I numeri naturali. I numeri naturali. Proviamo a elencare aspetti della matematica legati ai numeri naturali

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1 I numeri naturali I numeri naturali Proviamo a elencare aspetti della matematica legati ai numeri naturali

2 I numeri naturali

3 I numeri naturali Molti matematici li hanno intesi come termini primitivi. I numeri naturali sono stati creati dal buon Dio, tutto il resto è opera dell uomo. (Leopold Kronecker )

4 I numeri naturali Successivamente, però, è stato proposto di 1. derivarli dagli insiemi (proposta di Georg Cantor ) oppure 2. costruirli a partire da altri termini primitivi (Giuseppe Peano ). Le due costruzioni dell insieme dei numeri naturali ne evidenziano i due aspetti di significato: 1. aspetto cardinale: il numero indica quanti sono gli elementi di un insieme senza tener conto di che cosa sono, indica una quantità. 2. aspetto ordinale: il numero indica quale posto occupa un dato elemento in un insieme ordinato.

5 I numeri naturali Aspetto cardinale Aspetto cardinale Definizione Dati due insiemi A e B si dice che sono equipotenti se esiste una funzione biunivoca da A in B. Dati A e B sottoinsiemi di U si introduce una relazione R P(U) P(U) definita da: ARB se e solo se A è equipotente a B. Grazie a questa relazione possiamo classificare gli insiemi raggruppandoli a seconda dell equipotenza (chiamiamo classi questi gruppi di insiemi equipotenti).

6 I numeri naturali Aspetto cardinale Definiamo: zero (con simbolo 0) la classe (d equivalenza) dell insieme vuoto, cioè la classe che contiene tutti gli insiemi equipotenti all insieme vuoto. uno (con simbolo 1) la classe (d equivalenza) dell insieme avente come unico elemento, cioè { }. È la classe che contiene tutti gli insiemi equipotenti all insieme { }. due (con simbolo 2) la classe (d equivalenza) dell insieme avente come elementi e { } cioè {, { }}. È la classe che contiene tutti gli insiemi equipotenti all insieme {, { }}....

7 I numeri naturali Aspetto cardinale Definizione Chiamiamo insieme dei numeri naturali e lo indichiamo con N, l insieme formato dai simboli ora descritti: N = {0, 1, 2, 3, 4,... }

8 I numeri naturali Aspetto cardinale Attività. Gioco delle canoe Formate canoe da 4. Quando tutte le canoe si sono formate si può cantare una canzone nella quale i bambini simulano l azione del vogare. Al termine della canzone si può riproporre la formazione di canoe con una nuova cardinalità. Ovviamente ad ogni partita tutte le canoe saranno equipotenti. Può accadere che il conduttore del gioco indichi una cardinalità rispetto alla quale restino esclusi dei bambini. Essi potranno rientrare in gioco nella sfida successiva.

9 I numeri naturali Aspetto ordinale Aspetto ordinale Introduzione assiomatica di G.Peano ( ): non dice cos è un numero naturale ma si spiega qual è il suo comportamento in relazione ad altri enti. Assumiamo come termini primitivi dell assiomatica di Peano: numero, che indicheremo con le lettere minuscole n,m,... ; zero, che indicheremo con 0; successore, che indicheremo con S( ); uguaglianza, che indicheremo con =.

10 I numeri naturali Aspetto ordinale Chiamiamo insieme dei numeri naturali un qualsiasi insieme che soddisfi i seguenti assiomi: ASSIOMA 1. Zero è un numero (0 N). ASSIOMA 2. Il successore di ogni numero è ancora un numero. ASSIOMA 3. Se due numeri hanno lo stesso successore, allora anche i due numeri sono uguali ASSIOMA 4. Lo Zero non è successore di alcun numero.

11 I numeri naturali Aspetto ordinale ASSIOMA 5. PRINCIPIO DI INDUZIONE. Se P(n) è una proprietà che coinvolge un numero naturale n, dalle ipotesi che: P(n) vale per 0 se vale per un qualsiasi n implica che essa vale anche per Sn, allora la proprietà vale per ogni numero naturale. Osservazione L assioma di Induzione permette di dimostrare proprietà che valgono per tutti i numeri naturali (che sono infiniti) facendo un numero di verifiche finito.

12 I numeri naturali Aspetto ordinale Attività Si osservi la seguente scheda la cui consegna è In quale fila ti inseriresti per giocare il prima possibile?

13 I numeri naturali Aspetto ordinale Attività Si osservi la seguente scheda sui numeri ordinali.

14 I numeri naturali Aspetto ordinale Quali sono gli aspetti su cui insistere nella scuola primaria? i numeri naturali indicano quantità, si usano per contare (Fondamentale acquisire questo significato! = 21?) i numeri naturali indicano la posizione N è un insieme infinito Albergo di Hilbert ciascuno (n) ha un successivo (n + 1) e un precedente (n 1) (tranne 0, che non ha precedente) sono rappresentabili su una semiretta e costituiscono un insieme discreto N è ordinato, cioè è possibile definire su N una relazione (<) che consenta di stabilire se, per ogni a, b N, a < b.

15 6.3 Sistemi di numerazione

16 Ascoltiamo la canzone ed individuiamo elementi positivi e negativi della proposta didattica...

17 Abbiamo l esigenza di avere un nome ed un simbolo per rappresentare ciascun numero e poterlo distinguere da tutti gli altri. Nella scuola primaria è necessario curare l acquisizione del complesso concetto di numero naturale, sia la capacità di rappresentarlo nel sistema di scrittura decimale, con riferimanto al valore posizionale delle cifre e al significato dell uso dello zero.

18 Aspetti necessari per affrontare questa questione: L insieme dei numeri naturali N ha infiniti elementi Quanti simboli scelgo per riuscire a descrivere tutti gli elementi di N? È impossibile riuscire a ricordare infiniti simboli e infiniti nomi.

19 Nella storia della matematica si è cercato più di un modo per nominare tutti i numeri mediante pochi vocaboli e rappresentarli mediante pochi simboli opportunamente combinati fra loro. Attraverso l elaborazione di un sistema di numerazione si cerca di far fronte al duplice problema: stabilire i termini (nomi e simboli) di partenza stabilire le regole di combinazione dei termini

20 Definizione Un sistema di numerazione è una struttura costituita da: 1. un alfabeto, cioè un insieme finito non vuoto di simboli (detti cifre) e dei relativi nomi 2. una sintassi, cioè un insieme finito e non vuoto di regole mediante le quali si combinano i simboli dell alfabeto per scrivere e leggere i numeri.

21 Esempio. IL SISTEMA DI NUMERAZIONE ROMANO: 1. CIFRE: {I, V, X, L(cinquanta), C, D(cinquecento), M}. E lo zero? 2. SINTASSI la seguente: ogni cifra posta immediatamente a destra di una cifra di valore maggiore o uguale, si aggiunge a questa: XVI = dieci + cinque + uno =sedici ogni cifra posta immediatamente a sinistra di una cifra di valore maggiore si sottrae a questa: IV = cinque-uno = quattro ogni cifra posta fra due di valore ad essa maggiore, si sottrae a quella di destra: XIV = dieci + cinque - uno = quattordici le unità di classi superiori vengono sopralineate una volta per trasformarle in migliaia e due volte per trasformarle in milioni: II XIV = duemilaquattordici Ī D=unmilionecinquecentomila

22 Osservazione Il nome dato ai numeri dipende dalla lingua in cui questi sono usati. La questione dei simboli usati per indicare i numeri è universale noi ci occuperemo quindi della sola questione simbolica. Esempio Nella lingua italiana e quella inglese, per esempio, ci sono nomi inediti per per indicare i numeri da 0 a 9, mentre le regole di formulazione degli altri numeri sono proprie di ciascuna lingua. 2, due, two 20, venti, twenty 8, otto, eight 80, ottanta, eighty.

23 TEOREMA Fissata una base b, ogni numero naturale a può essere scritto in modo unico (a meno dell ordine) nella forma: a = a n b n + a n 1 b n a 1 b 1 + a 0 b 0 dove a n, a n 1,..., a 1, a 0 sono numeri minori di b. Regola di sintassi (conseguenza del teorema precedente) Ogni numero naturale si rappresenta accostando da sinistra a destra soltanto i coefficienti della scrittura polinomiale tralasciando le potenze di b: a = a n a n 1... a 1 a 0 ; la successione di cifre dà la rappresentazione del numero in base b.

24 Esempio (base dieci) Cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. centrotrentacinque = = (Regola di sintassi) = 135 Esempio (base quattro) Cifre: 0, 1, 2, 3. Potenze di quattro: = = = = = 1 centrotrentacinque = = (Regola di sintassi) = 2013 Cambia la scrittura, non la quantità, perciò il numero in questione è lo stesso.

25 Si stabilisce in particolare che: 1. b unità semplici (dette unità del I ordine) formano un unità del II ordine; 2. b unità del II ordine formano un unità del III ordine; 3. b unità di un certo ordine formano un unità dell ordine immediatamente successivo. Osservazione Nel nostro sistema di numerazione: 10 unità semplici formano una decina (1 da) 10 decine formano un centinaio (1 h) 10 centinaia formano un migliaio (1 K)...

26 Il passaggio da b unità dell ordine precedente ad una nuova unità dell ordine successivo è un salto concettuale notevole poichè b unità perdono la loro molteplicità dando vita ad un nuovo ente nel quale esse svaniscono. Nella scuola primaria, quindi, il passaggio dal numero 9 al 10, dal 99 al 100,..., sono da curare con grande attenzione didattica e con materiale appositamente predisposto.

27 I sistemi di numerazione che assumono questa convenzione sono detti sistemi di numerazione posizionali, dato che ogni cifra ha: un valore intrinseco assoluto, in quanto rappresenta un determinato numero un valore relativo che dipende dalla posizione occupata dalla cifra all interno della successione che rappresenta il numero.

28 Attività Nella seguente scheda di scuola primaria...

29 La base comunemente fissata è b = 10 (sistema di numerazione posizionale decimale) e ciò significa che: 1. si hanno a disposizione dieci cifre per indicare i numeri da 0 a 9; i simboli utilizzati sono detti cifre indo-arabe: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 2. la successione delle cifre dà i coefficienti di un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti di unità di un certo ordine formano 1 unità dell ordine immediatamente successivo.

30 Esempio Il numero in base 10 scritto 129 è l abbreviazione della scrittura: Considerando il 3 nei numeri 3200, 13, 839 in base 10, si ha che nel primo numero si tratta di 3 migliaia, nel secondo di 3 unità e nel terzo di 3 decine.

31 Osservazione In alcune situazioni legate alla quotidianità la base scelta per scrivere i numeri naturali è diversa dalla base 10: per indicare il tempo, la base rispetto alla quale indicare ore, minuti e secondi è la base 60 per indicare l ampiezza in gradi degli angoli, la base scelta è 60 in informatica si usa la base 2 (sistema binario) e la base 16 (sistema esadecimale)

32 Attività Dalle prove INValSI: Risposte Italia: A 40,2 % B 12% C 45,5% NR 2,3

33 Approfondimento: come scrivevano i numeri i Maya? Come scrivevano i numeri i Maya? Sistema di numerazione posizionale Maya. Osserviamo la seguente tavola dove vengono descritti i simboli utilizzati fino al 19 e la traduzione in sistema decimale: Si osservi come vengono scritti il numero 20, 40 e il 100.

34 Approfondimento: come scrivevano i numeri i Maya? Sistema posizionale verticale la cui azione è descritta dalla seguente tabella. Ogni livello corrisponde ad una potenza successiva del numero 20.

35 Approfondimento: come scrivevano i numeri i Maya? Si noti l eccezione fra i secondo e il terzo livello, dove, per ottenere il numero 360, numero di giorni in un anno (cosí era l anno Maya), si moltiplica e non Dal terzo al quarto livello si ripete invece la moltiplicazione per 20, cioè = 7200, cosí come fra i livelli successivi.