CALCOLI SUL PIANO DI GAUSS Esercizi tratti da Monti, Pinto, Trattamento dei dati topografici e cartografici,clup

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1 CORSO DI TOOGRAFIA A - A.A SRCITAZIOI CALCOLI SUL IAO DI GAUSS sercizi tratti a Monti, into, Trattamento ei ati toporafici e cartorafici,clup SRCIZIO Si vuol calcolare lunhezza e azimut i un arco i eoetica, note le coorinate aussiane ei ue estremi. Si consierino i ue vertici trionometrici el I orine e Q i cui venono fornite le monorafie. unto : 0569 ome : Cascina Morentone (954) Belveere ella cascina. Or. I Comune : S. Benino Canaese (TO) Asse eometrico el belveere. Georafiche ϕ λmm Gauss -Boaa unto Q: ome : Monteforte (Chiesa parr. le ) (959) Campanile ella chiesa Or. I Comune : arzi () Asse eometrico el campanile. Georafiche ϕq λqmm Gauss -Boaa Q Q Distanza ellissoiica fra e Q? Azimut ella eoetica Q in? ) Calcolo elle coorinate epurate ella falsa oriine: ,9 m

2 Q Q Q ,0 m ) Calcolo ellanolo θq: Q ϑ Q Q arctan π ra Q ϑ Qra ϑ Qon 00 5 π.3 Lanolo i irezione θq vale 5.3. er eterminare lazimut è necessario conoscere la converenza el meriiano γ e lanolo i riuzione alla cora ε Q.

3 θq sarà espresso alla somma: ϑ γ ε Q ϑ Q Q 3) Calcolo ella converenza el meriiano γ : Sono note le lonituini el meriiano centrale el fuso λmc 9 e el meriiano i riferimento Monte Mario λmm : λ λ λ MC MM mm La lonituine i rispetto al meriiano centrale el fuso ovest vale: λ mc λmm λmm λmc La lonituine λmc in rai sessaesimali [ ],40389 ra

4 La converenza el meriiano: 3 e hayfor γ cos cos λmc senϕ λmc ϕ ϕ ra e hayfor 4) Calcolo el raio i curvatura ella sfera locale in un punto meio R ϕ ϕ Q ϕ ra W hayfor e sen ϕ 0, ρ a hayfor ( e ) W 3 hayfor ,64 m a W hayfor ,9m R ρ ,87 m 5) Calcolo ella correzione anolare alla cora ε Q : ε Q ( ) ( ) Q R Q ) Calcolo ellazimut θq: ϑ Q ϑq γ ε Q ) Calcolo el moulo i eformazione lineare m : m Q R Q

5 8) Calcolo ella istanza (lunhezza arco i eoetica) Q ( ) ( ) m piano Q Q 307 m piano eo m SRCIZIO Applicazione ella carta i Gauss per calcoli toporafico-ineneristici. Il proetto i una alleria fornisce le coorinate sul piano i Gauss- Boaa ellinresso e elluscita ella stessa, la quota h i inresso e i sbocco e le coorinate cartorafiche i un terzo punto i riferimento per la irezione ellasse ella alleria. Determinare: - la lunhezza reale ella alleria; - lanolo zenitale ella irezione asse allimbocco, assunto un coefficiente i rifrazione k pari a 0.5; - lanolo orizzontale ella irezione asse, misurato in senso orario, compreso fra le irezioni efinite al punto i inresso () e al punto i riferimento (), al punto inresso () e al punto i sbocco (). Sono noti: R 6370 km e le monorafie ei punti, e. unto m m h 30. m unto m m h m unto m m --- ) Calcolo ella lunhezza reale ella alleria ,3 m ,70 m

6 Calcolo el moulo i eformazione : m R Calcolo ella lunhezza ella alleria: ( ) ( ) 750. m piano 49 m piano eo m Infine, note le quote ei ue punti estemità e applicano il teorema i Carnot: δ ra eo R 0, RAL cosδ m La lunhezza reale ella alleria è i 7 km e m.

7 ) Calcolo ellanolo zenitale ellasse allimbocco Calcolo ellanolo zenitale teorico: Applicano il teorema ei seni al trianolo 0 RAL R h senδ sen Z arcsen ( 00 Z ) ( R h ) RAL R h senz senδ Calcolo ellanolo zenitale reale: k 0.5 eo ξ Z k 98 R ) Calcolo ellanolo azimutale tra il riferimento e l asse Calcolo ell anolo α

8 arctan ϑ arctan ϑ ( ) θ θ α Calcolo ella converenza ella cora ( ) ( ) R ε ( ) ( ) R ε Calcolo ell anolo α ε ε α α

9 SRCIZIO 3 Di ue vertici toporafici sono note le coorinate eorafiche Roma40, Georafiche WGS84 e Cartorafiche Gauss-Boaa. Calcolare la istanza reale tra i ue vertici: a) utilizzano le coorinate eorafiche Roma40 b) utilizzano le coorinate Gauss-Boaa c) utilizzano le coorinate eorafiche WGS84 ertice 4080 Georafiche Roma40 ϕ ,777 λ 0 5 7,854 Q 6,74 m Rifereno la lonituine a Greenwich λ GW ,54 Gauss-Boaa , m 38894,75 m Georafiche WGS84 ϕ ,60 λ ,66 h 7,03 m ertice 580 Georafiche Roma40 ϕ ,49 λ ,890 Q 4,38 m Rifereno la lonituine a Greenwich λ GW 3 4 8,90 Gauss-Boaa 50799,7 m ,9 m Georafiche WGS84 ϕ ,805 λ 3 4 7,703 h 86,9 m

10 ) Calcolo ella istanza reale a partire alle coorinate eorafiche Roma 40 el Datum Roma40 si ovranno utilizzare i parametri ell ellissoie i Hayfor. Ricorano che: W e sen ϕ ρ ( ) a e 3 W a R ρ W Si ottiene: ertice 4080 ertice 580 W 40 0, W 5 0, ,56 m ,64 m ρ ,84 m ρ ,6 m R ,00 m R ,8 m ossiamo ora calcolare le coorinate cartesiane eocentriche ei punti: X Y Z ( h) ( h) cosϕ cosλ cosϕ senλ ( ( e ) h) senϕ ertice 4080 ertice 580 X 43673,07 m X 43574,709 m Y 3599,5 m Y 05074,06 m Z ,999 m Z ,56 m Da queste coorinate è immeiato il calcolo ella istanza reale tra i ue vertici: ( X X ) ( Y Y ) ( Z Z ) 8657, m D

11 ) Calcolo ella istanza reale a partire alle coorinate Gauss-Boaa ,75 m ,5 m ,9 m ,08 m R40 R5 R m Calcolo el moulo i eformazione : m R Distanza sulla carta ( ) ( ) 8653, m carta 43 Lunhezza arco i eoetica carta ,79m m Anolo al centro δ ra R 0 0, Infine, note le quote ei ue punti estremità e applicano il teorema i Carnot: ( R Q ) ( R Q ) ( R Q ) ( R Q ) cos 8657, m D δ

12 3) Calcolo ella istanza reale a partire alle coorinate eorafiche WGS84 el Datum WGS84, si calcola la Gran ormale: ertice 4080 ertice 580 W 40 0, W 5 0, ,9 m ,043 m Quini le coorinate cartesiane eocentriche: X Y Z ( h) ( h) cosϕ cosλ cosϕ senλ ( ( e ) h) senϕ ertice 4080 ertice 580 X 4365,60 m X ,69 m Y 3533,843 m Y 05009,337 m Z ,085 m Z ,36 m Da queste coorinate è immeiato il calcolo ella istanza reale tra i ue vertici: ( X X ) ( Y Y ) ( Z Z ) 8656, m D Osservazione: Rispetto al valore ottenuto nel atum Roma40, la ifferenza ella istanza ottenuta è i 49 cm pari a 6, ppm. Tale valore esprima una stima approssimata el fattore i scala utilizzato nel moello i trasformazione tra i ue sistemi i riferimento eoetico.