Avvertenza Tutto ciò che segue viene presentato solo in maniera schematica come traccia degli argomenti trattati durante il corso. Fonti: B. Di Paola

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1 CdL Scienze della Formazione Primaria Corso di Matematica per la Scuola Primaria e dell Infanzia III anno Parte delle Dispense del corso (elaborate dal Dott. Di Paola) A.A. 2012/2013 Prof. A. Brigaglia Dott. B. Di Paola

2 Avvertenza Tutto ciò che segue viene presentato solo in maniera schematica come traccia degli argomenti trattati durante il corso. Fonti: B. Di Paola et alli. (2007). La Geometria. Una guida ai suoi contenuti e alla sua didattica, Palumbo, Palermo L. Piaggi et alli. (1996). Nuovo corso di Geometria, Mursia, Milano G. Prodi. (1975). Matematica come scoperta, Casa Editrice D Anna, Firenze R. La Rosa et alli. (2003). Matematica, Geometria, Vol. 1A e 1B, La Scuola, Milano Fonti: web Wikipedia ( Sito web: UbiMath Sito web: G.R.I.M. Materiale didattico scaricabile in rete: Prof. Roberto Bossi (2004) Altri sussidi digitali citati nelle vaie slide successive

3 Breve presentazione del corso: -Il numero ampliamenti numerici e operazioni, -Proporzioni e relazioni di proporzionalità; -Geometria Piana enti primitivi, assiomi, oggetti geometrici Area e Perimetro di poligoni regolari e non; teorema di Pitagora -Trasformazioni geometriche isometriche e non aspetti concettuali e di costruzione: -Geometria solida poliedri regolari e solidi di rotazione Superfici e Volumi di solidi regolari e non -Insiemi e loro proprietà; -Calcolo delle Probabilità e statistica -Aritmetica modulare.

4 IL NUMERO AMPLIAMENTI NUMERICI E OPERAZIONI, Contenuti ed esercizi

5 Che cosa è un numero? Dedekind ( ), Che cosa sono e cosa devono essere i numeri (1888)

6 Le quattro operazioni nei numeri naturali Addizione Sottrazione Moltiplicazione Divisione

7 Addizione Per addizionare due numeri naturali a e b, si devono sommare ad a tante unità quante sono quelle di b. Si otterrà un risultato c detto somma tra a e b. Quindi a+b=c dove a e b sono gli addendi, c è la somma e + il simbolo di addizione. Sulla semiretta orientata tale operazione si schematizza così: +b a c Si può notare come, assegnati due numeri naturali qualsiasi a e b, è sempre possibile ottenere c che è un numero naturale. Da ciò segue che la somma tra due numeri naturali è sempre possibile in N, cioè che N è un insieme chiuso rispetto all addizione.

8 Le proprietà dell addizione Proprietà commutativa Proprietà associativa Proprietà dissociativa Esistenza dell elemento neutro

9 Proprietà commutativa Scambiando l ordine degli addendi, la somma non cambia. Esempio: a+b=b+a 10+5=5+10=15

10 Proprietà associativa Se si sommano tra loro tre o più addendi, il risultato non cambia se a due o più di essi si sostituisce la loro somma. Esempio: a+b+c+d=(a+b)+c+d=(a+b)+(c+d)= =(15+25)+(19+11)=40+30=70

11 Proprietà dissociativa Se ad un addendo si sostituisce la somma di due o più numeri la cui somma dia l addendo stesso, il risultato non cambia. Esempio: a=m+n a+b+c=(m+n)+b+c=m+n+b+c =(10+1)+(10+9)+22= =52

12 Esistenza dell elemento neutro Lo zero è definito elemento neutro dell addizione: se si considera qualsiasi numero naturale e lo si addiziona a zero, il risultato è il numero stesso. Esempio: a+0=0+a=a 20+0=0+20=20

13 Sottrazione La sottrazione è l operazione inversa della somma. I suoi termini si chiamano: il primo: minuendo il secondo: sottraendo Il - è il simbolo, il risultato si chiama resto o differenza.

14 Sottrazione (continua) Perché la sottrazione tra due numeri naturali a e b sia possibile, occorre che: a b Infatti: se a>b a-b=c es. 10-7=3 se a=b a-b=0 es =0 se a<b a-b è impossibile es. 5-8=? Poiché scelti due numeri qualsiasi, non sempre è possibile determinare la differenza come numero naturale, si dirà che l insieme N è aperto rispetto alla sottrazione.

15 Sottrazione Utilizzando la semiretta orientata, la sottrazione può essere così schematizzata: -b a > b a b = c c a -b a = b a b = 0 0 -a a 0 -b a b > a a-b risulta impossibile

16 Le proprietà della sottrazione Non valgono né la proprietà commutativa Es. 3-6=-3 6-3=3 né la proprietà associativa (5-3)-1=1 5-(3-1)=3 Proprietà invariantiva

17 Proprietà invariantiva La differenza tra due numeri non cambia se ad ogni termine si aggiunge o si sottrae lo stesso numero, purché tale numero sia minore o uguale al sottraendo. Esempio: =36 (120+16)-(84+16)= =36 (120-20)-(84-20)=100-64=36

18 La moltiplicazione La moltiplicazione è un operazione che rappresenta una forma abbreviata per eseguire somme di numeri uguali. Esempio: 3x4= =12 Pertanto, la moltiplicazione risulta una operazione diretta i cui termini si dicono fattori, x o è il simbolo, il risultato è detto prodotto. È sempre possibile effettuare la moltiplicazione in N essendo questa un operazione diretta e costituendo un ampliamento dell addizione. Quindi l insieme N è chiuso rispetto alla moltiplicazione.

19 Le proprietà della moltiplicazione Proprietà commutativa Proprietà associativa Proprietà dissociativa Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma e rispetto alla differenza Esistenza dell elemento neutro Lo zero e la legge dell annullamento del prodotto

20 Proprietà commutativa Scambiando l ordine dei fattori, il prodotto non cambia. a b=b a Esempio: 15 10=10 15=150

21 Proprietà associativa Se si moltiplicano tra loro tre o più fattori, il prodotto non cambia se a due di essi si sostituisce il loro prodotto Esempio: a b c d=(a b) (c d) 3 5 7=(3 5) 7=15 7= =3 (5 7)=3 35=105

22 Proprietà dissociativa Se ad un fattore si sostituisce il prodotto di due o più fattori il cui prodotto sia il fattore stesso, il risultato non cambia. Se allora Esempio: a=m n a b c=(m n) b c=m n b c = =315

23 Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma e alla differenza Se si deve moltiplicare una somma di più addendi (o una differenza) per un fattore, si può moltiplicare ogni termine per il fattore e quindi sommare (o sottrarre) i prodotti ottenuti. (a+b+c) d=a d+b d+c d (a-b) c=a c-b c Esempio: ( ) 3= = =108 (56-35) 4= =

24 Elemento neutro della moltiplicazione Se si moltiplica per uno, un qualsiasi numero, il risultato è il numero stesso. Esempio: a 1=1 a=a 35 1=1 35=35 Quindi il numero 1 è l elemento neutro della moltiplicazione.

25 Lo zero e la legge di annullamento del prodotto Se si moltiplica un qualsiasi numero per zero, il risultato è zero. a 0=0 Esempio: 5 0=0 0 15=0 Da ciò ne consegue che il prodotto di due fattori è zero se almeno uno di essi è zero (legge di annullamento del prodotto). Esempio: a 6=0 soltanto se a=0 0 a=0 a b=0 almeno uno dei due fattori deve essere uguale a zero: a=0 o b=0

26 Divisione La divisione è l operazione inversa della moltiplicazione. Infatti eseguire la divisione fra due numeri a e b, significa trovare, se esiste, un terzo numero c tale che b c=a. Il simbolo della divisione è :, a è il dividendo, b il divisore e c il quoto o quoziente. a:b=c Come si può notare, scelti due numeri a caso a e b, non sempre è possibile ottenerne un terzo che risponda alla definizione data. Pertanto, l insieme N è aperto rispetto alla divisione. In N, a deve essere multiplo di b. Anche per la divisione, come per la sottrazione, non esiste elemento neutro.

27 Proprietà della divisione Proprietà invariantiva Lo zero nella divisione

28 Proprietà invariantiva Moltiplicando o dividendo per una quantità diversa da zero, entrambi i termini di una divisione, il risultato non cambia. a:b=c (a m):(b m)=c (a:m):(b:m)=c Esempio: 135:15=9 (135:5):(15:5)=9 27:3=9 oppure: (135 2):(15 2)=9 270:30=9 m0 m0

29 Lo zero nella divisione Particolare importanza investe nella divisione il numero zero. Consideriamo il caso generico a:b. Ne consegue che: se a,b0 allora a:b=c se a=0 e b 0 allora 0:b=0 in quanto, per la prova della divisione, si ha b 0=0. Se a=0 e b=0 allora 0:0=indeterminata cioè qualsiasi risultato è possibile perché qualsiasi numero moltiplicato per zero dà zero. Se a0 e b=0 allora a:0=impossibile perché qualsiasi numero moltiplicato per zero dà zero e non può dare a.

30 Potenza La moltiplicazione serve a definire l operazione di potenza di numeri naturali. Si dice potenza di un numero naturale a il prodotto di più fattori uguali al numero stesso. In simboli si scrive: a n dove a è la base, cioè il numero che deve essere moltiplicato per se stesso tante volte quanto indicato dall esponente n. Esempio: 3 2 =3 3=9 5 4 = =625

31 Potenza Proprietà: a m a n = a m + n a m : a n = a m n con (a m ) n = a m n (a b) n = a n b n (a : b) n = a n : b n ( m n) Avvertenza 1 n = 1 0 n = non ha alcun significato a 0 = 1 per ogni numero naturale a

32 Potenza Per esempio, il numero 576,834 rappresenta: 5 centinaia + 7 decine + 6 unità + 8 decimi + 3 centesimi + 4 millesimi. Esaminiamo che cosa succede con le potenze dei numeri decimali. 0,2 3 = 0,2 0,2 0,2 = 0,008 1,2 4 = 1,2 1,2 1,2 1,2 = 2, ,04 3 = 0,04 0,04 0,04 = 0,000064

33 Potenza Possiamo scrivere i risultati anche nel modo seguente: 0,2 3 = 0,008 = 8 0,001 1,2 4 = 2, 0736 = ,0001 0,04 3 = 0, = 64 0, D'altra parte Esercizi

34 Esercizi

35 Notazione scientifica Un numero si dice scritto in notazione scientifica quando è espresso tramite una scrittura del tipo: x* 10 n con 1 x 10 nz La regola pratica è la seguente: a) si scrive la prima cifra del numero; b) si inserisce la virgola; c) si scrivono le altre cifre; d) si moltiplica tutto per la potenza del 10 che ha come esponente il numero di posti di cui occorre spostare la virgola per ottenere il numero x con le caratteristiche richieste ,8 1,24568*10 0,0048 4,8*10 3 3, ,246*10

36 I NUMERI NATURALI Struttura dell insieme N Cenni storici

37 Struttura dell insieme N La successione dei numeri naturali 0, 1, 2, 3, 4, 5 è un insieme infinito costituito cioè da infiniti elementi che si ottengono ognuno dal precedente aggiungendo una unità. Nel sistema di numerazione da noi usato, cioè il sistema di numerazione decimale, le cifre utilizzate sono dieci: e con esse si compongono tutti i numeri. Nella rappresentazione insiemistica per elencazione l insieme N è così rappresentato: N={0,1,2,3,4,5, } E possibile rappresentare i numeri naturali su una semiretta orientata dopo aver fissato un opportuna unità di misura corrispondente a un unità: A u La semiretta orientata è illimitata a destra, come indica la freccia. E da notare che ad ogni numero naturale corrisponde un punto, ma non viceversa. Ad esempio, al punto A non corrisponde un numero naturale.

38 Struttura dell insieme N Due numeri naturali a e b si dicono uguali se ad entrambi corrisponde lo stesso punto sulla semiretta orientata. Valgono quindi le proprietà dell uguaglianza: 1) Proprietà riflessiva a = a 2) Proprietà simmetrica se a = b allora b = a 3) Proprietà transitiva se a = b e b = c allora a = c Analogamente si possono definire due relazioni di disuguaglianza: a) Ogni numero naturale è maggiore di quelli che lo precedono nella successione e quindi sulla semiretta orientata. Esempio: 5 > 1, 6 > 0 b) Ogni numero naturale è minore di quelli che lo seguono nella successione e quindi sulla semiretta orientata, pertanto lo zero è il minore numero dell insieme N. Dati due numeri a e b si può verificare una sola di queste tre soluzioni: Tale principio è detto di tricotomia. a < b a = b a > b

39 Cenni storici La nozione di numero si può sicuramente far risalire alle epoche più antiche in cui visse l uomo, come testimoniano le pitture rinvenute sulle pareti delle caverne preistoriche ed altre testimonianze archeologiche. Ma come è nato il concetto di numero? Inizialmente a colpire l uomo primitivo furono sicuramente più le differenze che le somiglianze: un lupo e molti lupi, una pecora e un gregge, un albero e una foresta creavano contrasti più facili da cogliere che non la similarità, intesa come uguale numerosità, fra un lupo e un sasso, fra una pecora e un albero. A poco a poco però attraverso l osservazione le differenze stesse sembrarono rinviare a delle somiglianze: il contrasto tra un solo lupo e molti lupi, tra una pecora e un gregge, tra un albero e una foresta suggerirono che un lupo, una pecora e un albero hanno qualcosa in comune: la loro unicità. Attraverso lo stesso tipo di approccio venne osservato che certi altri gruppi, come le coppie, possono essere messi in corrispondenza biunivoca: le mani possono essere appaiate con i piedi, con gli occhi, con le orecchie o con le narici. Questo riconoscimento, raggiunto al termine di un processo lungo e graduale, di una proprietà astratta che certi insiemi hanno in comune, e che chiamiamo numero, rappresenta un grande passo verso la matematica moderna. L uomo primitivo non conosceva i numeri. Per contare, per esempio, le pecore del suo gregge, usava le dita, ossia alzava un dito per ogni pecora. Annotava poi il totale tracciando, sulla sabbia, altrettante dita, oppure facendo altrettante tacche su un pezzo di legno. Contava anche associando a ciascun oggetto un bastoncino: era quindi in grado di annotare il totale conservando il mazzetto di bastoncini. Attraverso i secoli, l uomo ha imparato a dare un nome ad ogni numero e a rappresentare ogni numero con un simbolo. I numeri naturali sono stati introdotti, fin dall antichità, per contare gli oggetti di un dato insieme.

40 Lo zero? L'appartenenza dello zero ai numeri naturali è un tema decisamente controverso. Tanto il decidere per l'inclusione, quanto per l'esclusione porta a problemi concettuali non banali. Non esiste un accordo generalizzato per l'esclusione o l'inclusione dello zero nei naturali, ciascuna scelta porta a problemi di incoerenza (nel caso dell'inclusione) o di incompletezza (nel caso dell'esclusione) praticamente irrisolvibili. La definizione originale dei numeri naturali, con lo zero escluso, è incompleta senza un simbolo che indichi l'assenza di oggetti in un insieme. Non saremmo, infatti, in grado di scrivere su un foglio l'evento "non ci sono più bottiglie in cantina". Viceversa, l'inclusione dello zero nei numeri naturali rompe la coerenza dell'insieme basata sull'assunto che ogni numero è corrispondente alla presenza di una quantità. Lo zero sarebbe l'unico numero legato all assenza di bottiglie. Quindi, mentre i numeri 1,2,3... sono legati ad una presenza concreta di oggetti, lo zero è sicuramente particolare perché corrisponde all'idea astratta dell'assenza di oggetti. La difficoltà di adottare il modello inclusivo o esclusivo è quindi evidente: se i numeri naturali sono l'astrazione della misura di una quantità di oggetti, come si colloca lo zero, in quanto "misura del vuoto"?

41 Postulati di Peano ( ) Postulati già precedentemente formulati da Dedekind, proposti come fondamento dell aritmetica e che descrivono la struttura dei numeri Naturali. Si basano sui concetti primitivi di zero, numero e successivo. I postulati affermano: -Zero è un numero -Ogni numero ammette un unico successore, che è un numero -Due numeri con successori uguali sono identici -Zero non è successore di alcun numero -Se zero appartiene ad una certa classe F e se si dimostra che, una volta che un numero qualsiasi appartiene a F allora vi appartiene anche il suo successivo, allora tutti i numeri appartengono a F. Principio di induzione: se una proprietà è vera per il primo elemento (0) e, supposta vera per l n-esimo, si dimostra vera anche per l n+1-esimo, allora è vera per tutti gli elementi.

42 Mappa concettuale in esso si definisce Insieme N dei numeri Naturali ORDINAMENTO ADDIZIONE a + b MOLTIPLICAZIONE a b Potenza a n SIMBOLI attraverso Se ab ammette l operazione inversa Se a multiplo di b e b0 ammette l operazione inversa SOTTRAZIONE a - b DIVISIONE a : b TEST FINALE

43 Il concetto di numero razionale Le frazioni I numeri razionali

44 Le frazioni La frazione come operatore Prodotto e potenza di frazioni Frazioni equivalenti Confronto tra frazioni Addizione e sottrazione di frazioni

45 I numeri razionali Il concetto di numero razionale I numeri decimali

46 La frazione come operatore L operatore frazionario m n è il procedimento che consente di dividere in n parti uguali la quantità di partenza e di considerarne m. Es. Considerare i 2/3 di 18 significa dividere 18 in 3 parti uguali e poi considerare due parti di queste.

47 Esempio 6 4 Quantità iniziale Operatore frazionario Frazione

48 Se la quantità iniziale è rappresentata da un numero p non divisibile per m (cioè non esiste un numero intero q che moltiplicato per m ci dia p) allora l operatore frazionario applicato a p ci dà: di 8 equivale a di 5 equivale a di 13 equivale a n p m m n

49 Se n=m allora l operatore frazionario lascia invariata la quantità 4 5 su cui viene applicato. Ad esempio di 3 dà proprio 3, di dà 8. Questo perché prima abbiamo diviso in parti uguali una certa quantità e poi l abbiamo ricomposta mettendo insieme le parti in cui l avevamo frazionata. In una generica frazione n d, n viene detto numeratore e d denominatore. Il denominatore deve essere sempre diverso da zero perché la divisione per 0 non è definita. Il denominatore indica in quante parti bisogna dividere l unità. Il numeratore n indica in quante volte bisogna considerare 1 l unità frazionaria d

50 Esempi di 12 di 6 di

51 Esercizi Calcola: 13 6 di 24 di di 5 9 di di di di 3 6 di 24

52 Prodotto e potenza di frazioni q n p m q p n m Il prodotto di due frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori delle frazioni date. Esempi

53 Potenza di frazioni n b a b a Data la frazione e il numero naturale n, si definisce potenza n-esima di e si scrive, il prodotto di n fattori uguali ad. Se n=0,,cioè qualunque frazione, elevata a 0, dà come risultato 1. L espressione con b 0 non è definita in quanto è uguale a 0 0, espressione priva di significato matematico. Se allora Esempio infatti b a b a b a 0 0 b d c b a n b a d c n

54 Divisione tra frazioni m p Dividere una frazione per una frazione significa m n p q moltiplicare per l inversa di : n q m p m q : n q n p Esempio: 5 12 : Due frazioni sono inverse fra loro quando il loro prodotto è uguale a Esempio: è inversa di infatti

55 Esercizi Calcola: ; ; : ; 3 4 : 1 9 ; : ; ; ; ;

56 Frazioni equivalenti m Data una qualsiasi frazione, se moltiplichiamo o dividiamo n numeratore e denominatore per uno stesso numero otteniamo p m un altra frazione detta frazione equivalente ad. q n Esempio : 5 30 : :12 12 : : 3 6 :

57 Una frazione si dice ridotta ai minimi termini quando numeratore e denominatore sono primi fra loro, cioè se non hanno fattori in comune. Consideriamo ad esempio la frazione. La prima cosa che andiamo a fare è fattorizzarne i termini, cioè scomporre numeratore e denominatore in fattori primi: Dividendo per 2 si ottiene: Come si può vedere il numeratore e il denominatore hanno ancora un fattore in comune, cioè il 2. Quindi dividiamo ancora e 2 otteniamo. La frazione ottenuta si dice ridotta ai minimi termini. 3 Una frazione non ridotta ai minimi termini si dice riducibile

58 Quando si calcola il prodotto tra frazioni è quindi utile ridurre prima le frazioni ai minimi termini. Dopo aver effettuato tale operazione occorre vedere se la frazione prodotto ottenuta è a sua volta riducibile e procedere alla semplificazione di questa Potevamo operare anche in questo modo: che comunemente viene detto procedimento di semplificazione in croce.

59 Tutte le frazioni equivalenti fra loro costituiscono un insieme infinito di frazioni di cui una sola è ridotta ai minimi termini; le altre possono ottenersi da essa moltiplicandone numeratore e denominatore per uno stesso numero. A tale insieme viene dato il nome di classe di frazioni equivalenti

60 Consideriamo adesso due frazioni qualsiasi: Determiniamo alcune frazioni equivalenti: Come si può osservare, tra le frazioni equivalenti a e a sono presenti due frazioni aventi a denominatore 3 7 lo stesso numero: e Naturalmente ve ne saranno infinite con uguale denominatore e precisamente tutte quelle che hanno a denominatore un multiplo del numero 21, detto comunemente minimo comune multiplo dei denominatori e 3 7

61 In generale comunque è sempre possibile trasformare due frazioni qualsiasi in frazioni ad esse equivalenti e aventi lo stesso denominatore. Per poter fare questo occorre: cercare un multiplo comune ai denominatori dividere tale nuovo denominatore per ciascun vecchio denominatore moltiplicare ciascun quoto per il corrispondente numeratore. Esempio Vogliamo trasformare e in frazioni ad esse equivalenti aventi lo stesso denominatore. Tra i multipli comuni a 5 e a 4 prendiamo il numero 20 (potremmo prenderne qualsiasi). Dividendo 20 per 5 otteniamo 4 e dividendo 20 per 4 otteniamo 5. moltiplicando questi quoti per 2 e per otteniamo le frazioni e

62 Esercizi 1) Scrivi almeno 5 frazioni equivalenti a ciascuna delle seguenti: ) Dove è possibile, riduci ai minimi termini: 3) Riconduci allo stesso denominatore le seguenti frazioni: a) b) c)

63 Somma e differenza di frazioni con uguale denominatore La somma (o differenza) di due o più frazioni aventi uguale denominatore è una frazione che ha per denominatore il denominatore dato e per numeratore la somma (o differenza) dei numeratori. Esempi b c a b c b a b c a b c b a )

64 Somma e differenza di frazioni con diverso denominatore Quando si devono sommare (o sottrarre) frazioni con diverso denominatore occorre prima di tutto trasformare le frazioni date in frazioni equivalenti che abbiano per denominatore un multiplo comune dei denominatori dati. Di solito, per brevità di calcolo, si sceglie il m.c.m. tra i denominatori. Il procedimento da seguire per addizionare o sottrarre le frazioni è il seguente: tracciare una linea di frazione abbastanza lunga da contenere tutti i numeratori; sotto la linea di frazione scrivere il denominatore-multiplo scelto (è conveniente scrivere il minimo comune multiplo dei denominatori); dividere tale denominatore per ciascuno dei denominatori delle frazioni che si stanno sommando (o sottraendo); moltiplicare il quoto ottenuto per il corrispondente numeratore; scrivere il risultato al posto del vecchio numeratore; sommare (o sottrarre) i nuovi numeratori; scrivere la nuova frazione ottenuta.

65 Criteri di divisibilità: - Un numero è divisibile per 2 se è pari e quindi termina con una delle cifre pari (0,2,4,6 );; -Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3; - Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5; -Un numero è divisibile per 7 quando lo è il numero ottenuto dopo aver eseguito le indicazioni a), b) e c) -a) riscrivere il numero senza l ultima cifra (quella relativa all unità);; -b) raddoppiare la cifra che è stata esclusa; -c) eseguire la sottrazione fra i numeri individuati ai punti a e b. Es. 98, 392, 1778 etc. - Un numero è divisibile per 11 quando lo è il numero ottenuto dopo aver eseguito le indicazioni a, b e c: -a) determinare la somma delle cifre di posto dispari; -b) determinare la somma delle cifre di posto pari; -c) eseguire la sottrazione fra il maggiore e il minore dei numeri individuati nei punti a) e b). Es. 253, 528, 8679

66 Criteri di divisibilità: Dai criteri dati se ne possono ricavare altri: - Un numero è divisibile per 10, 100, 1000 quando termina rispettivamente per 0, 00, 000; - Un numero è divisibile per 4 se termina con 00 o se le ultime due cifre sono divisibili per 4; - Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre risulta divisibile per 9; - Un numero risulta divisibile per 25 se le sue ultime cifre sino 00, 25, 50, 75. Numeri primi

67 M.C.D. e m.c.m. La fattorizzazione ci permette di determinare il massimo comun divisore (cioè, il più grande fra i divisori comuni tra due o più numeri) e il minimo comune multiplo (cioè, il più piccolo fra i multipli comuni a due o più numeri) di due o più numeri. Per determinare il Massimo Comune Divisore tra due numeri si può anche usare il metodo delle divisioni successive o algoritmo euclideo delle divisioni successive. Se il resto della divisione fra due numeri è 0 allora il M.C.D. tra essi è il numero più piccolo. Se il resto non è 0, allora si divide il quoziente q per il resto r ottenendo un nuovo quoziente q' e un nuovo resto r'. Questo processo si itera a partire da r nel ruolo di dividendo ed r' in quello di divisore, finché non si ottiene un resto nullo. Si può dimostrare allora che l'ultimo divisore non nullo è il M.C.D. cercato. Esercizi

68 Spiegazione dell'algoritmo basato sulle divisioni con resto successive Prendiamo a,b interi con a,b>0 e supponiamo 0<a<b. Dividiamo b per a, avremo che: b = q1a+r1, con 0 <= r1<a. Osserviamo che: i) se r1=0, allora b = q1a e abbiamo già che MCD(a,b)=a; ii) altrimenti, preso un intero positivo d 1) se d divide sia a che b, allora dividerà anche r1 in quanto combinazione lineare di a e b; 2) viceversa, se d divide a e r1, dividerà anche b per la stessa proprietà sopra. Quindi possiamo concludere che MCD(a,b) = MCD(a,r1), con il vantaggio che r1<a<b. Ora ripetiamo lo stesso procedimento sostituendo al posto di a e b i nuovi valori a e r1 con r1<a: a = q2r1+r2, con 0<=r2<r1 dove i) se r2=0, si ha che r2 a, quindi MCD(a,b) = MCD(a,r1) = r2; ii) altrimenti, si ripetono le stesse conclusioni giungendo a definire che MCD(a,b)=MCD(a,r1)=MCD(r1,r2). Continuiamo a costruire queste successioni di resto sino ad arrivare all'i-esima iterazione dove ri-1=qi+1ri+ri+1, con 0<=ri+1<ri e avremo che i) se ri=0, allora MCD(a,b) = ri-1; ii) altrimenti, continuiamo il procedimento. Poiché gli ri sono interi non negativi e la successione di resti è decrescente, ad un certo punto ci dovremo fermare, cioè esisterà un rn diverso da zero tale che rn+1=0, allora il nostro MCD(a,b) sarà uguale all'ultimo resto diverso da zero della catena di divisioni. Questo procedimento è vantaggioso perché non dobbiamo scomporre in fattori primi e si utilizzano divisioni sempre più facili. Proviamo ora a ricostruire s,t procedendo a ritroso nell'algoritmo euclideo: presi MCD(a,b) = rn e sa+tb = rn, possiamo scrivere rn = rn-2 - qn rn-1, e andiamo a sostituire il valore di rn-1 che si ricava dall'uguaglianza rn-3 = qn-1 rn-2 + rn-1: rn = rn-2 - qn(rn-3-qn-1rn-2) = (1+qnqn-1) rn-2 - qnrn-3. Ora sostituiamo in questa equazione il valore di rn-2 che si ottiene da rn-4 = qn-2rn-3 + rn-2 e avremo rn come espressione in rn-3 e rn-4, quindi andremo a sostituire rn-3 e continueremo questo procedimento fino ad ottenere rn come combinazione lineare dei soli a e b. Tratto da:

69 Teorema (Esistenza di un massimo comun divisore). Se a e b sono numeri interi non entrambi nulli, esiste un massimo comun divisore di a e b. Inoltre esistono due interi s e t tali che: d = sa + tb. La relazione è detta identità di Bézout. Es: Determinare il massimo comun divisore d tra 376 e 164 ed una identità di Bézout d = s t 164 per s, t Z. Applicando l'algoritmo, si ottiene la seguente successione di divisioni: 376 = 2 * = 3 * = 2 * = 2 * = 2 * Si ha quindi d = 4, ossia l ultimo resto non nullo. Ricavando ora i resti si trae: 4 = 20-2 * 8 = 20-2 (48-2 * 20 ) = 5 * 20-2 * 48 = = 5 (164 3 * 48 ) - 2 * 48 = 5 * * 48 = = *( *164) = * *164 = = 39 *164 +( - 17 ) * 376 In definitiva è : 4 = ( - 17 ) * *164 che è l'identità richiesta per s = -17 e t = 39.

70 Esempio Trovare l intero d=m.c.d. (a,b) delle seguenti coppie di interi: 1) a=12765, b=4768; 2) a=11368, b=3430; e gli interi s,t tali che d si possa scrivere come combinazione lineare di a e b, cioè tali che d=sa+tb. Svolgimento: Applichiamo direttamente l algoritmo di Euclide, che consiste nell applicazione ripetuta del lemma di divisione: 1) a=12765, b=4768. Prendiamo gli interi a e b e calcoliamo : 4768 = 2 con resto 3229, quindi possiamo scrivere = Iterando questo procedimento più volte fino ad ottenere un resto nullo, otteniamo la seguente serie di divisioni: 4768 = , 3229 = , 1539 = , 151 = , 29 = , 6 = , 5 = L ultimo resto non nullo è 1, quindi MCD (12765,4768)=1, cioè i due numeri sono primi fra loro.

71 Per la seconda parte dell esercizio, riprendiamo i passaggi ottenuti applicando l algoritmo euclideo isolando il resto di ogni divisione e, partendo dall ultimo e procedendo a ritroso, sostituiamo in ogni uguaglianza il valore del resto evidenziato nella precedente sino a risalire al passo iniziale. Avremo: 3229 = , 1539 = , 151 = , 29 = , 6 = , 5 = , 1 = Sostituiamo la penultima nella precedente, si ha: 1 = 6 (29-6 4) 1 = e iteriamo questo procedimento: 1 = ( ) 5-29 = , 1 = ( ) 26 = , 1 = ( ) = , 1 = ( ) 556 = , 1 = ( ) = Quindi i valori cercati sono s=821 e t=-2198, infatti 1 = s+4768 t.

72 2) a=12804, b=3432. Procedendo in modo analogo all esempio precedente, abbiamo: = , 3432 = , 2508 = , 924 = , 660 = , 264 = L ultimo resto diverso da zero è 132, quindi si ha che MCD(12804, 3432)=132. Ora calcoliamo i valori di s,t tali che 132 = s+3432 t procedendo come nel caso precedente. Avremo: 2508 = , 924 = , 660 = , 264 = , 132 = e sostituiamo i resti calcolati nelle uguaglianze precedenti: 132 = 660 ( ) 2 = , 132 = ( ) = , 132 = ( ) 8 = , 132 = ( ) = da cui avremo che s=11 e t=-41.

73 OSSERVAZIONE Siano a e b due numeri interi. Allora, la relazione che intercorre tra il MCD(a,b) e il m.c.m.(a,b) è data da: m.c.m.(a,b) = a b MCD( a, b) Quindi: Per calcolare il m.c.m.(a,b) conviene calcolare prima il M.C.D.(a,b) tramite l'algoritmo di Euclide e poi utilizzare la formula precedente. - Calcolare il M.C.D. con il metodo delle divisioni successive e con il metodo della fattorizzazione; - Esprimere il M.C.D. come combinazione lineare dei numeri dati; - Determinare il m.c.m. dei numeri dati. MCD MCD MCD MCD (4158,1260) (234,32) (124,32) (145,45) MCD MCD MCD (215,55) (128,56) (320,25)

74 Esercizi: Mediante la scomposizione in fattori primi calcolare il M.C.D. e il m.c.m. fra le seguenti coppie o terne di numeri: MCD (75,60); MCD (90, 120); MCD (110, 28); MCD (225, 210); MCD (280, 168); MCD (204, 510); MCD (112, 80, 192); MCD (360, 432, 264); MCD (60, 108, 120).

75 Crivello di Eratostene

76 I numeri decimali Uno stesso numero razionale può essere rappresentato da tante frazioni diverse, purché tutte 2 4 equivalenti fra loro. Ad esempio le frazioni,, 3 6 rappresentano lo stesso numero razionale perché sono equivalenti. Ma vi è un altro modo di rappresentare i numeri razionali: la scrittura decimale.

77 m La scrittura esprime il risultato della divisione m : n. Quindi: n : 5 0,6 17 :8 14 : 3 13: 6 15: 7 8:11 2,125 4, , , , Come si può notare, mentre le prime due frazioni hanno dato luogo ad un numero decimale finito, le altre sono espresse da un numero decimale illimitato, in cui però ci sono dei gruppi di cifre che si ripetono costantemente, cioè un numero decimale periodico. La domanda che ci si pone è la seguente: dato un numero razionale espresso sotto forma di frazione, come sarà la sua rappresentazione decimale?

78 Definizione Si chiama frazione decimale una frazione che ha per denominatore una potenza del 10 con esponente maggiore di zero. Sono ad esempio frazioni decimali,,, Ogni frazione decimale si può rappresentare con un numero decimale finito. Infatti la divisione per una potenza del 10 comporta un semplice spostamento a sinistra della virgola: , , , 10 6

79 Le potenze del numero 10 danno luogo ad una scomposizione che contiene come fattori primi solo potenze del 2 e del 5. Se una frazione, ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un numero che ha come fattori della scomposizione solo potenze del 2 e/o del 5, è facile trasformarla in una frazione equivalente che sia una frazione decimale, che dà origine cioè ad un numero decimale finito ,375 1, ,156 1,

80 Un numero decimale finito può essere sempre scritto per mezzo di una frazione decimale moltiplicando e dividendo per le opportune potenze del 10. Ad esempio: 8, , ,0310 0, ,5 10 7, Se una frazione ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un numero la cui scomposizione contiene altri fattori oltre al 2 e al 5, essa non potrà essere trasformata in una frazione decimale, e quindi il numero decimale ad essa associato non potrà essere finito.

81 Ad esempio la frazione illimitato , dà origine ad un numero decimale Ma questo vale per tutte le frazioni con a denominatore un numero la cui scomposizione contiene altri fattori oltre al 2 e al 5? Quando eseguiamo una divisione a:b otteniamo un quoziente intero con un resto che è minore del divisore b (ad esempio 17:6=2 con resto 5, e 5 è minore di 6). Si può proseguire la divisione moltiplicando per 10 il resto e dividendo di nuovo. Otteniamo come quoziente la prima cifra decimale ed un nuovo resto con le stesse caratteristiche del precedente (50 : 6 = 8 con resto 2, e 2 è minore di 6). Se ripetiamo il procedimento altre volte, non troveremo comunque mai resto zero, altrimenti il numero decimale sarebbe finito e la frazione sarebbe una frazione decimale, cosa che abbiamo esclusa. Il resto sarà dunque una cifra compresa tra 1 e b (nell esempio il resto potrà solo assumere i valori 1, 2, 3, 4, 5). Perciò dopo al massimo b divisioni (6 divisioni nell esempio), la cifra del resto dovrà ripetere un valore precedente. Da quel punto in poi i quozienti ed i rispettivi resti si dovranno ripetere in successione costante.

82 7 :9 0, si scrive 0, 7 15: 7 2, si scrive 2, : 6 2,833 si scrive 2,83 37 : 22 1, si scrive 1,681 Un numero come 0,7 o 2, si dice periodico semplice perché il periodo, cioè il gruppo di cifre che si ripetono, inizia subito dopo la virgola. 2,83 1,681 Un numero come o si dice periodico misto perché il periodo non inizia subito dopo la virgola. In quest ultimo caso, la parte compresa tra la virgola ed il periodo si chiama antiperiodo Ad esempio: 4,53 2,63 64,578 0,124 non c è antiperiodo 53 periodo 6 antiperiodo 3 periodo 57 antiperiodo 8 periodo 1 antiperiodo 24 periodo

83 La frazione che genera un numero decimale periodico è determinabile mediante una semplice regola. La frazione generatrice di un numero decimale periodico è una frazione che ha per numeratore la differenza tra il numero intero che si ottiene togliendo la virgola ed il numero intero che si ottiene eliminando le cifre del periodo, e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell antiperiodo. Esempi , , , ,

84 Riassumendo, possiamo dire che: Una frazione che, ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un numero la cui scomposizione contiene solo potenze del 2 e/o del 5, dà origine ad un numero decimale finito Una frazione che, ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un numero la cui scomposizione contiene altri fattori oltre al 2 e al 5, dà origine ad un numero decimale periodico Un numero razionale quindi può essere espresso o da una qualsiasi delle frazioni equivalenti tra loro secondo la relazione di equivalenza introdotta o dalla sua espressione decimale: sono espressioni diverse dello stesso numero razionale. 0,75

85 Esercizi 1) Scrivi sotto forma di numero decimale le frazioni che seguono: ) Trasforma le seguenti frazioni in numeri decimali: ) Trasforma i seguenti numeri decimali in frazioni: 3,5, ) Senza eseguire le divisioni, stabilisci quali frazioni danno origine a numeri decimali finiti, quali a numeri decimali periodici semplici, quali a numeri decimali periodici misti , 32 1,04 0,

86 Confronto tra frazioni Confrontare due frazioni se queste hanno lo stesso denominatore è semplice: la frazione maggiore è quella che ha il numeratore maggiore. D altra parte, se due frazioni non hanno lo stesso denominatore, se ne possono scegliere altre ad esse rispettivamente equivalenti che abbiano lo stesso denominatore. Per fare ciò possiamo considerare le due frazioni che hanno per denominatore il m.c.m. fra i denominatori delle due frazioni, o anche il prodotto stesso dei due denominatori. Date due frazioni prenderemo dunque le frazioni ad esse equivalenti e potremo dire che m q n q m n p q n n p q se e solo se m n e m q p q n Per confrontare due numeri razionali positivi possiamo allora confrontare due qualsiasi frazioni che li rappresentino. p

87 3 7 infatti Esempi infatti infatti , infatti 35 3, ed è 7 19 perchè ,8 2,8 infatti 2,8 2,

88 Esercizi 1) Ordina in senso crescente i seguenti numeri razionali: , ,6 0, 5 2) Confronta le seguenti coppie di frazioni e individua la minore 3 5, , , , 7 4

89 Il concetto di numero razionale Supponiamo di avere a disposizione una serie di nove bicchieri graduati tutti uguali e due siringhe da 10ml: una per l acqua e una per l inchiostro. Immettiamo nei primi tre bicchieri rispettivamente 1ml, 5ml e 10ml di inchiostro e tanta acqua quanto basta per portare il livello del liquido a 10ml. 1/10 5/10 10/10 Nella seconda serie da tre bicchieri immettiamo rispettivamente 2ml, 10ml e 20 ml di inchiostro e tanta acqua quanto basta per portare il livello del liquido a 20ml. 2/20 10/20 20/20 Infine nella terza serie da tre bicchieri immettiamo rispettivamente 3ml, 15ml e 30ml di inchiostro e tanta acqua quanto basta per avere un livello del liquido risultante pari a 30ml. 3/30 15/30 30/30

90 Il rapporto inchiostro/liquido-totale naturalmente varia tra i bicchieri e può essere espresso attraverso una frazione numerica. La cosa interessante è che i bicchieri aventi del liquido con la stessa gradazione di colore sono rappresentati da frazioni tra loro equivalenti. Questo ci permette di affermare che operando una partizione dell insieme dei bicchieri in base al criterio del colore, tali bicchieri formano una classe di equivalenza. Se non abbiamo limitazioni sulla quantità d acqua e di inchiostro, possiamo ottenere un dato colore in numero infinito di modi, poiché esistono infinite frazioni equivalenti ad una data. Ciò significa che ogni classe di equivalenza individuata dal colore è costituita da infinite frazioni. Chiameremo ciascuna classe di equivalenza col nome di numero razionale. Nel nostro gioco mentre a ogni bicchiere corrisponde una frazione, a ogni colore corrisponde un numero razionale. Il numero razionale rappresenta il rapporto fra il numeratore e il denominatore delle frazioni equivalenti che esso rappresenta

91 Esercizi 1) Scrivi almeno 5 frazioni di una classe di equivalenza individuata dal numero razionale 2) Scrivi il rappresentante della classe di equivalenza cui appartengono le seguenti frazioni: ) Indica fra le seguenti frazioni quelle corrispondenti allo stesso numero razionale:

92 1) 7 signore dividono una pezza di seta in parti uguali, ma 3 di esse decidono di mettersi in comune e di usare 2/5 della loro seta per fare abiti di Carnevale. Se la seta era 70 metri, quanti metri serviranno per gli abiti di carnevale? 2) Lorenzo si versa nel bicchiere ¼ della bottiglia di aranciata. Se Ilaria, con una spinta, gliene fa cadere 2/3, quale frazione dell aranciata della bottiglia è caduta? Sapresti dire, allora, quale frazione di tale aranciata rimane a Lorenzo? 3) Ognuno di noi ha ricevuto metà del corredo cromosomico dal padre e metà dalla madre. Quale frazione abbiamo del corredo cromosomico del nonno? E del padre di questi? 4) L acqua di un grosso condotto viene suddivisa in 5 condotti uguali e ognuno di questi riversa la sua acqua in 5 tubi, ognuno dei quali porta acqua a 5 ville. Se nel condotto iniziale fluiscono 5000 litri di acqua al secondo, quanta acqua al secondo arriverà a ogni villa? Essa equivale a quale frazione dell acqua iniziale? 5) Il capitale di Marco aumenta ogni anno diventando i 5/4 dell anno precedente. Di quanto sarà aumentato dopo 3 anni? E dopo 5 anni? E dopo n anni? 6) Devo dividere 9 litri di olio in ampolle da 3/8 di litro. Quante ampolle occorreranno? 7) Divido 3 focacce fra 4 amici. Se gli amici diventano 20, quante focacce dovrò avere per dar loro sempre la stessa quantità? 8) Se le donne che ricoprono le alte cariche pubbliche da 7/30 diventassero 2/9, per i movimenti paritari questo sarebbe un traguardo augurabile oppure no? 9) Luigi guadagna 5/4 dello stipendio di Alessio, mentre Andrea guadagna i 7/3 dello stipendio di Alessio. Chi guadagna di più? 10) Percorro in macchina 5/8 della strada e in bicicletta 3/10. Il resto della strada è ancora di 6 chilometri. Quanto è lungo tutto il percorso?

93 : ,8:1,3 0, : ,83 0,16 : 2 3 Calcola il valore delle seguenti espressioni: ,45 0,63: 0,16 1 : 3 2 0,6 9 1,6 1

94 RAPPORTI E PROPORZIONI Dal rapporto alla proporzione Proprietà delle proporzioni PROPORZIONALITA DIRETTA E INVERSA. FUNZIONE LINEARE Contenuti ed esercizi

95 Dal rapporto alla proporzione Dati due numeri a e b, con b 0, si chiama rapporto fra i due numeri il quoziente ottenuto dividendo il primo per il secondo, cioè a : b. Si chiama invece rapporto inverso il quoziente ottenuto dividendo il secondo per il primo, cioè b : a. Come visto in precedenza tale numero sarà un numero razionale esprimibile sotto forma di frazione. Esempi di rapporti Rapporto fra numeri: è il numero che si ottiene dividendo il primo numero per il secondo. (2 : 5 = 0,4) Rapporto tra grandezze omogenee: è il numero che si ottiene dividendo la prima grandezza per la seconda (o la misura della prima grandezza rispetto alla seconda). Rapporto fra grandezze eterogenee: è la grandezza che si ottiene dividendo la prima grandezza per la seconda (15kg : 3kg = 5kg) (40m : 5s = 8m/s)

96 In un rapporto, il dividendo viene detto antecedente e il divisore conseguente. L uguaglianza di due rapporti è una proporzione: a : b = c : d Tale uguaglianza si legge in questo modo: Il rapporto fra a e b è uguale al rapporto fra c e d oppure: a sta a b come c sta a d. I numeri che compaiono nella proporzione vengono detti termini della proporzione. In particolare il primo e il quarto vengono detti estremi, il secondo e il terzo medi. Una proporzione si dice continua se i medi sono uguali Esempio: 36 : 12 = 12 : 4 In generale la forma di una proporzione continua è la seguente: a : b = b : c In una proporzione continua b viene detto medio proporzionale.

97 La proprietà fondamentale In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. SE a : b = c : d ALLORA b x c = a x d 7 : 2 = 21 : 6 2 x 21 = 7 x 6 = : : Grazie alla proprietà fondamentale possiamo quindi verificare se quattro numeri, in un dato ordine, formano una proporzione. Adesso andremo a vedere come, sfruttando la proprietà fondamentale, è possibile calcolare un termine incognito conoscendo gli altri termini della proporzione.

98 Poniamoci una domanda su un problema abbastanza semplice: se un operaio percepisce 900 in un mese quanti euro percepirà in due mesi e mezzo? In questo caso, basterà moltiplicare 900 per 2,5 e otterremo il risultato. Se pensiamo il problema in termini di rapporti tra i termini numerici che vi compaiono, potremmo andare a scrivere la seguente proporzione: 900 : 1 = x : 2,5 Se applichiamo la proprietà fondamentale otteniamo: 1 x = 900 2,5 Il termine incognito a questo punto sarà dato proprio dal prodotto tra i termini numerici dati. Quindi attraverso la proprietà fondamentale possiamo calcolare il valore dell incognita tenendo conto ogni volta della posizione che essa occupa all interno della proporzione. In particolare:

99 Se il termine incognito è un estremo, esso si calcola dividendo il prodotto dei medi per l estremo noto. x : 3 = 4 : 9 Per la proprietà fondamentale 3 4 = x 9 e quindi 3 4 x 9 Se il termine incognito è un medio, esso si calcola dividendo il prodotto degli estremi per il medio noto. 5 : x = 15 : 7 x Se la proporzione è continua e il termine incognito è un medio allora esso sarà dato dalla radice quadrata del prodotto degli estremi; se il termine incognito invece sarà un estremo lo si otterrà dividendo il quadrato del medio per l altro estremo. SE a : b = b : c ALLORA b b = a c. 2 2 b b Cioè b 2 = a c. Dunque b a c e a mentre c c 3 : x = x : 12 x a

100 Proprietà delle proporzioni Le proporzioni godono di interessanti e utilissime proprietà che ne fanno uno strumento molto potente nella risoluzione di problemi riguardanti i più diversi ambiti. Riuscire ad applicare nella maniera corretta tali proprietà è fondamentale nella risoluzione di tali problemi. PROPRIETA DELL INVERTIRE Data la proporzione a : b = c : d, poiché, se due rapporti sono uguali, lo sono anche i loro inversi, si può scambiare di ogni posto ogni antecedente col proprio conseguente, e la proporzione resta valida. SE a : b = c : d ALLORA b : a = d : c 6 : 3 = 24 : 12 diventa 3 : 6 = 12 : 24 9 : 2 = 45 : 10 diventa 2 : 9 = 10 : 45

101 PROPRIETA DEL PERMUTARE In ogni proporzione, poiché il prodotto dei medi è eguale al prodotto degli estremi e il prodotto è commutativo, è possibile scambiare di posto i medi fra loro e/o gli estremi fra loro, e la proporzione resta valida. SE a : b = c : d ALLORA a : c b : d d : b c : a 4 : 6 = 20 : 30 permutando i medi 4 : 20 = 6 : 30 permutando gli estremi 30 : 6 = 20 : 4 Se in una proporzione i medi e gli estremi vengono permutati simultaneamente si ottiene un risultato banale cioè la proporzione scritta a rovescio. 7 : 5 = 21 : 15 diventa 15 : 21 = 5 : 7

102 PROPRIETA DEL COMPORRE In una proporzione, la somma del primo e del secondo termine sta al primo (o al secondo) come la somma del terzo e del quarto termine sta al terzo (o al quarto). a : b = c : d (a + b) : a = (c + d) : c oppure (a + b) : b = (c + d) : d 4 : 7 = 12 : 21 Applicando la proprietà del comporre otteniamo: (4 + 7) : 4 = ( ) : 12 cioè 11 : 4 = 33 : 12 Quella che abbiamo ottenuto è una nuova proporzione. Infatti: 4 33 = = 132.

103 PROPRIETA DELLO SCOMPORRE La differenza fra il primo e il secondo termine sta al primo (o al secondo) come la differenza fra il terzo e il quarto sta al terzo (o al quarto). Data la proporzione : a : b = c : d, se a > b e c > d si ha che (a b) : a = (c d) : c oppure (a b) : b = (c d) : d; se, invece, a < b e c < d, prima di eseguire le sottrazioni si dovrà applicare ai termini della proporzione la proprietà dell invertire. Esempio 7 : 2 = 28 : 8 Applichiamo la proprietà dello scomporre: (7 2) : 2 = (28 8) : 8 cioè 5 : 2 = 20 : 8 Si è ottenuta una nuova proporzione. Infatti 2 20 = 5 8 = 40

104 Le proprietà del comporre e dello scomporre si rivelano utilissime quando si tratta di risolvere problemi del tipo somma-rapporto e del tipo differenzarapporto. Esempio Il rapporto fra due numeri è 2/5 e la loro somma è uguale a 40. Determinare i due numeri. x + y =40 e x :y = 2 : 5 Applicando la proprietà del comporre otteniamo: (x + y) : x = (2 + 5) : 2 40 : x = 7 : 2 x Esercizio: y Determina due numeri la cui differenza è pari a 22 e il cui rapporto è uguale a 3/2

105 1) Trova quali dei seguenti rapporti sono equivalenti a 21/9: 3/7; 7/3; 25/13; 210/90; 49/21 2) Calcola il valore di x: x : 3 4 : x 3) Calcola il termine incognito 9 2 x : 4 9 : x 2 : x x : 8 x x : x : 25 4) Trova due numeri sapendo che la loro somma è 45 e il loro rapporto 4/ ) Nell anidride solforica il rapporto fra le masse di zolfo e di ossigeno è 2/3. Quanti grammi di zolfo sono contenuti in 250g di anidride solforica? 6) Se Mario e Carlo hanno in tutto 240 figurine e Carlo ne possiede i 3/5 di quelle di Mario, quante ne ha ciascuno? 7) Risolvi la seguente proporzione: 7 2 x : (9 2 ) 7 : 5 12 x : 4 3

106 Grandezze direttamente ed inversamente proporzionali Prima di analizzare nei dettagli l argomento riguardante la proporzionalità diretta e inversa fra grandezze, è opportuno ritornare brevemente su un concetto tipicamente matematico che trova largo uso nelle scienze sperimentali: quello di funzione. Si considerino due grandezze qualsiasi che per comodità indichiamo con x e y. Spesso si verifica (soprattutto in fisica) che scelte le due grandezze in modo opportuno, al variare della prima (la x) anche la seconda (la y) subisca variazioni. Se poi la legge è tale che ad ogni valore assunto dalla x, è possibili associare uno ed un solo valore della y diremo allora che y è funzione di x. Denoteremo questa condizione con la scrittura: y = f(x) nella quale la grandezza x viene detta variabile indipendente mentre la grandezza y variabile dipendente nel senso che i valori assunti da questa dipendono da quelli assegnati alla x.