Le coordinate del generico punto nei riferimenti fisso e mobile sono legate dalle relazioni: d dt. d dt

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1 Questo programma calcola le espressioni elle circonferenze ei flessi, i stazionarietà, ei jerk normali nulli e ei jerk tangenziali nulli, basanosi sulle note formule i trasformazione tra sistemi i riferimento piani. Si comincia apprima con la efinizione elle formule i trasformazione e elle loro erivate fino al terzo orine. X e Y: coorinate el generico punto P nel riferimento fisso; x e y : coorinate el generico punto P nel riferimento mobile; a e b : coorinate ell'origine el riferiomento mobile rispetto al riferimento fisso; angolo angolo formato al riferimento mobile rispetto a quello fisso: Le coorinate el generico punto nei riferimenti fisso e mobile sono legate alle relazioni: ( t + cos( - sin( ( t + sin( + cos( Derivano più volte si ottiene: - sin( - cos( + cos( - sin( - cos( - sin( + sin( - cos( - sin( + cos( - cos( - sin(

2 + sin( - cos( - sin( + cos( + sin( - cos( - cos( - sin( + cos( + sin( - cos( - sin( ROTAZIONE DEL SISTEMA DI RIFERIMENTO Mettiamoci ora in un riferimento SEMPRE SOLIDALE AL PIANO MOBILE, ma ruotato i un angolo -. Tale riferimento avrà assi paralleli a quello fisso, ma non bisogna mai imenticare che velocità, accelerazioni angolari e jerk angolari sono non nulle. Per ottenere questo cambiamento bisogna imporre che la sostituzione numerica phi =0, solo all'istante iniziale. - sin( ( 0 - cos( ( 0 + cos( ( 0 - sin( ( 0 - cos( ( 0 - sin( ( 0

3 + sin( ( 0 - cos( ( 0 - sin( ( 0 + cos( ( 0 - cos( ( 0 - sin( ( 0 + sin( ( 0 - cos( ( 0 - sin( ( 0 + cos( ( 0 + sin( ( 0 - cos( ( 0

4 - cos( ( 0 - sin( ( 0 + cos( ( 0 + sin( ( 0 - cos( ( 0 - sin( (

5 Trascriviamo ora queste ultime relazioni con una notazione più semplice, con la notazione a e b: per le erivate prime i a e b a e b per le erivate secone a e b per le ericate terze, e. per le erivate priem secone e terze ell'angolo X a - y Y b + x X a - x - y Y b + x - y X a - x + y - y Y b - x + x - y DETERMINAZIONE DEL CENTRO DELLE VELOCITA' (O POLO DEL PRIMO ORDINE Per trovare il centro elle velocità occorre imporre che sia nulla la velocità nel riferimento assoluto. Pertanto evono essere contemporaneamente

6 nulle le componenti ella erivata el primo orine el vettore velocità el punto. Metteno a sistema e risolveno per le x e y si trovano le coorinate le polo el primo orine Px e Py. eq a - y = 0 eq b + x = 0 P x = - b, y = a Px - b Py a DETERMINAZIONE DEL CENTRO K DELLE ACCELERAZiONI E DEL CENTRO DEI JERK Analogamente, si possono risolvere i sistemi i equazioni ove si impone apprima nulla l'accelerazione e poi nullo il jerk. Risolveno si trovano le coorinate ei poli el secono (K e el terzo (P eq a - x - y = 0 eq b + x - y = 0 - b + a a + b P x =, y = b + a Px + a + b Py + eq a - x + y - y = 0 eq b - x + x - y = 0

7 P x = a - b + b , y = - a - a - b Px Py - a - b + b a - a - b CAMBIO DEL SISTEMA DI COORDINATE USATO, IN UNO AVENTE ORIGINE NEL CENTRO DELLE VELOCITA' -a + x - b + y + a X - -b - x + b + y + a Y - -a + x - b + y + a eq - = 0 -b - x + b + y + a eq - = 0 - b + a + a - a a + b + b - b P y = -, x = + + a + b + b - b Px +

8 X a - Y - - b + a + a - a Py - + x + b + y + a - y - a -b + x - b - x + b + eq a - eq - y + a x + b + y + a - y - a = 0 -b + x - b - x + b + y + a = 0 P y = - - b + a a a - a + 6 a + a, + x = b - b - b + b + a + 9 b + 6 b Px b - b - b + b + a b + b Py - - b + a a a - a + 6 a + a + X -y Y x eq -y = 0 eq x = 0 P { y = 0, x = 0} Px 0

9 Py 0 DETERMINAZIONE DELLE CIRCONFERENZE DEI FLESSI E DI STAZIONARIETA' Per trovare la circonferenza ei flessi occorre imporre che le velocità siano parallele alle accelerazioni Un moo possibile per esprimere il parallelismo consiste nell'uguagliare a zero il prootto vettorale. L'equazione ella circonferenza si troverà nelle coorinate x e y. Analogamente per eterminare la circonferenza i stazionarietà occorrerà imporre che velocità e accelerazioni sono ortogonali e quini il loro prootto scalare ovrà essere nullo. FLE -y b + y b + y + y a - x a + x - x b + x a = 0 STA -y a - y b + y + y a + x b + x - x b - x a = 0 DETERMINAZIONE DELLE CIRCONFERENZE DEI JERK NORMALI NULLI E DEI JERK TANGENZIALI NULLI Per trovare la circonferenza ei jerk normali nulli JNN occorre imporre che il jerk sia parallelo alla velocità, ovvero che il vettore el jerk sia tutto iretto secono la retta tangente alla traiettoria. Pertanto si imporrà nullo il prootto vettoriale tra i vettori velocità e jerk. Per trovare la circonferenza ei jerk tangenziali nulli JTN occorre imporre che il jerk sia ortogonale alla velocità, ovvero che sia iretto secono la normale alla traiettoria. Pertanto si imporrà nullo il prooto scalare tra i vettori velocità e jerk. JNN -y b - y b + y b + + x a = 0 y + y a - x a + x - x b - x a JTN -y a - y b - y - y a + y + y a + x b - x + x b + x - x b - x a = 0 DETERMINAZIONE DEL PUNTO DI BALL Il punto i Ball si trova nell'intersezione tra la circonferenza ei flessi FLE e quella ei jerk normali nulli JNN. Pertanto occorre mettere a sistema le ie equazioni. Poichè una elle ue intersezioni ella circonferenza è rappresentata al centro elle velocità si può fare in moo i eliminare tale soluzione che è rappresentata alle coorinate i Po ovvero Px e Py.

10 Il punto i Ball traccia un arco infinitesimo rettilineo i orine superiore ( punti infinitesimi a quello ei punti ella circonferenza ei flessi ( punti infinitesimi. Ball_x + b Ball_y - a + a - a + a b + b b + a b - b - a b + a a - a a - a b + a b - b b - a b - a b + b + a b - b + b + b + b - b 5 - a b b - b + 6 a a + b + 6 a + a + 6 b + 9 a 8 + b + 9 a + 8 a + a - 8 a a - 6 a 5 a - 6 a a + 6 a a - 6 a - a a + 6 a a - 8 b b + 6 b b - 6 b b b - b b + 9 b + 6 b b + 9 b - 6 b b + b - a + a + a + a - a a + a + a a - a a - a b + a b + b - a - a b + a b + b b + a b - b - b b - a b - a b + b + a b 5 - a - 5 b + b + 6 a + a + 6 b + 9 a + 6 b b + 8 b + 6 a a + 9 a + 8 a + a - 8 a a - 6 a 5 a - 6 a a + 6 a a b b b + b a - a a + 6 a b b - b b + 9 b + 6 DETERMINAZIONE DEL PUNTO DI JAVOT a - 8 b b + 6 b b + 9 b b b Il punto i Javot si trova nell'intersezione tra la circonferenza i stazionarietà STA e quella ei jerk normali nulli JNN. Pertanto occorre mettere a sistema le ue equazioni. Poichè una elle ue intersezioni ella circonferenza è rappresentata al centro elle velocità si può fare in moo i eliminare tale soluzione che è rappresentata alle coorinate i Po ovvero Px e Py. Il punto i Javot, in generale, traccia un arco infinitesimo con caratterizzato a curvatura costante (arco circonferenza con punti infinitesimi.

11 Javot_x a + b b + + b + a + a a - a b - a b - a a - a a b + a b + b a + b b + a a - b b - b b a + b - b + b -6 a b + 9 a Javot_y b + b + 9 b + a + a + 6 a b - a a - a b - 6 a b + 6 a b - b b + b - b b + 5 a b + b + a - a a + a - b + a - a + a a - a b - a a - a a + b b + + b b + a a - b b - b b + b + a + a a - a b b + a b + b a -6 a b + 9 a b + b + 9 b + a + a + 6 a b - a a - a b - 6 a b + 6 a b - b b + b - b b + 5 a b + b + a - a a + a ESEMPIO NUMERICO MANOVELLISMO ORDINARIO Si inica con O, il bottone i manovella e con D il perno i biella Inoltre, l e l inicheranno le lunghezze elle aste. Infine Theta sarà l'angolo i rotazione ella manovella, omega è la velocità angolare ella manovella Per il calcolo ella velocità ella biella si usano le relazioni analitiche eterminate col metoo ei numeri complessi. CALCOLO DEGLI INVARIANTI a 0 l cos( b 0 l sin(

12 a -l sin( b l cos( a -l cos( - l sin( b -l sin( + l cos( a l sin( - l cos( ( t - l sin( b -l cos( - l sin( ( t + l cos( - l cos( l cos ( 0 l sin( cos ( 0 - cos( ( t cos ( 0 + l cos ( 0 cos( sin( 0 l l cos ( 0 - l -cos( cos ( 0 - sin( ( t cos ( 0 l cos ( 0 + cos( ( t cos ( 0 - cos( l l + cos ( 0 cos( sin( 0 l sin( l cos( l cos ( 0 - l cos ( 0 l cos( sin( l cos ( 0 - sin( 0 l cos( + l sin 0 ( l cos( sin( l cos( l cos l ( 0 ASSEGNAZIONE DEI VALORI INPUT Occorre assegnare i valori elle lunghezze elle aste:

13 l = lunghezza ella manovella DA ESPRIMERE IN METRI l = lunghezza ella biella DA ESPRIMERE IN METRI Theta = angolo pi posizion eella manovella, calcolato a partire alla posizione i punto morto esterno, con lo stantuffo a estra el perno i banco DA ESPRIMERE IN GRADI Omega = velocità angolare ella manovella DA ESPRIMERE IN GIRI AL MINUTO Alpha = accelerazione angolare ella manovella DA ESPRIMERE IN GIRI AL MINUTO PER SECONDO Gamma = jerk angolare ella manovella DA ESPRIMERE IN GIRI AL MINUTO PER SECONDO PER SECONDO Inoltre occorre risolvere il problema ella eterminazione ell'angolo Phi_0, in base all'equaizone i chiusura el manovellismo. La prima relazione consiste nell'imporre l * sin(theta = - l * sin(phi_0 per cui si può sostituire l'espressione i sin(phi_0 ATTENZIONE: SI IPOTIZZA CHE LA MANOVELLA SIA PIU' PICCOLA DELLA BIELLA E CHE QUINDI IL COSENO DELL'ANGOLO PHI SIA SEMPRE POSITIVO IN QUESTA PARTE SI COMINCIA CON IL MEMORIZZARE LE POLARI DEL PRIMO ORDINE l l cos ( 0 cos ( 0 sin( cos( Thet grai polare_fissa {} grai giri giri giri seno_phi_ coseno_phi_

14 TRASLAZIONE DEL SISTEMA DI RIFERIMENTO ADOTTATO BOTT_MAN_x BOTT_MAN_y SPINA_x SPINA_y 0-0 DISEGNO DEL MANOVELLISMO, DELLE CIRCONFERENZE NOTEVOLI E DEI CENTRI DELLE CARATTERISTICHE GEOMETRICHE DI ORDINE PRIMO, SECONDO E TERZO N_can_linea T_can_linea

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