Mosaici, simmetrie impossibili e quasi-cristalli

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1 Mosaici, simmetrie impossibili e quasi-cristalli ( Una quasi-lezione ) annalisa.marzuoli@unipv.it Pavia, 13 giugno 2012

2 Esagoni e pentagoni (1.1)

3 Bibliografia essenziale (1.2) Testi e Immagini: Marjorie Senechal Crystalline Symmetries: an informal mathematical introduction Adam Hilger 1990 [avanzato] Ian Steward Che forma ha un fiocco di neve? Numeri magici in natura Bollati Boringhieri 2003 Wikipedia: Mosaic, Penrose tiling, Polygons atomic/snowcrystals/ (Accademia Svedese delle Scienze), The discovery of quasicrystals (Premio Nobel per la Chimica 2011)

4 Kepler (1.3)

5 Kepler De nive sexangula (2.1) Simmetria esagonale Strutture stellate variamente ornate (curve frattali)

6 (2.2) Spiegazioni di Keplero: I) Il fiocco di neve nell aria è tridimensionale -con sei punte dirette come i vertici di un ottaedro- ma cadendo al suolo si appiattisce in un esagono (realistico?)

7 (2.3) Spiegazioni di Keplero: II) Le gocce d acqua (sferiche) si impacchettano il più strettamente possibile, dando origine di preferenza a configurazioni esagonali

8 Struttura cristallina del ghiaccio (2.4) - Atomi di ossigeno (in rosso) -2 atomi di idrogeno per ciascun ossigeno si dispongono in reticoli esagonali H2O (diagramma di fase)

9 Simmetria e Complessità (2.5)

10 Il fascino dei fiocchi (2.6) scienza, filosofia, letteratura: la passeggiata di Castorp (T Mann, La Montagna Incantata) Hooke Micrographia (1665) Cartesio Discorso sul metodo, le meteore e la geometria (1637) (ovvero: cose che accadono nel cielo)

11 Tessellazioni del piano (3.1) Mosaici: tessere a forma di poligoni regolari di uno stesso tipo di tipi diversi pavimentano una superficie piana senza lasciare vuoti e senza sovrapporsi

12 Poligoni regolari di uno stesso tipo (n lati) (3.2) simmetrie per opportune rotazioni delle tessere e traslazioni lungo certe direzioni di una singola tessera del mosaico tessellazioni (pavimentazioni) periodiche dell intero piano esagono n=6 quadrato n=4 Generazione dei mosaici dalla singola tessera triangolo n=3 Rotazioni di 2π/n di ciascuna tessera intorno all asse passante per il centro e ortogonale al piano Traslazioni della tessera lungo opportune direzioni

13 (3.3) Poligoni regolari di tipi diversi: rotazioni e traslazioni di un insieme di poche tessere (dominio fondamentale) possono comunque produrre tessellazioni periodiche dell intero piano

14 Il pentagono (3.4) Non può pavimentare il piano senza lasciare vuoti NB Dodici pentagoni regolari combinati nel dodecaedro rappresentano una tessellazione della superficie bidimensionale di una sfera nello spazio euclideo tridimensionale

15 La restrizione cristallografica (Haüi 1882) (*): (3.5) La simmetria rotazionale pentagonale (5-fold) è incompatibile con l invarianza traslazionale propria dei reticoli periodici (tessellazioni riproducibili a partire da una singola tessera o da un piccolo gruppo di tessere chiamato dominio fondamentale). Il teorema vale sia nel piano che nello spazio e inoltre esclude anche le simmetrie rotazionali di ordine più alto (ettagonali, ottagonali, decagonali ecc.) (*) M Senechal (Cap 1, Teor 1.2)

16 Inserzione di pentagoni rottura della simmetria roto-traslazionale tessellazioni non periodiche Il mostro di Kepler (3.6)

17 Tiling non periodici (4.1) 6 proto-tessere Tiling 1 (Penrose 1974)

18 Diversi insiemi di proto-tessere per uno stesso tiling (4.2) 4 proto-tessere 3 proto-tessere

19 Evoluzione dei tiling: Kite e dart (4.3) In ogni vertice sono ammesse solo 7 configurazioni (vietato il rombo!) 2 proto-tessere decorate: Aquilone (kite) Freccia (dart) Decorate con linee curve in modo da incollarsi tra loro solo rispettando i colori e la continuità delle lineee

20 Varietà dei Penrose tiling (4.4)

21 Proiezione dell ottaedro sul piano (Kepler) Le quasi-simmetrie delle tessellazioni piane non periodiche derivano da vere simmetrie di tessellazioni periodiche in spazi di dimensione maggiore di tre (4.5) M. Senechal (Cap. 7) Proiezione sul piano dell ipercubo 4-dimensionale

22 Esperimento condotto da Dan Shechtman nel 1982 Diffrazione a raggi X su campione di Al con 10-14% Mn (5.1)

23 Pentagono regolare: (5.2) D = L x φ D: diagonale L: lato φ : sezione aurea = 1,

24 Simmetria pentagonale (5.3)