Il biliardo. Isometrie nel piano: simmetrie e traslazioni. Proprietà delle figure geometriche.

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1 Il biliardo Livello scolare: 2 biennio Abilità interessate Scegliere, adattare, utilizzare schematizzazioni matematiche (formule, grafici, figure geometriche, ecc) di situazioni e fenomeni matematici e non, per affrontare problemi Produrre una soluzione del problema attraverso un opportuna concatenazione delle azioni necessarie (costruzioni geometriche) Comunicare in modo esauriente e comprensibile le strategie risolutive prodotte, discutendone l efficacia e la validità, e confrontarle con eventuali altre strategie Contesto Trasformazioni geometriche Conoscenze Isometrie nel piano: simmetrie e traslazioni Proprietà delle figure geometriche Trasformazioni nel piano: composizione di due isometrie Nuclei coinvolti Risolvere e porsi problemi Spazio e figure Collegamenti esterni Fisica Disegno L attività si colloca nell ambito sia matematico sia extramatematico; per quest ultimo aspetto riguarda la vita sociale Il problema proposto si colloca nel secondo biennio con l obiettivo di applicare le isometrie, e non semplicemente definirle e descriverle, ad una situazione reale che è quella che si presenta nel gioco del biliardo, quando si vuole che la biglia colpita segua un certo percorso Il problema si presta anche ad una soluzione analitica che, tuttavia, si presenta eccessivamente complessa L esempio vuole dimostrare l importanza di una scelta di metodo conveniente per il problema posto L alunno deve conoscere le isometrie del piano, le loro composizioni, la disuguaglianza triangolare, e le equazioni e i sistemi lineari Descrizione dell attività Il problema consiste nell individuare la direzione di lancio della biglia, che si trova inizialmente in un punto P del biliardo, in modo che, dopo aver battuto successivamente contro le quattro sponde consecutive, ripassi per il punto P Figura 1

2 Conviene proporre dapprima dei problemi più semplici al fine di abituare lo studente all utilizzo delle trasformazioni geometriche come metodo di risoluzione di problemi Lo studente potrà in tal modo apprezzare la potenza di un metodo diverso da quelli consueti, più idoneo in taluni casi a fornire soluzioni rapide ed eleganti Prima fase L insegnante propone agli studenti il problema noto come Problema di Erone, formulato con riferimento ad un contesto del mondo reale Una persona che si trova in una posizione A deve andare a riempire dei secchi d acqua, attingendo da un ruscello posto ad una certa distanza, e portarli ad una fattoria che si trova in un punto B dalla stessa parte di A rispetto al ruscello, facendo il cammino più breve Si chiede di aiutare la persona ad individuarlo Lo studente intuitivamente comprende che il cammino deve essere rettilineo dal punto A al ruscello; poi, ancora rettilineo, dal fiume alla fattoria Rappresentando il fiume con una retta r si può visualizzare la situazione con la seguente figura: Figura 2 Il problema si presenta allora come un problema di minimo: dati due punti A e B, posti dalla stessa parte di una retta r, determinare su essa un punto C tale che AC + CB sia minimo La risoluzione analitica è, dal punto di vista operativo, non semplice e utilizza strumenti matematici non ancora noti allo studente L insegnante pone la seguente domanda alla classe Se la fattoria stesse dall altra parte del ruscello in un punto B e non ci fossero problemi di attraversamento del ruscello, quale sarebbe il cammino più breve? La risposta è ovvia: Il segmento AB L insegnante chiede ancora: Dove deve stare il punto B? A questo punto gli studenti intuiscono che B deve essere il simmetrico di B rispetto alla retta r e, facendo alcune considerazioni sulle proprietà di tale trasformazione (punti e segmenti corrispondenti), pervengono alla risposta corretta: il punto C è il punto d intersezione del segmento AB con la retta r E chiaro che il procedimento scelto è rapido ed elegante, specialmente se confrontato con un eventuale procedimento analitico

3 Figura 3 Seconda fase L insegnante propone il seguente esercizio: Siano date due rette a e b perpendicolari tra loro in un punto P ed una retta r passante per P Che relazione c è tra le rette che si ottengono da r come corrispondenti nelle simmetrie assiali rispetto agli assi a e b? La risposta degli studenti è immediata: le rette coincidono L esercizio è però fondamentale per affrontare il problema del biliardo Figura 4 Terza fase Le considerazioni fatte per la soluzione analitica nel problema del ruscello valgono, a maggior ragione, per il problema del biliardo Gli studenti hanno raggiunto la convinzione che il metodo analitico può condurre alla soluzione di un sistema lineare la cui soluzione appare subito piuttosto complessa L insegnante invita gli studenti a concentrare l attenzione sulla legge di riflessione nell urto (elastico) di una biglia che, muovendosi sul piano del biliardo, batta contro una delle sponde del biliardo stesso In tale fase egli può coinvolgere il collega di fisica Può essere conveniente, a questo punto, utilizzare un software di geometria simulando il percorso come nella figura 5, dove si è supposto che la prima sponda contro cui la biglia batte è il lato AD Gli studenti possono variare la direzione di lancio in modo che la retta ottenuta dopo le quattro riflessioni passi per P La congettura che gli studenti formulano è la seguente: La direzione secondo cui va lanciata una biglia posta in un punto P del biliardo, affinché, dopo aver battuto contro le quattro sponde consecutive, ripassi per il medesimo punto P, è quella della diagonale AC (o della diagonale BD) del rettangolo che rappresenta il biliardo

4 Figura 5 Occorre ora validare o confutare tale congettura Ricordando l esercizio della seconda fase, gli studenti osservano che la retta riflessa della retta PP 1 (cioè P 1 P 2 ) si ottiene non solo dalla simmetria rispetto alla perpendicolare alla sponda ma anche dalla simmetria rispetto alla sponda interessata (ovvero DA) La costruzione si ripete quattro volte con riflessioni assiali rispetto alle quattro sponde del biliardo ottenendo le rette P 1 P 2, P 2 P 3, P 3 P 4 ed una quarta retta che si vuole passi per P La composizione delle prime due simmetrie assiali (in quanto gli assi sono ortogonali) dà luogo alla simmetria centrale di centro A (intersezione dei due assi di simmetria) e la composizione delle altre due dà la simmetria centrale di centro C Quindi la composizione delle quattro simmetrie assiali equivale alla composizione delle due simmetrie centrali di centri A e C che, a loro volta, danno luogo ad una traslazione di un vettore avente come direzione la retta congiungente i due centri di simmetria, cioè la diagonale AC del rettangolo che rappresenta il biliardo Le rette, corrispondenti in una traslazione, che passano per uno stesso punto (P) sono quelle aventi la direzione del vettore-traslazione, per cui la direzione di lancio della biglia, affinché dopo le quattro riflessioni ripassi per la posizione iniziale P, è quella della diagonale AC del rettangolo che rappresenta il biliardo (lo stesso risultato si ha se si lancia la biglia nella direzione dell altra diagonale)

5 Quanto costa una pizza all equatore Livello scolare: 2 biennio Abilità interessate Scegliere, adattare, utilizzare schematizzazioni matematiche di situazioni e fenomeni matematici e non, per affrontare problemi Elaborare tali schematizzazioni utilizzando metodi matematici opportuni e interpretare via via gli esiti di queste elaborazioni in relazione alla situazione problematica considerata Confrontare i risultati con le aspettative Individuare le cause delle inadeguatezze con opportuni elementi di controllo ritenuti importanti all avvio del processo risolutivo Comunicare in modo esauriente e comprensibile le strategie risolutive prodotte, discutendone l efficacia e la validità Contesto Misure Conoscenze Omotetie e similitudini nel piano Lunghezza della circonferenza ed area del cerchio Area e volume dei solidi Nuclei coinvolti Risolvere e porsi problemi Spazio e figure Argomentare, congetturare, dimostrare Collegamenti esterni Geografia astronomica Fisica L attività si colloca trasversalmente a varie conoscenze geometriche L attività descritta rappresenta un buon esercizio sulle similitudini I problemi proposti, in particolare i primi due, mettono in luce che l intuizione è un aspetto importante nell attività matematica, ma che è necessario supportarla con un corretto ragionamento ed una attenta analisi dei risultati L intuizione da sola può condurre ad affermazioni errate Il terzo problema è di tipo aperto e invita a produrre delle congetture su un dato mancante e a sostenerle con ragionamenti pertinenti La serie di attività proposte richiede conoscenze che si acquisiscono durante il terzo e il quarto anno del corso di studi, per cui l attività può essere suddivisa in tali anni Per il suo svolgimento si utilizzano immagini del globo terrestre ed altre di oggetti tratti dall esperienza quotidiana Lo studente deve avere una buona conoscenza delle figure geometriche del piano e capacità di visione spaziale Deve anche conoscere e sapere applicare le proprietà delle similitudini, nonché i concetti di peso e peso specifico Descrizione dell attività L attività prevede la risoluzione di tre problemi che, per la loro apparente semplicità, potrebbero indurre gli studenti a fornire soluzioni di tipo immediato Esse richiedono, invece, una riflessione attenta sulle proprietà delle figure geometriche e sulle relazioni tra esse

6 Primo problema Si stende un nastro intorno alla superficie terrestre lungo tutto l equatore e si osserva che la sua lunghezza deve essere circa m, essendo il raggio r della terra, se questa è assimilata ad una sfera, lungo m Se si allunga il nastro di 2π metri (poco più di 6 metri e 28 centimetri), il nuovo nastro, disposto simmetricamente rispetto al centro della terra, si solleva abbastanza da consentire ad un coccodrillo di passarci sotto? (Nota: l altezza media di un coccodrillo è di circa mezzo metro) L insegnante invita gli studenti a fornire una risposta e a giustificarla (Si avvia una discussione tra gli studenti: eccone una ragionevole sintesi, in una classe immaginaria) Luca: Non ci passa sicuramente perché, ben che vada, il nastro si alzerà di pochi millimetri; il nastro lungo quanto l equatore non si accorge neppure dell aggiunta di sei metri Giovanni: Hai ragione, al più ci potrà passare un foglio di carta sotto il nastro Enrico: Sono d accordo, però mi piacerebbe sapere di quanti millimetri si solleva precisamente; facciamo il calcolo Osservano allora che la lunghezza del nastro è 2πr metri e, se si aggiunge un altro pezzo lungo 2π metri, la lunghezza del nastro diventa 2πr+2π =2π (r+1) metri La conversazione riprende: Luca: Il raggio della nuova circonferenza misura (r+1) metri Allora si solleva di un metro! Giovanni: Se mi accuccio ci passo anche io! Enrico: Il risultato sembra strabiliante, ma se ci pensiamo, come sei metri sono pochissimi rispetto alla lunghezza dell equatore, anche un metro è poco rispetto alla lunghezza del raggio della terra Infatti, il rapporto tra lunghezza di una circonferenza e del suo raggio è costante e vale 2π Considerazioni matematiche Le circonferenze sono figure simili Il rapporto delle lunghezze delle circonferenze è uguale al rapporto dei loro raggi Secondo problema Due amici, in pizzeria, ordinano due pizze napoletane: Andrea la prende normale, Paolo invece la sceglie gigante Quando gliele portano i due amici osservano che sono perfettamente circolari; la normale ha raggio 20 cm, la gigante 30 cm e sono anche dello stesso spessore Quando portano il conto, Andrea deve pagare 6,4 mentre Paolo, vedendo il suo conto, che è di 12, si sorprende: Come mai la mia pizza costa quasi il doppio, mentre il raggio è aumentato solo del 50%? Affidiamo la risposta alla nostra solita classe immaginaria Luca: Paolo ha ragione: avendo la pizza più grande il raggio una volta e mezzo quello della più piccola, basta aggiungere la metà di 6,4 cioè 3,2 Il prezzo giusto dovrebbe essere 9,6 Giovanni: Però con le pizze così grandi - le maxi pizze - ci si mangia in due e mi ricordo che si paga molto di più Enrico: Facciamo il calcolo di quanta pizza in più c è Calcoliamo l area del cerchio della prima pizza e quello della maxi pizza e proviamo a fare il rapporto

7 L area della prima pizza è πr 2 r ; l area della maxi pizza è π r + = π r = πr Il rapporto tra l area della maxi pizza e quella della pizza normale è 9 = 2, 25 4 Luca: E più che raddoppiata! Giovanni: Ecco perché ci si mangia in due Luca: Che strano il raggio era aumentato solo della metà Enrico: Già, ma il rapporto tra le aree di due cerchi, che sono figure simili, è uguale al quadrato del rapporto tra i loro raggi Perciò se si considerano due cerchi di raggi 3 r ed r, come sono le 2 3 pizze considerate, il rapporto tra i loro raggi è 9 e il quadrato è = 2, 25 La maxi pizza deve 2 4 costare 6,4 x 2,25 = 14,4 Quindi a Paolo, il pizzaiolo, ha fatto addirittura lo sconto! Considerazioni matematiche I cerchi sono figure simili Il rapporto delle aree dei cerchi è uguale al quadrato del rapporto dei loro raggi Terzo problema Negli Stati Uniti le monete da 50 cent e da 10 cent sono entrambe d argento ed hanno un peso proporzionale al loro effettivo valore Proviamo a disporre delle monetine da 10 cent sulla moneta da 50 cent, senza che si sovrappongano e non debordino dal contorno della moneta grande Quante monete da 10 cent riusciamo a mettere? Luca: Bisognerebbe fare un modellino delle monete Giovanni: Ritagliamole da un foglio di carta Luca: Prendo il compasso per disegnarle Giovanni: Ma che raggi diamo? Luca: La più grande vale 50 cent, la più piccola 10 cent; perciò io darei alla più grande un raggio di 5 cm e alla più piccola di 1 cm 2 2 Figura 1 Enrico: 13 monetine mi sembrano troppe Quando sono stato negli Stati Uniti ho visto le monete e quelle da mezzo dollaro non mi sembravano così grandi Il problema afferma che le monete hanno un peso proporzionale al loro valore, ovvero la moneta da mezzo dollaro pesa 5 volte la moneta da 10 cent Essendo entrambe d argento anche i loro volumi sono nello stesso rapporto E siccome le monete sono dei cilindri dobbiamo conoscere il loro spessore Siccome non abbiamo questo dato possiamo tentare delle ipotesi Giovanni: Le monete potrebbero avere lo stesso spessore Luca: Mi sembra poco verosimile: ho sempre visto le monete di maggior valore più spesse Giovanni: Allora potrebbero avere altezze proporzionali Insegnante: Dovete dire proporzionali a che cosa e in che modo

8 Giovanni: Potrebbero essere due cilindri simili Insegnante: Che cosa intendi? Giovanni: Il rapporta tra le misure è costante Insegnante: Quali misure? Giovanni: Ad esempio quelle dei raggi di base e delle altezze Insegnante: Questa ipotesi è sensata Enrico: Proviamo con questa ipotesi a calcolare questo rapporto Chiamiamolo k I raggi di base li chiamiamo r (10 cent) e R (50 cent); le altezze rispettivamente h e H Il volume del cilindro della moneta da 10 cent è πr 2 h e quello della moneta da 50 cent è πr 2 H Poiché R= k r ; H= k h, il volume della moneta da 50 cent diventa π (k r) 2 kh = π k 3 r 2 h Il rapporto tra il volume della moneta da 50 cent e quello della moneta da 10 cent è dunque k 3 Allora il rapporto dei volumi è uguale al cubo del rapporto dei raggi di base e delle altezze Siccome questo rapporto è 5, risulta k = 3 5 = 1,71circa La moneta da 50 cent ha un raggio che non è neppure il doppio di quello della moneta da 10 cent Giovanni: Con questa ipotesi, dunque, non è possibile metterne neppure due, ma solamente una Questa risposta mi convince perché lo stesso accade con le nostre monete da 50 e 10 centesimi di euro Figura 2 Considerazioni matematiche I due cilindri, nella ipotesi fatta, sono figure simili (il docente può spiegare intuitivamente il significato di solidi simili) Il rapporto dei volumi è uguale al cubo del rapporto dei raggi di base oppure al cubo del rapporto delle altezze Sintesi matematica Possono essere messe a confronto le tre situazioni, evidenziando la proporzionalità lineare, la proporzionalità quadratica e quella cubica

9 La moneta è truccata! Livello scolare: 2 biennio Abilità interessate Confrontare schematizzazioni matematiche diverse di uno stesso fenomeno o situazione in relazione ai loro limiti di validità, alle esigenze (in particolare di descrizione o di interpretazione o di previsione), e alle risorse (tempo, conoscenze, mezzi tecnologici) disponibili Valutare criticamente le informazioni Selezionare, produrre ed usare appropriate distribuzioni grafiche Conoscenze Il ragionamento induttivo e le basi dell inferenza Produrre grafici di relazioni Nuclei coinvolti Risolvere e porsi problemi Dati e previsioni Relazioni e funzioni Laboratorio di matematica Collegamenti esterni Lingua italiana Vita sociale Contesto Il contesto è di tipo matematico ed extramatematico; per quest ultimo aspetto si colloca nell ambito della vita sociale cercando di dare indicazioni di consapevolezza critica verso il mondo circostante Giochi di sorte Si propone alla classe un semplice problema che implica la necessità di una (forse prima) riflessione circa il modo di verificare se una congettura, o una ipotesi, è vera oppure è falsa Si gioca a Testa e Croce con una moneta di cui non si conosce la provenienzamagari per farci delle scommesse Prima di fare delle puntate, si vorrebbe sapere, con una certa attendibilità, se essa è equilibrata o meno, cioè se si può attribuire la stessa probabilità alle 2 facce, Testa o Croce, cioè se P(T)=P(C)=1/2 Descrizione dell attività Si propone inizialmente agli studenti di riflettere sul fatto che non sempre, quando sono di fronte a due eventi alternativi, devono pensare che tali eventi abbiano la stessa probabilità di verificarsi Ciò perché in modo spontaneo, ma non sempre corrispondente alla realtà, gli studenti, messi a confronto con le prime considerazioni probabilistiche, sono portati a considerare equilibrata qualsiasi moneta, e quindi, ad attribuire la stessa probabilità alle due facce Per rendere più evidente la cosa facciamo notare che è senz altro corretto attribuire un alto grado di fiducia, o verità a questa congettura, se ci troviamo fra le mani una moneta coniata dalla Zecca di Stato, mentre non sappiamo cosa si può dire se fra le mani ci è capitata una vecchia moneta o se, chi ci propone di usarla per il gioco, sia qualcuno che sospettiamo abbia truccato la moneta, ad esempio, in modo da far venire mediamente più Teste che Croci Un altra possibile osservazione, che viene spontanea in classe, è sul significato di frequenza dell evento: si può ragionevolmente ritenere che, anche se una moneta è equilibrata, in una serie limitata di osservazioni, ciò porti esattamente ad ottenere il 50% di Teste e 50% di Croci? Prima conclusione che si raggiunge dalla discussione: un numero non molto grande di lanci può non essere sufficiente a scoprire, anche con monete equilibrate, se è attendibile l ipotesi di equiprobabilità Ma vediamo cosa succede se facciamo crescere il numero di prove

10 Un modo per risolvere il problema dato può essere chiamato metodo empirico, e risulta particolarmente significativo per la sua valenza didattica Metodo Empirico Per creare le premesse per il ragionamento induttivo, si propone ai ragazzi di usare una moneta di uso corrente, ad esempio da 2 Euro, per fare un numero di prove sempre più elevato ed osservare cosa succede della frequenza relativa di successo, ad esempio di Testa, costruendo il grafico che esprime l andamento delle frequenze relative di successi F i /N all aumentare delle prove Sarà utile, infine, chiedersi se lo scostamento fra le Frequenze relative osservate, al variare del numero dei lanci, è lontano, in modo significativo da p = ½ Se ciò avviene diremo che la moneta è truccata 1) Si invitano gli studenti a costruire una tabella delle osservazioni (Tabella 1), ripetendo più volte il lancio della stessa moneta Si possono far fare, ad esempio, 60 lanci a ciascuno dei 20 studenti e poi raggruppare in un'unica tabella i dati ottenuti Nella tabella che segue, dopo aver chiamato con N il numero complessivo dei lanci e con F i e con F i /N rispettivamente la frequenza cumulata e la frequenza cumulata relativa, si sono indicati gli estremi dell intervallo con p( 1 p) 1 1,5 p ± 3 = ± E noto infatti che tale intervallo comprende statisticamente più del N 2 N 99% dei dati e che il centro di tale intervallo è la probabilità p richiesta Diventa particolarmente significativo osservare dalla Tabella 1 la differenza fra la frequenza ottenuta F i /N e la probabilità teorica indicata con p nell ultima colonna Lanci complessivi Frequenza relativa Min Max Probabilità Freq Cumulate N F i F i /N p 1, 5 N p + 1, 5 N p ,52 0,39 0,61 0, ,54 0,42 0,58 0, ,54 0,44 0,56 0, ,50 0,45 0,55 0, ,50 0,45 0,55 0, ,51 0,46 0,54 0, ,51 0,46 0,54 0, ,51 0,46 0,54 0, ,50 0,47 0,53 0, ,50 0,47 0,53 0, ,50 0,47 0,53 0, ,51 0,47 0,53 0, ,51 0,47 0,53 0, ,51 0,47 0,53 0, ,51 0,47 0,53 0, ,51 0,47 0,53 0, ,52 0,48 0,52 0, ,52 0,48 0,52 0, ,52 0,48 0,52 0, ,52 0,48 0,52 0,5 Tabella 1

11 Si riportano i dati in un grafico su un foglio elettronico per vedere se la frequenza relativa si stringe attorno alla probabilità 0,5 in caso di moneta equilibrata Andamento della Frequenza relativa di successo Fi/N 0,70 0,60 Frequenza relativa e probabilità 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0, Numero di lanci conplessivo La linea dei triangolini indica l'estremo superiore La linea dei quadrati indica l'estremo inferiore La linea dei rombi indica l'andamento delle frequenze relative Figura 1 La verifica empirica è simulata, con i limiti dipendenti dalla non perfetta casualità della funzione di Excel usata, sul foglio elettronico allegato: Lancio_moneta_TCA (Per attivare la simulazione è sufficiente inserire un qualsiasi dato nella casella gialla e premere invio) E anche possibile effettuare la verifica realmente in classe, usando lo stesso foglio e inserendo manualmente i risultati del lancio di 60 monete e il numero dei successi ottenuti da ciascuno dei venti studenti, sostituendo così la funzione casuale che si presenta nella seconda colonna Il grafico mostra la convergenza empirica della frequenza relativa Fi/N dei successi alla probabilità p, attraverso il cosiddetto grafico ad imbuto che evidenzia come questa approssimazione migliori all aumentare di N Osservazione: come è noto, per un certo valore di N, la distribuzione di Fi/N ha media p e varianza p(1-p)/n Si può perciò delimitare una banda di oscillazione attorno a p = 0,5, visualizzata dal grafico ad imbuto, che rappresenta il valore atteso minimo e massimo delle frequenze relative Le bande hanno ampiezza 3 p (1 p) N rispetto a p e contengono circa il 99,7% dei casi Al

12 cumularsi dei lanci, cioè al crescere di N, si vede come la frequenza relativa dei successi tende a stare nel grafico ad imbuto e ad avvicinarsi a p Osservazione (qualitativa): all aumentare del numero di prove, aumenta la probabilità che la frequenza empirica si avvicini al valore teorico p = 0,5 e, quindi, aumenta la fiducia che Fi/N sia una buona stima della vera probabilità Naturalmente, nel caso si operi con una moneta equilibrata, si osserva che ciò è solo una verifica empirica di quanto già si sapeva: che la frequenza relativa stima bene la probabilità, al crescere di N Ma in una serie non numerosa di osservazioni, può accadere che la stima sia lontana da 0,5, anche in una moneta equilibrata Come possiamo, perciò, operando all inverso, valutare l attendibilità di tale congettura se non abbiamo una forte informazione iniziale sulla moneta? Ipotesi nulla: La moneta è equilibrata p = 0,5 Ipotesi alternativa: La moneta non è equilibrata p 0,5 Possiamo operare in questo modo: Costruiamo un criterio di decisione (o Test statistico) basato sulla distribuzione Normale standardizzata dello stimatore della Fi/N Fi p z = N p ( 1 p ) N Tale variabile, nel caso in cui la moneta sia equilibrata, si distribuisce come una variabile casuale Normale standardizzata (0,1), di cui si dispone delle necessarie tavole numeriche Il procedimento per decidere è il seguente: Si decide di effettuare un numero di lanci abbastanza grande : per la ragione appena esposte la frequenza relativa tende alla probabilità p (ad es si possono fare N = 100 lanci) Si sceglie un grado di attendibilità funzionale alla decisione che vogliamo prendere; se, ad es fissiamo una attendibilità del 95%, vuol dire che, nel caso la moneta sia equilibrata, siamo pronti ad accettare una probabilità di sbagliare il giudizio, a causa del campionamento, del 5% Si determina empiricamente il valore di Fi /N nel caso esaminato Si determina il valore di z, se p=0,5 e N=100 Si osserva se z cade nell intervallo standardizzato ( 1,96, +1,96); è noto che tale intervallo contiene il 95% circa dei valori di z, nell ipotesi che p= 0,5 e N=100 In conclusione: si accetta l ipotesi di moneta equilibrata se z è compreso nell intervallo considerato; si conclude, invece, che la moneta è truccata se z cade fuori dell intervallo considerato Il processo di decisione può essere schematizzato in una tabella a doppia entrata (Tabella 2) I simboli α e β indicano, rispettivamente, la probabilità di prendere una decisione errata in presenza di ipotesi nulla e in presenza di ipotesi alternativa Il grado di attendibilità 1 α = 0,95 è stato fissato preliminarmente e così pure, ovviamente, α = 0,05, che rappresenta la probabilità di sbagliare nel caso sia vera l ipotesi nulla Rimane indeterminata la probabilità β di sbagliare nel caso sia vera l ipotesi alternativa

13 Tabella 2 Regola di decisione z cade nell intervallo ( 1,96, +1,96): si accetta l ipotesi nulla z cade fuori dell intervallo ( 1,96, +1,96): si accetta l ipotesi alternativa Situazione effettiva Ipotesi nulla (moneta equilibrata) p = ½ Decisione corretta 1 α = 0,95 Decisione errata α = 0,05 Ipotesi alternativa (moneta non equilibrata) p ½ Decisione errata β Decisione corretta 1 - β

14 L affondamento del Titanic Livello scolare: 2 biennio Abilità interessate Identificare situazioni che richiedono di rilevare lo stesso carattere su una unità statistica formata da 2 elementi, o 2 caratteri diversi sulla stessa unità statistica Impostare una tabella a doppia entrata; classificare i dati secondo due caratteri e riconoscere in essa i diversi elementi individuabili Selezionare, produrre ed usare appropriate rappresentazioni grafiche delle distribuzioni doppie Conoscenze Distribuzione doppia di frequenze e tabella a doppia entrata Distribuzioni condizionate e marginali Principali rappresentazioni grafiche per le distribuzioni doppie rispetto a caratteri di qualsiasi natura Concetto e significato di modello: dipendenza e indipendenza stocastica Probabilità semplice, condizionata e composta Nuclei coinvolti Risolvere e porsi problemi Dati e previsioni Argomentare, congetturare, dimostrare Collegamenti esterni Contesto Dipendenza stocastica Il contesto è di tipo matematico ed extramatematico; per quest ultimo aspetto si colloca nell ambito della vita sociale e dell attualità Questo esempio è riferito a dati reali che facilmente possono colpire lo studente nella vita quotidiana attraverso notizie provenienti da televisione e giornali La parte didatticamente più importante è l attenzione da porre a dati e percentuali che, a prima vista, potrebbero fuorviare Descrizione dell attività Il Titanic trasportava passeggeri in tre classi: 1 a, 2 a, 3 a Dopo l affondamento fu stilata la relazione relativa all incidente ed a tutte le operazioni di salvataggio successive Alcuni dati sono sinteticamente riportati nelle seguenti tabelle: Classe dei Viaggiatori alla partenza Totale viaggiatori Uomini Donne Bambini 1 a Classe a Classe a Classe Totale Classe dei Tabella 1 Sopravvissuti Totale viaggiatori Uomini Donne Bambini 1 a Classe a Classe a Classe Totale Tabella 2

15 Classe dei Morti o Dispersi Totale viaggiatori Uomini Donne Bambini 1 a Classe a Classe a Classe Totale Tabella 3 Osservazione 1: I passeggeri delle tre classi non viaggiavano tutti nelle stesse condizioni Ad esempio, i passeggeri di terza classe erano in gran parte emigranti con famiglia e figli, probabilmente non tutti erano perfettamente padroni della lingua inglese (c erano emigranti francesi, ma anche inglesi usi a parlare in dialetto) e, inoltre, gli alloggi di terza erano collocati in luoghi della nave da cui non era immediato l accesso al ponte dove si trovavano le lance di salvataggio Al contrario, i passeggeri di prima erano persone facoltose abituate a parlare in inglese, in generale coppie senza figli in viaggio di divertimento e gli alloggi di prima si affacciavano sul ponte o erano nelle vicinanze Per dare forza all osservazione che in terza classe c erano molti più bambini che nelle altre classi, si può costruire la Tabella 4 con i dati relativi ai bambini alla partenza Classe Viaggiatori alla partenza Bambini In totale Percentuale 1 a Classe ,8 % 2 a Classe ,4 % 3 a Classe ,2 % Totale ,3 % Tabella 4 Effettivamente, in terza classe i bambini erano molto più numerosi, rappresentavano l 11,2% dei passeggeri di quella classe, in seconda rappresentavano l 8,4% dei passeggeri e in prima rappresentavano solo l 1,8% dei passeggeri Rivolgiamoci alcune domande atte a capire come stavano effettivamente le cose Domanda: Osservando i dati riportati nelle tabelle, sembra possibile affermare che, a causa delle maggiori difficoltà incontrate nel salvataggio dei passeggeri di terza classe (con famiglie, con bambini, alloggiati in luoghi poco agevoli, con difficoltà di linguaggio), sono stati salvati più passeggeri di seconda e prima classe che di terza Questa è solo una impressione o può essere confermata da una analisi puntuale ed approfondita dei dati? Vediamo alcune (possibili) risposte, suddivise per categorie Prima risposta (uomini): Per rispondere alla domanda, si incominci a prendere in considerazione i soli maschi A partire dalle Tabella 2 e 3 si costruisca la Tabella 5 Salta agli occhi che più della metà dei sopravvissuti maschi (il 51,4%) è di terza classe) Verrebbe da dire, ad una prima affrettata (e, come vedremo, errata) conclusione, che tra gli uomini si sono salvati soprattutto quelli di terza classe (51,4%), seguiti da quelli di prima (39%) e da quelli di seconda (9,6%) Classe Sopravvissut i uomini Ripartizione percentuale dei sopravvissuti uomini Uomini alla partenza Ripartizione percentuale degli uomini alla partenza Percentuale di sopravvissuti sui partenti

16 1 a Classe 57 39, ,7 32,6 2 a Classe 14 9, ,9 8,3 3 a Classe 75 51, ,4 16,2 Totale , ,0 18,1 Tabella 5 Guardando con più cura la tabella, però, si nota che anche alla partenza ci sono più uomini in terza classe (57,4%), che non in seconda (20,9%) o in prima (21,7%) A questo punto si può provare a dare una prima risposta (corretta): tra gli uomini, alla partenza i viaggiatori di terza classe sono il 57,4%; tra i sopravvissuti, invece, gli uomini di terza sono solo il 51,4% In seconda classe, invece: gli uomini sono il 20,9% dei i partenti, ma il 9,6% dei sopravvissuti Diversa ancora la situazione in prima: gli uomini sono il 21,7% dei partenti ed il 39% dei sopravvissuti L ultima colonna della Tabella 5 riporta, per i maschi, la percentuale di sopravvissuti sui partenti, classe per classe Si vede bene, adesso, che in terza i sopravvissuti sono il 16,2% dei partenti, in seconda sono l 8,3% e in prima il 32,6% Osservazione 2: Con quanto detto finora, si può fare riferimento alle probabilità condizionate Si provi a immaginare di pescare a caso un nome dall elenco dei viaggiatori: se si pesca tra i nomi di prima classe, la probabilità di trovare il nome di un sopravvissuto è 0,326; se si pesca tra i nomi di seconda classe la probabilità di trovare il nome di un sopravvissuto è 0,083; se si pesca tra i nomi di terza classe la probabilità è 0,162 Appare così evidente, come avevamo sottolineato prima, che è molto più facile trovare il nome di un sopravvissuto in prima classe che non in terza perché le probabilità condizionate di sopravvivenza sono diverse e dipendono dalla classe del viaggiatore Seconda risposta (donne): E per le donne? Si cominci a costruire la Tabella 6, analoga alla 5 ma relativa alle donne Tra le sopravvissute, il 47,3% è di prima classe, il 27% è di seconda e solamente il 25,7% è di terza Alla partenza, però, le percentuali sono molto diverse: il 35,8% delle donne viaggia in prima, il 23,1% in seconda e il 41,1% in terza Se poi si va a vedere l ultima colonna della Tabella 5, che riporta, per le donne, la percentuale di sopravvissute sulle partenti, classe per classe, si vede bene che in terza le sopravvissute sono il 46,1% delle partenti, in seconda classe sono l 86,0% e in prima sono state salvate praticamente tutte le passeggere (140 su 144, pari al 97,2%) Classe Sopravvissute donne Ripartizione percentuale delle sopravvissut e donne Donne alla partenza Ripartizione percentuale delle donne alla partenza Percentuale di sopravvissut e sulle partenti 1 a Classe , ,8 97,2 2 a Classe 80 27, ,1 86,0 3 a Classe 76 25, ,1 46,1 Totale , ,0 73,6 Tabella 6 Anche adesso si potrebbe dire che, se si pesca a caso un nome dall elenco delle viaggiatrici, la probabilità di trovare il nome di una sopravvissuta è 0,972, se si pesca tra i nomi di prima classe; è

17 0,86, se si pesca tra i nomi di seconda classe; è infine 0,461, se si pesca tra i nomi di terza classe Anche per le donne, è dunque molto più facile trovare il nome di una sopravvissuta in prima classe che non in terza Osservazione 3: Anche in questo caso si vede che le probabilità di sopravvivenza sono condizionate alla classe del viaggiatore Terza risposta (tutti = uomini+donne+bambini): Alla domanda di partenza, può essere risposto anche prendendo in considerazione tutti i passeggeri complessivamente considerati, maschi e femmine, compresi i bambini (cfr Tabella 7) La domanda di partenza può essere riformulata nei seguenti modi alternativi fra loro equivalenti: - i passeggeri delle tre classi hanno avuto le stesse opportunità di salvezza? - la appartenenza a una classe ha modificato in meglio o in peggio le opportunità di salvezza? - la conclusione favorevole del viaggio è dipesa dalla classe? Se le opportunità di salvezza sono state (più o meno) eguali per tutti i passeggeri di tutte le classi, in tutte e tre le classi si deve trovare (più o meno) la stessa percentuale di sopravvissuti Complessivamente, i sopravvissuti sono stati 499 su 1316 passeggeri, pari al 37,9% La stessa percentuale di sopravvissuti si deve trovare in tutte tre le classi Per quanto riguarda la prima classe, il 37,9% di 325 è 123,7: questo è il numero atteso di sopravvissuti nella prima classe, nella ipotesi che questi passeggeri abbiano avuto le stesse opportunità di salvezza degli altri Per la seconda classe il 37,9% di 285 è 108,1: questo è il numero atteso di sopravvissuti in seconda, nella stessa ipotesi di indipendenza delle opportunità di salvezza dalla classe Analogamente, per quanto riguarda la terza classe, il 37,9% di 706 è 267,7: questo è il numero atteso di sopravvissuti in terza Si procede nello stesso modo al calcolo dei morti e dispersi classe per classe Complessivamente, tra morti e dispersi ci sono stati 817 passeggeri su 1316, pari al 62,1% La stessa percentuale di dispersi si dovrebbe trovare nelle tre classi I numeri attesi, così calcolati, di sopravvissuti e di morti e dispersi sono riportati in ogni casella della tabella 7, in basso a destra, in carattere corsivo Si vede che in prima classe i sopravvissuti sono 203, più di quanti (123,2) risultano calcolati nella ipotesi di indipendenza tra esito del viaggio e classe In terza classe, invece, i sopravvissuti sono 178, meno di quanti (267,7) risultano calcolati nella ipotesi di indipendenza tra esito del viaggio e classe Per quanto riguarda i dispersi, avviene il contrario In prima classe i dispersi sono 122, meno di quanti (201,8) risultano calcolati nella ipotesi di indipendenza tra esito del viaggio e classe In terza classe, invece, i dispersi sono 528, più di quanti (438,3) risultano calcolati nella ipotesi di indipendenza tra esito del viaggio e classe Complessivamente, questi risultati permettono di affermare che effettivamente il numero di sopravvissuti, da un lato, e quello di morti e dispersi, dall altro, sono in qualche modo collegati alla classe dei viaggiatori Classe dei viaggiatori 1 a Classe 2 a Classe 3 a Classe Sopravvissuti , , ,7 Morti o Dispersi , , ,3 Totale Totale Tabella 7

18 Osservazione 4: Si provi a generalizzare i ragionamenti fatti a riguardo dei dati della tabella 7 riguardo al calcolo delle frequenze attese nell ipotesi di indipendenza tra esito del viaggio e classe La tabella 8 è fatta come la 7, l unica differenza è che si riferisce al caso generale di due variabili X con h modalità (h righe) e Y con k modalità (k colonne) Le frequenze osservate, riportate in ogni casella nella prima riga, sono indicate con f ij ; le frequenze attese (calcolate nell ipotesi di indipendenza tra classe e esito del viaggio), riportate in ogni casella nella seconda riga, sono indicate con fˆ ij Ricordando come sono state calcolate le frequenze attese della tabella 7, nella tabella 8 risulta, in ogni casella, fˆ ij = Ti T j / T Osservazione 5: Verificare che in una tabella a doppia entrata, come la 7 o la 8: - in ogni riga la somma delle frequenze osservate risulta eguale alla somma delle frequenze h attese: i= f = h ij i= fˆ 1 1 ij = Ti (i=1,2, h); - in ogni colonna la somma delle frequenze osservate risulta eguale alla somma delle frequenze attese: k j = f = k ij j = fˆ 1 1 ij = T (j=1,2, k); j - il totale generale delle frequenze osservate risulta eguale al totale delle frequenze attese: h k = h k i= j = f ij i= j = fˆ ij = T (i=1,2, h; j=1,2, k) Osservazione 6: Usando la tabella 7 come un urna e prendendo in considerazione la prima casella si possono facilmente calcolare tre probabilità: quella di estrarre a caso il nome di un viaggiatore di prima classe, quella di estrarre a caso il nome di un viaggiatore sopravvissuto, quella di estrarre a caso il nome di un viaggiatore di prima classe sopravvissuto P(I a ) = P(di estrarre a caso il nome di un viaggiatore di prima classe) = 325/1316 P(S) = P(di estrarre a caso il nome di un viaggiatore sopravvissuto) = 499/1316 P(I a S) = P(di estrarre a caso il nome di un viaggiatore di prima classe sopravvissuto) = 203/1316 Risulta facile verificare la non indipendenza tra i due eventi: i) viaggiatore di prima classe e ii) viaggiatore sopravvissuto: P(I a ) P(S) = (325/1316) (499/1316) = 0,09364 P(I a S) = 203/1316 = 0,1543 Variabile X Variabile Y Totale y 1 y j y k x 1 f 11 ˆf 11 f 1 j fˆ 1 j f 1k fˆ 1k T 1 f i1 x i f ˆi1 f ij fˆij f ik fˆik T i f h1 x h f ˆh1 f hj fˆhj f hk fˆhk T h Totale T 1 T j T k T Tabella 8

19 Osservazione 7: Per valutare le distanze tra le frequenze osservate della tabella 7 (in carattere normale) e quelle attese nella ipotesi di indipendenza tra classe e esito del viaggio (in corsivo) è possibile utilizzare anche l indice sintetico χ 2 Nel caso generale della tabella 8, l espressione dell indice è: h k 2 2 ( fij fˆ ij) χ = i= 1 j= 1 fˆ ij Nel caso particolare della tabella 7, l indice risulta: χ 2 = ( ,2) 2 /123,2 + ( ,8) 2 /201,8 + ( ,1) 2 /108,1 + ( ,9) 2 /176,9 + + ( ,7) 2 /267,7 + ( ,3) 2 /438,3 = 133,1 Questo valore indica un allontanamento dalla situazione di indipendenza stocastica e, quindi, una dipendenza tra classe ed esito del viaggio Osservazione conclusiva: Si possono fare due ulteriori considerazioni sul risultato numerico del calcolo dell indice χ 2 Il valore di χ 2 è determinato, oltre che dalla eventuale dipendenza tra i due caratteri X e Y che si vuole misurare, anche dalla numerosità totale T Infatti, se si moltiplicano tutte le frequenze della tabella 8, e quindi anche il totale T, per una costante k>0, le proporzioni interne alla tabella rimangono invariate, ma si verifica facilmente che il nuovo indice risulta kχ 2 ( kf kfˆ ) h k 2 ij ij i= j= 1 kfˆ 1 ij 2 = kχ Per avere un indice che permetta confronti e giudizi, senza essere influenzato dal numero totale T dei casi osservati e della dimensione h x k della tabella, si utilizza un indice 2 normalizzato ~χ compreso tra 0 (nel caso di indipendenza) ed 1 (nel caso di massima dipendenza, compatibile con la struttura della tabella: dimensione h x k e numerosità T) 2 0 ~ 2 χ χ = T min < {( h 1 ); ( k 1) } 1 Nel caso della tabella 7, l indice normalizzato risulta: ~2 133,1 133,1 χ = = = 0, min 3 1 ; {( ) ( )} Questo valore misura l allontanamento dalla situazione di indipendenza e indica, quindi, una certa dipendenza tra classe ed esito del viaggio

20 E che sia negativa! Livello scolare: 2 biennio Abilità interessate Riconoscere situazioni problematiche affrontabili con metodi matematici analoghi: riconoscere fenomeni riconducibili ad uno stesso modello matematico ai fini di attività di interpretazione o di previsione Porsi problemi aperti ed esplicitare le possibilità che esistano formalizzazioni matematiche diverse di uno stesso problema Conoscenze Equazioni polinomiali: numero delle soluzioni e algoritmi di approssimazione Esempi di funzioni e dei loro grafici: funzione potenza, funzioni polinomiali Zeri e segno di funzioni: equazioni e disequazioni di secondo grado, esempi scelti di equazioni, disequazioni, sistemi non lineari Nuclei coinvolti Porsi e risolvere problemi Numeri e algoritmi Relazioni e funzioni Argomentare, congetturare, dimostrare Collegamen ti esterni Contesto Polinomi Il contesto è matematico e, più precisamente, riguarda i polinomi, e le equazioni polinomiali in una variabile Il punto essenziale è l utilizzo di proprietà importanti delle funzioni per avere informazioni su particolari richieste Nella soluzione del problema posto si possono seguire due procedure risolutive diverse, una di tipo esclusivamente concettuale, una di tipo grafico e dunque più pragmatica, per ottenere la stessa risposta Descrizione dell attività Prima fase Si chiede inizialmente di rispondere alla seguente domanda: L equazione x 3 + πx 2 + 1,763 = 0 può avere una soluzione negativa? I coefficienti sono stati scelti ovviamente in modo tale da dissuadere gli studenti dal fare i calcoli, anche se è probabile che qualcuno ci provi lo stesso Inizia a questo punto la discussione su come si possa rispondere alla domanda E probabile che emergano due diverse indicazioni Una che privilegia l aspetto computazionale, l altra che privilegia l aspetto grafico In entrambi i casi si procederà in un primo momento per tentativi, ma l insegnante farà attenzione a sottolineare quei tentativi che si basano, anche inconsapevolmente, sul concetto di continuità Si analizza l aspetto computazionale Sicuramente si inizierà col valutare la funzione in corrispondenza di x = 0; qui la funzione assume chiaramente un valore positivo Altrettanto facilmente ci si rende conto che lo stesso accade per ogni valore positivo di x Gli studenti cominceranno allora a dare a x valori anche negativi; il primo di essi potrebbe essere x = -1, il valore è ancora positivo Per x = -4 si trova finalmente un valore negativo della funzione A questo punto non solo ci si rende conto che nell intervallo [-4; -3] ci sarà sicuramente una soluzione, ma che non ce ne saranno altre in quanto il polinomio si mantiene negativo per ogni valore minore di -4

21 Il secondo metodo, quello grafico potrebbe, un primo momento, mettere in crisi gli studenti, per la difficoltà di tracciare il grafico di una funzione polinomiale di 3 grado della quale non è noto calcolare gli zeri, se non ricorrendo di nuovo al computo di alcuni valori L insegnante suggerirà allora di trasformare l equazione in un altra equivalente, ma con un diverso significato concettuale La scrittura x 3 + π x 2 = - 1,763 può essere pensata come l intersezione di una retta di valore costante e di un polinomio di 3 grado, più semplice del precedente L insegnante può comunque approfittare dell occasione per far riprendere agli studenti, a livello qualitativo, l andamento di una funzione polinomiale, il suo comportamento per valori che tendono all infinito, il numero massimo dei suoi zeri La funzione y = x 3 + π x 2, a meno della traslazione, può essere scritta y = x 2 (x +π); essa tocca l asse x in x = 0 e in x = -π Le considerazioni sul segno fanno anche capire che la funzione si mantiene negativa per valori di x < -π, mentre è sempre positiva per tutti gli altri valori Figura 1 Il grafico fa capire che le due funzioni hanno una sola intersezione, che in questo caso è negativa, e se disegnato con una certa accuratezza ci da anche una stima numerica della soluzione Seconda fase Si considera adesso l equazione x 3 + ax 2 + b = 0 a cui si vogliano applicare i due metodi proposti nell esempio precedente E interessante sottolineare subito come la nozione di continuità sia l elemento fondamentale che consente di portare avanti con successo le due procedure, anche da un punto di vista generale Procedendo per casi gli studenti si renderanno conto che se a e b sono positivi, la situazione ricalca del tutto quella precedente Gli altri casi prevedono però la considerazione di ulteriori sottocasi che portano a rendere complessa la discussione generale dell equazione Tuttavia si possono trovare altre condizioni: l intersezione del polinomio con l asse x, il fatto che per x che tende a meno infinito il polinomio ha sicuramente segno negativo e che per x tendente a più infinito il polinomio ha segno positivo Quindi si può affermare che c è sempre almeno una soluzione reale, di cui però è necessario discutere il segno Il metodo grafico visto in precedenza porta invece un po più avanti Scriviamo ancora l equazione come x 3 + ax 2 = - b, riferendoci dunque all intersezione delle due funzioni y = - b, e y = x 3 + ax 2 = x 2 (x +a) La prima è una retta parallela all asse delle ascisse, nel semipiano inferiore o superiore a seconda che b sia positivo o negativo La seconda interseca l asse x in x = 0 e in x = -a, è positiva per x > -a, e negativa per x < -a Se a è positivo si ha una grafico con lo stesso andamento di quello visto nell esempio precedente, ovvero c è una soluzione negativa per b positivo e una o tre soluzioni se b è negativo

22 Se a è negativo, il grafico ha un andamento del tipo indicato in figura (in cui abbiamo posto a =-3) Se b è positivo, c è sicuramente una soluzione negativa, se b è negativo c è solo una soluzione positiva Figura 2 Possibili sviluppi Il metodo utilizzato, che consiste nell interpretare un equazione come intersezione di due funzioni, portando opportunamente alcuni termini a secondo membro, può essere utilizzato vantaggiosamente in molte situazioni, anche per funzioni non polinomiali Si provi ad esempio a determinare gli intervalli in cui si trovano gli zeri dell equazione 2ln(x+2) x = 0 Senza riferirsi alle funzioni, ma utilizzando considerazioni teoriche in modo analogo a quanto fatto nel primo esempio, si può rispondere subito alla domanda, apparentemente mostruosa: L equazione x 5 7Log(x + 1) + sin x (x + 1) 1/2 = 0 ha radici reali? La risposta è sì (infatti per x = 0 il primo membro assume valore -1, mentre per x = 9 l espressione è abbondantemente positiva)

23 La moneta è truccata! Livello scolare: 2 biennio Abilità interessate Confrontare schematizzazioni matematiche diverse di uno stesso fenomeno o situazione in relazione ai loro limiti di validità, alle esigenze (in particolare di descrizione o di interpretazione o di previsione), e alle risorse (tempo, conoscenze, mezzi tecnologici) disponibili Valutare criticamente le informazioni Selezionare, produrre ed usare appropriate distribuzioni grafiche Conoscenze Il ragionamento induttivo e le basi dell inferenza Produrre grafici di relazioni Nuclei coinvolti Risolvere e porsi problemi Dati e previsioni Relazioni e funzioni Laboratorio di matematica Collegamenti esterni Contesto Statistica Il contesto è di tipo matematico ed extramatematico; per quest ultimo aspetto si colloca nell ambito della vita sociale cercando di dare indicazioni di consapevolezza critica verso il mondo circostante Giochi di sorte Si propone alla classe un semplice problema che implica la necessità di una (forse prima) riflessione circa il modo di verificare se una congettura, o una ipotesi, è vera oppure è falsa Si gioca a Testa e Croce con una moneta di cui non si conosce la provenienzamagari per farci delle scommesse Prima di fare delle puntate, si vorrebbe sapere, con una certa attendibilità, se essa è equilibrata o meno, cioè se si può attribuire la stessa probabilità alle 2 facce, Testa o Croce, cioè se P(T)=P(C)=1/2 Descrizione dell attività Si propone inizialmente agli studenti di riflettere sul fatto che non sempre, quando sono di fronte a due eventi alternativi, devono pensare che tali eventi abbiano la stessa probabilità di verificarsi Ciò perché in modo spontaneo, ma non sempre corrispondente alla realtà, gli studenti, messi a confronto con le prime considerazioni probabilistiche, sono portati a considerare equilibrata qualsiasi moneta, e quindi, ad attribuire la stessa probabilità alle due facce Per rendere più evidente la cosa facciamo notare che è senz altro corretto attribuire un alto grado di fiducia, o verità a questa congettura, se ci troviamo fra le mani una moneta coniata dalla Zecca di Stato, mentre non sappiamo cosa si può dire se fra le mani ci è capitata una vecchia moneta o se, chi ci propone di usarla per il gioco, sia qualcuno che sospettiamo abbia truccato la moneta, ad esempio, in modo da far venire mediamente più Teste che Croci Un altra possibile osservazione, che viene spontanea in classe, è sul significato di frequenza dell evento: si può ragionevolmente ritenere che, anche se una moneta è equilibrata, in una serie limitata di osservazioni, ciò porti esattamente ad ottenere il 50% di Teste e 50% di Croci? Prima conclusione che si raggiunge dalla discussione: un numero non molto grande di lanci può non essere sufficiente a scoprire, anche con monete equilibrate, se è attendibile l ipotesi di equiprobabilità