Corso di laurea in SCIENZE NAUTICHE TESI DI LAUREA SVILUPPO DI SOFTWARE PER LO STUDIO DELLA VISIBILITA DEI SATELLITI DELLA COSTELLAZIONE GPS

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI NAPOLI PARTHENOPE FACOLTA DI SCIENZE E TECNOLOGIE Corso di laurea in SCIENZE NAUTICHE TESI DI LAUREA SVILUPPO DI SOFTWARE PER LO STUDIO DELLA VISIBILITA DEI SATELLITI DELLA COSTELLAZIONE GPS RELATORE Chiar. Prof. Mario Vultaggio CANDIDATO AntonioAngrisano Matr. SN/190 Anno Accademico 2005/2006

2 Indice Premessa...pag. 1 Capitolo 1 IL SISTEMA GPS-NAVSTAR 1.1 Concetti introduttivi...pag Descrizione del sistema...pag Il segmento spaziale...pag Il segnale GPS...pag Il segmento di controllo...pag Il segmento di impiego...pag Funzionamento del sistema...pag Errori nel sistema GPS e GDOP...pag. 21 Capitolo 2 EFFEMERIDI TRASMESSE E FORMATO RINEX 2.1 Il messaggio di navigazione...pag Le effemeridi trasmesse...pag L almanacco...pag L algoritmo di propagazione orbitale...pag Il formato RINEX...pag Il Navigation Message File...pag. 45 Capitolo 3 SOFTWARE PER LO STUDIO DELLA COPERTURA GPS 3.1 Software per lo studio della visibilità e del GDOP...pag Descrizione del software...pag. 50 i

3 3.1.2 Algoritmo generale...pag Warning message...pag Il programma Global_GDOP...pag Algoritmo specifico...pag Esempio di output...pag Il programma GDOP_1osservatore...pag Algoritmo specifico...pag Esempio di output...pag Il programma SKY_PLOT...pag. 74 Capitolo 4 ANALISI DELLA COPERTURA DELLA COSTELLAZIONE GPS 4.1 Studio della visibilità e del GDOP...pag Analisi della copertura GPS il 04/10/ pag Evoluzione...pag Ricerca e studio di un settore critico...pag Analisi per meridiani e paralleli...pag Analisi della copertura GPS il 24/07/ pag Evoluzione...pag Ricerca e studio di un settore critico...pag Analisi per meridiani e paralleli...pag Confronto tra il 04/10/2005 e il 24/07/ pag Considerazioni sul numero di satelliti...pag Raffronto tra configurazioni satellitari...pag Conclusioni...pag. 128 Bibliografia...pag. 132 ii

4 Premessa Il presente lavoro ha come oggetto lo sviluppo di software per lo studio della visibilità e del GDOP dei satelliti della costellazione GPS. L analisi effettuata mira a verificare ed evidenziare le caratteristiche salienti della copertura fornita dalla costellazione ed a ricercare eventuali zone non servite adeguatamente. Il linguaggio di programmazione scelto è il Matlab versione 6.1, visto il suo largo utilizzo per applicazioni scientifiche e l ampio corredo di function utili, in particolare per la gestione dei dati provenienti da ricevitori GPS. Sono stati sviluppati al calcolatore tre programmi: Global_GDOP.m, GDOP_1osservatore, SKY_PLOT.m. Il primo, a partire dalle effemeridi dei satelliti della costellazione GPS in una determinata epoca, esegue una mappatura su tutta la terra del numero di satelliti visibili e del GDOP per tale epoca. Il secondo, a partire dagli stessi dati, studia la visibilità e il GDOP della costellazione in un singolo punto della terra per 24 ore. 1

5 Il terzo effettua lo sky plot relativo ad un determinato osservatore in un istante di particolare interesse, per esempio quello in cui si ha un GDOP elevato, in modo da poter esaminare una cattiva configurazione satellitare. La presente tesi si articola in quattro capitoli. Il primo capitolo è introduttivo, in quanto descrive il sistema GPS, i segmenti che lo compongono, il segnale emesso dai suoi satelliti, il principio di funzionamento; inoltre viene introdotto il GDOP e il suo stretto legame con la geometria di osservazione, concetti centrali in questa tesi e fondamentali per valutare la precisione del posizionamento. Nel secondo capitolo vengono descritti altri elementi fondamentali nell economia di questo lavoro quali le effemeridi trasmesse e il formato RINEX. Le effemeridi trasmesse sono un set di parametri da cui è possibile ricavare la posizione dei satelliti e, attraverso un opportuno algoritmo, predirne le posizioni future; tali parametri sono contenuti nel messaggio di navigazione, che modula la portante del segnale trasmesso dai satelliti GPS. 2

6 Il RINEX è un formato ideato per lo scambio di dati provenienti da ricevitori GPS di qualunque tipo e marca. Nel terzo capitolo sono descritti nei dettagli i programmi sviluppati e i relativi algoritmi, nonché gli output ottenuti dall esecuzione dei software stessi. Nel quarto capitolo viene effettuato lo studio vero e proprio della visibilità e del GDOP della costellazione GPS, attraverso l opportuno utilizzo del software prodotto e l interpretazione degli output. 3

7 Capitolo 1 IL SISTEMAGPS-NAVSTAR Capitolo 1 IL SISTEMA GPS-NAVSTAR 1.1 Concetti introduttivi Il GPS-NAVSTAR è un sistema satellitare per il posizionamento tridimensionale, globale e continuo nel tempo. GPS sta per Global Positioning System e denota dunque un sistema capace di fornire la posizione con copertura globale, in senso spaziale e temporale, cioè in ogni luogo sulla terra, in ogni momento e in qualsiasi situazione meteorologica; NAVSTAR è l acronimo di NAVigation System Timing And Ranging e mette in risalto l applicazione del sistema in campo navigazionale, il calcolo della posizione attraverso misure di distanze e la possibilità di sincronizzazione con una scala temporale, strettamente legata al tempo UTC. 4

8 Capitolo 1 IL SISTEMAGPS-NAVSTAR Il programma per la realizzazione del sistema è stato sviluppato dal Dipartimento della Difesa degli Stati Uniti dal 1973; pur essendo stato concepito per scopi militari, l uso del sistema è stato consentito anche per scopi civili ma con restrizioni sulla precisione del posizionamento: è detto Standard Positioning Service (SPS) il servizio consentito ai civili e Precise Positioning Service (PPS) il servizio offerto dal sistema per usi militari. I primi satelliti, di tipo sperimentale, furono messi in orbita nel 1978, ma solo nel 1993 è stata dichiarata l operatività parziale del sistema, divenuto totalmente operativo nel Il sistema GPS è costituito da una costellazione di satelliti artificiali orbitanti intorno alla terra, da cinque stazioni a terra e dall insieme degli utenti del sistema. Per la determinazione della posizione, il sistema GPS utilizza la tecnica del one-way ranging tra il ricevitore GPS e almeno 4 satelliti della costellazione: si misura il tempo necessario affinché un segnale emesso da un satellite giunga al ricevitore; se la misura di tempo non fosse affetta da errore, moltiplicandola per la velocità di propagazione del segnale elettromagnetico (pari alla velocità della luce) si otterrebbe la distanza satellite-ricevitore d. 5

9 Capitolo 1 IL SISTEMAGPS-NAVSTAR La misura di distanza d definisce un luogo di posizione sferico con centro nella posizione del satellite al momento dell emissione del segnale (nota grazie alle stazioni al suolo) e raggio d. Dalla intersezione di 3 luoghi di posizione sferici, definiti dalle distanze del ricevitore da 3 satelliti, teoricamente si ottiene la posizione incognita del ricevitore. In realtà per il calcolo della posizione sono necessari almeno 4 satelliti visibili (dal punto di vista elettro-magnetico), poiché risulta incognito anche l offset dell orologio del ricevitore (come vedremo) oltre alle 3 coordinate spaziali del ricevitore stesso. 1.2 Descrizione del sistema Il sistema GPS consta di un segmento spaziale, un segmento di controllo (CS) e un segmento di impiego Il segmento spaziale Il segmento spaziale è costituito da una costellazione di satelliti artificiali; 30 satelliti (detti SV, Space Vehicle) sono attualmente 6

10 Capitolo 1 IL SISTEMAGPS-NAVSTAR (07/11/2006) in orbita, disposti su 6 piani orbitali, equispaziati in modo che la differenza di longitudine tra nodi ascendenti adiacenti sia 60. Le orbite sono quasi circolari (eccentricità nell ordine di 10-2 ) con inclinazione di 55 e altezza media di Km, a cui corrisponde un periodo orbitale di 11 h 58 m * e risultano a traccia ripetitiva. I satelliti della costellazione GPS sono in grado di ricevere segnali dal segmento di controllo, di elaborare le informazioni in essi contenuti attraverso un microprocessore, di trasmettere segnali agli utenti del segmento di impiego e al segmento di controllo; sono inoltre dotati di oscillatori atomici (2 al cesio e 2 al rubidio) grazie ai quali possono conservare il tempo con estrema precisione e di retrorazzi per effettuare manovre, gestite dal segmento di controllo. I satelliti attualmente in servizio appartengono alla seconda generazione Block II e alle sue successive evoluzioni Block IIA e Block IIR, sono tutti alimentati da batterie caricate da pannelli solari e in grado di applicare la Selective Availability (SA). I satelliti del Block I sono stati lanciati a partire dal 1978, erano prototipi usati per testare il sistema e nessuno di essi è ad oggi funzionante; i satelliti del * Il periodo orbitale è uguale esattamente a 12 h ore sideree. Il giorno sidereo (=24 h sideree) è l intervallo di tempo necessario alla Terra per ruotare di 360 ed è più piccolo del giorno medio di circa 4 minuti medi. 7

11 Capitolo 1 IL SISTEMAGPS-NAVSTAR Block II sono stati messi in orbita tra il 1989 e il 1990, hanno una vita operativa media di 7.5 anni e possono fornire il servizio di posizionamento per 14 giorni senza contatti con il segmento di controllo. I satelliti del Block IIA sono stati lanciati tra il 1990 e il 1997 e si differenziano dal Block II per la possibilità di operare per 180 giorni senza contatti con il CS; l accuratezza degradata del servizio è evidenziata nel messaggio di navigazione. Gli SV del Blocco IIR sono stati lanciati dal 1997 e risultano una ulteriore evoluzione dei precedenti, in quanto l accuratezza del servizio di posizionamento è garantito anche in assenza di contatti con il CS per parecchi giorni, poiché gli SV possono comunicare ed effettuare misure di distanze con altri satelliti del Block IIR stimando e aggiornando i parametri nel messaggio di navigazione senza contattare il CS Il segnale GPS I satelliti della costellazione GPS trasmettono segnali con due frequenze portanti in banda L. Le portanti derivano da una frequenza 8

12 Capitolo 1 IL SISTEMAGPS-NAVSTAR fondamentale f o = MHz generata dagli oscillatori atomici di bordo e sono: L 1 = 154 f o = GHz (lunghezza d onda λ =19.05 cm) L 2 = 120 f o = GHz (lunghezza d onda λ =24.45 cm) Le due portanti sono opportunamente modulate con la tecnica BPSK dai segnali binari P, C/A, D. I codici P e C/A sono definiti ranging codes perché sono utilizzati dal ricevitore GPS per misurare la pseudo-distanza ricevitore-sv (si parla di pseudo-distanza in quanto la misura è affetta da errori); tali codici sembrano assumere valori casuali, ma in realtà sono sequenze ben note e per questo sono definiti Pseudo Random Noise (PRN). Essi sono generati con la tecnica dello Spread Spectrum Modulation (SSM), che consiste nell utilizzare una banda di frequenze molto più ampia di quella strettamente necessaria alla trasmissione del segnale, in modo da renderlo difficile da decodificare per i ricevitori non autorizzati e da combattere le interferenze esterne di varia natura. Il codice P (precise o protect) ha un bit-rate = 10.23Mbps, modula entrambe le portanti (per consentire l eliminazione dell errore dovuto al ritardo ionosferico) e alla sua La tecnica di modulazione BPSK (Binary Phase-Shift Keying) consiste nel far assumere alla portante valori di fase discreti, in corrispondenza dell evoluzione del segnale modulante binario: la fase della portante cambia di 180 in corrispondenza di un cambio di valore nel segnale modulante, mentre non si ha alcun salto di fase quando il segnale modulante resta costante. 9

13 Capitolo 1 IL SISTEMAGPS-NAVSTAR ricezione è legato il servizio di posizionamento di precisione (PPS), di uso strettamente militare. Il codice C/A (Coarse Acquisition) ha un bit-rate = 1.023Mbps, modula solo la portante L 1 e consente un posizionamento meno preciso (SPS), ad uso civile. Il codice D ha un bit-rate molto più basso rispetto ai ranging code, 50bps, in quanto non è utilizzato per effettuare misure di distanze, ma contiene informazioni di navigazione (posizione dello SV da cui proviene il segnale, posizioni degli altri satelliti, informazioni sul loro stato e meteorologiche, ecc). Ogni satellite è caratterizzato dai propri codici P e C/A che permettono al ricevitore di distinguere da quale SV proviene il segnale ricevuto. L espressione algebrica del segnale GPS è dunque : S S L1i L2i () t = Ap XPi () t Di () t cos( ω1t + Φ) + Ac XGi ( t) Di ( t) sin( ω1t + Φ) () t = B XP () t D () t cos( ω t + Φ) p i i 2 (1.1) con A p, A c, B p ampiezze dei segnali XP i (t), XG i (t), D i (t) codici P, C/A, D per l i-esimo SV ω 1, ω 2 pulsazioni corrispondenti alle frequenze L 1, L 2 Φ piccola fase legata al rumore e alla deriva dell oscillatore. Il sistema GPS usa la tecnica CDMA Code Division Multiple Access, in modo che i segnali provenienti da differenti SV possano essere trasmessi alla stessa frequenza, ma risultino comunque distinguibili in quanto codificati diversamente. Affinché si abbiano buone prestazioni i PRN devono essere incorrelati per tutti i possibili sfasamenti temporali. 10

14 Capitolo 1 IL SISTEMAGPS-NAVSTAR Il segmento di controllo Il segmento di controllo è composto da cinque stazioni di monitoraggio più o meno uniformemente distribuite sul globo presso le località: Hawaii, Colorado Spring, Ascension, Diego Garcia, Kwajalein. Esse hanno il compito di seguire i satelliti GPS per calcolarne le posizioni, predirne le successive effemeridi, determinarne gli offset degli orologi attraverso misure di distanze e opportuni algoritmi. Le informazioni raccolte non vengono analizzate in loco ma inviate alla stazione di Colorado Spring, che è la Master Control Station (MCS); qui i dati sono elaborati e sono calcolate le effemeridi presenti e future dei satelliti e le derive degli orologi. Queste informazioni, insieme con dati di altro tipo (dati meteo, salute degli SV, ecc) vengono inserite nel messaggio di navigazione, che viene inviato alle tre stazioni di carico: Ascension, Diego Garcia, Kwajalein, presso le quali vi sono grandi antenne paraboliche (Ground Antennas), usate per trasmette il messaggio ai satelliti. La comunicazione tra gli SV e il CS avviene almeno una volta al giorno (quando possibile ogni 8 ore) in banda S (2.2GHz per il downlink, 1.78GHz per l uplink) con un bit-rate di 50 bps. Poiché le monitor station sono approssimativamente equispaziate in longitudine 11

15 Capitolo 1 IL SISTEMAGPS-NAVSTAR e i satelliti GPS orbitano ad una quota elevata (20200Km mediamente), questi risultano visibili per molte ore al giorno, favorendo l operazione di tracking da parte del Segmento di Controllo. Il CS ha anche il compito di gestire le manovre dei satelliti, quando ad esempio risulta necessario riportare uno SV sull orbita nominale (station keeping) o quando a causa di un malfunzionamento uno SV va sostituito con un altro Il segmento di impiego Il segmento di impiego è costituito dagli utenti del sistema, che possono essere i più disparati e senza limitazione di numero: aerei, navi, mezzi terrestri, civili o militari, ecc. Il ricevitore GPS è costituito da un antenna, dal ricevitore vero e proprio, da un processore e da un interfaccia per la visualizzazione e immissione dei dati. Esistono due tipi di ricevitori GPS: i ricevitori in grado di decodificare i codici P e C/A, che possono usufruire del servizio di posizionamento preciso (PPS) e i ricevitori che possono decodificare solo il codice C/A, che ricevono il servizio standard SPS. I ricevitori GPS possono anche essere distinti per la velocità con cui 12

16 Capitolo 1 IL SISTEMAGPS-NAVSTAR elaborano i segnali e si hanno: ricevitore a media dinamica utilizzati su elicotteri, aerei e navi civili e ricevitori ad alta dinamica usati sui velivoli ad elevate prestazioni. 1.3 Funzionamento del sistema Il posizionamento nel sistema GPS si basa sulla misura del tempo di propagazione del segnale emesso, dai satelliti della costellazione al ricevitore GPS; tale misura di tempo è ottenuta effettuando una operazione di matching (centramento) tra il codice C/A del segnale GPS ricevuto e una sua replica generata internamente al ricevitore (ricordando che ogni SV ha il suo codice C/A e il suo codice P, quindi dal segnale ricevuto si evince da quale SV proviene). Inoltre il segnale trasmesso e il segnale replica sono sincronizzati ma non con estrema precisione, in quanto i satelliti sono corredati di orologi atomici, mentre per ragioni economiche, i ricevitori sono forniti solo di orologi al quarzo. L operazione di matching consente di determinare l intervallo di correlazione Δt dell autocorrelazione tra il codice C/A e la sua replica: 13

17 Capitolo 1 IL SISTEMAGPS-NAVSTAR T N 1 1 R( Δt) = XG( t) XG( t + Δt) dt = T N = 0 i 1 XG( i) XG( i + τ ) (1.2) dove T è il periodo del codice C/A uguale a 1msec, N è il numero di bit in un periodo, τ è il numero di bit contenuti in un intervallo correlazione. Per il codice P non è possibile utilizzare questa tecnica, poiché il suo periodo è di una settimana; per cui i ricevitori abilitati operano prima sul codice C/A, poi decodificano il messaggio di navigazione in cui è contenuta la parola di sincronizzazione handover, attraverso cui è possibile passare dalla misura con codice C/A a quella con codice P. L intervallo di correlazione Δt rappresenta il tempo di propagazione, affetto da errori, tra cui il più rilevante è dovuto proprio alla non perfetta sincronizzazione tra gli orologi del satellite e del ricevitore e può essere espresso come differenza tra il tempo di ricezione, misurato con l orologio del ricevitore e il tempo di trasmissione, misurato con l orologio del satellite: Δ t = R S t r t t (1.3) 14

18 Capitolo 1 IL SISTEMAGPS-NAVSTAR È necessario convertire i due tempi, relativi a scale differenti, nella scala di tempo GPS, a cui si riferiscono i dati nel messaggio di navigazione. L espressione (1.3) può essere elaborata aggiungendo e sottraendo la quantità ( t GPS r t GPS t ), differenza tra epoche di ricezione e trasmissione nella scala GPS, per cui si ha: Δ t = ( t t ) + ( t t ) ( t t ) = ( t t ) + dt GPS r GPS t GPS t S t GPS r R r GPS r GPS t GPS S dt GPS R con e GPS dt R GPS dt S offset dell orologio del ricevitore rispetto al tempo GPS offset dell orologio del satellite rispetto al tempo GPS. Moltiplicando ambo i membri per la velocità della luce c si ha: ρ = GPS d + c ( dt S dt GPS R ) (1.4) con ρ pseudo-range e d distanza geometrica satellite-ricevitore. La precisione delle misure di pseudo-range, effettuate su sequenze PRN, è legata alla durata di un bit del codice utilizzato per la misura e Il tempo GPS è strettamente legato al tempo UTC (Universal Time Coordinated). Il secondo UTC è il secondo atomico definito nel Sistema Internazionale, ma la scala di tempo UTC ha anche una componente astronomica, in quanto è mantenuta in stretto accordo (da cui coordinated ) con il tempo UT1, per il quale il giorno è definito da due passaggi consecutivi del sole medio al meridiano di Greenwich, considerando le correzioni dovute al moto polare e alla polodia. Il tempo UTC e UT1 coincidono quando UT1-UTC <0.9sec. Se la differenza è maggiore di 1 secondo, il tempo UTC viene aggiornato inserendo dei salti di 1 secondo (leap seconds) solitamente il 30 Giugno o il 31 Dicembre. Per motivi di sincronizzazione dei segnali e continuità del servizio, il sistema GPS non può tollerare questi salti temporali discontinui, per cui il tempo GPS e il tempo UTC, coincidenti all istante 0 del GPS, attualmente (07/11/2006) differiscono di 14 secondi (il tempo GPS è in anticipo rispetto all UTC). 15

19 Capitolo 1 IL SISTEMAGPS-NAVSTAR alla corretta identificazione del picco di correlazione delle due sequenze, quella ricevuta e quella generata localmente dal ricevitore; le attuali tecniche di Digital Signal Processing consentono una precisione nell individuare il picco pari all 1% della durata del bit: per il codice C/A si ha: durata bit = 10 sec precisione _ tempo = 10 sec bit rate precisione _ range = c precisione _ tempo = 3m per il codice P si ha: durata bit = 10 sec precisione _ tempo = 10 sec bit rate precisione _ range = c precisione _ tempo = 30cm In alternativa alle misure sui codici, si possono effettuare misure di distanza, tramite il confronto di fase tra la portante del segnale in arrivo (L 1 o L 2 ) e la portante del segnale generato localmente nel ricevitore, ottenendo una precisione teorica di circa 2mm (1% della lunghezza d onda); con questo tipo di misura si ottiene solo la porzione di distanza che eccede il numero intero N di lunghezze d onda contenute nella distanza stessa. Il problema della 16

20 Capitolo 1 IL SISTEMAGPS-NAVSTAR determinazione dell ambiguità di fase N può essere risolta con l ausilio di tecniche basate sugli algoritmi alle differenze singole, doppie e triple; proprio la laboriosità nel trovare N e la necessità di continuità di ricezione (per mantenere il conteggio dei cicli di portante nella distanza ricevitore-satellite) limitano l utilizzo delle misure di fase per applicazioni dinamiche. Nell equazione (1.4) risultano incognite le 3 coordinate della posizione del ricevitore (presenti all interno della distanza geometrica d) e l offset dell orologio del ricevitore, mentre l offset dell orologio del satellite può essere considerato noto, in quanto calcolato dal segmento di controllo. Quindi l equazione di pseudo-range diventa: 2 2 ρ = ( X X ) + ( Y Y ) + ( Z Z ) R S R S R S 2 + c dt GPS R (1.5) con X R, Y R, Z R coordinate incognite del ricevitore, X S, Y S, Z S coordinate note del satellite, GPS dt R offset incognito dell orologio del ricevitore, ρ pseudo-range noto in quanto misurato. Per ricavare le 4 incognite sono necessarie almeno 4 equazioni di pseudo-range e quindi devono essere visibili, dal punto di vista 17

21 Capitolo 1 IL SISTEMAGPS-NAVSTAR elettro-magnetico, almeno 4 satelliti. La costellazione GPS è progettata in modo che in ogni punto della terra e in ogni istante siano visibili almeno 6 satelliti con una elevazione maggiore di 5 ( angolo di mascheramento), in modo da poter sempre determinare la posizione di un ricevitore, risolvendo un sistema di equazioni del tipo (1.5) nelle 4 incognite. Oltre alla posizione del ricevitore, il sistema GPS fornisce anche la correzione dell orologio di bordo rispetto al tempo GPS e quindi consente la sincronizzazione con il tempo UTC. Il sistema di equazioni (1.5) è non lineare nelle incognite X R, Y R, Z R, GPS dt R e pur esistendone soluzioni in forma chiusa, nella maggior parte dei ricevitori GPS viene risolto attraverso tecniche di linearizzazione intorno ad una posizione stimata. Un sistema costituito da 4 equazioni di misura linearizzate, espresso in termini matriciali, assume la forma: Δρ = A ΔX (1.6) con ρ1 ρ1 ρ 2 ρ 2 Δρ =, ρ 3 ρ3 ρ 4 ρ 4 ΔX X Y = Z c dt R R R R GPS X Y R Z R R c dt GPS R ρ, ρ pseudo-range misurati tra il ricevitore e i 4 SV considerati 1 ρ 2, ρ3, 4 18

22 Capitolo 1 IL SISTEMAGPS-NAVSTAR ρ, ρ pseudo-range calcolati tra la posizione stimata e i 4 SV 1 ρ 2, ρ3, 4 X, Y, Z, dt coordinate e offset incogniti del ricevitore R R R GPS R X, Y, Z, dt coordinate e offset stimati del ricevitore R R R GPS R A è la matrice di misura, i cui elementi rappresentano i coseni direttori dei vettori calcolati ρ 1, ρ 2, ρ3, ρ 4 rispetto alla terna ECEF. Il vettore incognito Δ X si ottiene da: ΔX = A 1 Δρ (1.7) e la posizione vera e l offset del ricevitore GPS da: X Y Z c dt R R R GPS R X Y = Z c dt R R R GPS R + ΔX (1.8) Quando i satelliti osservati risultano più di 4, il sistema di equazioni (1.6) diventa sovra-determinato, cioè il numero di equazioni supera il numero di incognite, ed incompatibile, e quindi non ammette soluzione esatta. 19

23 Capitolo 1 IL SISTEMAGPS-NAVSTAR In questo caso le incognite vengono calcolate con la tecnica dei minimi quadrati (pesati), impostando le equazioni normali: A T V 1 A ΔX = A T V 1 Δρ (1.9) con V matrice di covarianza degli errori di misura di pseudo-range. Assumendo gli errori nelle misure di psudo-range uguali e non correlati, la matrice V si riduce alla varianza relativa a tali errori 2 σ m e la soluzione si ottiene da: ΔX = T ( ) 1 T A A A Δρ (1.10) Il segmento di controllo determina la posizione degli SV in maniera analoga: se almeno quattro stazioni di controllo contemporaneamente vedono un satellite, dal punto di vista elettro-magnetico, si può risolvere un sistema di equazioni di pseudo-range in modo da ricavare le coordinate spaziali e l offset incogniti del satellite osservato. 1.4 Errori nel sistema GPS e GDOP Il posizionamento attraverso il sistema GPS è caratterizzato da errori di varia natura, tra cui i principali sono: errori nelle effemeridi dei satelliti 20

24 Capitolo 1 IL SISTEMAGPS-NAVSTAR errori negli orologi dei satelliti Selective Availability ** errori nell orologio del ricevitore ritardi ionosferico e troposferico multipath rumore nel ricevitore Tutti questi errori agiscono, in un modo o nell altro, sulle misure di pseudo-range o sul centramento del luogo di posizione sferico e quindi determinano uno scadimento sulla precisione del posizionamento. Il parametro DOP (Diluition Of Precision) rappresenta un fattore di amplificazione degli errori di misura su una o più coordinate; la precisione di una coordinata è legata alla precisione delle misure di pseudo-range dalla relazione: σ p = DOP σ m (1.11) ** Selective Availability è un sistema per la generazione di errori voluto dal Dipartimento della Difesa degli USA, usato per degradare le prestazioni del sistema GPS ad uso civile Il ritardo dovuto alla ionosfera dipende dalla frequenza del segnale che l attraversa e può essere eliminato completamento con l uso delle due frequenze L 1 e L 2 nei ricevitori militari; i ricevitori civili eliminano parzialmente l effetto ionosferico usando il modello di Klobuchar. Il ritardo troposferico non dipende dalla frequenza e quindi non può essere eliminato usando due portanti ma comunque la sua entità è ridotta dall utilizzo di un modello opportuno. Il multipath è il fenomeno propagativo per il quale un segnale arriva all antenna ricevente non direttamente ma riflesso da ostacoli o superfici incontrati lungo il percorso. 21

25 Capitolo 1 IL SISTEMAGPS-NAVSTAR dove σ m e σ p sono le deviazioni standard della misura di pseudo-range e della coordinata. I vari tipi di DOP dipendono dalle coordinate di cui si valuta la precisione; se si considerano le tre coordinate spaziali e il tempo si ha il GDOP (Geometric Diluition Of Precision): GDOP = σ + σ + σ + σ 2 x 2 y 2 z 2 T (1.12) Sono definiti HDOP, VDOP, PDOP e TDOP i valori del DOP relativi rispettivamente al posizionamento orizzontale, alla coordinata verticale, al posizionamento in 3-D e alla coordinata temporale. Se si considerano ΔX e Δρ variabili aleatorie, in quanto misure affette da errori, calcolando il valore medio del prodotto tra la (1.10) e la sua trasposta si ottiene (nell ipotesi di uguaglianza e non correlazione degli errori sulle misure di pseudo-range): E T T { ΔX ΔX } = C = ( A A) 1 p 2 σ m (1.13) con C p matrice di covarianza degli errori per le tre coordinate spaziali e dell offset dell orologio del ricevitore. La matrice di covarianza, associata ad un insieme di variabili aleatorie, è una matrice quadrata, che sulla diagonale ha i valori delle varianze delle variabili aleatorie considerate, mentre le posizioni extradiagonali sono occupate dalle reciproche covarianze delle stesse. 22

26 Capitolo 1 IL SISTEMAGPS-NAVSTAR Esplicitando la (1.13) si ha: C p 2 σ x σ xy = σ xz σ xt σ σ σ σ xy 2 y yz yt σ σ σ σ xz yz 2 z zt σ σ σ σ xt yt zt 2 T 2 = σ m a a a a a a a a a a a a a a a a da cui si trova che: σ σ σ σ 2 x 2 y 2 z 2 T = a = a = a = a σ σ σ σ 2 m 2 m 2 m 2 m E quindi dimostrato che il GDOP è esprimibile nella forma: GDOP = traccia( A T A) 1 (1.14) da cui risulta evidente, vista la natura di A, matrice di misura, che il GDOP dipende solo dalle quattro direzioni ricevitore satelliti visibili e quindi risulta indipendente dal sistema di riferimento adottato. Il GDOP è quindi un numero puro che quantifica il contributo della configurazione satellitare alla precisione della posizione; valori bassi del GDOP corrispondono a una buona configurazione satellitare e ad 23

27 Capitolo 1 IL SISTEMAGPS-NAVSTAR una non eccessiva propagazione degli errori di misura sul risultato del posizionamento. Valori tipici del GDOP sono compresi tra 2.5 e 4.5, mentre quando si ha un valore maggiore di 6 si parla di cattiva geometria di osservazione. Inoltre, partendo dalla espressione (1.14), si può dimostrare che il GDOP è inversamente proporzionale al determinante della matrice A, a sua volta proporzionale al volume di un tetraedro ***, i cui vertici giacciano su una sfera di raggio unitario centrata nel ricevitore e siano individuati dai versori delle direzioni ricevitore satelliti. Quindi massimizzare il volume del tetraedro equivale a ridurre il GDOP e GDOP basso significa buona geometria satellitare. Viceversa quando il volume è nullo (cioè quando i satelliti sono complanari o due di essi sono allineati rispetto alla posizione del ricevitore) la matrice A non è invertibile, la (1.7) non è risolvibile, ΔX non esiste e il posizionamento risulta impossibile. *** Un tetraedro è un poliedro con quattro facce o equivalentemente è definibile come un solido con quattro vertici e sei spigoli. 24

28 Capitolo 1 IL SISTEMAGPS-NAVSTAR L accuratezza fornita dallo SPS del sistema GPS è inferiore ai 100m sul piano orizzontale e ai 150m sulla verticale, con la SA attivata, mentre è circa 10m per il PPS. I ricevitori GPS, per la determinazione della posizione, possono utilizzare tutti i satelliti visibili, ottenendo un sistema sovradeterminato di equazioni di misura, risolvibile ai minimi quadrati (modalità all-in-view) oppure utilizzare solo i quattro satelliti visibili che forniscono la migliore geometria di osservazione (modalità minimum GDOP). 25