h v η = F A per cui la determinazione della viscosità richiede la misura di F e v e la conoscenza dei parametri geometrici A e h.

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1 eometria I comportamenti reologici finora discussi sono stati presentati facendo riferimento all esperimento ideale di flusso tra piatti paralleli rappresentato in Figura 4. Nella pratica, la misura della viscosità e delle altre proprietà reologiche avviene mediante apparecchiature più o meno complesse, i reometri. Un esperimento reometrico consiste generalmente nella misurazione simultanea di due grandezze: una grandezza dinamica (una forza, una coppia, una pressione) e una grandezza cinematica (ad esempio una velocità, o uno spostamento, o un tempo). L'equazione del reometro è una relazione matematica che lega queste due grandezze tra loro. In essa, oltre a parametri geometrici del reometro ed eventualmente altri parametri fisici del fluido, comparirà anche la grandezza reologica che deve essere misurata, e il cui valore viene quindi determinato dai risultati della misura. A titolo di esempio si consideri ancora una volta la geometria a piatti. Le grandezze misurate sono la forza tangenziale applicata sul piatto, F, e la velocità del piatto superiore, v. Siccome lo sforzo è dato da F/A e il gradiente di scorrimento da v/h, l equazione di questo semplice reometro è: η = F A h v (1) per cui la determinazione della viscosità richiede la misura di F e v e la conoscenza dei parametri geometrici A e h. La misura della viscosità con reometri rotazionali Il motivo principale che rende praticamente inutilizzabile il reometro ideale a piatti paralleli risiede nelle condizioni cinematiche di funzionamento. I due piatti traslano uno rispetto all altro: ciò significa che, dopo un certo tempo, i piatti si separeranno completamente, rendendo impossibile la misura. Inoltre, sempre a causa della traslazione relativa, la superficie di applicazione della forza diminuisce progressivamente, portando ad una continua variazione dello sforzo applicato. Il modo più semplice di eliminare questi effetti indesiderati è quello di permettere al fluido di muoversi secondo traiettorie chiuse, cioè ripetute indefinitamente nel tempo. Questo principio è messo in pratica nei reometri rotazionali, che sono tutti basati sul moto relativo rotatorio di due superfici. Il principio di funzionamento di questi reometri è molto semplice, ed è comprensibile osservando lo spaccato di un reometro rotazionale riportato in Figura 1. Il reometro è costituito da due piatti (o altri elementi, come specificato nel seguito), uno fisso l altro in movimento, tra i quali è interposto il fluido. Un motore permette di imporre una assegnata velocità di rotazione al piatto, che determina un flusso di scorrimento all interno del fluido in esame. Un secondo dispositivo (trasduttore) provvede a misurare la coppia necessaria a mantenere in movimento il piatto. Dalla misura della coppia (grandezza dinamica) è possibile risalire allo sforzo applicato al fluido, mentre da quella della velocità di rotazione (grandezza cinematica) al gradiente di scorrimento. Ciò porta alla determinazione della viscosità del fluido. I reometri rotazionali appartengono a due categorie costruttive concettualmente diverse. In quelli a sforzo controllato il trasduttore di coppia è lo stesso motore che impone il moto di rotazione del piatto mentre la velocità di rotazione è una grandezza derivata, nel senso che viene determinata attraverso una misura. I reometri a sforzo controllato sono stati introdotti sul mercato in tempi relativamente recenti. I progressi fatti nel campo dei motori servocontrollati e nei sistemi di encoding ottico per la determinazione dello spostamento 1

2 angolare ne hanno tuttavia abbattuto progressivamente i costi, rendendoli di fatto lo standard attuale nel campo dei reometri rotazionali. Figura 1: Spaccato di un reometro rotazionale I reometri a deformazione controllata sono storicamente precedenti rispetto a quelli a stress controllato. In questo caso il moto viene imposto da un motore indipendente, in modo da imporre il gradiente di velocità mentre la coppia viene misurata da un trasduttore posto in corrispondenza del piatto fisso del reometro. Motore e trasduttore di questo reometro sono gli elementi critici di questo tipo di reometri, e quelli che ne determinano il costo, generalmente molto più elevato di un reometro a sforzo imposto. I due tipi di reometri rotazionali su presentati posseggono ciascuno specifiche peculiarità. Il reometro a stress controllato è particolarmente versatile e di costo più basso. D altra parte solo con un reometro a gradiente di scorrimento controllato è possibile effettuare alcuni tipi di test a deformazione imposta, che risultano particolarmente importanti nello studio dei sistemi viscoelastici, come si vedrà in seguito. Inoltre, i motori delle macchine a gradiente controllato sono generalmente più potenti, per motivi costruttivi, di quelli a stress controllato, permettendo il raggiungimento di coppie più elevate e quindi misure su sistemi di viscosità estremamente elevata come i fusi polimerici. Quale che sia il tipo di reometro rotazionale impiegato, sono generalmente disponibili varie geometrie, ognuna delle quali va scelta in funzione delle caratteristiche del fluido e dell intervallo di gradiente di scorrimento (o di sforzo) di interesse. Qui di seguito sono illustrate le principali geometrie utilizzate. eometro a cilindri coassiali (reometro di Couette) E' costituito da una tazza cilindrica contenente un secondo cilindro coassiale (Fig.2). Uno dei due cilindri è posto in rotazione con velocità angolare Ω, mentre l'altro viene mantenuto fermo mediante l'applicazione di una coppia M. Le superfici di scorrimento sono in questo caso dei cilindri coassiali. Nel caso in cui lo spessore dell'intercapedine h sia piccolo rispetto al raggio dei cilindri (h<<), si può immaginare di "aprire" la geometria cilindrica effettuando un taglio lungo una generatrice. In tal modo è facile riconoscere che questo tipo di geometria di flusso è equivalente a quella dei piatti paralleli. 2

3 Figura 2: La geometria a cilindri coassiali In queste ipotesi la velocità di scorrimento può ritenersi uniforme e pari a: γ = Ω h (2) Sul cilindro fermo agisce una coppia dovuta alla presenza di uno sforzo tangenziale σ, anch'esso uniforme. La coppia complessiva M sara data allora da: M = τ (2π L) (3) dove L è l'altezza del cilindro. Accoppiando le Eq. (2) e (3) si ottiene: che è l'equazione del reometro. M = 2π 3 L ηω (4) h eometro a cono e piatto La viscosità di fluidi non-newtoniani molto viscosi a bassi gradienti di velocità viene tipicamente misurata in reometri rotazionali equipaggiati con una geometria cono-piatto, schematizzata in Figura 3. Il materiale è compreso tra un piatto piano ed un cono, uno dei quali viene posto in rotazione. r Figura 3: La geometria cono-piatto La scelta di questa geometria apparentemente esotica può esser compresa calcolando il gradiente di scorrimento. Ad ogni raggio r tale gradiente è dato dal rapporto tra la velocità 3

4 del piatto in movimento e la distanza tra i piatti. Nel caso di angoli piccoli si può scrivere: γ = Ωr h Ωr rα = Ω α (5) dove α è appunto l angolo del cono. La (5) informa che in questa geometria il gradiente di scorrimento è uniforme in tutto il campione. Ciò rende possibile la determinazione della viscosità non-newtoniana. Infatti, se la shear rate è uniforme tale sarà anche lo sforzo tangenziale. Ciò permette di scrivere la coppia complessiva agente sul piatto come: M = σ r(2πr dr) = 2π 3 3 σ (6) essendo il raggio del piatto. icavando lo sforzo dalla (6) e dividendo per la (5) si ottiene finalmente l'equazione del reometro a cono e piatto: η = M 3α 2π 3 Ω (7) Nel ricavare l'equazione del reometro a cono e piatto (così come quella del reometro a cilindri coassiali) abbiamo in realtà utilizzato un procedimento improprio. Infatti, piuttosto che partire da un bilancio di forze, abbiamo supposto che fosse lecito aspettarsi un profilo di velocità triangolare nello spessore tra il cono e piatto, e che quindi la shear rate fosse uniforme. In realtà, la scrittura di un bilancio di forze ci permette, nell'ipotesi di angoli del cono piccoli, di ricavare lo stesso risultato. Quindi, nell'approssimazione di angolo del cono sufficientemente piccolo la (7) fornisce il risultato corretto per la viscosità. La geometria cono-piatto è tra le pochissime a permettere anche la misurazione degli sforzi normali. Anche in questo caso, come nella determinazione della viscosità, è possibile seguire una "scorciatoia" che evita la scrittura e la risoluzione delle equazioni del moto. giunge al risultato corretto. Si faccia riferimento al sistema di coordinate sferiche riportato in Figura 4. Figura 4: Il sistema di coordinate sferico per la geometria cono-piatto Per il tipo di flusso e per il sistema di coordinate scelto, la direzione φ rappresenta quella del flusso, la direzione θ quella del gradiente di velocità, mentre la direzione radiale è la terza direzione perpendicolare alle prime due. Per comodità di notazione possiamo quindi scrivere: 4

5 σ φφ = σ 11 σ ϑϑ = σ 22 (8) σ rr = σ 33 T 33 S 2 T 33 r r+dr T 11 x T 11 T 22 T 22 S 1 S 1 S 3 Fig.5: Il volume di controllo utilizzato per il calcolo degli sforzi normali Consideriamo ora il volume di controllo disegnato in Fig.5. Si tratta di un "mezzo salvagente" (cioè di un mezzo di volume toroidale) di larghezza dr, contenuto tra il cono e il piatto. Scriviamo il bilancio delle forze cha agiscono su tale volume proiettato secondo la direzione x, indicata dalla freccia. Sulle due superfici lungo le quali il "salvagente" è stato tagliato agiscono, lungo la direzione x, gli sforzi T 11. Sul contorno laterale del "salvagente" agiscono le T 33, mentre sulle superfici superiore ed inferiore le forze normali agenti sono quelle derivanti dagli sforzi T 22. Su tutte le superfici del volume di controllo agiscono anche degli sforzi tangenziali. Questi, tuttavia, o sono nulli, o forniscono un contributo nullo quando proiettati lungo la direzione x. Il bilancio complessivo lungo la direzione x fornisce allora i seguenti termini: sulle due superfici S 1, di normale φ=x, la forza totale è: T 11 2rαdr (9) sulle superfici S 2, di normale θ, lo sforzo normale sul piatto è verticale e non ha componente lungo x, quello sul cono genera una forza totale in direzione x pari a: ( ) 2 T 22 sinαrdr cosϕdϕ 2T 22 αrdr (1) π /2 sulle superfici S 3, di normale r (quella a r+dr) e -r (quella a r), agisce la forza normale T 33 che contribuisce alla forza in direzione x con il termine: 5

6 2 (T 33 αrr)cosϕ dϕ π /2 r 2 π /2 (T 33 αrr)cosϕ dϕ 2T 33 αr 2 2T r 33αr 2 r+dr r+dr (11) In definitiva, il bilancio di forze complessivo lungo la direzione x fornisce, con le dovute semplificazioni: T 11 + T 22 2T 33 r dt 33 dr = (12) Utilizzando le definizioni per la prima e la seconda differenza di sforzi normali: la (12) si può scrivere come: N 1 = T 11 T 22 = σ 11 σ 22 N 2 = T 22 T 33 = σ 22 σ 33 (13) dt 33 dr = N 1 + 2N 2 r (14) dove N 1 e N 2, essendo funzioni della sola shear rate, sono costanti. L'integrazione della (14) fornisce: T 33 = ( N 1 + 2N 2 )ln r (15) dove si è usata la condizione al contorno che al bordo del cono e piatto (r=), T 33 sia nullo (cioè lo zero della pressione è in corrispondenza della pressione atmosferica). Infine, ricordando la seconda delle (13), la (15) fornisce: T 22 = N 2 + ( N 1 + 2N 2 )ln r (16) che rappresenta il profilo radiale di pressione sulla superficie del piatto. Il risultato della (16) può essere utilizzato sperimentalmente in due modi. Da un lato infatti, l'integrazione della (16) sulla superficie del piatto fornisce: F = T 22 (2πr)dr = π 2 2 N (17) 1 Quindi, quando sia possibile misurare la forza complessiva esercitata dal fluido in movimento sulla superficie del piatto, la (17) rappresenta l'equazione del reometro cono e piatto che permette di determinare la prima differenza di sforzi normali. Se invece l'apparecchiatura sperimentale è talmente sofisticata da prevedere la misura del profilo di pressione radiale sulla superficie del piatto, N 1 e N 2 (quando quest'ultimo sia non nullo) possono essere ricavati entrambi da questa misura, utilizzando l'eq.(16). Questa equazione prevede infatti che, diagrammando in scala semi-logaritmica la pressione in funzione del raggio adimensionale r/, si ottenga una retta. Il valore estrapolato al bordo 6

7 del piatto (r/=1) rappresenterà allora il valore di N 2. Il valore di N 1 può essere poi ricavato, noto quello di N 2, dalla pendenza della retta. eometro a piatti paralleli Il reometro cono-piatto gode della importantissima proprietà di generare un gradiente di scorrimento uniforme. Il fluido viene deformato tutto allo stesso gradiente, cosa che corrisponde ad un valore di sforzo di taglio uguale in tutti i punti del reometro. Per questo motivo, una volta assegnate le condizioni di flusso, la viscosità misurata rappresenta l effettivo valore al particolare gradiente di velocità imposto. Tuttavia, per ragioni diverse che vanno dalla convenienza economica alla impossibilità di utilizzare tale geometria, altre geometrie rotazionali vengono spesso utilizzate. Una di queste è quella a piatti paralleli rotanti (vedi Figura 6). Confrontando quanto già detto per il reometro cono-piatto, è facile determinare il gradiente di scorrimento: γ = Ωr h (18) che risulta quindi variabile con il raggio. Ciò significa che è possibile determinare la viscosità solo nel caso di fluido Newtoniano. In questo caso infatti, anche per il tale geometria si può scrivere la coppia in termini di integrale dello sforzo tangenziale: M = σ r(2πr dr) = ηγ r(2πr dr) = η Ωr r(2πr dr) h = 2πΩη h πωη 4 r 3 dr = 2h (19) Nella (19) si è sostituita l'equazione di Newton al posto dello sforzo tangenziale, rendendo così possibile l'integrazione analitica. Quindi l analisi Newtoniana fornisce la seguente equazione del reometro: η = 2Mh π 4 Ω (2) Nel caso di fluidi non-newtoniani la (2) viene ancora usata, anche se costituisce un risultato approssimato. In questo caso la viscosità apparente così ricavata viene diagrammata in funzione del gradiente di scorrimento massimo, ottenibile dalla (18) per r=: γ max = Ω (21) h La geometria piatto-piatto viene utilizzata raramente per misure di viscosità. I suoi vantaggi rispetto a quella cono-piatto sono una relativamente maggiore facilità nel caricamento e la possibilità di variare lo spessore di fluido. Invece la geometria piattopiatto è ideale per misure di viscoelasticità, e può quindi costituire la scelta di prima dotazione per un reometro rotazionale quando i costi non permettano l acquisto anche di un cono-piatto. 7

8 r h Figura 6: La geometria piatto-piatto La misura della viscosità con il reometro a capillare Il reometro a capillare è, insieme al reometro cono-piatto, l'apparecchiatura reologica maggiormente utilizzata per la misura della viscosità. Le traiettorie rettilinee e l assenza di effetti di bordo, presenti in tutte le geometrie rotazionali, permettono il raggiungimento di gradienti di scorrimento estremamente elevati (superiori a 1. s -1 ). Inoltre, la possibilità di imporre forze estremamente alte permette la misura di fluidi con viscosità molto elevate, cosa che li rende ideali per i fusi polimerici. Il suo schema di funzionamento è illustrato in Figura 7. Il liquido viene spinto (generalmente mediante un pistone) attraverso un canale di dimensioni trasversali relativamente piccole, appunto un capillare. Viene misurata la variazione di pressione all'imbocco e all'uscita del condotto (dove generalmente la pressione è atmosferica). Nota la portata passante nel condotto (determinata dalla velocità di avanzamento del pistone), è possibile misurare la viscosità del fluido. La sezione del condotto capillare è generalmente circolare (la geometria più utilizzata) o a feritoia rettangolare (detta anche slit die). In questa sede si illustrerà l'equazione del reometro nel caso più classico di capillare a sezione circolare. Figura 7: Schema della geometria a capillare In un capillare a sezione circolare le superfici di scorrimento sono dei cilindri concentrici che si muovono "a cannocchiale" uno rispetto all'altro. E' naturale quindi utilizzare un sistema di coordinate cilindriche, r,θ,z. Trascurando effetti di imbocco, in condizioni stazionarie tutto si ripete identicamente lungo la direzione z. Inoltre, la simmetria cilindrica suggerisce anche che il moto è indipendente dalla coordinata angolare θ. Sulla base di queste considerazioni, è lecito effettuare un bilancio di forze su di un volume di controllo anulare, limitato da due cilindri di lunghezza L (la lunghezza totale del capillare), e di raggio rispettivamente pari a r e r+dr (Fig.8). 8

9 σ σ Figura 8: il volume di controllo per la geometria a capillare Le uniche forze agenti sul volume di controllo lungo la direzione assiale sono quelle di pressione, sulle due corone circolari di base, e quelle dovute allo sforzo di taglio, lungo le superfici cilindriche laterali. Un bilancio di forze lungo la direzione z fornisce allora: 2πrdr( P o P L ) + 2πrLσ r 2πrLσ r+dr = (22) L'equazione differenziale (22) può essere integrata, fornendo il profilo di sforzo in direzione tangenziale: σ = ΔP L r 2 (23) dove ΔP/L è la perdita di carico per unità di lunghezza di capillare. La (23) ci dice che lo sforzo varia linearmente lungo il raggio del capillare. Di conseguenza il gradiente di scorrimento, che in questo caso è definito come: γ = dv dr (24) sarà anch'esso variabile linearmente lungo r. Ciò significa che, al fine di determinare l'equazione del reometro, va specificata l'equazione costitutiva. In particolare, nel caso di fluido Newtoniano, la (24) diventa: dv dr = ΔP L r 2η (25) che integrata con la condizione di aderenza alla parete (v= per r=) fornisce il classico profilo di velocità parabolico: v = ΔP 4ηL 2 1 r 2 2 (26) 9

10 Una successiva integrazione della (26), per ricavare la portata volumetrica passante nel capillare, fornisce l'equazione del reometro: Q = v2πr dr = π 4 8L ΔP η (27) La (27) è valida solo per fluidi Newtoniani. Ciò significa che da una singola misura di portata di liquido e di pressione è possibile ricavare il valore della viscosità. Nel caso di fluidi non-newtoniani, il reometro a capillare può ancora essere utilizzato. In prima analisi sembrerebbe necessario disporre dell'equazione costitutiva per il fluido considerato. Se tale equazione costitituiva è ancora matematicamente manipolabile, si può sperare di ripercorrere i passi già seguiti nel caso Newtoniano, cioè integrando equazioni analoghe alle(22) e (25). Ciò è possibile in alcuni casi. Ad esempio, se è applicabile una relazione costituiva del tipo legge di potenza: σ = K γ n (28) il profilo di velocità e l'equazione del reometro sono facilmente ottenibili come: v = n n+1 n +1 ΔP n 2KL 1 n 1 r n+1 n (29) ΔP L = 2K 3n +1 3n+1 nπ n Q n (3) In particolare, l'equazione del reometro(3) permette di ricavare i parametri reologici K e n. Infatti, diagrammando in scala logaritmica una serie di dati sperimentali di perdita di carico in funzione della portata, il fluido ha un comportamento a legge di potenza se i dati sono interpolabili con una retta. La pendenza della retta dà direttamente l'indice di flusso, n. La consistenza, K, è poi ricavabile dalla posizione assoluta della retta nel diagramma. Un'equazione del reometro a capillare di tipo esplicito è ricavabile anche nel caso di fluido alla Bingham, la cui equazione costitutiva è data da: σ = σ o + η γ (31) In questo caso, oltre a ricavare le espressioni del profilo di velocità e della portata in funzione della perdita di carico, è facile verificare che il fluido alla Bingham rimane addirittura fermo nel capillare se è verificata la relazione: < 2σ o ΔP / L (32) Come già detto, il reometro a capillare sembrerebbe non permettere la determinazione della viscosità di un fluido non-newtoniano, a meno che non si conosca a priori l'equazione costitutiva per tale fluido. In realtà, invece, è sempre possibile determinare la 1

11 viscosità effettiva del fluido in funzione della velocità di scorrimento utilizzando opportunamente i risultati sperimentali, senza avere bisogno di una equazione costitutiva. Il metodo di determinazione della viscosità, detto metodo di Mooney-abinowitsch, è utilizzabile, con i dovuti cambiamenti, anche in altri reometri (quello a piatti paralleli e quello a cilindri rotanti, per esempio) nei quali il flusso, pur essendo viscometrico, non è caratterizato da un gradiente di scorrimento uniforme. In primo luogo si può osservare che l'equazione di bilancio di forze (23) fornisce il valore dello sforzo tangenziale alla parete. Infatti, per r=, la (23) diventa: σ w = ΔP L 2 (33) Quindi lo sforzo alla parete è noto quando sia nota la differenza di pressione agli estremi del capillare. Ciò significa che, se è possibile determinare il corrispodente valore della velocità di scorrimento alla parete,, la viscosità potrà essere calcolata come rapporto tra lo sforzo e la shear rate alla parete. Ovviamente, effettuando diverse misure al variare della portata di fluido nel capillare, sarà possibile determinare la curva di viscosità in funzione della velocità di scorrimento. Per ottenere il valore di a partire dalle misure di portata e di perdita di carico, osserviamo innanzitutto che la portata passante nel capillare, Q, è definita dalla relazione: Q = 2π rv(r)dr (34) Integrando per parti, e sfruttando la condizione di aderenza alla parete, v= per r=, si ottiene: dv Q = π r 2 dr = π r 2 dr γ (r)dr (35) Supponendo che la relazione tra lo sforzo tangenziale e la velocità di deformazione sia biunivoca (cioè che la funzione σ( ) sia invertibile), l'integrale nella (35) può essere riscritto in funzione dello sforzo tangenziale σ invece che del raggio r: La (36) può anche essere riscritta nella forma: σ w Q = π 3 σ 2 γ (τ )dτ (36) 3 σ w σ w 4Q π = γ 3 a = 4 σ 2 3 σ w γ (τ )dτ (37) dove γ a è una shear rate apparente, e rappresenta il valore di velocità di scorrimento alla parete che si avrebbe nel caso di fluido Newtoniano (questo può essere verificato ricavando la velocità di scorrimento in funzione della portata nel caso Newtoniano dalla 11

12 (27)). La (37) esprime una importante proprietà: indipendentemente dalle dimensioni geometriche del capillare, la shear rate apparente è una funzione univoca del valore dello sforzo tangenziale alla parete. In altri termini, in un diagramma che riporti in ascissa il gruppo 4Q/π 3 e in ordinata il gruppo (ΔP)/2L (entrambi ottenibili da misure di portata e di perdita di carico), tutti i punti cadrebbero su di un'unica curva. Il risultato ottenuto può essere immediatamente utilizzato per ricavare la viscosità effettiva del fluido. Infatti, riscrivendo la (37) come: e derivando membro a membro rispetto a σ ω si ottiene: σ w γ a σ 3 w = 4 σ 2 γ (τ )dτ (38) γ w = 3 4 γ + 1 a 4 σ dγ a w (39) dσ w La (39) permette finalmente di determinare la shear rate effettiva alla parete, nota che sia la funzione γ a (σ w ). In particolare, posto: la (39) si riscrive come: n = d lnσ w (4) d lnγ a 3n +1 γ w = γ a 4n (41) La procedura di determinazione della viscosità è allora la seguente: si effettuano misure di perdita di carico in funzione della portata a diverse portate. Ciò permette di ricavare lo sforzo alla parete dalla (33) per diversi valori della shear rate apparente; si riportano su grafico in scala logaritmica i valori così calcolati di σ w in funzione di. In questo modo, per un certo valore di shear rate apparente si può determinare (con metodi grafici o numerici) il valore della pendenza di tale grafico, corrispondente alla variabile n definita dalla (4); dal valore di n e della shear rate apparente si può finalmente calcolare la shear rate effettiva alla parete. Il rapporto σ w / γ w fornisce quindi il valore della viscosità. ipetendo gli ultimi due passi per diversi valori di è possibile ricavare la curva di viscosità in funzione della velocità di scorrimento. I reometri a capillare in commercio sono di due tipi diversi: quello a portata imposta e quello a pressione imposta. Nel primo, la portata di fluido nel capillare viene controllata, ad esempio spingendo il liquido con un pistone a velocità di avanzamento prefissata, mentre la differenza di pressione tra l'imbocco e lo sbocco viene misurata. Nel secondo tipo, viene invece imposta la pressione a monte del capillare, per esempio pressurizzando il liquido all'imbocco, e viene misurata la portata allo sbocco del capillare. 12

13 In entrambi i casi, generalmente, la pressione di sbocco è quella atmosferica, per cui la perdita di carico è determinata da una singola misura di pressione a monte del capillare (la membrana del trasduttore è piatta, e non può essere ospitata lungo la parete curva del capillare senza generare disturbi al flusso). Questo fa sì che la misura di pressione sia influenzata dal flusso complesso che ha luogo nella zona di imbocco del capillare. Come conseguenza, la differenza di pressione misurata è data dalla somma delle perdite di carico distribuite lungo il capillare e di quelle concentrate nella zona di imbocco. Queste ultime possono essere molto importanti, e superare addirittura le prime, soprattutto nel caso di capillari di piccola lunghezza. La situazione peggiora ulteriormente nel caso dei fluidi polimerici, nei quali la viscosità elongazionale può assumere valori molto elevati. Per quanto detto, al fine di determinare il corretto valore di viscosità è allora necessario valutare le perdite di imbocco. Ciò può essere effettuato mediante una procedura, detta correzione di Bagley, che viene illustrata nel seguito. Figura 9: Le linee di flusso nel reometro a capillare e l'andamento schematico della pressione nelle varie zone dell'apparecchiatura La perdita di carico ΔP nel reometro a capillare, come schematizzato in Fig.9, può essere espressa come: ΔP tot = ΔP imb + ΔP L cap L (42) ΔP dove rappresenta la perdita di carico per unità di lunghezza nel capillare. La (42) L cap esprime il fatto noto che le perdite di carico aumentano linearmente con la lunghezza del capillare, ma anche che, al tendere a zero della lunghezza del capillare, cioè nel caso di efflusso attraverso un foro, è sempre necessario spendere una certa quantità di energia, pari appunto alle perdite di imbocco. Il metodo della correzione di Bagley consiste allora nell'effettuare, ad ogni assegnata portata, diverse misure di perdita di carico con capillari di lunghezza diversa. Diagrammando la perdita di carico in funzione della lunghezza del capillare, i dati dovrebbero essere ben interpolati da una retta, corrispondente alla (42). Estrapolando a lunghezza zero del capillare, l'ordinata all'origine fornisce il valore di ΔP imb. Da questo è possibile ottenere il valore di (ΔP/L) cap per ogni portata, e determinare così il valore 13

14 corretto della viscosità. Lo studio del diagramma di Bagley permette di ricavare ulteriori informazioni sulla qualità delle misure di viscosità effettuate col reometro a capillare. Infatti la relazione di linearità espressa dalla (42) è valida solo se gli effetti di imbocco si esauriscono rapidamente all'interno del capillare. Questo può non essere vero quando i tempi di permanenza del fluido nel capillare sono inferiori al tempo caratteristico del fluido (tempo di rilassamento). Questo vuol dire che il liquido subisce condizioni di flusso transitorio per lunghi tratti all'interno del capillare. E' facile intuire che questi fenomeni (legati alla viscoelasticità del fluido) si traducono in una non linearità del diagramma di Bagley. Da ciò consegue non solo l'impossibilità di utilizzare la correzione di Bagley, ma anche l'impossibilità di ricavare dalle misure un valore di viscosità in condizioni stazionarie. iepilogando, l'uso corretto del reometro a capillare per determinare la viscosità di fluidi non-newtoniani richiede i seguenti passi: effettuazione di misure della portata Q e della corrispondente perdita di carico ΔP con capillari di diversa lunghezza (posibilmente almeno 3 lunghezze); elaborazione dei diagrammi di Bagley allo scopo di : a) assicurarsi che il flusso sia ben sviluppato e che eventuali effetti di transitorio siano trascurabili; b) determinare le perdite di imbocco in modo da isolare le sole perdite di carico nel capillare; utilizzo del metodo di Mooney-abinowitsch per l'ottenimento della viscosità effettiva in funzione della velocità di scorrimento. Le Figure 1-12 costituiscono la sintesi grafica del metodo di elaborazione dei dati sperimentali in capillare. In particolare, la Figura 1o è il diagramma di Bagley di un polistirene alla temperatura di 2 C a diversi valori del gradiente di scorrimento apparente. Per ogni gradiente i punti si allineano su di una retta. La linea continua è una regressione lineare dei dati la cui intercetta per L= fornisce la perdita di imbocco, mentre la pendenza permette di ricavare immediatamente la perdita di carico nel capillare e di conseguenza lo sforzo alla parete utilizzando la (33) ΔP, bar L, mm Figura 1: Il diagramma di Bagley per un polistirene a 2 C. I dati si riferiscono, dal basso verso l alto, a valori di shear rate apparente compresi tra 1 e 1 s -1 14

15 σ w, Pa γ a, s -1 Figura 11: Il diagramma di Mooney-abinowitsch per il polistirene di Figura η [Pa s] 1 1 Figura 12: La curva di viscosità del polistirene di Figura 1 La Figura 11 è il diagramma di Mooney-abinowitsch per lo stesso polimero. I dati sperimentali sono stati interpolati in questo caso con un polinomio di terzo grado, la cui derivata prima fornisce direttamente il valore dell indice di flusso, n. Calcolando il gradiente effettivo alla parete mediante la (41) è quindi possibile ricavare la viscosità effettiva, riportata in Figura 12. Altri viscosimetri di uso comune shear rate [s -1 ] Il viscosimetro a caduta di sfera E' costituito da una sfera che cade all'interno di un cilindro. Il cilindro è dotato di due traguardi, e si misura il tempo necessario a percorre tale spazio, ricavando così la velocità della sfera nel fluido. Nel caso di flusso laminare, in cui anche l'inerzia sia trascurabile, le linee di flusso sono del tipo indicato in Fig

16 Figura 13: Le linee di flusso intorno ad una sfera cadente in un fluido E' chiaro che in questo caso, oltre ad una componente di scorrimento, il flusso è caratterizzato anche da una componente elongazionale. L'analisi del moto risulta complessa, ma ancora trattabile nel caso di un fluido Newtoniano. Infatti, integrando i contributi dello sforzo alla superficie della sfera, si ricava la ben nota relazione di Stokes: F = 6πηv (43) dove F è la forza agente sulla sfera di raggio nella direzione del moto, e v la sua velocità. Uguagliando la (43) alla forza applicata, cioà la somma di forza peso e di forza di Archimede, si ottiene l'equazione del viscosimetro a caduta di sfera: v = (ρ s ρ)g η (44) Nella (44) ρ s e ρ sono rispettivamente la densità della sfera e quella del liquido. La (44) richiede talvolta una correzione per tener conto degli effetti delle pareti del recipiente sul flusso viscoso. Anche tale correzione può però effettuarsi per via teorica, o per taratura diretta dell apparecchiatura. Il viscosimetro a caduta di sfera può fornire la viscosità solo nel caso di fluidi Newtoniani. Per fluidi non-newtoniani, la misura fornisce solo una stima del livello di viscosità ad una shear rate media tra quelle raggiunte nel flusso. Il plastometro. Misura del Melt Flow Index (MFI) Il plastometro è un apparecchiatura molto utilizzata in ambito industriale, che permette la misurazione del cosiddetto grado di un polimero fuso (Melt Flow Index o MFI). La misura dell'mfi avviene secondo procedure standardizzate (ASTM o ISO) in apparecchiature simili al reometro a capillare. Lo schema di un plastometro è riportato in Figura 14. La misura si effettua estrudendo il polimero fuso attraverso un ugello standard ad una temperatura standard sotto l'azione di un peso standard. Il grado o MFI è definito come la massa in grammi di polimero estruso nel tempo standard di 1 minuti. L'MFI è quindi, con approssimazione più o meno grande, inversamente proporzionale alla viscosità del fluido. La misura dell'mfi è particolarmente utile per il controllo delle materie plastiche, per 16

17 studiare gli effetti della degradazione termo-meccanica dovuti al processo, per confrontare polimeri dello stesso tipo ma di diverso peso molecolare, per effettuare la scelta del materiale in funzione del tipo di processo. Figura 14: Schema del plastometro. Il peso 1 preme sul pistone 2 che spinge il polimero 6 attraverso l ugello 7 Pur non potendo sostituire la curva di viscosità, un dato approssimato di quest ultima al singolo gradiente di scorrimento imposto nel plastometro può comunque essere ottenuto a partire dalle stesse equazioni che governano il moto nel capillare. Approssimando il comportamento del polimero a quello di un fluido Newtoniano, e trascurando le perdite di imbocco, si ottiene: γ app MFI ρ [s 1 ] (45) η 49.4 mρ [ poise] (46) MFI dove ρ è la densità del polimero (in g/cm 3 ) e m la massa in grammi del peso applicato. In genere, la viscosità ottenuta dalla Errore. L'origine riferimento non è stata trovata. è sempre sovrastimata rispetto al valore effettivo. 17