DIDATTICA DELLA MATEMATICA. 10 Lezione

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1 DIDATTICA DELLA MATEMATICA 10 Lezione

2 Obiettivi classe quinta Usare le nozioni di frequenza, di moda e di media aritmetica, se adeguata alla tipologia dei dati a disposizione. Rappresentare problemi con tabelle e grafici che ne esprimono la struttura.

3 INDAGINI STATISTICHE Popolazione statistica: l insieme degli elementi oggetto di studio Unità statistica: ogni elemento della popolazione statistica Variabile statistica ( o carattere statistico) : è ciascuno degli aspetti di una unità statistica (es. colore dei capelli, età.) Una variabile statistica può essere: - qualitativa: è espressa da una qualità, come sesso, colore, tipo di scuola frequentata. - quantitativa: è espressa da un numero, come peso, età, reddito..

4 Esempio La tabella qui a fianco si riferisce all indagine svolta in una classe sui mesi di nascita. Popolazione statistica: gli studenti della classe. Unità statistica: ogni studente Variabile statistica: mese di nascita È una variabile qualitativa! DEFINIZIONI Frequenza assoluta: il numero di unità statistiche che assumono la stessa modalità Nell esempio: la frequenza della modalità febbraio è 4 Frequenza relativa: il rapporto tra la frequenza assoluta e il numero di unità della popolazione Nell esempio: la frequenza relativa della modalità febbraio è 4 28

5 TIPI DI GRAFICI I dati raccolti in una indagine statistica si possono efficacemente rappresentare con dei grafici. La scelta del tipo di grafico dipende dal carattere statistico che si sta esaminando. Facciamo degli esempi

6 ISTOGRAMMA Gennaio 2 Febbraio 4 Marzo 2 Aprile 1 Maggio 0 Giugno 5 Luglio 2 Agosto 1 Settembre 5 Ottobre 1 Novembre 2 Dicembre Serie1

7 Grafico a barre Dicembre Novembre Ottobre Settembre Agosto Luglio Giugno Maggio Aprile Marzo Febbraio Gennaio Serie1 Gennaio 2 Febbraio 4 Marzo 2 Aprile 1 Maggio 0 Giugno 5 Luglio 2 Agosto 1 Settembre 5 Ottobre 1 Novembre 2 Dicembre 3

8 Ma in questo caso non sono adeguati né il grafico a linee né il grafico a torta Serie1 Gennaio Febbraio Marzo Aprile Maggio Giugno Luglio Agosto Settembre Ottobre

9 Grafico a torta Se però raggruppiamo i dati della tabella precedente in classi più ampie, allora il grafico a torta diventa una rappresentazione efficace. I trimestre 8 II trimestre 6 III trimestre 8 IV trimestre 6 IV trimestre 21% I trimestre 29% III trimestre 29% II trimestre 21%

10 Un utile esercizio: costruire a mano un grafico a torta PROBLEMA In una scuola con 200 alunni si è svolta un indagine sul numero dei componenti delle rispettive famiglie; i risultati sono i seguenti: 40 nuclei familiari sono composti da 3 persone, 80 da 4 persone, 60 da 5 persone e il restante da 6 persone. Rappresentare i dati con un grafico a torta

11 Costruiamo insieme il procedimento a) Per comodità compiliamo la tabella corrispondente al problema Num. nuclei fam. Num. componenti

12 b) Ora bisogna individuare l angolo che corrisponde ad ogni dato. Possiamo procedere in modo intuitivo: 100 corrisponde a metà cerchio, cioè all angolo di 180, quindi 10 corrisponde a 18. Completiamo la tabella Num. nuclei fam. Num. componenti Angolo al centro = = = = 36 Ora, mano al compasso e al goniometro e costruiamo il nostro grafico

13 tre quattro cinque sei

14 La tabulazione di una serie di dati statistici o la loro rappresentazione grafica hanno il pregio di descrivere in modo ordinato e comprensibile il fenomeno sul quale s indaga, ma qualche volta è comodo, e spesso anche necessario, sintetizzare con un solo dato l andamento del fenomeno, a condizione naturalmente che questo valore di sintesi sia effettivamente idoneo a riassumere le caratteristiche del collettivo che interessa evidenziare. Per esempio, se vogliamo avere un idea dell altezza delle persone che compongono un collettivo (una squadra di calcio, una città, una nazione, eccetera), non è necessario conoscere le altezze delle singole persone. È sufficiente sintetizzare le varie altezze con un solo valore che riassuma l altezza media delle persone del collettivo. I valori di sintesi di una serie di dati statistici sono detti più propriamente indici di posizione o indici statistici, ce n è più d uno. Rivediamo i più importanti.

15 INDICI STATISTICI 1 L indice statistico è un elemento di sintesi, non certamente esauriente, dell indagine Moda: è la modalità a cui corrisponde la frequenza maggiore -La moda si può determinare sia con variabili qualitative che con variabili quantitative. -Una distribuzione di frequenze si dice unimodale, se presenta una sola moda, altrimenti si dice plurimodale La distribuzione del primo esempio è plurimodale, e le mode sono: giugno e settembre

16 INDICI STATISTICI 2 (solo per caratteri quantitativi) Supponiamo che la seguente lista rappresenti l insieme dei voti presi dagli studenti di una classe in matematica: 4; 4; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 10 (La popolazione statistica è costituita da 23 unità) Media: somma di tutti i numeri numero degli elementi sommati Nell esempio: = ,6 Mediana: in un insieme ordinato di numeri è l elemento centrale se i dati sono in numero dispari, la media aritmetica dei due termini centrali se gli elementi sono in numero pari Nell esempio: la mediana è 6

17 Dati raggruppati In generale i dati, essendo numerosi, vengono tabulati, come già mostrato in precedenza. Vediamo come individuare, in questo caso, gli indici di posizione, lavorando sull esempio precedente. N.B.: la frequenza relativa si può esprimere anche con la percentuale VOTO Frequenza assoluta Frequenza relativa 4 2 2/ / / / / / /23

18 a) Per quanto riguarda la moda la tabella mostra immediatamente la risposta: essa corrisponde al dato di frequenza maggiore b) Per quanto riguarda la media aritmetica, riprendiamo il calcolo precedente: = = = = ,6 La media così calcolata si chiama media aritmetica ponderata e si può calcolare utilizzando sia le frequenze assolute, che quelle relative

19 Per il calcolo della mediana è utile costruire la tabella delle frequenze cumulate: VOTO Frequenza cumulata assoluta Frequenza cumulata relativa 4 2 2/ / / / / / La posizione del dato che corrisponde alla mediana è 12, che compare nella terza classe, quindi la mediana è 6

20 Dati raggruppati in classi Consideriamo il seguente esempio, relativo agli studenti delle classi quarte di un Istituto superiore (le classi comprendono il valore minimo ma non il valore massimo): Altezze (cm) Num. studenti Per quanto riguarda moda e mediana si procede come nei casi precedenti; la media viene calcolata sui valori centrali delle classi Media = =171,

21 Una proposta didattica: reinventiamo la media aritmetica (da Fare matematica ) Situazione: si presenta la settimana di lavoro di tre parrucchieri, tabulando il numero di clienti a giorno MARIO GIORNO N.Clienti Lunedi chiuso Martedi 15 Mercoledì 13 Giovedì 12 Venerdì 23 Sabato 27 GINO GIORNO N.Clienti Lunedi 17 Martedi 11 Mercoledì 13 Giovedì 16 Venerdì 20 Sabato 19 ANTONIO GIORNO N.Clienti Lunedi 23 Martedi 15 Mercoledì 13 Giovedì 12 Venerdì 16 Sabato 20

22 Domande 1) Quale parrucchiere ha lavorato di più la scorsa settimana? 2) Se ciascun parrucchiere avesse avuto ogni giorno lo stesso numero di clienti, quanti ne avrebbe avuti? Lo scopo del problema è far emergere le concezioni dei bambini relativamente al confronto di quantità che non sono ottenute in maniera omogenea. L analisi di altre situazioni può essere l occasione di osservazioni interessanti che possono aiutare al formarsi un senso della media.

23 Nota Bene È importante capire e aiutare a capire la funzione di ognuno dei valori medi sopra descritti: la moda è sempre un valore dell insieme dei dati e rappresenta il valore (o i valori) più ricorrente la mediana M non sempre è un valore dell insieme dei dati; essa spezza a metà l insieme: quindi prima di essa ci saranno tutti valori minori o uguali a M, e dopo di essa tutti i valori maggiori o uguali a M la media aritmetica non è in generale un valore dell insieme dei dati, ma certamente è tra i tre, quello meno ambiguo. Vediamo un esempio estremo

24 ESEMPIO La tabella riporta i risultati di un compito in classe Voto Numero studenti Moda = 5 Mediana =8 Media =6,4

25 In realtà anche la media aritmetica non è sufficiente a caratterizzare una distribuzione statistica. Rimando, a tale proposito, a quanto è stato sviluppato in Fondamenti di Matematica

26 ESERCIZIO La seguente tabella riporta la distribuzione delle altezze degli alunni di una classe. a) Raggruppare i dati b) Rappresentarli graficamente c) Determinare media, moda e mediana

27 Obiettivo In situazioni concrete, di una coppia di eventi intuire e cominciare ad argomentare qual è il più probabile, dando una prima quantificazione nei casi più semplici, oppure riconoscere se si tratta di eventi ugualmente probabili.

28 EVENTI ALEATORI Nell ambito della teoria della probabilità l esito di una qualsiasi esperienza viene detto evento. Un evento si dice aleatorio o casuale per un soggetto umano, se questi non è nelle condizioni di esprimere un giudizio certo sul suo verificarsi o meno: ad attribuire aleatorietà ad un evento sono perciò il grado e la qualità delle informazioni che un soggetto ha circa quell evento.

29 ESEMPIO Nel gioco della tombola consideriamo l evento: «In questa estrazione esce un numero pari» - Se sappiamo che sono già stati estratti tutti i numeri dispari, l evento è certo. - Se invece sono già stati estratti tutti i numeri pari, l evento è impossibile. - Se invece nell urna permangono numeri pari e dispari l evento è aleatorio.

30 Le diverse concezioni di probabilità: la probabilità classica Dato un fenomeno( es. lancio di un dado) si dice: Esito: ogni risultato del fenomeno (es. esce 1, 2, 3, 4,5, 6) Evento: un insieme di esiti( es: esce un numero pari) Casi possibili: tutti i possibili esiti Casi favorevoli: esiti che verificano l evento in esame Si dice probabilità classica di un evento E, e si indica con p(e), il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili (supposti equiprobabili) p E = numeri casi favorevoli numero casi possibili Es.: E= esce un numero pari p E = 3 6

31 Esempio 1 Se lanciamo due monete quali sono i possibili esiti? Si potrebbe dire: due teste, due croci e una testa e una croce; ma sono tutti equiprobabili? No! Infatti la configurazione una testa e una croce si presenta in due modi: croce-testa e testa-croce, mentre le altre due in un solo modo. Il modo corretto quindi di considerare gli esiti è: testa-testa testa-croce croce-testa croce-croce

32 Esempio2 Se lanciamo tre monete, quali sono le possibili configurazioni? TTT TTC TCT CTT TCC CTC CCT CCC Ora consideriamo l evento: E = escono esattamente due teste Casi possibili: 8; casi favorevoli : 3 Ora si può calcolare la probabilità p E = 3 8

33 I due esempi precedenti si riferiscono a fenomeni per i quali possiamo conoscere in anticipo i possibili esiti e valutare che essi siano equiprobabili. Ma non tutti i fenomeni aleatori sono di questo tipo. Qual è la probabilità di prendere l influenza quest anno? Le possibilità sono due: -prendere l influenza -non prendere l influenza La probabilità di ammalarsi è allora del 50%? Sappiamo che non è così; i due esiti, infatti, non sono equiprobabili. Per valutare la probabilità dell evento in questione non possiamo utilizzare la concezione classica della probabilità

34 Le diverse concezioni di probabilità: la probabilità frequentista Un atteggiamento tipico in situazioni di incertezza sull esito di un esperienza è quello di riferirsi alla storia passata per fare predizioni su quella futura. ( Esempio: le assicurazioni) Questo tipo di impostazione conduce alla definizione di probabilità a posteriori o frequentista: Se si esegue un esperienza un numero n di volte e si osserva che un evento E si è presentato h volte su n, allora: P E = h n N.B.: la probabilità frequentista è uguale alla frequenza relativa f.

35 Se lanciamo una moneta tante volte ci aspettiamo di ottenere Testa circa nella metà dei tiri. Se ottenessimo un risultato molto diverso ci verrebbe il legittimo sospetto che la moneta sia truccata. Noi pensiamo cioè che la valutazione di probabilità corrispondente alla concezione classica corrisponda a quello che in effetti accade in realtà. Questo fatto è espresso dalla seguente legge.

36 LEGGE EMPIRICA DEL CASO: La frequenza relativa f di un evento casuale, di probabilità p in senso classico, pur variando al variare del numero N delle prove, effettuate tutte nelle medesime condizioni, al crescere di N si approssima, benché non in modo regolare, alla probabilità p dell evento. La differenza f p si approssima a zero (ma non in modo regolare). Ma non tutti i fenomeni casuali sono valutabili con gli strumenti fin qui introdotti

37 Le diverse concezioni di probabilità: la probabilità soggettiva Qual è la probabilità che la Juventus vinca la Coppa dei Campioni? È evidente che a questo tipo di domanda non si può rispondere né con la concezione classica, né con quella frequentista; eppure si fanno scommesse, nelle quali, in qualche modo si fa una valutazione del grado di possibilità dell evento. Parliamo in questo caso di probabilità soggettiva. Considerato un evento aleatorio E, la probabilità P(E) che il soggetto attribuisce all evento E è un numero reale che esprime la disponibilità del soggetto, supposto ragionevole, a versare la posta M, col patto di ottenere la vincita V se l evento E si verifica P E = M V

38 Qualunque sia la concezione di probabilità che si applica valgono le seguenti affermazioni La probabilità dell evento certo è 1 La probabilità dell evento impossibile è 0 La probabilità di un evento E è un numero compreso tra 0 e 1: 0 p(e) 1

39 Una conseguenza Fenomeno: lancio di un dado E= esce un multiplo di 3 Quanto vale p(e)? E= esce un numero non divisibile per 3 Quanto vale p(e)? Quale conclusione possiamo trarre?

40 Dato un evento E, si dice che E è l evento complementare di E, o la negazione di E, se: E ed E non hanno esiti in comune (E E = ) l unione di E ed E copre l insieme dei possibili risultati (E E = U, dove U è l insieme di tutti gli esiti) Allora: p E = 1 p(e)

41 Suggerimenti didattici Si può ragionevolmente supporre che nel vissuto dei bambini sia già presente qualche esperienza legata alla probabilità. Può essere chiedere cosa la parola probabilità fa loro venire in mente, così da rendersi conto da quali tipo di idee si parte. È importante far emergere gli aspetti quantitativi della probabilità, come suggerito nelle Indicazioni Nazionali ponendo domande presentando situazioni, facendo eseguire esperimenti

42 Esempio Nelle urne A e B ci sono palline bianche e palline nere come le puoi vedere (l insegnante è bene che si procuri effettivamente urne o sacchetti e palline bianche e nere ). Puoi estrarre ad occhi chiusi una pallina e se è bianca vinci un premio. Preferisci estrarre dall urna A o dall urna B? Oppure è indifferente? Sai dire perché?

43 Si può poi far estrarre ad ogni bambino una pallina da ognuna delle due urne e registrare i risultati, formulando le conclusioni sotto forma di frazione: «dall urna A la pallina bianca è uscita 10 volte su 22, cioè possiamo assegnare all uscita della pallina bianca una possibilità di 10 22» Simili percorsi si possono poi fare con i dadi, con le monete, con le carte Ma anche: «se prendo un bambino a caso in questa classe che possibilità ho che sia maschio?»

44 La vita quotidiana può dare molti spunti per questo tipo di lavoro. La probabilità è uno strumento per orientarsi in modo ragionevole in situazioni di incertezza L obiettivo, per la scuola primaria, è quello di aprire i bambini a questa possibilità

45 ESERCIZI 1) Lanciamo due dadi regolari con 6 facce a) Quali sono tutti i possibili esiti? b) Sia E l evento «la somma delle facce è 7»; calcolare p(e) c) Sia A l evento «la somma delle facce è minore di 7»; calcolare p(a) d) Enunciare A e calcolare p(a ) e) Calcolare la probabilità che almeno uno dei due dadi presenti la faccia 6. 2)Si estrae uno dei 90 numeri della Tombola. a) Determina l evento E1 caratterizzato dalla proposizione «il numero estratto è divisibile per 5» e calcolane la probabilità. b) Determina l evento E2 caratterizzato dalla proposizione «il numero estratto è divisibile per 8» e calcolane la probabilità. c) Verifica che risulta: p(e1 E2) = p(e1)+p(e2) p(e1 E2).

46 3) In un urna vi sono 5 palline bianche e 3 palline nere. b) Si estrae una pallina a caso e si vede che è bianca. Si estrae quindi una seconda pallina. Qual è la probabilità che quest ultima sia nera? c) Si estrae una pallina a caso e si vede che è nera, poi la si rimette nell urna. Si estrae quindi una seconda pallina. Qual è la probabilità che quest ultima sia bianca?