dell impresa è quindi Y = F (K, N), mentre Y = F (K, N) λk rappresenta la produzione netta. Esse coincidono solo nel caso di assenza di ammortamento, ossia quando λ = 0. L impresa massimizza i profitti, cioè la produzione netta meno il costo del lavoro ed il costo del capitale: Π = F (K, N) wn rk λk (I.4) in cui il prezzo del prodotto è posto pari a 1, w è il costo del lavoro e r il costo del capitale. Assumiamo che ci sia concorrenza perfetta tra le imprese e quindi le imprese prendano i prezzi dei fattori w e r come dati (le imprese sono price-takers). In questo caso, le condizioni del primo ordine sono: Π K = 0 F K = r + λ (I.5) Π N = 0 F N = w (I.6) L impresa sceglie quindi la quantità di lavoro e di capitale uguagliando le due produttività marginali ai rispettivi prezzi dei fattori. Si noti che le equazioni (I.5) e (I.6) descrivono relazioni di domanda, cioè illustrano per ogni livello del prezzo del fattore, la quantità ottimale che l impresa desidera impiegare di quel fattore. Spesso sarà utile considerare i due casi particolari di ammortamento completo (λ = 1) e di assenza di ammortamento (λ = 0). Nel primo caso F K = 1 + r, mentre nel caso di assenza di ammortamento F K = r. Nel caso di una funzione di produzione con rendimenti di scala costanti, il problema di massimizzazione (I.4) può essere anche espresso in funzione del solo capitale per addetto: max f(k) w rk λk k (I.7) da cui f (k) = r + λ Il prodotto marginale per addetto è uguale alla somma del costo del capitale e del tasso di ammortamento. Se i rendimenti di scala sono costanti, l impresa può quindi limitarsi a scegliere un certo rapporto capitale-lavoro piuttosto che scegliere separatamente le quantità dei fattori produttivi K e N. Utilizzando il teorema di Eulero, e ponendo la produttività marginale del lavoro uguale al costo del lavoro, si ottiene: y = kf K + F N = kf (k) + w (I.9) da cui w = f(k) kf (k) (I.8) (I.10) Esempio. Funzione di produzione Cobb-Douglas La funzione Y = AK α N β è omogenea di grado α + β. Se α + β = 1 (rendimenti costanti), è facile verificare che le produttività marginali e i prodotti medi dipendono solo da k = K/N. Y N = AKα N 1 α = Ak α N (I.11) Y K = AKα N 1 α = Ak α 1 K (I.12) Y N = (1 α)akα N α = (1 α)ak α (I.13) Y K = αakα 1 N 1 α = αak α 1 (I.14) La funzione di produzione può quindi essere espressa come y = Ak α. I-6

11 I.2. Il modello di crescita di Solow Verifichiamo che vale il teorema di Eulero: Y = F K K + F N N = αak α N 1 α + (1 α)ak α N 1 α = Y (I.15) o anche y = F K k + F N = f (k)k + f(k) f (k)k = f(k) (I.16) Dalla contabilità nazionale sappiamo che Y = wn + rk, cioè che il reddito nazionale è uguale alla somma del reddito da capitale e del reddito da lavoro. Se le imprese massimizzano i profitti, e se ora la produzione aggregata è descritta da una funzione di produzione Cobb-Douglas, i parametri α e (1 α) possono essere interpretati come le quote, rispettivamente, del reddito da capitale e del reddito da lavoro sul reddito nazionale. rk Y wn Y = KαAKα 1 N 1 α = α Y (I.17) = N(1 α)akα N α = 1 α Y (I.18) Nel caso di una funzione di produzione Cobb-Douglas, le condizioni del primo ordine per la massimizzazione dei profitti sono: r + λ = f (k) = αak α 1 (I.19) w = f(k) f (k)k = (1 α)ak α (I.20) da cui si ottengono la domanda condizionata di capitale e la domanda condizionata di lavoro, ovvero la domanda di ciascun fattore in funzione del proprio prezzo, dato un certo livello dell altro fattore: K(r; N) = ( αa N r + λ N(w, K) = ( (1 α)a K w ) 1 1 α ) 1 α (I.21) (I.22) La domanda di ciascun fattore dipende negativamente dal proprio prezzo e positivamente dalla quantità dell altro fattore (complementarietà tecnologica tra fattori). I.2.3 Lo stato stazionario Dato che il mercato del lavoro è perfettamente concorrenziale, il sistema economico si trova in ogni periodo in una situazione di piena occupazione. Inoltre, se l economia è chiusa agli scambi con l estero (ed in assenza del settore pubblico) vale la condizione di equilibrio tra produzione (Y ) e spesa aggregata (C + I): Y t = C t + I t (I.23) Si noti che tale relazione ci dice anche che, in equilibrio, risparmi (Y t C t ) e investimenti (I t ) si equivalgono: S t = I t (I.24) Le famiglie risparmiano una frazione costante del reddito e affidano il risparmio alle banche. Queste ultime li usano per erogare prestiti alle imprese. Le imprese utilizzano i crediti concessi dalle banche (e/o i profitti non distribuiti agli azionisti e/o il ricavato dall emissione di nuove azioni) per acquistare nuovi macchinari. Gli investimenti sono quindi pari sia al valore degli acquisti di nuovi macchinari che ai risparmi dati in prestito alle imprese. Il tasso di interesse è la variabile che si aggiusta affinché il mercato del credito sia in equilibrio (valore degli acquisti di nuovi macchinari = risparmi). Infine, è necessario descrivere l evoluzione dello stock di capitale nel tempo. In tempo discreto, lo stock di capitale al tempo t è pari allo stock di capitale al tempo t 1 (meno la frazione di capitale resa obsoleta dal deprezzamento) più l investimento (acquisti di nuovi macchinari) deciso al tempo t 1 per il periodo t: K t = K t 1 λk t 1 + I t 1 (I.25) I-7

12 I. La crescita economica Lavorando in tempo continuo, l equazione che descrive l evoluzione dello stock di capitale è leggermente differente. La variazione dello stock di capitale è infatti definita come differenza tra gli investimenti lordi I t e gli ammortamenti: K t = I t λk t (I.26) dove si è supposto che la quota di ammortamento (λ) sia una proporzione costante dello stock di capitale. 2 Definendo y = Y/N, c = C/N, i = I/N, k = K/N possiamo riscrivere le equazioni precedenti come y = c + i (I.27) i = k + nk + λk (I.28) y = f(k) (I.29) dove l equazione (I.28) si ottiene ricordando che K = (kn) = kn + Ṅk. La (I.29) si ottiene utilizzando la proprietà delle funzioni omogenee di grado 1. Ricordiamo che tale proprietà implica che, nel caso di rendimenti di scala costanti, l imprenditore può limitarsi a scegliere un dato rapporto K N piuttosto che K e N separatamente. Si noti che l equazione (I.28) può essere riscritta come segue: k = i nk λk (I.30) Segue che poiché, come detto sopra, il risparmio è una frazione costante del reddito: y c = sy = sf(k) (I.31) e poiché in equilibrio i = sy, utilizzando l equazione (I.31) e l equazione (I.30) si ottiene un equazione differenziale non lineare (l equazione fondamentale della teoria della crescita) che descrive l evoluzione di equilibrio dello stock di capitale pro-capite: k = sf(k) (n + λ)k (I.32) L equazione indica che l economia cresce ( k > 0) se il risparmio è superiore all investimento di sostituzione. L equilibrio di lungo periodo del sistema ( k = 0) è dato dal valore di k implicitamente definito dall equazione: sf(k ) = (n + λ)k (I.33) Per determinare la dinamica di k rappresentiamo in un piano cartesiano le due componenti della (I.32). Il termine sf(k) riflette l andamento della funzione di produzione. Essendo la funzione di produzione omogenea di grado 1 e, quindi, a rendimenti di scala costanti, la produttività marginale del capitale è decrescente. La funzione (n+λ)k è, invece, una retta crescente che passa per l origine. L investimento netto ( k) è dato dalla distanza verticale tra la curva sf(k) e la retta (n + λ)k. Se sf(k) > (n + λ)k allora k > 0 e k aumenta. Al contrario se sf(k) < (n + λ)k la crescita è negativa e k si riduce con il passare del tempo. Quando sf(k) = (n + λ)k, k = 0. In questo caso lo stock di capitale per addetto è costante nel tempo e pari a k. Questo livello di k è lo stato stazionario del sistema (steady-state), una situazione in cui il livello delle variabili non cambia nel tempo, ovvero il loro tasso di crescita è nullo. Poiché la forza lavoro cresce al tasso n, in stato stazionario il risparmio del sistema economico è appena sufficiente a dotare i nuovi lavoratori della stessa quantità di mezzi di produzione di cui dispongono i lavoratori già occupati e di sostituire il capitale obsoleto. La funzione sf(k) (n + λ)k può essere rappresentata direttamente (figura I.1). L equilibrio k è stabile: infatti se k 0 < k allora k > 0; se k 0 > k allora k < 0. È importante notare che in stato stazionario, anche se il capitale pro-capite è costante, lo stock di capitale, il reddito nazionale Y e la forza lavoro crescono ad uno tasso comune n. 2 L equazione (I.26) può essere interpretata più facilmente considerando nuovamente la versione in tempo discreto. Si denoti l intervallo di tempo tra due periodi con il simbolo. Segue che: K(t) = K(t ) λ K(t ) + I(t ) dove I(t ) è l investimento (o meglio il flusso di investimenti) per unità di tempo, mentre λ rappresenta la quota di ammortamento per unità di tempo. Riscrivendo l equazione nel modo seguente K(t) K(t ) = I(t ) λk(t ) e prendendo il limite per che tende a zero si ottiene K t K(t) = I(t) λk(t), ovvero l equazione t (I.26). I-8

13 tempo, ovvero il loro tasso di crescita è nullo. Poiché la forza lavoro cresce al tasso n, in stato stazionario il risparmio del sistema economico é appena sufficiente a dotare i nuovi lavoratori della stessa quantità di mezzi di produzione di cui dispongono i lavoratori già occupati e di sostituire il capitale obsoleto. La funzione sf ( k ) ( n + λ ) k può essere rappresentata direttamente (Figura 2.1). I.2. Il modello di crescita di Solow L equilibrio k * è stabile: infatti se k0 < k *, allora k & > 0; se k 0 > k *, allora k & < 0. sf ( k ), ( n + λ ) k &k < 0 &k > 0 0 k * k &k 0 k 0 k * k Figura 2.1. La dinamica dello stock di capitale nel modello di Solow Figura I.1: La dinamica dello stock di capitale E importante notare che in stato stazionario, anche se il capitale pro-capite è costante, lo stock di capitale, Il ruolo il reddito dei rendimenti nazionale Y decrescenti e la forza lavoro in k crescono ad uno tasso comune n. In stato stazionario le variabili per unità di lavoro non crescono. Ciò sembra essere a prima vista dovuto all ipotesi di rendimenti di scala decrescenti in k che fanno sì che incrementi successivi di k producano incrementi dell output, e quindi del risparmio, via via minori e quindi, ad un certo punto, appena sufficienti a compensare l incremento 14 dell investimento di sostituzione. In realtà, come chiarisce l esercizio seguente, non sono i rendimenti di scala decrescenti tout court ma l ipotesi che la produttività marginale del capitale si annulli per k (condizione di Inada) a far sì che in stato stazionario non vi sia crescita. Esercizio I.2.1 Si consideri la funzione di produzione Y t = AK α t N 1 α t + BK t dove A e B sono parametri positivi e α (0, 1). La popolazione cresce ad un tasso n, il capitale si deprezza ad un tasso λ e il progresso tecnico g è nullo, cioè g = Si mostri che la funzione di produzione è omogenea di grado 1 e concava nel fattore capitale. 2. Si scriva la funzione di produzione in termini pro-capite. 3. Si derivi la produttività marginale del capitale e la si rappresenti graficamente. Cosa succede quando il capitale tende a +? 4. Sapendo che y t = c t +i t e i t = k+(λ+n)k t, si scriva l equazione fondamentale della crescita. 5. Si assuma per ora che B = 0. (a) Si calcoli lo stock di capitale pro-capite di stato stazionario. (b) Si offra una rappresentazione grafica del tasso di crescita dell economia k k dello stock di capitale k. in funzione (c) Si derivi il tasso di risparmio che massimizza il consumo di stato stazionario dell economia. I-9

14 I. La crescita economica (d) Cosa significa che una economia può essere dinamicamente inefficiente? 6. Si assuma ora che B > 0. Si rappresenti graficamente il tasso di crescita dell economia k k in funzione dello stock di capitale k. Sotto quale condizione un incremento del tasso di risparmio produce una variazione permanente del tasso di crescita? Effetto di variazioni di s, n e λ Cosa accade allo stock di capitale di stato stazionario (k ) in seguito ad una variazione della propensione al risparmio (s), del tasso di crescita della forza lavoro (n) o del tasso di ammortamento (λ)? Nel primo caso (figura I.2), un aumento della propensione al risparmio (s) sposta verso l alto la curva sf(k) e provoca un incremento dello stock di capitale di stato stazionario dal livello k al livello k. Un incremento del risparmio, infatti, provoca inizialmente un aumento degli investimenti netti e, nel lungo periodo, un aumento del capitale per addetto. Anche se in stato stazionario la variazione della propensione al risparmio non influenza la crescita del capitale per addetto (che continua ad essere nulla), nel passaggio da uno stato stazionario all altro lo stock di capitale pro-capite aumenta fino a k. Osservando, infatti, la parte inferiore della figura I.2, si nota che in t 0 la propensione al risparmio aumenta da s 0 a s 1 ; tra t 0 e t 1 (il solo intervallo in cui k > 0) il sistema passa al nuovo stato stazionario; in t 1 l aggiustamento è completo. Durante il processo di aggiustamento, quindi, un aumento della propensione al risparmio provoca un aumento del tasso di crescita. Se invece aumenta il tasso di crescita della forza lavoro I.3 l inclinazione della retta (n + λ)k aumenta e quindi lo stock di capitale per addetto di stato stazionario si riduce da k a k. Come nel caso precedente, in stato stazionario la crescita è nulla, ma nella transizione da uno stato stazionario all altro il tasso di crescita è negativo. L incremento del tasso di crescita della forza lavoro, non accompagnato da un pari aumento delle risorse investite in nuovo capitale, riduce la dotazione di capitale per lavoratore per addetto. Dal punto di vista grafico, un aumento del tasso di ammortamento (λ) comporta gli stessi effetti che nel caso di un aumento del tasso di crescita della forza lavoro. La riduzione dello stock di capitale in questo caso e dovuta alle maggiori risorse che l economia deve impiegare per sostenere lo stock di capitale esistente. In altre parole gli ammortamenti corrispondenti a k sono insufficienti ad arginare la velocità con cui il capitale esistente si deprezza; questa è la ragione per cui, ceteris paribus, il capitale per addetto si riduce. In conclusione, ogni aggiustamento da uno stato stazionario all altro comporta una variazione (positiva o negativa) del livello del capitale per addetto. Affinché ciò si realizzi, è necessario che le grandezze assolute del modello crescano a tassi differenziati. Ad esempio in presenza di un incremento della propensione marginale al risparmio (fermo restando il tasso di crescita della popolazione ed il tasso di obsolescenza del capitale), il capitale e la produzione aumentano più rapidamente della forza lavoro. La crescita è massima immediatamente dopo lo shock e tende gradualmente a ridursi (fino ad annullarsi in corrispondenza del nuovo stato stazionario) a causa dell andamento decrescente della produttività media del capitale pro-capite. Questo risultato si ricava immediatamente riscrivendo la (I.32) e ricordando che f (k) > 0 e f (k) < 0: k k = sf(k) (n + λ) k (I.34) dove k f(k) k rappresenta il tasso di crescita dell economia e k il prodotto medio del capitale (figura I.4). In seguito all aumento del risparmio che si verifica al tempo t 0, l economia raggiunge il nuovo equilibrio k. Supponiamo infine che una guerra o una calamità naturale riducano lo stock di capitale da k a k 0 (figura I.5). Gradualmente l economia torna a k. Di nuovo, date le ipotesi sulla funzione di produzione, il tasso di crescita è massimo all inizio del processo di aggiustamento, quindi si riduce gradualmente nel raggiungere k. I-10

15 capitale pro-capite aumenta fino a k **. Osservando, infatti, la parte inferiore della Figura 2.2, si nota che in la propensione al risparmio aumenta da s a s ; tra t e t (il solo intervallo in t cui &k > 0) il sistema passa al nuovo stato stazionario; in I.2. t 1 l aggiustamento Il modello di crescitaè di completo. Solow Durante il processo di aggiustamento, quindi, un aumento della propensione al risparmio provoca un aumento del tasso di crescita. sf ( k), ( n + λ) k s 1 f(k) s 0 f(k) 0 k * k ** k k k ** k * ( s 1 ) ( s 0 ) 0 t 0 t 1 t Figura 2.2. Un aumento Figura del risparmio I.2: Un aumento nel modello risparmio di Solow ( ) n sf ( k ), 1 + λ k ( n 0 + λ ) k Se invece aumenta ( n + il λ ) ktasso di crescita della forza lavoro (Figura 2.3), l inclinazione della retta ( n+ λ) k aumenta e quindi lo stock di capitale per addetto sf di ( stato k ) stazionario si riduce da k * a k **. Come nel caso precedente, in stato stazionario la crescita è nulla, ma nella transizione da uno stato stazionario all'altro il tasso di crescita è negativo. L incremento del tasso di crescita della forza lavoro, non accompagnato da un pari aumento delle risorse investite in nuovo capitale, riduce la dotazione di capitale per lavoratore per addetto. 0 k ** 15 k * Figura 2.3. Figura Un aumento I.3: Un aumento del tasso del di tasso crescita di crescita della forza dellalavoro forza lavoro nel modello di Solow k I-11 Dal punto di vista grafico, un aumento del tasso di ammortamento ( λ ) comporta gli stessi effetti che nel caso di un aumento del tasso di crescita della forza lavoro. La riduzione dello stock di capitale in questo caso è dovuta alle maggiori risorse che l economia deve impiegare per sostenere

16 I. La crescita economica sf ( k), k ( n + λ) sf ( k), k ( n + λ) k k ( ) sf k k ( ) sf k k ( ) n + λ k k ( ) n + λ 0 k * k ** k Figura 2.4. La dinamica del tasso di crescita in seguito ad un aumento del risparmio 0 k * k ** k Figura I.4: La dinamica del tasso di crescita in seguito ad un aumento del risparmio Figura 2.4. La dinamica del tasso di crescita in seguito ad un aumento del risparmio Supponiamo infine che una guerra o una calamità naturale riducano lo stock di capitale da k * a (Figura 2.5). Gradualmente l economia torna a k *. Di nuovo, date le ipotesi sulla funzione di oduzione, il tasso di crescita è massimo all inizio del processo di aggiustamento, quindi si riduce adualmente Supponiamo nel raggiungere infine che una k *. guerra o una calamità naturale riducano lo stock di capitale da k * a k 0 (Figura 2.5). Gradualmente l economia torna a k *. Di nuovo, date le ipotesi sulla funzione di roduzione, il tasso di crescita s f ( k) è kmassimo, all inizio del processo di aggiustamento, quindi si riduce radualmente nel raggiungere n + λ k *. s f ( k) k, n + λ n + λ &k k n + λ 0 &k k k 0 Figura 2.5. L effetto di una riduzione dello stock di capitale 0 k * k 0 k * Figura I.5: L effetto di una riduzione dello stock di capitale s f ( k ) k k s f ( k ) k k Esempio. Si consideri Figura una 2.5. funzione L effetto Cobb-Douglas di una riduzione già dello espressa stock di in capitale termini pro-capite: I-12 y = f ( k) = k α.

17 I.2. Il modello di crescita di Solow Esempio. Funzione di produzione Cobb-Douglas In termini pro-capite y = k α. In stato stazionario s (k ) α = (n + λ)k e quindi k = ( s ) 1 1 α n + λ (I.35) Considerando i valori s = 0.1, n = 0.02, 1 α = 0.7, λ = 0.05, si ha che in stato stazionario k = 1.64 e y = (k ) α = I.2.4 La golden rule e l inefficienza dinamica Il problema che si affronta in questo paragrafo è di tipo normativo. Ci si chiede come scegliere, tra tutti i possibili equilibri di lungo periodo, lo stock di capitale che garantisce il livello di consumo più elevato. Il consumo è dato dalla differenza tra reddito e risparmio: c = f(k) sf(k) (I.36) In stato stazionario k = 0 e quindi sf(k ) = (n + λ)k e quindi: c (s) = f(k (s)) (n + λ)k (s) (I.37) L espressione ricorda implicitamente che in stato stazionario il valore di k dipende dalla propensione al risparmio. Supponiamo ora che un pianificatore desideri massimizzare il consumo pro-capite in stato stazionario: max c (s) (I.38) s che equivale ad individuare un valore di s e, quindi, un certo stock di capitale in modo da massimizzare l espressione (I.37). La condizione del primo ordine del problema è: f (k ) = n + λ (I.39) che è nota come regola aurea di accumulazione (golden rule). Essa indica che il livello di capitale di cui deve dotarsi un economia affinché il consumo pro-capite sia massimo è quello in corrispondenza del quale la produttività marginale f (k) del capitale è pari alla somma del tasso di crescita della popolazione e del tasso di ammortamento. Rappresentiamo su di un grafico gli investimenti di sostituzione (n + λ)k e la funzione di produzione f(k); la differenza tra f(k) e (n + λ)k è il consumo in stato stazionario (Figura I.6). Si ricordi che ad ogni livello di k è associato un dato tasso di risparmio s, dati n e λ. Il consumo è massimo in corrispondenza di k GOLD, e cioè del punto in cui la distanza tra f(k) e (n + λ)k è massima. Un aumento di k fa aumentare il consumo di un ammontare pari a f (k) (n + λ). Conviene quindi aumentare k fino a quando l incremento di produzione è superiore all incremento dell investimento necessario a sostenere il più elevato livello di capitale (cioè fino a quando f (k) > (n + λ), la funzione di produzione è più ripida della funzione degli ammortamenti). Se invece k > k GOLD, un aumento di k comporta un incremento degli investimenti di sostituzione maggiore della produzione f (k) < (n + λ); in questo caso per aumentare il consumo occorre ridurre k. Dato un certo livello di k GOLD, l intervallo [0, k GOLD ] individua la cosiddetta regione di efficienza dinamica. In questa regione per aumentare c occorre aumentare gli investimenti, e quindi un aumento del risparmio aumenta gli investimenti, il reddito ed i consumi. Si supponga che nell istante t 0 il tasso si risparmio s aumenti. La figura I.7 illustra il sentiero di aggiustamento dell investimento ( k), del capitale (k) e del tasso di crescita del reddito procapite (Y/N). La figura I.8 quello del consumo (c). A seguito di un incremento del tasso di risparmio, il tasso di crescita del capitale e dell output pro-capite aumentano temporaneamente (nella transizione tra uno stato stazionario e l altro); lo stock di capitale invece aumenta in maniera permanente (l economia converge ad uno stato stazionario associato ad uno stock di capitale più elevato). Si noti che inizialmente, a seguito di un aumento del risparmio, c si riduce per consentire una maggiore accumulazione. La riduzione è temporanea o permanente a seconda se l economia si trova nella regione di efficienza o di inefficienza dinamica (per questo motivo nella figura I.8 il I-13

18 I. La crescita economica ( n + λ ) k, f ( k ) ( n + λ ) f [ k ( s)] c MAX 0 k c MAX 0 k GOLD k Figura 2.6. La golden rule Figura I.6: La golden rule sentiero del consumo è solo accennato). Se l economia si trova nella regione di efficienza dinamica il consumo, dopo essere diminuito, aumenta e supera il livello iniziale: l economia converge ad uno Un aumento stato di stazionario k fa aumentare associato il adconsumo un livello di di consumo un ammontare più elevato. pari In questo a f ( caso k) esiste ( n+ quindi λ ). Conviene un conflitto tra futuro e presente: per aumentare il consumo futuro occorre ridurre quello presente. In quindi aumentare k fino a quando l incremento di produzione è superiore all incremento caso contrario, se k > k dell investimento necessario a sostenere GOLD, l economia si trova invece nella regione di inefficienza dinamica, una situazione in cui l economia hail accumulato più elevato troppo livello capitaledi e un capitale incremento (cioè del fino risparmio, a quando f ( k) > n+ λ nonostante, la funzione generi un di incremento produzione degli è investimenti più ripida edella reddito, funzione riduce degli (nel breve ammortamenti). e nel lungo Se periodo) i consumi. invece k > k GOLD L analisi, un aumento è riassuntadi nella k Figura comporta I.9. La un regione incremento di efficienza degli dinamica investimenti è ottimaledi secondo sostituzione il maggiore della criterio produzione di Pareto, perché ( f ( knon ) < nè possibile + λ ); in aumentare questo ilcaso consumo per delle aumentare generazionil future consumo senza un occorre ridurre k. aumento della propensione al risparmio e, quindi, senza una riduzione del consumo delle generazioni correnti. La regione di inefficienza dinamica non è invece ottimale secondo il criterio di Pareto, perché è possibile, riducendo il saggio di risparmio, aumentare il consumo delle generazioni future Dato un certo riducendo livello l investimento di k GOLD corrente,, l intervallo e quindi aumentando 0 < k < k GOLD anche ilindividua consumo delle la generazioni cosiddetta correnti. regione di efficienza dinamica. Nel seguito In questa di questo regione capitoloper ci concentreremo aumentare sul c* progresso occorre tecnico aumentare e su alcune gli investimenti, proprietà e implicite nel modello di Solow. quindi un aumento del risparmio aumenta gli investimenti, il reddito ed i consumi. Si noti che, inizialmente, I.2.5 a seguito Crescita di un eaumento progresso del tecnico risparmio, nel modello c si riduce di Solow per consentire una maggiore accumulazione L analisi [Figura fin qui 2.7 condotta (a)]. Ciò ha evidenziato significa che che nelesiste modelloun di Solow conflitto in stato tra stazionario futuro e lapresente: crescita per aumentare il consumo del redditopresente per addettoccorre è nulla. ridurre Ma allora, quello cosafuturo. spiega nel Per lungo k > periodo k GOLD lasi crescita ha invece dei sistemi la regione di inefficienza economici? dinamica, Per una rispondere situazione a questain domanda cui l economia introduciamo ha inaccumulato questo paragrafo troppo il concetto capitale. di Una progresso tecnico (t) che riflette il fatto che il contributo produttivo dello stesso ammontare di riduzione del capitale risparmio e di lavoro riduce aumenta gli investimenti al passare del ed tempo. il reddito, Ovvero: ma aumenta (nel breve e nel lungo periodo) i consumi [Figura 2.7 (b)]. Y t = F (K t, N t, t) L analisi è riassunta nella Figura 2.8. La regione di efficienza dinamica è ottimale secondo il In quanto segue supponiamo che il progresso tecnico sia incorporato nel fattore lavoro: con il criterio di Pareto, passare perché del tempo non il fattore è possibile lavoro diventa aumentare più produttivo. il consumo Verificheremo delle generazioni che il progresso future tecnico, senza un aumento della anche propensione in assenza dial crescita risparmio della forza e, lavoro, quindi, permette senza di una spiegare riduzione perché un economia del consumo cresce delle generazioni correnti. anche lungo La nel regione lungo periodo. di inefficienza dinamica non è invece ottimale secondo il criterio di Pareto, perché è possibile, riducendo il saggio di risparmio, aumentare il consumo delle generazioni I-14 future riducendo l investimento corrente, e quindi aumentando anche il consumo delle generazioni correnti.

19 I.2. Il modello di crescita di Solow Figura I.7: Incremento del tasso di risparmio: il sentiero dell investimento e del reddito durante il processo di aggiustamento Figura I.8: Incremento del tasso di risparmio: il sentiero del consumo durante il processo di aggiustamento I-15

20 I. La crescita economica f ( k), n + λ f ( k) n+λ 0 efficienza dinamica k GOLD inefficienza dinamica k Figura I.9: Regioni di efficienza ed inefficienza dinamica Figura 2.8. Regioni di efficienza ed inefficienza dinamica Definiamo la forza lavoro effettiva N t come: N t = N t e gt = N 0 e (g+n)t dove abbiamo supposto che la forza lavoro N t cresca al tasso n. Supponiamo ora che la produzione dipenda dalla forza lavoro effettiva Y t = F (K t, N t ) L equazione fondamentale della crescita è: 20 K = sf (K t, N t ) λk t (I.40) Se la funzione di produzione è omogenea di grado 1 (cioè a rendimenti di scala costanti), è possibile esprimere le variabili in termini di unità di lavoro effettive. Dividendo la (I.40) per N t, si ottiene: k = sf(k t ) (λ + n + g)k t (I.41) dove ora k t = Kt N te. gt L equazione indica che lo stock di capitale per unità di lavoro effettiva cresce se il risparmio è maggiore dell investimento di sostituzione. Quest ultimo comprende l ammortamento, le risorse investite per dotare di capitale i nuovi lavoratori e le unità di capitale aggiuntive distribuite in ogni periodo ai lavoratori divenuti più efficienti. Verifichiamo ora che l introduzione del progresso tecnico assicura una crescita costante del reddito nazionale e del reddito per addetto, anche se il capitale ed il reddito per unità di lavoro effettivo sono costanti in stato stazionario. Infatti, in equilibrio ( k = 0) si ha: sf(k ) = (λ + n + g)k (I.42) che implicitamente definisce un livello costante di k (e quindi di y) in stato stazionario; dal punto di vista grafico, l unica differenza con il modello senza progresso tecnico è data dal fatto che la retta (λ + n + g)k è più inclinata. Si noti ora che anche se y è costante, il reddito nazionale Y cresce al tasso (n + g): Y = y N 0 e (n+g)t (I.43) I-16

21 I.2. Il modello di crescita di Solow Inoltre il reddito pro-capite: Y N = y e gt cresce al tasso g. È facile verificare che anche il salario cresce al tasso g. Infatti: Y N = (I.44) [ Ne gt f ( )] K Ne gt = e gt [f(k) kf (k)] (I.45) N Come in precedenza, in stato stazionario, la crescita n + g è indipendente dalla tecnologia e dal risparmio. Tuttavia, variazioni nei parametri n, g, λ e s influenzano il livello del capitale per unità di lavoro effettiva (generando crescita positiva o negativa di k nel passaggio da uno stato stazionario all altro), in modo analogo a quanto visto nelle Figure I.2 e I.3; naturalmente la retta degli investimenti di sostituzione e più inclinata a causa della presenza del parametro g. Dividendo la (I.41) per k, si ottiene un espressione del tasso di crescita del capitale per unità di lavoro effettivo: k k = sf(k t) (λ + n + g) = s(ap k) (λ + n + g) (I.46) k dove AP k, decrescente per le ipotesi fatte sulla funzione di produzione, rappresenta il prodotto medio di k, il cui andamento dipende dalla produttività marginale di k. Affinché si abbia crescita è necessario, quindi, che la produttività media del capitale sia sufficientemente elevata. I.2.6 La convergenza del reddito Consideriamo due economie A e B con la stessa propensione al risparmio s, lo stesso tasso di ammortamento λ lo stesso tasso di crescita della forza lavoro n e del progresso tecnico g. Le due economie sono quindi caratterizzate dallo stesso stato stazionario k. Le due economie, tuttavia, hanno inizialmente uno stock di capitale diverso, con k A < k B. Ne segue che AP k A > AP k B. L equazione (I.46) indica che l economia A cresce ad un tasso maggiore dell economia B. Quindi le due economie, nel lungo periodo, convergeranno allo stesso stato stazionario; questa proprietà del modello è indicata con il termine di convergenza assoluta. Poiché la crescita del reddito è proporzionale alla crescita dello stock di capitale, nel lungo periodo anche il reddito per addetto dei due paesi converge. Se le due economie, invece, sono caratterizzate da valori di (n, s, g, λ) diversi tra loro, ciascuna converge ad uno stato stazionario diverso. Tuttavia, la proprietà della convergenza condizionata stabilisce che il tasso di crescita ρ di ciascuna economia sarà tanto maggiore, quanto più essa è lontana dal proprio stato stazionario. Infatti dalla (I.46) e ricordando che sf(k ) = (λ + n + g)k si ha che: ( ) AP k ρ = (λ + n + g) AP k 1 (I.47) e quindi che il tasso di crescita di un economia è tanto maggiore quanto maggiore è il rapporto tra la produttività media del capitale AP k e la produttività media del capitale di stato stazionario AP k. I.2.7 Il modello di Solow e le questioni poste dalla teoria della crescita Effetti dell accumulazione di capitale fisico sul livello del reddito di lungo periodo Secondo il modello di Solow, le differenze nell output per lavoratore (nel tempo o tra paesi) sono dovute o a differenze nello stock di capitale per lavoratore K/N o a differenze nella produttività del lavoro A. Tuttavia empiricamente le differenze in K/N non possono spiegare né l evoluzione dell output pro-capite nel tempo né le differenze attuali tra paesi nel livello di output pro-capite. Supponiamo che si voglia spiegare la differenza nel reddito tra 2 paesi per un fattore pari a X. Questo implica che ln y A ln y B = ln X e quindi α ln k A α ln k B = ln X e ln k A ln k B = ln X/α. Per cui k A /k B = X 1/α. L output pro-capite è aumentato negli ultimi 100 anni di un fattore pari a 10 (X = 10). Analogamente, l output pro-capite nei paesi ricchi è circa 10 volte maggiore rispetto ai paesi poveri. Se α = 1/3, il modello di Solow predice una differenza nel capitale pro-capite per un fattore pari I-17

22 I. La crescita economica VOL. 78 NO. 5 DE LONG: PRODUCTIVITY GROWTH 'S +? ) East Germany 2a Y+ + E a Spain++ + *; > 1 ~~~~~Ireland+ ++ +New Zealand 14 Chile Portugal + + E) 1. + Argentina Log Per Capita Income in 1870 FIGURE PER CAPITA INCOME AND SUBSEQUENT GROWTH FOR THE ONCE-RICH TWENTY-TWO Figura I.10: Fonte: De Long (1988) 1870 possess the social capability for rapid The second poorest of Maddison's sixteen aindustrialization; 10 3 = Il rapporto including traas capitale many nations e output è invece 1870 grosso was Finland. modo costante Taking nel Finland's tempo, 1870 il che implica in Baumol's che lo sample stock dias capitale possible; perand lavoratore building è aumentato income solo as a di cutoff circa 10 leads volte. to Analogamente, a sample in laas differenza large a sample tra paesi as possible. nel rapporto tra capitale e lavoro which è invece Japan solo is removed, di 20-30while volte. Argentina, Di One conseguenza, cannot proceed le differenze by pursuing nell output this last per lavoratore Chile, East devono Germany,9 essere dovute Ireland, a differenze New Zea- nel parametro goal at the Aexpense che viene of the spesso others: indicato one should con il termine land, di Portugal, produttività and Spain totaleare dei added. fattori Growth (Total Factor not form Productivity: a regression TFP), sample ma in by questo including contesto può and anche initial riflettere per capita altri income fattori, levels quali for il livello this all nations for which 1870 income estimates resulting "once-rich twenty-two" sample are di istruzione della forza lavoro, la qualità delle infrastrutture, la capacità di assicurare i diritti can be generated. Few would argue that the plotted in Figure 2.10 di proprietà o una combinazione di questi elementi. Da cosa sono date tali differenze? Perché failure of, say, India to converge is evidence in alcuni paesi i lavoratori sono più produttivi against the convergence hypothesis. Even if che in altri? Cosa determina l accumulazione di conoscenze? 9Perhaps only nations that have remained capitalist nations that were not seen as having high should be included in the sample, for occupation by the growth Alternativamente, potential are siremoved, può immaginare an all-inclu- che l importanza Red Army del and capitale subsequent nelrelative modello economic di Solow stagnation sia in realtà sive maggiore sample se suffers per capitale from si selection intende un bias. concetto has più no ampio bearing che on whether comprende the forces non making solo il capitale for confisico vergence among industrial capitalist economies are Long-run ma anche, national per accounts esempio, are il capitale luxuries. umano Na- o se il capitale fisico genera esternalità positive. strong. There is only one centrally planned economy in tions Su questi likely to temi have torneremo the historians nella sezioni and archi- I.3 e I.4. the unbiased sample, and its removal has negligible ves necessary to construct such accounts are quantitative effects on the estimated degree of convernations that have converged. gence. 1 Esercizio If the convergence I.2.2 Utilizzando club membership una funzione cutoff di produzione A strong Cobb-Douglas case can be y made = k α for con including α = 1/3, Czech- si individui oslovakia and Hungary in this extended sample even is set low il reddito enough dito stato include stazionario all Maddison's e si calcoli l elasticità del reddito di stato stazionario rispetto though estimates of their 1870 per capita GNP fall just alsixteen, tasso dithen risparmio. nations Quanta with 1870 parte della incomes differenza below nel that reddito of Finland. di stato Bohemia stazionario was industrializing può essere at a spiegata above 300 da differenze 1975 dollars nel tasso are included. di risparmio? This pace equal to that of Austria (see Ivan Berend and sample covers half the world. All Europe Gyorgy Ranki, 1974, David Good, 1984, 1986, and Nachum Gross, 1973). William Ashworth (1977) and Evidenza including empirica Russia, all sulle of South ipotesi America, di convergenza and John condizionata Komlos (1983) believe e assoluta respectively that the areas perhaps others (Mexico and Cuba?) were that were to become Czechoslovakia and Hungary grew Viste richer inthan una Japan prospettiva in di This lungosample periodo, does le differenze faster than tra the paesi area around sembrano Vienna aumentare, over 1870 and cioè i paesi not provide sembranoa divergere: fair test of prima convergence. della rivoluzione The It industriale is this rapid ilgrowth reddito that, eracombined intornowith al livello Bairoch's di sussistenza. Japanese miracle Oggi una is a parte miracle della largely popolazione because mondiale (1981) è estimate ricca e un altra of the relative parte income (maggiore) gap between ancora Austria on the one hand and Czechoslovakia and athere livelliwas di sussistenza. little sign in In1870 effetti, that non Japan-or vi è evidenzahungary di convergenza the other, assoluta: places their cioèestimated non è vero 1870 che per i paesi any poveri nation tendano as poor aas crescere Japan-was più rapidamente a candi- dei capita paesi income ricchi below (De Long, Finland's 1988) and come so leads mostra to their la figura date for I.10. rapid industrialization. exclusion from the sample. Tuttavia, bisogna considerare che i vari paesi differiscono sotto diversi aspetti quali il tasso di risparmio, la produttività totale dei fattori o il tasso di crescita della popolazione. In questo caso il modello di Solow non predice semplicemente che il paese con uno stock di capitale minore cresca più velocemente. Predice invece che il tasso di crescita di un economia sarà tanto maggiore quanto più è distante dal proprio stato stazionario (convergenza condizionata) come discusso nella sezione I.2.6. In effetti l ipotesi di convergenza trova conferma se si guarda a gruppi di paesi omogenei (per esempio gli stati degli USA, i paesi membri dell Unione europea o i paesi OCSE), come mostra I-18

23 I.2. Il modello di crescita di Solow 1140 THE AMERICAN ECONOMIC REVIEW DECEMBER 1988 S3 2.8 o c3j2.6 J~apan psweden?c Finland Germany S +~Nr Canada 2 Austria + + United States enmark *Q 1. 8 Italy + Switzerland () - etherlands egm 1.4 % 12 France United Kingdo 0 Australia Log Per Capita Income in 1870 FIGURE 1. PER CAPITA GNP REGRESSION FOR MADDISON'S SIXTEEN Figura I.11: Fonte: De Long (1988) opposite errors in growth and dustrialization prospects in 1870 that have la bias figura the I.11, regression oppure se slope nell analisi toward empirica -1. As si tiene not conto since delle fulfilled determinanti their potential.7 del reddito di stato stazionario Baumol notes, (Mankiw such eterrors al., 1992). can produce the The construction of this sample requires illusion of an inverse relationship between judgment. Per capita income in 1870 must be I.2.8 income in Contabilità 1870 and growth della since. crescita: contributo estimated for dei nations fattori in the produttivi extended sample alla The unbiased crescita sample used here meets three but not in Maddison's sixteen. The estimacriteria. First, it is made up of nations that tion of 1870 income is discussed in the Ap- Questa had high sezione potential cercafor dieconomic individuare growth le determinanti as of pendix.8 della crescita Changes di lungo in periodo. national boundaries 1870, Se in unawhich funzione modern di produzione economic growth è omogenea had di grado must be 1 (rendimenti dealt with; di this scala paper costanti), uses modern il tasso di begun crescita to del take reddito hold by nazionale the middle è pariof allathe somma boundaries del tasso di throughout. crescita della The forza level lavoro of 1870 e del tasso nineteenth di crescita century. dellosecond, stock diinclusion capitale, in conthe pesi dati income dalle to rispettive serve as quote a cutoff sul reddito for inclusion nazionale. in Consideriamo sample is not anche conditional che la produzione on subsequent aumenta, oltre the sample che permust effetto be di set. unthe aumento choice dello of cutoff stock di rapid capitale growth. e della Third, quantità the di sample lavoro, matches anche per level effettoitself del progresso requires balancing tecnico. Lathree funzione goals: di produzione Baumol's as è closely quindi: as possible, both because including only nations which really did in the best data exist for Y Maddison's (t) = F (K(t), sixteen N(t), t) = F (K(t), A(t)N(t)) (I.48) and because analyzing an unbiased sample dove close abbiamo to Baumol's supposto shows chethat il progresso different tecnico con- A(t) è incorporato nel fattore lavoro. Derivando la clusions funzionearise di produzione not from rispetto different al estimates tempo si ottiene: Alternative measures of prospects for development but from removing sample selection and er- in 1870, such as per capita industrial production or the proportion of the labor force in agriculture, would serve rors in variables' biases. Ẏ = Y as well but would make little quantitative difference. Per capita income in 1870 is an obvious K K + Y N Ṅ + Y A A (I.49) The correlations for the sample of Maddison's sixteen dividendo measure of per whether Y : a nation was sufficiently between 1870 per capita GNP and 1870 labor productechnologically literate and Ẏintegrated into tivity and share of the labor force in agriculture are.98 world trade in 1870 to be counted among the and.84, respectively. Y = Y K K K K Y + Y Ṅ N N N8The Y + Y A A (I.50) estimates A A Yof 1870 per capita income arrived at potential convergers. Nations with high in- Se i mercati sono concorrenziali, le produttività marginali the Appendix sono uguali are not aiprecise prezzienough dei fattori to be used produttivi: for comes in 1870 were nations with the material assessing the history and development of any individual and human resources to industrialize. Mod- country. They do, however, serve adequately as the raw Ẏ ern economic growth had already pushed material for a comparative exercise like that carried out here in which explicit econometric correction is made real incomes far above Y = rk K the levels Y K + wn Ṅ of the Y pre- N + σ = α K + (1 α)ṅ K N + σ (I.51) for errors in variables and in which errors in measuring dove industrial rk Y = world. α e wn Y And = 1 such α rappresentano a sample does le quote nineteenth dei redditi century dei per fattori capita income produttivi for any sul one reddito nation nazionale, not exclude e il simbolo nations σwhich indicahad il residuo good diin- Solow, can cioè have la only parte a limited della crescita effect. che non può essere attribuita né al fattore capitale né al fattore lavoro. Si noti che l equazione (I.50) è sempre valida; l equazione (I.51) vale invece solo se i mercati sono concorrenziali. L equazione (I.51) può essere riscritta come: ( ) Ẏ Y Ṅ K N = α K Ṅ + σ (I.52) N I-19

24 I. La crescita economica che esprime il tasso di crescita del reddito per addetto in funzione del tasso di crescita del capitale per addetto. I tassi di crescita di Y, K e L sono facilmente osservabili. Inoltre, se capitale e lavoro sono remunerati al prodotto marginale α rappresenta la quota del reddito attribuibile al capitale. Pertanto, σ può essere misurato in maniera residuale usando l equazione (I.52) che definisce implicitamente il progresso tecnico come la differenza tra il tasso di crescita del reddito per addetto e il tasso di crescita del capitale per addetto. σ = ẏ y α k k (I.53) L equazione (I.53) offre uno strumento per individuare il contributo del capitale, del lavoro e del termine residuo, il residuo di Solow, alla crescita dell output. Spesso il residuo di Solow viene interpretato come una misura del progresso tecnologico. In realtà, come mostra la derivazione, riflette il contributo di tutti i fattori che contribuiscono alla crescita diversi dal contributo dell accumulazione del capitale attraverso il suo rendimento privato. 3 Si noti inoltre che la contabilità della crescita esamina solo le determinanti immediate della crescita. Considera, per esempio, l impatto dell accumulazione di capitale ignorando le cause che inducono un paese ad accumulare capitale. Nonostante questi limiti questo esercizio è stato utile per interpretare numerosi fenomeni. Solow (1957), per esempio, verifica che nel periodo negli Stati Uniti il residuo rappresenta la componente principale della crescita del reddito per addetto. Young (1995) mostra invece che la crescita dei paesi dell Asia dell est è dovuta quasi interamente alla crescita degli investimenti, all incremento della forza lavoro e alla migliore istruzione. Esempio. Funzione di produzione Cobb-Douglas Nel caso di una funzione di produzione Cobb-Douglas con progresso tecnico incorporato nel fattore lavoro: Y t = AKt α ( Nt e gt) 1 α (I.54) il tasso di crescita della produzione può essere agevolmente calcolato prendendo i logaritmi della (I.54): ln Y t = ln A + α ln K t + (1 α) ln N t + (1 α)gt (I.55) e derivando rispetto al tempo: Y t K = α t + (1 α)n + (1 α)g Y t K t } {{ } σ (I.56) per ottenere la (I.56) abbiamo supposto che il tasso di crescita della forza lavoro sia costante e pari a n. L equazione (I.56) può essere riscritta come segue: Y σ = t K α t (1 α)n Y t K t (I.57) L equazione (I.57) è del tutto equivalente all equazione (I.53) e mostra come il parametro σ possa essere stimato utilizzando dati macroeconomici sulla crescita del PIL, del capitale, dell occupazione, nonché dati sulle quote di reddito del capitale e del lavoro. Per comprendere come utilizzare l equazione (I.57) si considerino, a scopo esemplificativo, i dati macroeconomici di due paesi immaginari, Tecnolandia e Risparmiolandia, illustrati nella tabella I.3. Si noti che in entrambi i paesi l output pro-capite cresce ad un tasso pari al 8% 4% = 4%. La tabella I.4 illustra il contributo alla crescita del capitale, del lavoro e del progresso tecnologico in ciascuno dei due paesi. Il valore di σ, utilizzando l equazione (I.57), si ottiene sottraendo dalla colonna 1 i valori delle colonne 2 e 3 moltiplicati per α e 1 α entrambi pari a 0.5 in questo esempio. 3 Questo esercizio di contabilità della crescita può essere modificato in modo da tenere conto non solo della presenza di differenti tipi di capitale o di variazioni nella qualità dell input lavoro ma anche del fatto che i mercati possano non essere perfettamente concorrenziali. I-20

25 I.3. Il modello di Solow con capitale umano Tabella I.3: Tassi di crescita annuali medi PIL Stock di capitale Occupazione 1 α Tecnolandia 8% 10% 4% 0.5 Risparmiolandia 8% 12% 4% 0.5 Ottenuta una stima di σ, utilizzando il modello di Solow possiamo predire l effetto dei differenti tassi di crescita della produttività totale dei fattori (σ) sulla crescita di lungo periodo del PIL procapite nei due paesi. Infatti, dal modello di Solow sappiamo che ẏ/y = g e poiché g = σ/(1 α) si ottiene ẏ/y = σ/(1 α). Sfruttando quest ultima relazione, la tabella I.5 illustra le previsioni di crescita di lungo periodo del PIL nei due paesi. Tabella I.4: Contributo alla crescita dei fattori produttivi Crescita del PIL Stock di capitale Occupazione σ Tecnolandia 8% 5% 2% 1% Risparmiolandia 8% 6% 2% 0% Sulla base della tabella I.5 ci si può aspettare che il PIL di lungo periodo di Tecnolandia cresca a tassi più elevati perché, nel passato, tale paese si è rivelato capace di introdurre innovazioni che hanno migliorato la produttività dei fattori. Risparmiolandia, invece, è cresciuta nel passato principalmente grazie all accumulazione di capitale. Secondo il modello di Solow, però, l accumulazione di capitale non può generare crescita di lungo periodo a causa della presenza di rendimenti di scala decrescenti. Tabella I.5: Previsione della crescita di lungo periodo del PIL σ 1 α Previsione Crescita PIL Tecnolandia 1% 0.5 2% Risparmiolandia 0% 0.5 0% I.3 Il modello di Solow con capitale umano Come visto nella sezione I.2.7, le differenze nella dotazione di capitale per addetto non possono spiegare le differenze nel reddito pro capite. In questa sezione consideriamo quindi la possibilità che il concetto di capitale (cioè di input accumulabile) vada esteso fino a considerare la dotazione di capitale umano (formazione lavoro, istruzione) per valutare il ruolo che può avere sulla crescita economica. Mankiw et al. (1992) hanno proposto un modello in cui la funzione di produzione comprende tra i suoi argomenti anche il capitale umano (H); cioè: Dividendo per AN si ottiene: Y = K α H β (AN) 1 α β y = k α h β Lo stock di capitale fisico e lo stock di capitale umano crescono se il risparmio è superiore all investimento di sostituzione: In stato stazionario k = ḣ = 0, e quindi: k = s k y (n + g + λ)k ḣ = s h y (n + g + λ)h s k k α h β = (n + g + λ)k (I.58) s h k α h β = (n + g + λ)h (I.59) I-21

26 I. La crescita economica da cui: h = s h s k k Dividendo la (I.58) per k, raggruppando i termini e risolvendo si ottengono i valori di steady-state dei due stock di capitale: k = h = [ s β h s1 β k n + g + λ ] 1 1 α β [ s 1 α h s α ] 1 1 α β k n + g + λ Sostituendo nella funzione di produzione y = k α h β e prendendo i logaritmi si ottiene: (I.60) (I.61) α ln y = 1 α β ln s β k + 1 α β ln s h α + β ln(n + g + λ) 1 α β = β 1 ln s k + β 2 ln s h + β 3 ln(n + g + λ) (I.62) Mankiw et al. (1992) stimano l equazione (I.62) e sottopongono a test il vincolo β 1 + β 2 + β 3 = 0. Si noti che nel caso in cui il capitale umano non influenza la funzione di produzione (y = k α ), l equazione (I.62) si riduce a ln y = α 1 α ln s k α ln(n + g + λ) 1 α = β 1 ln s k + β 2 ln(n + g + λ) In questo caso il vincolo tra i coefficienti da sottoporre a test è β 1 + β 2 = 0. Inoltre, se α = 0.3 i coefficienti stimati dovrebbero essere β 1 = 0.43, β 2 = L analisi empirica condotta da Mankiw et al. (1992) conferma l influenza del tasso di crescita della popolazione e del tasso di risparmio per la determinazione del livello del reddito pro-capite nella direzione indicata da Solow. Inoltre, il capitale umano, misurato dai tassi di scolarità, migliora la qualità delle stime. In questo caso il vincolo β 1 + β 2 + β 3 = 0 non è rifiutato dai dati, e suggerisce valori di α e β realistici. Anche la proprietà di convergenza condizionata del modello di Solow trova conferma empirica: controllando per i tassi di risparmio e di crescita della popolazione, i paesi con livello di reddito iniziale inferiore crescono più velocemente, in particolare quando si considera l effetto del capitale umano (in questo caso il tasso di convergenza è del 2% circa). Più recentemente, Klenow & Rodriguez-Clare (1997) e Hall & Jones (1999) hanno cercato analizzare le determinanti delle differenze di reddito tra paesi decomponendole in differenze nel capitale fisico, capitale umano e restanti fattori. Essenzialmente, ripropongono un esercizio di contabilità della crescita, confrontando però diversi paesi in un dato istante di tempo invece di seguire l evoluzione di un determinato paese nel tempo. Hall & Jones (1999) trovano che l output medio per lavoratore nei cinque paesi più ricchi del loro campione è maggiore dell output medio per lavoratore nei cinque paesi più poveri di circa 31.7 volte. Circa un sesto di questo gap è dovuto a differenze nel rapporto capitale lavoro e meno di un quarto a differenze nel capitale umano. Il resto (più della metà) è dovuto a differenze nella produttività totale dei fattori. Klenow & Rodriguez-Clare (1997) raggiungono conclusioni analoghe. In conclusione, considerando anche quanto visto nella sezione I.2.7, l accumulazione di capitale sia fisico che umano non è in grado di spiegare (se non in parte) né l evoluzione dell output procapite nel tempo né le differenze attuali tra paesi. Poiché in entrambi i casi un ruolo determinante sembra essere assunto dalla produttività totale dei fattori (il termine A), analizziamo di seguito un modello nel quale questa è endogena. I.4 Il modello di Solow con ricerca e sviluppo Nella versione appena discussa del modello di Solow i rendimenti associati all insieme dei fattori produttivi accumulabili sono decrescenti. Pertanto, la crescita di lungo periodo è possibile solo in presenza di progresso tecnologico, assunto esogenamente. Tuttavia, il progresso tecnologico dipende I-22

27 I.4. Il modello di Solow con ricerca e sviluppo dalle decisioni degli agenti economici. Per questo motivo, questa sezione analizza un modello nel quale il progresso tecnico è endogeno e dipende dall evoluzione nel tempo (anch essa endogena) dell accumulazione di conoscenze. Ovviamente, si possono fare differenti ipotesi sul modo nel quale le conoscenze vengono prodotte e su cosa determini l allocazione delle risorse nella produzione di conoscenza. Ad esempio, si può considerare l attività di ricerca e sviluppo condotta dalle imprese allo scopo di innovare i processi produttivi o creare nuovi prodotti. In alternativa, si può immaginare una situazione nella quale il processo di apprendimento dei lavoratori (learning by doing) accresce la capacità produttiva del sistema economico. Ancora, come visto sopra, si può considerare la presenza tra i fattori produttivi del capitale umano, anch esso accumulabile come il capitale fisico attraverso le scelte di istruzione degli individui. Per una trattazione completa si rimanda al capitolo 3 di Romer (2006). In questa sezione consideriamo una semplice estensione del modello di Solow con due settori. Si tratta di una versione semplificata di Romer (1990), Grossman & Helpman (1991) e Aghion & Howitt (1992) nella quale un settore produce beni e l altro produce conoscenza (idee, brevetti,... ) attraverso l attività di ricerca e sviluppo (R&S). I.4.1 Ipotesi Si assume che una frazione a L della forza lavoro viene utilizzata nel settore R&S e una frazione 1 a L nel settore che produce beni. Analogamente, una frazione a K del capitale viene utilizzato nel settore R&S e una frazione 1 a K nel settore che produce beni. Sia a L che a K sono esogeni e costanti. Poiché l utilizzo di un idea in un settore non impedisce che la stessa venga utilizzata altrove, entrambi i settori utilizzano l intero stock di conoscenza A. L output prodotto al tempo t è: Y (t) = [(1 a K )K(t)] α [A(t)(1 a L )L(t)] 1 α (I.63) con 0 < α < 1. Si noti che la funzione di produzione è a rendimenti di scala costanti negli input capitale e lavoro, data la tecnologia A(t). La produzione di conoscenza dipende anch essa dalla quantità di capitale e lavoro utilizzati e dalla tecnologia: A(t) = B [a K K(t)] β [a L L(t)] γ A(t) θ (I.64) con B > 0, β 0 e γ 0. Si noti che la funzione di produzione di conoscenza non ha necessariamente rendimenti di scala costanti negli input capitale e lavoro. Può avere sia rendimenti crescenti che decrescenti: dipende da β + γ. Il parametro θ misura invece l effetto dello stock di conoscenza esistente sulla produzione di nuove idee. Si assume che possa essere sia positivo che negativo. Infine si assume, come nel modello standard, K(t) = sy (t) e L(t) = nl(t). Il tasso di deprezzamento del capitale è nullo per semplicità. Questa versione del modello di Solow è più complicata della versione standard perché vi sono due variabili di stato, K e A. I.4.2 Dinamica della conoscenza e del capitale La dinamica di K si ottiene sostituendo l equazione (I.63) nell espressione dell accumulazione di capitale K(t) = sy (t): K(t) = s [(1 a K )K(t)] α [A(t)(1 a L )L(t)] 1 α (I.65) Dividendo per K(t) e definendo c K = s(1 a K ) α (1 a L ) 1 α si ottiene: g K (t) K(t) [ ] 1 α A(t)L(t) K(t) = c K (I.66) K(t) Prendendo i logaritmi e differenziando rispetto al tempo si ottiene: ġ K (t) g K (t) = (1 α)[g A(t) + n g K (t)] I-23 (I.67)

28 I. La crescita economica Figura I.12: Dinamica del tasso di crescita del capitale L equazione (I.65) implica che g K (t) è positivo. L equazione (I.67) implica che g K (t) cresce se g A (t)+n g K (t) è positivo, decresce se g A (t)+n g K (t) è negativo ed è costante se g A (t)+n g K (t) è nullo, come sintetizzato nel grafico I.12 nello spazio (g A, g K ), nel quale il luogo dei punti tali che g K è costante ha intercetta n e pendenza pari a 1. Al di sopra della semiretta g K decresce, al di sotto cresce. Analogamente, dividendo l equazione (I.64) per A(t) e definendo c A = Ba β K aγ L si ottiene: g A A(t) A(t) = c AK(t) β L(t) γ A(t) θ 1 Prendendo i logaritmi e differenziando rispetto al tempo si ottiene: ġ A (t) g A (t) = βg K(t) + γn + (θ 1)g A (t) (I.68) (I.69) L equazione (I.64) implica che g A (t) è positivo. L equazione (I.69) invece implica che g A (t) cresce se g K (t) > γn/β + ((1 θ)/β)g A (t), decresce se è minore ed è costante se g K (t) = γn/β + ((1 θ)/β)g A (t). Il grafico I.13 raffigura il caso θ < 1 nello spazio (g A, g K ), nel quale il luogo dei punti tali che g A è costante ha intercetta nγ/β e pendenza positiva pari a (1 θ)/β. Al di sopra della semiretta g A cresce, al di sotto decresce. Si noti, dall equazione(i.64), che i rendimenti di scala nei fattori accumulabili K e A dipendono dalla somma di β e θ. Se β + θ < 1 vi sono rendimenti di scala decrescenti, se β + θ = 1 rendimenti di scala sono costanti e se β + θ > 1 rendimenti di scala sono crescenti. Per discutere la dinamica del sistema è necessario distinguere differenti casi. Di seguito consideriamo il caso β + θ < 1 e il caso β + θ = 1 con n = 0. Per i restanti casi (β + θ > 1 e β + θ = 1 con n > 0) si vedano gli esercizi I.4.2 e I.4.3. Caso 1: β + θ < 1 Se β + θ < 1 segue che (1 θ)/β > 1. Quindi il luogo dei punti tali che g A è costante ha una pendenza maggiore del luogo dei punti tali che ġ K = 0. Questo è il caso rappresentato nella figura I.14. I valori iniziali di g A e g K sono determinati dai valori dei parametri del modello e dai valori iniziali di A, K e L. La dinamica è determinata dalla direzione delle frecce rappresentate nella figura. Il sistema, per qualsiasi valore iniziale di g A e g K, converge al punto E nel quale sia ġ A che ġ K sono pari a zero. I-24

29 I.4. Il modello di Solow con ricerca e sviluppo Figura I.13: Dinamica del tasso di crescita dello stock di conoscenza Figura I.14: Dinamica dei tasso di crescita del capitale e dello stock di conoscenza nel caso β+θ < 1 I-25