ELEMENTI DI DEMOGRAFIA

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1 ELEMENTI DI DEMOGRAFIA 4. Mortalità della popolazione Posa Donato k posa@economia.unisalento.it Maggio Sabrina k s.maggio@economia.unisalento.it UNIVERSITÀ DEL SALENTO DIP.TO DI SCIENZE ECONOMICHE E MATEMATICO-STATISTICHE FACOLTÀ DI ECONOMIA a.a. 2008/2009

2 Elementi di demografia 2 4. Mortalità della popolazione Mortalità della popolazione La mortalità rappresenta la principale componente negativa del movimento della popolazione. In Italia, i decessi sono generalmente accertati mediante denunce di morte: le informazioni relative all evento-morte (nome e cognome del deceduto, età, sesso, causa di morte, ecc.) sono riportate in apposite schede compilate dagli uffici di stato civile ed inviate all ISTAT, che procede all elaborazione delle tavole di mortalità. Lo studio della mortalità può essere realizzato con riferimento al totale dei decessi avvenuti in un determinato periodo, oppure in una determinata popolazione (mortalità generale o generica), ad alcuni sottoinsiemi di popolazione opportunamente definiti (mortalità specifica).

3 Elementi di demografia 3 4. Mortalità della popolazione Mortalità della popolazione In particolare, nell ambito della mortalità specifica è possibile distinguere: la natimortalità, dove i nati morti sono considerati i neonati che non abbiano dato alcun segno di vita e che, all esame clinico, risultino di aver compiuto almeno 180 giorni di vita intrauterina, altrimenti l evento viene classificato come aborto; la mortalità perinatale, rappresentata dalla somma tra la natimortalità e la mortalità infantile dovuta a cause endogene (ovvero a malformazioni o a circostanza particolari verificatesi durante il parto) e riguardante i decessi durante la prima settimana o il primo mese di vita; la mortalità infantile, ovvero la mortalità che colpisce i nati vivi nell intervallo tra la nascita ed il primo compleanno.

4 Elementi di demografia 4 4. Mortalità della popolazione Mortalità della popolazione: misure di mortalità Al fine di valutare il livello di mortalità di una popolazione in un determinato intervallo di tempo (anno di calendario) ed in un ambito territoriale, è necessario ricorrere al calcolo di indici statistici, quali i tassi di mortalità generici, ottenuti mediante il rapporto percentuale tra il numero medio annuo dei decessi verificatisi in un determinato periodo e l ammontare medio della popolazione dalla quale si ipotizza provengano i decessi; i tassi di mortalità specifici, ottenuti mediante il rapporto percentuale tra il numero dei morti in un determinato periodo e la popolazione media residente nello stesso periodo. E possibile calcolare tassi specifici per età, per sesso, per stato civile, ecc.

5 Elementi di demografia 5 4. Mortalità della popolazione Mortalità della popolazione: misure di mortalità Si è osservato come la mortalità sia particolarmente legata all età, per cui è possibile misurarla mediante tassi specifici per età. Tuttavia, la valutazione del rischio di morte può essere effettuata con accuratezza, mediante il calcolo della probabilità di morte per età ipotizzando l assenza di flussi migratori (popolazione chiusa). A tal proposito, è possibile distinguere: la probabilità di morte tra compleanni, ovvero q x = g M x gp x, x = 0,1,2,... la probabilità di morte tra 2 date successive (o probabilità prospettive di morte), ovvero il numero di morti nell anno t, provenienti dagli individui appartenenti alla generazione g, in età x (anni compiuti) al primo gennaio dell anno t: q x/x+1 = g M(t) gp x (1/1/t), x = 0,1,2,...

6 Elementi di demografia 6 4. Mortalità della popolazione Probabilità di morte per età: osservazioni Nell analisi longitudinale, le probabilità di morte tra compleanni, indicate con q x, sono calcolate per tutte le età di una generazione; mentre, nell analisi trasversale, le probabilità di morte tra compleanni q x sono calcolate alle diverse età di tutte le generazioni in un determinato intervallo temporale (di solito si considera il biennio). Le probabilità di morte tra compleanni hanno generalmente la finalità di consentire la costruzione delle cosiddette tavole di mortalità. Le probabilità di morte tra 2 date successive, indicate con q x/x+1, sono riferite ad una generazione g e misurano il rischio che hanno, in media, gli individui appartenenti alla generazione g, in età x, al tempo t, di essere in vita, in età x + 1, alla fine dell intervallo [t, t + 1]. Le probabilità prospettive di morte sono utilizzate generalmente nelle previsioni demografiche.

7 Esempio 1. Calcolo delle probabilità di morte tra compleanni Si calcoli, per la popolazione maschile residente nella provincia di Brescia, la probabilità di morte tra il 60 ed il 61 compleanno relativa al biennio A tale proposito, si può ricorrere alla formula q x = gmx gp x (x = 0, 1, 2,...), (1) adattandola opportunamente per tener conto sia della natura dei dati disponibili, sia del fattore di disturbo dovuto alla presenza di movimenti migratori. Si prospettano le seguenti alternative: 1a. Disponibilità della classificazione annua dei decessi per età e anno di nascita (senza tener conto delle migrazioni) Considerando la formula (1), si ottiene: dove q 60 = 1918M P 60 = , il numeratore si determina aggregando i decessi avvenuti nel biennio relativamente ai soggetti nati nel 1918: 1918M 60 = 1918 M 60(1978)+ 1918M 60(1979), ed il denominatore viene calcolato a partire dal numero di soggetti sessantenni al : 1918P 60 = 1918 P 60( )+ 1918M 60(1978).

8 2.a) Disponibilità della classificazione analitica dei decessi e delle migrazioni La presenza di movimenti migratori modifica l ammontare della popolazione esposta al rischio di morte. In tal caso, la probabilità relativa viene calcolata ipotizzando che i movimenti migratori si equidistribuiscano durante l anno e che i saldi siano rimasti esposti al rischio medesimo per un periodo (medio) corrispondente a metà anno. Quindi, applicando la (1) si ottiene: = q 60 = 1918M P /2( 1918 I E 60 ) = 74 0, /2(36 29) con 1918 P 60 = 1918 P 60 ( ) M 60 (1978) 1918 I E 60.

9 Diagramma di Lexis Esempio 1. Calcolo delle probabilità di morte tra compleanni 3.a Disponibilità della classificazione annua dei decessi e/o delle migrazioni solo per età Qualora non sia possibile conoscere con esattezza i dati di flusso che si identificano nei triangoli dello schema di Lexis, ma solo quelli corrispondenti ai quadrati, anno dell evento e età dei soggetti interessati (grafico 6.a), si ipotizza che le morti (M) ed il saldo migratorio (S) relativi ad un anno solare e ad una data età si equiripartiscono tra le due generazioni da cui provengono.

10 Diagramma di Lexis Esempio 1. Calcolo delle probabilità di morte tra compleanni Una volta operata la scomposizione indicata nel suddetto grafico 6.b il calcolo della probabilità di morte può essere effettuato secondo il criterio esposto nel precedente punto 2.

11 Elementi di demografia Mortalità della popolazione 4.1 Tavole di mortalità Tavole di mortalità Le probabilità di morte tra compleanni q x sono riportate in un prospetto denominato tavola di mortalità. E possibile distinguere due tipi di tavole di mortalità: tavole di mortalità per generazioni, che si costruiscono considerando una generazione di nati e seguendola fino alla sua estinzione, tavole di mortalità per contemporanei, che si costruiscono considerando i viventi classificati per età ad una determinata epoca (solitamente la data coincide con la data del censimento) ed i decessi per età, avvenuti intorno alla stessa epoca. Si osservi che il calcolo delle tavole per generazioni non è molto agevole, infatti, occorrerebbe seguire ogni componente sino al decesso per ottenere la successione completa dei morti in età tra 0 e 1 anno, tra 1 e 2 anni, e così via. Pertanto, nelle applicazioni si preferisce utilizzare le tavole di mortalità per contemporanei, elaborate e pubblicate dall ISTAT.

12 Tavole di mortalità La tavola di mortalità è un prospetto in cui sono riportati i seguenti indicatori, denominati funzioni biometriche: la probabilità di morte q x, ovvero la probabilità per un individuo in età x, di morire in età tra x ed x + 1; la funzione di sopravvivenza, indicata con l x, ovvero il numero di individui sottoposti a rischio di morte tra due compleanni successivi, secondo i valori assunti da q x ; il numero di decessi, indicato con d x, in età tra x e x + 1; il numero di anni vissuti, indicato con L x, tra l età x ed x + 1, dagli individui che hanno raggiunto l età x; la somma retrocumulata, indicata con T x, degli anni vissuti, che rappresenta la popolazione di età compresa tra x e ω 1; la vita media o speranza di vita, indicata con e x, all età x, ovvero il numero medio di anni che restano ancora da vivere a ciascuno dei sopravviventi all età x, se sarà esposto, nel corso della vita, alle condizioni di mortalità, che mediante q x, caratterizzano la tavola di mortalità.

13 Elementi di demografia Mortalità della popolazione 4.1 Tavole di mortalità Tavole di mortalità Con riferimento ad una ipotetica generazione di l 0 (numero arbitrario di solito pari a ) individui nati nello stesso istante e con probabilità di morte q x, con x = 0,1,...,ω 1, è possibile calcolare le altre funzioni biometriche, come segue: 1 p x = 1 q x, che rappresenta la probabilità di sopravvivenza dal compleanno x al compleanno x + 1; 2 l x+1 = p x l x, x = 0,1,...,ω 1 e quindi la serie completa di sopravviventi {l x } ai successivi compleanni; 3 d x = l x l x+1, x = 0,1,...,ω 1; 4 L x = lx+lx+1 2 oppure L x = l x+1 + k x d x, dove 0 < k < 1 (di solito si assume k = 1/2), se si ipotizza che i decessi siano distribuiti equamente nell intervallo [x, x + 1]; 5 T x = L x + L x+1 + L x L ω 1 ; 6 e x = Tx l x.

14 Andamento delle funzioni biometriche, rispetto all età

15 Esempio di tavola di mortalità

16 Tavole abbreviate di mortalità Talvolta, per mancanza di dati analitici di base, può essere utile costruire tavole di mortalità abbreviate, ovvero tavole in cui il processo di eliminazione per morte è descritto, anziché tra compleanni contigui, tra successivi intervalli di età pluriennale. In tali circostanze, la procedura di costruzione di una tavola di mortalità abbreviata è sostanzialmente identica a quella precedentemente indicata per una tavola di mortalità, con alcuni adattamenti; in particolare, identificando con: aq x la probabilità di morte tra i compleanni x e x + a, con a 1; ad x i decessi entro i compleanni x e x + a, l x i sopravviventi al compleanno x, ak x la frazione di intervallo compreso tra i compleanni x e x + a vissuta, in media, dai deceduti entro tali limiti di età (0 < ak x < 1), al x gli anni vissuti entro i compleanni x e x + a, T x la somma retrocumulata degli anni vissuti a partire dal compleanno x, e x la vita media al compleanno x, si ottengono le seguenti funzioni biometriche che compongono la tavola di mortalità: ad x = l x aq x, l x+a = l x ad x, al x = a l x+a + ak x a ad x, e x = T x/l x.

17 Altre tavole di mortalità Se non si dispone neppure dei dati necessari per la costruzione di tavole abbreviate di mortalità, è possibile ricorrere alle cosiddette tavole tipo. Le prime tavole-tipo proposte risalgono alla seconda metà degli anni Cinquanta ed utilizzano come informazioni di base per la costruzione della tavola, la mortalità al primo anno di vita. Se si dispone della classificazione dei decessi, oltre che in funzione dell età e del sesso, anche per causa di morte, è possibile costruire apposite tavole di mortalità per causa.

18 Finalità operative della tavola di mortalità La tavola di mortalità è utilizzata soprattutto: nel settore assicurativo-attuariale, dove essa consente di predisporre le basi tecniche per il calcolo dei premi assicurativi, nelle previsioni demografiche, in cui si fa riferimento al modello di sopravvivenza descritto da una opportuna tavola.

19 Elementi di demografia Mortalità della popolazione 4.1 Tavole di mortalità Esempio 2. Alcuni utilizzi della tavola di mortalità a) Costruzione delle basi tecniche per il calcolo dei premi nelle assicurazioni sulla vita Come è noto, la somma (o premio) che un individuo di età x deve pagare per assicurarsi un determinato capitale, se sarà in vita ad un prefissato compleanno x+n (o per assicurarlo a favore degli eredi in caso di morte), viene determinata (dall assicuratore) in funzione della probabilità che si verifichi l evento (sopravvivenza o decesso), che costituisce l oggetto dell assicurazione. Tale probabilità, che non può evidentemente essere calcolata a priori se non arbitrariamente,in corrispondenza di ogni singolo caso,si ottiene facendo riferimento ad un appropriata tavola di mortalità. In tal caso, si ipotizza che la popolazione degli assicurati sia soggetta alle regole di sopravvivenza (e di eliminazione) che governano la tavola prescelta.

20 Elementi di demografia Mortalità della popolazione 4.1 Tavole di mortalità Esempio 2. Alcuni utilizzi della tavola di mortalità a) Costruzione delle basi tecniche per il calcolo dei premi nelle assicurazioni sulla vita Ad esempio, se un individuo (maschio) che oggi compie trent anni volesse assicurare ai suoi eredi un determinato capitale in caso di morte entro il 60 compleanno, la probabilità del verificarsi di un tale evento (secondo la tavola italiana ) è uguale a: l 30 l = = 0, l Analogamente, se una donna, in età compresa tra il 50 ed il 51 compleanno volesse garantirsi un capitale, se in vita al compimento del 70 compleanno, la stessa tavola consentirebbe di assegnarle una probabilità di sopravvivenza pari a: l 70 = = 0, L I precedenti valori, opportunamente rielaborati al fine di tener conto anche di considerazioni di ordine finanziario (legate allo sfasamento temporale tra il pagamento del premio e l eventuale versamento della somma assicurata da parte dell assicuratore), entrano a far parte delle cosiddette basi tecniche delle assicurazioni sulla vita; ossia, di quell insieme di parametri adottati dall assicuratore per la determinazione del premio.

21 Elementi di demografia Mortalità della popolazione 4.1 Tavole di mortalità Esempio 2. Alcuni utilizzi della tavola di mortalità b) Costruzione di probabilità di sopravvivenza finalizzate al calcolo di previsioni demografiche Si consideri un gruppo di individui (P x(t)) in età x al tempo t e ci si proponga di prevedere quanti di essi (P x+n (t + n)) saranno in vita, in età x + n, al tempo t + n. La soluzione di tale problema si ottiene eseguendo il prodotto tra il numero di soggetti esposti a sopravvivere tra le età x e x + n nell intervallo temporale (t, t + n) e la relativa probabilità di sopravvivenza; quest ultimo valore opportunamente determinato sulla base di una tavola di mortalità idonea a rappresentare i livelli di eliminazione per morte prevedibili nell intervallo (t, t + n), si esprime mediante il rapporto: ns x = L x+n /L x. Ad esempio, considerando la popolazione maschile ventenne residente in Italia al ( unità) il corrispondente numero di trentenni che si prevedono, in assenza di migrazioni, per il è: P 30 ( ) = P 20 ( ) L 30 L 20 da cui, impiegando i valori L x forniti dalla tavola di mortalità italiana del , si ottiene: P 30 ( ) = =

22 Un approfondimento: la mortalità infantile La mortalità infantile in senso stretto riguarda solo i decessi verificatisi nel primo anno di vita. Per la misurazione della mortalità infantile si può utilizzare il tasso generico di mortalità infantile, definito come segue: m inf (t) = 1000 M0(t) N(t). (2) Il tasso m inf è un indicatore grezzo, che evidenzia una incongruenza al numeratore della formula: infatti, il numero di decessi M 0(t) provengono da due differenti generazioni, ovvero quella dei nati nell anno (t 1) e quella dei nati nell anno t. Pertanto, si preferisce utilizzare formule alternative alla (5) al fine di ovviare a tale inconveniente. In particolare, a) se si dispone del numero di morti nel primo anno di vita, classificati per anno di nascita, è possibile calcolare il seguente tasso specifico di mortalità: tm0(t) + tm0(t + 1) m inf = 1000 (3) N(t) oppure con la formula meno ricorrente [ t 1M 0(t) m inf = 1000 N(t 1) + tm0(t) ] ; (4) N(t)

23 Un approfondimento: la mortalità infantile b) se non è nota la classificazione dei morti al primo anno di vita, distinti per anno di nascita, è possibile stimare la frazione h di decessi nel primo anno di vita, avvenuti nello stesso anno di nascita; pertanto, nella (3) e nella (4) si sostituiscono le seguenti quantità: tm 0(t) = h M 0(t) t 1M 0(t) = (1 h) M 0(t) tm 0(t + 1) = (1 h) M 0(t + 1) dove h è funzione crescente al decrescere del livello di mortalità infantile. In alternativa alla (4) si può adattare la (5) esplicitata come segue: m inf(t) = 1000 M 0(t) (h 1) N(t 1) + h N(t). (5)

24 Un approfondimento: la mortalità infantile La mortalità infantile può essere scomposta in 2 componenti fondamentali: una componente endogena (o biologica), la quale riguarda i decessi verificatisi nel primo anno di vita a causa di fattori che hanno agito durante la vita intrauterina (tare eriditarie, debolezza della madre, ecc); una componente esogena, la quale riguarda i decessi legati a fattori ambientali esterni e sociali (clima, alimentazione, assistenza medica, ecc). Per poter scomporre la mortalità nel primo anno di vita, distinguendo i decessi per causa endogena da quelli per causa esogena, il demografo francese Jean Bourgeois- Pichat nel 1951 propose un modello biometrico che, prescindendo dalla conoscenza delle cause di morte, si basava sulla classificazione per età dei decessi verificatisi nel primo anno di vita, ipotizzando che tutti i decessi che si verificavano dal secondo mese di vita fossero di natura esogena.

25 Un approfondimento: la mortalità infantile Se si verificano le ipotesi del modello biometrico proposto da Jean Bourgeois-Pichat, l ammontare dei decessi esogeni può essere stimato, in prima approssimazione, come segue: M es = 1,25 M 1 11, dove M 1 11 indica l ammontare dei decessi verificatisi tra il secondo ed il dodicesimo mese di vita. L ammontare dei decessi endogeni si ottiene per differenza. Quindi, i tassi di mortalità endogena ed esogena si ottengono rapportando l ammontare M es o M en a quello dei nati vivi da cui presumibilmente provengono.

26 Esempio Si considerino i seguenti dati relativi alla popolazione italiana nel triennio : In tal caso, il calcolo del tasso di mortalità infantile relativamente all anno 1978, può essere ottenuto applicando le formule precedentemente menzionate:

27 Esempio

28 Natimortalità e mortalità perinatale Infine, con riferimento alla natimortalità ed alla mortalità perinatale, a cui si è precedentemente accennato, è possibile calcolare le seguenti misure di sintesi: il tasso di natimortalità, rappresentato dal rapporto tra il numero di nati morti N m in un determinato intervallo di tempo ed il numero di nati complessivamente considerati (nati vivi e nati morti), come segue: N m Q nm = N m + N v il tasso di mortalità perinatale, rappresentato dal rapporto tra il numero di nati morti N m e dei decessi di natura endogena D en verificatisi in un determinato intervallo di tempo ed il numero di nati complessivamente considerati (nati vivi e nati morti), come segue: Q pn = Nm + Den N m + N v.