Facoltà di Scienze della Formazione CdL Scienze della Formazione Primaria

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1 Facoltà di Scienze della Formazione CdL Scienze della Formazione Primaria Corso di Matematica per la Scuola Primaria e dell Infanzia III anno Parte delle Dispense del corso (elaborate dal Dott. Di Paola) A.A. 2012/2013 Prof. A. Brigaglia Dott. B. Di Paola

2 Avvertenza Tutto ciò che segue viene presentato solo in maniera schematica come traccia degli argomenti trattati durante il corso.

3 CRITERI DI DIVISIBILITA CALCOLO DEL MCD E mcm.

4 Criteri di divisibilità: - Un numero è divisibile per 2 se è pari e quindi termina con una delle cifre pari (0,2,4,6 ); -Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3; - Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5; -Un numero è divisibile per 7 quando lo è il numero ottenuto dopo aver eseguito le indicazioni a), b) e c) -a) riscrivere il numero senza l ultima cifra (quella relativa all unità); -b) raddoppiare la cifra che è stata esclusa; -c) eseguire la sottrazione fra i numeri individuati ai punti a e b. Es. 98, 392, 1778 etc. - Un numero è divisibile per 11 quando lo è il numero ottenuto dopo aver eseguito le indicazioni a, b e c: -a) determinare la somma delle cifre di posto dispari; -b) determinare la somma delle cifre di posto pari; -c) eseguire la sottrazione fra il maggiore e il minore dei numeri individuati nei punti a) e b). Es. 253, 528, 8679

5 Criteri di divisibilità: Dai criteri dati se ne possono ricavare altri: - Un numero è divisibile per 10, 100, 1000 quando termina rispettivamente per 0, 00, 000; - Un numero è divisibile per 4 se termina con 00 o se le ultime due cifre sono divisibili per 4; - Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre risulta divisibile per 9; - Un numero risulta divisibile per 25 se le sue ultime cifre sino 00, 25, 50, 75. Numeri primi

6 M.C.D. e m.c.m. La fattorizzazione ci permette di determinare il massimo comun divisore (cioè, il più grande fra i divisori comuni tra due o più numeri) e il minimo comune multiplo (cioè, il più piccolo fra i multipli comuni a due o più numeri) di due o più numeri. Per determinare il Massimo Comune Divisore tra due numeri si può anche usare il metodo delle divisioni successive o algoritmo euclideo delle divisioni successive. Se il resto della divisione fra due numeri è 0 allora il M.C.D. tra essi è il numero più piccolo. Se il resto non è 0, allora si divide il quoziente q per il resto r ottenendo un nuovo quoziente q' e un nuovo resto r'. Questo processo si itera a partire da r nel ruolo di dividendo ed r' in quello di divisore, finché non si ottiene un resto nullo. Si può dimostrare allora che l'ultimo divisore non nullo è il M.C.D. cercato. Esercizi

7 Spiegazione dell'algoritmo basato sulle divisioni con resto successive Prendiamo a,b interi con a,b>0 e supponiamo 0<a<b. Dividiamo b per a, avremo che: b = q1a+r1, con 0 <= r1<a. Osserviamo che: i) se r1=0, allora b = q1a e abbiamo già che MCD(a,b)=a; ii) altrimenti, preso un intero positivo d 1) se d divide sia a che b, allora dividerà anche r1 in quanto combinazione lineare di a e b; 2) viceversa, se d divide a e r1, dividerà anche b per la stessa proprietà sopra. Quindi possiamo concludere che MCD(a,b) = MCD(a,r1), con il vantaggio che r1<a<b. Ora ripetiamo lo stesso procedimento sostituendo al posto di a e b i nuovi valori a e r1 con r1<a: a = q2r1+r2, con 0<=r2<r1 dove i) se r2=0, si ha che r2 a, quindi MCD(a,b) = MCD(a,r1) = r2; ii) altrimenti, si ripetono le stesse conclusioni giungendo a definire che MCD(a,b)=MCD(a,r1)=MCD(r1,r2). Continuiamo a costruire queste successioni di resto sino ad arrivare all'i-esima iterazione dove ri-1=qi+1ri+ri+1, con 0<=ri+1<ri e avremo che i) se ri=0, allora MCD(a,b) = ri-1; ii) altrimenti, continuiamo il procedimento. Poiché gli ri sono interi non negativi e la successione di resti è decrescente, ad un certo punto ci dovremo fermare, cioè esisterà un rn diverso da zero tale che rn+1=0, allora il nostro MCD(a,b) sarà uguale all'ultimo resto diverso da zero della catena di divisioni. Questo procedimento è vantaggioso perché non dobbiamo scomporre in fattori primi e si utilizzano divisioni sempre più facili. Proviamo ora a ricostruire s,t procedendo a ritroso nell'algoritmo euclideo: presi MCD(a,b) = rn e sa+tb = rn, possiamo scrivere rn = rn-2 - qn rn-1, e andiamo a sostituire il valore di rn-1 che si ricava dall'uguaglianza rn-3 = qn-1 rn-2 + rn-1: rn = rn-2 - qn(rn-3-qn-1rn-2) = (1+qnqn-1) rn-2 - qnrn-3. Ora sostituiamo in questa equazione il valore di rn-2 che si ottiene da rn-4 = qn-2rn-3 + rn-2 e avremo rn come espressione in rn-3 e rn-4, quindi andremo a sostituire rn-3 e continueremo questo procedimento fino ad ottenere rn come combinazione lineare dei soli a e b. Tratto da:

8 Teorema (Esistenza di un massimo comun divisore). Se a e b sono numeri interi non entrambi nulli, esiste un massimo comun divisore di a e b. Inoltre esistono due interi s e t tali che: d = sa + tb. La relazione è detta identità di Bézout. Es: Determinare il massimo comun divisore d tra 376 e 164 ed una identità di Bézout d = s t 164 per s, t Z. Applicando l'algoritmo, si ottiene la seguente successione di divisioni: 376 = 2 * = 3 * = 2 * = 2 * = 2 * Si ha quindi d = 4, ossia l ultimo resto non nullo. Ricavando ora i resti si trae: 4 = 20-2 * 8 = 20-2 (48-2 * 20 ) = 5 * 20-2 * 48 = = 5 (164 3 * 48 ) - 2 * 48 = 5 * * 48 = = *( *164) = * *164 = = 39 *164 +( - 17 ) * 376 In definitiva è : 4 = ( - 17 ) * *164 che è l'identità richiesta per s = -17 e t = 39.

9 Esempio Trovare l intero d=m.c.d. (a,b) delle seguenti coppie di interi: 1) a=12765, b=4768; 2) a=11368, b=3430; e gli interi s,t tali che d si possa scrivere come combinazione lineare di a e b, cioè tali che d=sa+tb. Svolgimento: Applichiamo direttamente l algoritmo di Euclide, che consiste nell applicazione ripetuta del lemma di divisione: 1) a=12765, b=4768. Prendiamo gli interi a e b e calcoliamo : 4768 = 2 con resto 3229, quindi possiamo scrivere = Iterando questo procedimento più volte fino ad ottenere un resto nullo, otteniamo la seguente serie di divisioni: 4768 = , 3229 = , 1539 = , 151 = , 29 = , 6 = , 5 = L ultimo resto non nullo è 1, quindi MCD (12765,4768)=1, cioè i due numeri sono primi fra loro.

10 Per la seconda parte dell esercizio, riprendiamo i passaggi ottenuti applicando l algoritmo euclideo isolando il resto di ogni divisione e, partendo dall ultimo e procedendo a ritroso, sostituiamo in ogni uguaglianza il valore del resto evidenziato nella precedente sino a risalire al passo iniziale. Avremo: 3229 = , 1539 = , 151 = , 29 = , 6 = , 5 = , 1 = Sostituiamo la penultima nella precedente, si ha: 1 = 6 (29-6 4) 1 = e iteriamo questo procedimento: 1 = ( ) 5-29 = , 1 = ( ) 26 = , 1 = ( ) = , 1 = ( ) 556 = , 1 = ( ) = Quindi i valori cercati sono s=821 e t=-2198, infatti 1 = s+4768 t.

11 2) a=12804, b=3432. Procedendo in modo analogo all esempio precedente, abbiamo: = , 3432 = , 2508 = , 924 = , 660 = , 264 = L ultimo resto diverso da zero è 132, quindi si ha che MCD(12804, 3432)=132. Ora calcoliamo i valori di s,t tali che 132 = s+3432 t procedendo come nel caso precedente. Avremo: 2508 = , 924 = , 660 = , 264 = , 132 = e sostituiamo i resti calcolati nelle uguaglianze precedenti: 132 = 660 ( ) 2 = , 132 = ( ) = , 132 = ( ) 8 = , 132 = ( ) = da cui avremo che s=11 e t=-41.

12 OSSERVAZIONE Siano a e b due numeri interi. Allora, la relazione che intercorre tra il MCD(a,b) e il m.c.m.(a,b) è data da: m.c.m.(a,b) = a b MCD( a, b) Quindi: Per calcolare il m.c.m.(a,b) conviene calcolare prima il M.C.D.(a,b) tramite l'algoritmo di Euclide e poi utilizzare la formula precedente. - Calcolare il M.C.D. con il metodo delle divisioni successive e con il metodo della fattorizzazione; - Esprimere il M.C.D. come combinazione lineare dei numeri dati; - Determinare il m.c.m. dei numeri dati. MCD MCD MCD MCD (4158,1260) (234,32) (124,32) (145,45) MCD MCD MCD (215,55) (128,56) (320,25)

13 Esercizi: Mediante la scomposizione in fattori primi calcolare il M.C.D. e il m.c.m. fra le seguenti coppie o terne di numeri: MCD (75,60); MCD (90, 120); MCD (110, 28); MCD (225, 210); MCD (280, 168); MCD (204, 510); MCD (112, 80, 192); MCD (360, 432, 264); MCD (60, 108, 120).

14 Crivello di Eratostene

15 RAPPORTI E PROPORZIONI Dal rapporto alla proporzione Proprietà delle proporzioni PROPORZIONALITA DIRETTA E INVERSA. FUNZIONE LINEARE

16 Dal rapporto alla proporzione Dati due numeri a e b, con b 0, si chiama rapporto fra i due numeri il quoziente ottenuto dividendo il primo per il secondo, cioè a : b. Si chiama invece rapporto inverso il quoziente ottenuto dividendo il secondo per il primo, cioè b : a. Come visto in precedenza tale numero sarà un numero razionale esprimibile sotto forma di frazione. Esempi di rapporti Rapporto fra numeri: è il numero che si ottiene dividendo il primo numero per il secondo. (2 : 5 = 0,4) Rapporto tra grandezze omogenee: è il numero che si ottiene dividendo la prima grandezza per la seconda (o la misura della prima grandezza rispetto alla seconda). Rapporto fra grandezze eterogenee: è la grandezza che si ottiene dividendo la prima grandezza per la seconda (15kg : 3kg = 5kg) (40m : 5s = 8m/s)

17 In un rapporto, il dividendo viene detto antecedente e il divisore conseguente. L uguaglianza di due rapporti è una proporzione: a : b = c : d Tale uguaglianza si legge in questo modo: Il rapporto fra a e b è uguale al rapporto fra c e d oppure: a sta a b come c sta a d. I numeri che compaiono nella proporzione vengono detti termini della proporzione. In particolare il primo e il quarto vengono detti estremi, il secondo e il terzo medi. Una proporzione si dice continua se i medi sono uguali Esempio: 36 : 12 = 12 : 4 In generale la forma di una proporzione continua è la seguente: a : b = b : c In una proporzione continua b viene detto medio proporzionale.

18 La proprietà fondamentale In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. SE a : b = c : d ALLORA b x c = a x d 7 : 2 = 21 : 6 2 x 21 = 7 x 6 = : : Grazie alla proprietà fondamentale possiamo quindi verificare se quattro numeri, in un dato ordine, formano una proporzione. Adesso andremo a vedere come, sfruttando la proprietà fondamentale, è possibile calcolare un termine incognito conoscendo gli altri termini della proporzione.

19 Poniamoci una domanda su un problema abbastanza semplice: se un operaio percepisce 900 in un mese quanti euro percepirà in due mesi e mezzo? In questo caso, basterà moltiplicare 900 per 2,5 e otterremo il risultato. Se pensiamo il problema in termini di rapporti tra i termini numerici che vi compaiono, potremmo andare a scrivere la seguente proporzione: 900 : 1 = x : 2,5 Se applichiamo la proprietà fondamentale otteniamo: 1 x = 900 2,5 Il termine incognito a questo punto sarà dato proprio dal prodotto tra i termini numerici dati. Quindi attraverso la proprietà fondamentale possiamo calcolare il valore dell incognita tenendo conto ogni volta della posizione che essa occupa all interno della proporzione. In particolare:

20 Se il termine incognito è un estremo, esso si calcola dividendo il prodotto dei medi per l estremo noto. x : 3 = 4 : 9 Per la proprietà fondamentale 3 4 = x 9 e quindi 3 4 x 9 Se il termine incognito è un medio, esso si calcola dividendo il prodotto degli estremi per il medio noto. 5 : x = 15 : x Se la proporzione è continua e il termine incognito è un medio allora esso sarà dato dalla radice quadrata del prodotto degli estremi; se il termine incognito invece sarà un estremo lo si otterrà dividendo il quadrato del medio per l altro estremo. SE a : b = b : c ALLORA b b = a c. 2 2 b b Cioè b 2 = a c. Dunque b a c e a mentre c c 3 : x = x : 12 x a

21 Proprietà delle proporzioni Le proporzioni godono di interessanti e utilissime proprietà che ne fanno uno strumento molto potente nella risoluzione di problemi riguardanti i più diversi ambiti. Riuscire ad applicare nella maniera corretta tali proprietà è fondamentale nella risoluzione di tali problemi. PROPRIETA DELL INVERTIRE Data la proporzione a : b = c : d, poiché, se due rapporti sono uguali, lo sono anche i loro inversi, si può scambiare di ogni posto ogni antecedente col proprio conseguente, e la proporzione resta valida. SE a : b = c : d ALLORA b : a = d : c 6 : 3 = 24 : 12 diventa 3 : 6 = 12 : 24 9 : 2 = 45 : 10 diventa 2 : 9 = 10 : 45

22 PROPRIETA DEL PERMUTARE In ogni proporzione, poiché il prodotto dei medi è eguale al prodotto degli estremi e il prodotto è commutativo, è possibile scambiare di posto i medi fra loro e/o gli estremi fra loro, e la proporzione resta valida. SE a : b = c : d ALLORA a : c b : d d : b c : a 4 : 6 = 20 : 30 permutando i medi 4 : 20 = 6 : 30 permutando gli estremi 30 : 6 = 20 : 4 Se in una proporzione i medi e gli estremi vengono permutati simultaneamente si ottiene un risultato banale cioè la proporzione scritta a rovescio. 7 : 5 = 21 : 15 diventa 15 : 21 = 5 : 7

23 PROPRIETA DEL COMPORRE In una proporzione, la somma del primo e del secondo termine sta al primo (o al secondo) come la somma del terzo e del quarto termine sta al terzo (o al quarto). a : b = c : d (a + b) : a = (c + d) : c oppure (a + b) : b = (c + d) : d 4 : 7 = 12 : 21 Applicando la proprietà del comporre otteniamo: (4 + 7) : 4 = ( ) : 12 cioè 11 : 4 = 33 : 12 Quella che abbiamo ottenuto è una nuova proporzione. Infatti: 4 33 = = 132.

24 PROPRIETA DELLO SCOMPORRE La differenza fra il primo e il secondo termine sta al primo (o al secondo) come la differenza fra il terzo e il quarto sta al terzo (o al quarto). Data la proporzione : a : b = c : d, se a > b e c > d si ha che (a b) : a = (c d) : c oppure (a b) : b = (c d) : d; se, invece, a < b e c < d, prima di eseguire le sottrazioni si dovrà applicare ai termini della proporzione la proprietà dell invertire. Esempio 7 : 2 = 28 : 8 Applichiamo la proprietà dello scomporre: (7 2) : 2 = (28 8) : 8 cioè 5 : 2 = 20 : 8 Si è ottenuta una nuova proporzione. Infatti 2 20 = 5 8 = 40

25 Le proprietà del comporre e dello scomporre si rivelano utilissime quando si tratta di risolvere problemi del tipo somma-rapporto e del tipo differenzarapporto. Esempio Il rapporto fra due numeri è 2/5 e la loro somma è uguale a 40. Determinare i due numeri. x + y =40 e x :y = 2 : 5 Applicando la proprietà del comporre otteniamo: (x + y) : x = (2 + 5) : 2 40 : x = 7 : 2 x Esercizio: y Determina due numeri la cui differenza è pari a 22 e il cui rapporto è uguale a 3/2

26 1) Trova quali dei seguenti rapporti sono equivalenti a 21/9: 3/7; 7/3; 25/13; 210/90; 49/21 2) Calcola il valore di x: x : 3 4 : x 3) Calcola il termine incognito 9 2 x : 4 9 : x 2 : x x : 8 x x : x : 25 4) Trova due numeri sapendo che la loro somma è 45 e il loro rapporto 4/ ) Nell anidride solforica il rapporto fra le masse di zolfo e di ossigeno è 2/3. Quanti grammi di zolfo sono contenuti in 250g di anidride solforica? 6) Se Mario e Carlo hanno in tutto 240 figurine e Carlo ne possiede i 3/5 di quelle di Mario, quante ne ha ciascuno? 7) Risolvi la seguente proporzione: 7 2 x : (9 2 ) 7 : 5 12 x : 4 3

27 Grandezze direttamente ed inversamente proporzionali Prima di analizzare nei dettagli l argomento riguardante la proporzionalità diretta e inversa fra grandezze, è opportuno ritornare brevemente su un concetto tipicamente matematico che trova largo uso nelle scienze sperimentali: quello di funzione. Si considerino due grandezze qualsiasi che per comodità indichiamo con x e y. Spesso si verifica (soprattutto in fisica) che scelte le due grandezze in modo opportuno, al variare della prima (la x) anche la seconda (la y) subisca variazioni. Se poi la legge è tale che ad ogni valore assunto dalla x, è possibili associare uno ed un solo valore della y diremo allora che y è funzione di x. Denoteremo questa condizione con la scrittura: y = f(x) nella quale la grandezza x viene detta variabile indipendente mentre la grandezza y variabile dipendente nel senso che i valori assunti da questa dipendono da quelli assegnati alla x.

28 Due variabili x ed y sono in relazione quando ogni conseguenza una variazione dell altra. variazioni dell una ha come Come detto tradizionalmente la variabile controllata dall operatore o che varia come il tempo viene chiamata x e posta sull asse delle ascisse, l altra, che varia in funzione della x secondo relazioni matematiche più o meno complesse, viene chiamata y ed è posta sull asse delle ordinate. Se a variazioni costanti dell una corrispondono variazioni costanti dell altra, le due grandezze sono legate da una proporzionalità lineare (funzione lineare). Se poi al valore 0 dell una corrisponde lo stesso valore per l altra, le due grandezze si dicono direttamente proporzionali.

29 Consideriamo ora un esperienza nella quale vengono pesati blocchetti di ferro di volume assegnato e rispettivamente uguale a 1, 2, 3, 4, 5, 6 cm 3. La tabella che segue mostra i valori del peso al variare del volume. Volume (cm 3 ) Peso (g) Osservando attentamente la tabella ci si rende conto che esiste una regolarità tra i valori assunti dalle due grandezze fisiche, e cioè quando il volume raddoppia, triplica, ecc., anche il peso raddoppia, triplica, ecc Possiamo esprimere questa regolarità anche notando che il rapporto tra il peso P ed il volume V si mantiene costante. Infatti:

30 Le due grandezze sono quindi direttamente proporzionali. In formule scriveremo : y x k o y kx (dove k rappresenta una qualsiasi costante) e chiameremo questa legge della proporzionalità diretta. Si considerino ora l insieme dei rettangoli aventi per area un valore dato A. Se si indicano con b e h rispettivamente la base e l altezza dei rettangoli in questione, l espressione che determina l area sarà b h = A Anche in questo caso tra le due grandezze esiste una dipendenza ma di tipo completamente diverso da quella vista sopra. Ora infatti è immediato riconoscere che se il valore di b raddoppia, triplica ecc., affinché l area si mantenga sempre uguale ad A, occorre necessariamente che il valore di h diventi rispettivamente la metà, un terzo, ecc.

31 Le due grandezze sono inversamente proporzionali. In formule scriveremo: x k y o x y = k (k costante qualsiasi) e chiameremo questa legge della proporzionalità inversa. La rappresentazione attraverso una tabella può aiutare a comprendere meglio quanto è stato detto. Posto A = 24 cm 2 assegniamo valori arbitrari alla base b e determiniamo i corrispondenti valori dell altezza h. base b (cm) Altezza h (cm)

32 Graficamente, due grandezze direttamente proporzionali si rappresentano con una semiretta uscente dall'origine di un sistema di assi cartesiani: Graficamente, due grandezze inversamente proporzionali si rappresentano con un ramo di iperbole equilatera:

33 La funzione lineare Due grandezze variabili x e y possono essere legate, oltre che da una legge di proporzionalità diretta o inversa anche da una relazione del tipo y = k x + q, con k e q costanti. In tal caso si dice che y è una funzione lineare di x. Esempi: y = 3x + 2 ; y = 5x -3 Una funzione lineare sarà rappresentata da una retta che interseca l'asse y in un punto la cui ordinata è uguale al termine q. Quando tra le due grandezze x e y vi è una relazione di tipo lineare allora il rapporto tra le differenze di due valori di y e i corrispondenti valori di x è costante ed è uguale al coefficiente k della x. Il valore k viene detto coefficiente angolare della retta e determina l'angolo formato dalla retta con l'asse x.

34 LA RELAZIONE DI CONGRUNEZA MODULO p L ARITMETICA MODULARE

35 La relazione di congruenza modulo p Fissiamo un numero Naturale p chiamato modulo o periodo; consideriamo la relazione R tra A e se stesso, così definita. x R y se e solo se x ed y, divisi per p, danno resti uguali Questa relazione si chiama relazione di congruenza modulo p. Per indicare che gli elementi x ed y di A sono legati da questa relazione, si scrive: x congruo ad y modulo p x y (mod p) Esempio: (mod 3) Verificare se risultano vere: poiché 17 e 14 diviso 3 danno entrambi resto (mod 3) e (mod3)

36 E possibile allora completare la tabella a doppia entrata della relazione di congruenza modulo p=3: si si 1 si si si 2 si si 3 4 si si si 5 6 si 7 si no 8 si no Risulta evidente che la relazione in oggetto gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Si tratta quindi di una relazione di equivalenza tra N e se stesso.

37 L insieme dei numeri Naturali risulta, così, ripartito nelle seguenti classi di equivalenza: Osservazione 1: Le uniche classi distinte sono solo quelle rappresentate da 0, 1 e 2. Ogni altra classe coincide sempre con una di queste. Infatti : ,4,7,10, ,5,8, ,4,7,10,...

38 Possiamo quindi affermare che l insieme quoziente di N rispetto alla relazione di congruenza modulo 3 che si indica con N3 è dato da N 3 0, 1, 2 Ciò che è possibile notare è che i rappresentati di queste classi sono solo 0, 1 e 2 ossia tutti i possibili resti delle divisioni tra Naturali e il modulo p=3. Per questo motivo l insieme quoziente N3 viene chiamato insieme delle classi dei resti modulo 3 Osservazione 2: Se x ed y sono due elementi qualsiasi appartenenti ad A, tra loro equivalenti cioè congrui modulo 3, supposto che x<y, si ha sempre che: y - x = 3k (cioè un multiplo del modulo). Vale anche il viceversa: Se y - x è un multiplo di p=3 allora x è congruo ad y modulo 3.

39 L applicazione di quest ultima proposizione ci consente di riconoscere rapidamente se due numeri assegnati sono tra loro congrui modulo p= si si no no si no 2 si si 3 4 si no si no si no 8 si no (mod 3) 5 14 (mod3) 8 15 (mod3)

40 Tutto ciò che abbiamo detto per p=3 può essere generalizzato per qualsiasi valore di p fissato nell Insieme dei numeri Naturali non nulli. Le applicazioni di questi contenuti matematici sono evidenti nella vita di tutti i giorni: Tutti i fenomeni che si ripetono ciclicamente ogni p intervalli rivelano un comportamento analogo a quello delle classi resto modulo p. -I giorni della settimana. ciclicità rispetto a 7 (giorni). Il comportamento è simile quindi a quello di: N 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 -Le stagioni dell anno si ripetono ogni 4 intervalli; il loro comportamento è simile ad N4 -Le ore del giorno segnate da un orologio N12 o N24 -L ampiezza dell angolo al centro su una circonferenza di centro O

41 così ad esempio: (mod 360) e (mod 360) Quindi il comportamento è assimilabile ad N360 La relazione di congruenza modulo p è implicitamente usata nella vita quotidiana e necessita quindi di una riflessione più approfondita anche per poterla poi proporre in classe anche come semplice gioco di scoperta. L aritmetica modulare!

42 L aritmetica modulare l aritmetica dell orologio Con il termine Aritmetica modulare intendiamo lo studio delle proprietà delle operazioni di addizione e di moltiplicazione che si possono definire nell insieme Np delle classi resto modulo p. Ciò che sarà interessante notare è come le operazioni di addizione e moltiplicazione su Np godano di proprietà spesso diverse da quelle delle ordinarie su N, Z e Q. Come esempio proviamo a costruire N5 e definiamo in esso due operazioni binarie interne di addizione e moltiplicazione indicate rispettivamente con e N 5 0, 1, 2, 3, 4 0 5,10,15,20,25, ,7,12,17,22, ,14,19,...

43 L aritmetica modulare l aritmetica dell orologio Introduciamo l operazione binaria di addizione, così definita: r y x y x ), ( Per capire come funziona usiamo la metafora dell orologio a 5 ore che può rappresentare un modello per N5 Esempio: vera!

44 L aritmetica modulare l aritmetica dell orologio Possiamo quindi completare la tabella sotto riportata: ( x, y) x y r

45 L aritmetica modulare l aritmetica dell orologio Introduciamo l operazione binaria di moltiplicazione, così definita: ( x, y) x y r Per capire come funziona usiamo la metafora dell orologio a 5 ore che può rappresentare un modello per N5 (dovrò considerare quanto segna una lancetta dopo xy scatti) Esempio: vera!

46 L aritmetica modulare l aritmetica dell orologio Possiamo quindi completare la tabella sotto riportata: ( x, y) x y r *

47 L aritmetica modulare l aritmetica dell orologio Dopo aver introdotto le operazioni si possono studiare le proprietà di queste e quindi caratterizzare le strutture algebriche: ( N ; ) e ( N ; ) 5 5 Questo ci porterà al concetto di Gruppo, concetto molto importante in Matematica.

48 L aritmetica modulare l aritmetica dell orologio Studiamo la struttura: ( N ; ) 5 GRUPPO ABELIANO! L operazione L operazione è binaria ed interna ad N5? SI è associativa? SI Esiste l elemento Neutro? SI, è lo 0 Ogni elemento di N5 è dotato di opposto appartenente ancora ad N5? SI Ad esempio: L opposto di 1 è 4 in quanto: 41 L operazione è commutativa? SI Nella tabella dell addizione si nota una simmetria rispetto alla diagonale!

49 L aritmetica modulare l aritmetica dell orologio Studiamo la struttura: ( N ; ) 5 L operazione è binaria ed interna ad N5? L operazione è associativa? Esiste l elemento Neutro? Ogni elemento di N5 è dotato di relativo elemento inverso appartenente ancora ad N5? L operazione è commutativa? x Inv(x) motivo 0 N.E

50 L aritmetica modulare l aritmetica dell orologio La struttura: ( N 0 ; ) 5 GRUPPO ABELIANO! 0 1,2,3,4 N 5 In questa struttura è valida anche la legge dell annullamento del prodotto: se a b 0 allora ( a 0 e b 0) è falsa!

51 L aritmetica modulare l aritmetica dell orologio Questa legge vale sempre? ( N ; ) Consideriamo: 6 L operazione è binaria ed interna ad N6? L operazione è associativa? Esiste l elemento Neutro? Ogni elemento di N6 escluso al più lo zero è dotato di relativo inverso appartenente ancora ad N6? L operazione è commutativa? x Inv(x) motivo 0 N.E N.E. N.E. N.E.

52 L aritmetica modulare l aritmetica dell orologio La struttura ( N ; ) 6 anche eludendo lo zero non è un gruppo poiché esistono altri elementi di N6 oltre allo zero che non sono dotati di inverso! In questa struttura non è valida anche la legge dell annullamento del prodotto: a b 0 con a 0 e b 0 è vera! In N6 esistono altre coppie di numeri che godono di tale proprietà?

53 L aritmetica modulare l aritmetica dell orologio La differenza si calcola esattamente come la somma! Si potrebbe scrivere una tabella pitagorica apposta come quella riportata accanto per Z3: ma non ne vale la pena, visto che possiamo eseguire la sottrazione nella forma: a - b= a + (- b) e considerare quindi gli opposti dei singoli elementi In N12 per esempio - 4 è per definizione la stessa cosa che 12-4, cioè 8. Quindi 5-4 è pari a 5+8, cioè 13 e quindi per quanto visto ad 1. In linea di principio quindi la sottrazione è un'operazione inutile, e ci basta una tabella pitagorica dell'addizione e una lista dei numeri opposti. Lo stesso (con la dovuta cautela) può dirsi per l operazione di divisione, considerati gli inversi degli elementi

54 L aritmetica modulare l aritmetica dell orologio Se costruiamo la tavola pitagorica dell addizione in Z12: 4-6=10 e quindi 10 congruo -2 (mod 12) Cioè -2:12 da resto 10. Infatti: RESTO(a;b) = a-b*int(a/b) cioè: Resto = Dividendo - Divisore*(Quoziente Intero). La situazione si complica!! Utilizzando la metafora dell orologio in Z12 si potrebbe dire che: -2 mod 2 è 10, in quanto "se partiamo dalle ore 12=0, cioè da mezzanotte, e mettiamo indietro di due ore le lancette, l orologio segna le 10"

55 L aritmetica modulare l aritmetica dell orologio Risolviamo un equazione su ( N ; ) 5 4 x 2 I metodo: Considero la tavola pitagorica dell addizione in N5 (riportata sotto) e cerco la soluzione x1 tale che 4+x1 =2. Poiché la struttura considerata è un gruppo, la soluzione è unica!

56 L aritmetica modulare l aritmetica dell orologio Risolviamo un equazione su ( N ; ) 5 4 x 2 II metodo: Considero la proprietà associativa dell addizione in N5 - {0} e il concetto di opposto di un elemento, proprietà che valgono su un gruppo. Aggiungo ad entrambi i membri l opposto di 4 (che è 1) ed ottengo la soluzione cercata: 1 (4 x) 1 2 (1 4) x 0 x x 3 3 3

57 L aritmetica modulare l aritmetica dell orologio Esercizio: Risolvere su ( N 0 ; ) 5 l equazione: 3 x 2 3 x 2 2 (3 x) 2 2 (2 3) x 4 1 x 4 x 4

58 L aritmetica modulare l aritmetica dell orologio Esercizio: Risolvere su ( N ; ) 6 le equazioni: 2 x 4 4 x 3 *

59 1) Nell Insieme N3 delle classi resto modulo 3, compilate le tavole pitagoriche delle operazioni di addizione e moltiplicazione. Compilate poi le tavole degli opposti e degli inversi. Le strutture algebriche (N3, +) e (N3-{0}, *) sono Gruppi? 2) Nella struttura algebrica (N5, +, *) eseguite alcuni test di prova di validità della proprietà distributiva, stabilendo il valore di verità ci ciascuna delle seguenti uguaglianze: 3) Considerata la struttura algebrica (N7, +, *), compilate le tavole pitagoriche dell addizione e della moltiplicazione, quella degli opposti in (N7, +) e quella degli inversi in (N7-{0}, *). Le strutture suddette sono gruppi?. Vale la legge di annullamento del prodotto? 4) Risolvete le seguenti equazioni in (N7, +, *) : 5 x 3 x cosa potete notare? 4 (1 3) 3(2 4) 2 4 (4 1) (4 3) 3 x (5 (3 2) (3 4) 5 2 x) 6 3 (4 4) Per comodità nel testo sono stati inseriti i simboli + e *. Questi rappresentano rispettivamente le operazioni: e