LA SOLVIBILITA DEL GARANTE NEL PRICING DELLE POLIZZE LINKED CON MINIMO

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1 LA SOLVIBILITA DEL GARANTE NEL PRICING DELLE POLIZZE LINKED CON MINIMO Paola Biffi Università Cattolica del Sacro Cuore Sede di Milano Ist. di Econometria e Matematica per le Decisioni Economiche, Finanziarie ed Attuariali ( paola.biffi@unicatt.it) ABSTRACT: La presenza di un garante esterno per la prestazione minima nelle polizze linked può comportare un aggravamento del rischio complessivo, a causa della potenziale insolvenza del garante. Il modello di pricing con le copule permette di valorizzare la relazione tra il rischio demografico, corretto per il rischio di longevità, e quello finanziario, aggiustato per il rischio associato all inadempimento del garante. KEYWORDS: polizze linked, garanzia di minimo, copule, opzioni digitali. 1 Le polizze linked con garanzia di minimo Le polizze linked sono strumenti che incorporano una funzione previdenziale di protezione dell individuo dai rischi legati al ciclo della vita e una funzione di intermediazione del risparmio nel tempo. Il rischio demografico, aggravato dalla considerazione del rischio di longevità, e il rischio finanziario agiscono congiuntamente sulle polizze linked; così al fine di fornire una rappresentazione di tale interrelazione verranno usate le copule, funzioni di distribuzione congiunte bivariate in grado di individuare la relazione fra i due rischi. Molte polizze linked presentano un trasferimento di parte del rischio finanziario a carico dell emittente, mediante l introduzione di clausole che offrono garanzie di rendimento minimo o di conservazione del valore del capitale a scadenza. Gli assicuratori provvedono alla copertura degli impegni dei contratti linked con garanzia di minimo attraverso l acquisto di titoli strutturati 1, talvolta, protetti da un garante esterno. Le copule verranno utilizzate in questo contesto per descrivere l effetto di un potenziale default del garante sulla prestazione minima garantita da quest ultimo. La tecnica di option pricing basata sulle copule fornisce lo strumento per valutare la componente di prestazione garantita implicita nei contratti linked. L esistenza o la possibile costruzione sintetica di opzioni che replicano il payoff del 1 I titoli strutturati sono formati da un obbligazione e da un opzione con la quale si scommette sull andamento di singoli strumenti finanziari, così da poter sfruttare gli andamenti positivi dei mercati. 1

2 contratto, e in particolare della garanzia minima, consente la realizzazione di portafogli di replicazione in grado di definire in modo appropriato il costo di tali componenti contrattuali Le copule nel pricing di una polizza linked Il modello di pricing con le copule viene applicato alla polizza index linked UNICO WORLD Mutual Fund Linked II, a fronte della quale, la compagnia emittente ha appositamente acquisito un titolo strutturato garantito da CREDIT SUISSE FIRST BOSTON INTERNATIONAL (CSFBI). La polizza UNICO WORLD Mutual Fund (UW), 2000/08, è una mista temporanea formata da due termini: il primo è un assicurazione a capitale differito (CD) che paga all assicurato se vivo (A=alive) dopo n anni il capitale investito rivalutato (X), se la variazione dell indice è positiva (H=high), se la performance è invece negativa (L=low), verrà comunque garantita la restituzione del capitale inizialmente assicurato (R); il secondo è un assicurazione temporanea-caso morte (TCM) che paga al beneficiario alla morte dell assicurato (D=dead), se questa avviene entro n anni, il valore del titolo con l aggiunta del 2% del capitale assicurato. Nello svolgimento del lavoro si adotteranno le seguenti ipotesi: valore stimato 2 dell indice a scadenza pari a 174,87, capitale investito 100, età dell assicurato 45, tasso free risk 3% e assenza di imposte e spese. I riferimenti probabilistici relativi alla sopravvivenza/premorienza del soggetto 45enne si basano sul modello RG48, in modo da considerare il rischio di longevità. Il pricing con le copule verrà applicato alla componente capitale differito (CD) il cui payoff, data l ipotesi dell andamento dell indice, è: Stato di natura AH AL DH DL Payoff CD 174, Tabella 1. Payoff componente capitale differito. La tecnica di replicazione di portafoglio in assenza di opportunità di arbitraggio richiede l uso dei seguenti contratti di durata pari ad 8 anni: Polizza vita a capitale differito (VCD)- il contratto 3 prevede il pagamento di X se il soggetto assicurato è in vita alla scadenza, 0 altrimenti. Il prezzo del contratto, che incorpora il rischio demografico, è 135,7242. Zero coupon bond free risk (ZCBF)- il contratto paga X alla scadenza indipendentemente dallo stato di natura. Il prezzo è pari a 138,04. 2 Per la stima del valore dell indice è stata utilizzata una funzione di regressione lineare, si veda BIFFI P, Si osservi che il payoff di questo contratto è assimilabile a quello di un opzione digitale univariata, cioè max ( 0;X) se in vita. 2

3 Zero coupon bond rischioso (ZCBR)- il contratto è agganciato al rendimento dell indice MUTUAL FUND II e garantisce il pagamento di X se X>R, altrimenti paga R. Il prezzo, data la funzione di regressione, è pari a 133,58. Polizza capitale differito (CD)- il contratto paga X se il soggetto Beta è in vita alla scadenza e si ha X>R, paga R se Beta è vivo e si ha X<R, paga 0 altrimenti. In sintesi il suo payoff è quello di un opzione digitale bivariata sulla vita di un soggetto, max ( 0; max( X, R) ) (1) Il prezzo di quest ultimo contratto verrà ricavato costruendo i seguenti portafogli: il portafoglio Q, nel quale viene individuato il rischio finanziario, presenta la seguente composizione: Portafoglio Q ( 174,87 100) AH AL DH DL ZCBF - ZCBR 0 174, ,87 174,87 Tabella 2. Payoff del portafoglio Q. Il portafoglio P, nel quale si isola lo scenario più rischioso per la polizza a capitale differito CD, è dato dalla successiva combinazione: Portafoglio P ( 174,87 100) AH AL DH DL VCD - CD 0 174, ,87 Tabella 3. Payoff del portafoglio P. Attraverso una rielaborazione del portafoglio P in termini forward si ricava il prezzo della polizza CD ( 174,87 100) VCD ZCBF ZCBR CD = VCD ZCBF C AL ; (2) 174,87 ZCBF ( 174,87 100) ZCBF 174,87 dove la copula C AL ha due argomenti: il primo individua il rischio demografico, implicito in VCD, e il secondo cattura il rischio finanziario, rappresentato dal portafoglio Q. Il prezzo della mista UW si ottiene sommando al prezzo della TCM 3

4 (4,8694), il prezzo della CD, calcolato ricorrendo a due tipi di copule, la Mixture e la Clayton 4. UW MIXTURE UW CLAYTON 136, ,1263 Tabella 4. Valori della polizza UW. 2 La solvibilità del garante esterno L osservazione che viene introdotta ora, riguarda la capacità del prezzo dello zero coupon bond rischioso, usato nel modello precedente, di rappresentare l eventuale insolvenza del garante esterno CSFBI in merito alla prestazione minima. Il payoff relativo allo ZCB rischioso, individuando gli stati di natura definiti in base al rendimento del paniere di fondi (H= rendimento high e L= rendimento low) e allo stato di solvibilità della garante CSFBI (OK= solvibile e KO= non solvibile), è dato da: Stato di natura HOK HKO LOK LKO Payoff 174,87 174, Tabella 5. ZCB rischioso garantito da CSFBI con stati di natura legati al rendimento e alla solvibilità del garante. In realtà è da segnalare che qualora il rendimento fosse low (L) e il garante fosse in default (KO) il vero payoff dello ZCBR nello stato LKO sarebbe compromesso, in questo modo il garante potrebbe pagare solo un valore 5, R -, inferiore al suo impegno. La garanzia di minimo sarà rispettata solo coprendo questo rischio di controparte legato al garante, combinando lo ZCBR vulnerabile 6 con un contingent claim che paghi la differenza tra la prestazione minima e il recovery rate R - nello stato di natura LKO. Il contingent claim CC può essere interpretato come un opzione digitale bivariata D, scritta su due sottostanti, che paga un ammontare fisso (100-R - ) se i due sottostanti (S 1,S 2 ) sono contemporaneamente in the money, nel nostro caso (S 1 <X 1, S 2 <X 2 ) 7, e zero altrimenti; schematicamente: S 2 >X 2 =OK S 2 <X 2 =KO S 1 >X 1 =H 0 0 S 1 <X 1 =L 0 (100-R - ) Tabella 6. Payoff del contingent claim con la struttura dell opzione digitale bivariata. 4 Si veda Nelsen R. An introduction to copulas ed. Springer, R - sta per recovery rate della garante CSFBI. 6 Vulnerabile sta per esposto all insolvenza del garante. 7 X 1 e X 2 rappresentano i prezzi di esercizio. 4

5 Nel nostro esempio S 1 è l elemento legato al rischio di performance scarsa dell indice, con gli stati di natura: S 1 <X 1 = rendimento low (L) e S 1 >X 1 = rendimento high (H); mentre S 2 è l elemento connesso alla solvibilità del garante esterno, con gli stati di natura: S 2 >X 2 = garante solvibile (OK) e S 2 <X 2 = garante in default (KO). Il prezzo del contingent claim CC ( L; KO), cioè l opzione digitale bivariata D, può essere determinato con una semplice strategia di super-replication di portafoglio, usando due opzioni digitali univariate D 1 e D 2, scritte rispettivamente sulle attività S 1 e S 2, come argomenti di una copula C, come segue: LKO LKO 1 D 2 ( S X ;S < X ) = CC( L;KO) = C ( D ; ) D < (3) La copula C LKO è in grado di cogliere l interrelazione fra il rischio che il rendimento abbia una performance scarsa e il rischio che il garante non sia solvibile. Si riportano di seguito alcuni dati necessari ai calcoli successivi: recovery rate del garante (R - ) pari a 40, tasso medio sui bond a medio termine 8 3,73% e probabilità di rendimento low a scadenza 2%. Lo strumento 9 che rappresenta il rischio di rendimento low è dato da un capitale differito (CDL) pari a 60 (100-40, minimo garantito- R - ) pagabile in caso di performance inadeguata del paniere di riferimento, indipendentemente dallo stato di solvibilità del garante. Il relativo prezzo è calcolato pari a 0,895. Il portafoglio G 10, che rappresenta il rischio di default del garante, è formato da una posizione lunga su uno ZCBF con payoff pari a 60, con prezzo pari a 47,364, e una posizione corta su uno ZCBR emesso da CSFBI ( ZCBR CSFBI )con payoff pari a 60 in caso di solvibilità e a zero in caso di default, il cui prezzo è 44,7627, entrambi i bond hanno una durata di 8 anni. Il prezzo, in termini forward, del contingent claim CC ( L; KO) sarà: CDL ZCBF ZCBR CSFBI CC( L; KO) = ZCBF* C LKO ; (4) ZCBF ZCBF che sommato al prezzo originario dello ZCBR esposto al potenziale fallimento del garante restituisce il valore dello ZCBR protetto dall insolvenza del garante. I prezzi ottenuti per lo ZCBR protetto (ZCBR p ) verranno utilizzati nel pricing del termine CD della mista UW, come proposto nella prima parte del lavoro, al posto del prezzo dello ZCBR originariamente considerato. Ai nuovi valori calcolati per il termine CD andrà aggiunto il prezzo del contratto TCM (temporanea caso morte) che è pari a 4,8694 così da ottenere: 8 Il tasso è rilevato dalla Borsa valori del Lussemburgo. 9 Si veda l opzione digitale univariate D Si veda l opzione digitale univariate D 2. 5

6 Garanzia di minimo valorizzata con copula Mixture Garanzia di minimo valorizzata con copula Clayton Garanzia di minimo non valorizzata dalla copula UW con copula MIXTURE UW con copula CLAYTON 136, , , , , ,1263 Tabella 7. Riepilogo dei prezzi della polizza index linked UW. 3 Considerazioni conclusive L idea di partenza è stata quella di rappresentare nel prezzo di una polizza index linked la relazione fra rischio finanziario e rischio demografico, tenendo in opportuna considerazione l effetto del longevity risk sulla componente demografica del contratto. Dalla lettura delle caratteristiche della polizza è emersa, inoltre, la presenza di un garante esterno, che ha suscitato una riflessione in merito alla sua capacità di far fronte agli impegni di copertura della prestazione minima garantita e quindi alla sua solvibilità. L obiettivo è stato quello di far pesare sul prezzo del contratto anche il rischio di insolvenza del garante esterno. La copula ha permesso di cogliere in una prima fase la relazione tra la solvibilità del garante esterno (Credit Suisse First Boston International) e la prestazione del soggetto emittente, legata all andamento del paniere di fondi comuni d investimento. Il risultato ottenuto è stato convogliato nel prezzo dello zero coupon bond rischioso rappresentativo della prestazione finanziaria promessa con minimo garantito. Il passaggio successivo è stato quello di individuare la connessione, per mezzo di una copula, tra il rischio finanziario con garanzia di minimo protetta e il rischio demografico aggravato dal rischio di longevità. Bibliografia BIFFI, P I rischi finanziario e demografico nelle polizze linked: le copule in un modello di pricing. Quaderno dell Istituto di Econometria e Matematica dell Università Cattolica di Milano. BIFFI, P La solvibilità del garante nel pricing delle polizze linked con minimo. Quaderno dell Istituto di Econometria e Matematica dell Università Cattolica di Milano. CHERUBINI, U. & LUCIANO, E Multivariate Option Pricing with Copulas. NELSEN, R.B An Introduction to Copulas. New York: Springer. 6