TRIGONOMETRIA, ANGOLI PIANI

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1 TRIGONOMETRIA, ANGOLI PIANI Esistono due sistemi per misurare gli angoli piani: i gradi; i radianti. Il sistema dei gradi. La circonferenza di un cerchio viene arbitrariamente divisa in 360 gradi ( ). Un angolo retto, ad esempio, corrisponde a 90. Ciascun grado è diviso in 60 minuti primi ( ). Ciascun primo è suddiviso in 60 secondi ( ). La misura di un angolo qualsiasi è dunque espressa in gradi, primi e secondi:

2 TRIGONOMETRIA, ANGOLI PIANI Il sistema dei radianti. In fisica i radianti sono più utilizzati dei gradi. B θ l R A Per esprimere un angolo piano in radianti si traccia con raggio arbitrario R l arco AB con centro nel vertice O dell angolo. La misura di θ in radianti (rad) è: θ = l/r dove l è la lunghezza dell arco AB.

3 TRIGONOMETRIA, ANGOLI PIANI Questo metodo è basato sul fatto che, per un dato angolo, il rapporto l/r = costante Osserviamo che l e R devono essere espressi nelle medesime unità di lunghezza. θ = l/r l = Rθ R Nel caso della circonferenza: l = 2πR θ = 360 2πR = R 360 2π rad = 360 E

4 TRIGONOMETRIA, SIN E COS Le funzioni sin e cos sono alla base di tutta la trigonometria. Per definire queste due funzioni consideriamo una circonferenza, il cui centro O sia anche l origine di un sistema di assi cartesiani x e y. y x Sia dato un angolo α con le seguenti caratteristiche: Origine in O Formato da due semirette Una semiretta coincida con x L altra semiretta intersechi la circonferenza in P.

5 y TRIGONOMETRIA, SIN E COS x Si possono costruire: La proiezione di P su x (ascissa di P), QO La proiezione di P su y (ordinata di P), RO Definizione di seno: Il seno dell angolo α, indicato con sin α, è il rapporto tra il segmento RO, proiezione del punto P sull asse y ed il raggio della circonferenza, PO: sinα = RO PO

6 y TRIGONOMETRIA, SIN E COS x Definizione di coseno: Il coseno dell angolo α, indicato con cos α, è il rapporto tra il segmento QO, proiezione del punto P sull asse x ed il raggio della circonferenza, PO: cosα = QO PO

7 TRIGONOMETRIA, SIN E COS y x Se il raggio della circonferenza è unitario (circonferenza goniometrica) R = 1 le definizioni di sin e cos si semplificano sinα = RO PO sinα = RO cosα = QO PO cosα = QO Dunque in questo caso particolare sin e cos sono esattamente uguali alle proiezioni del punto P sugli assi cartesiani scelti.

8 TRIGONOMETRIA, TAN Dalle funzioni sin e cos è possibile ricavare altre funzioni utili in alcune applicazioni della matematica. Tra di esse c è la tangente, tan. Si definisce tangente dell angolo α, il rapporto tra il sin ed il cos dell angolo stesso: tan α = sinα cos α

9 TRIGONOMETRIA, FUNZIONI INVERSE Angolo, α Trasf. diretta Funzioni goniom. dirette (sin, cos, tan) Numero reale Angolo, α Trasf. inversa Funzioni goniom. inverse (arcsin, arccos, arctan) Numero reale

10 TRIGONOMETRIA, TEOREMI SUI TRIANGOLI La trigonometria fornisce importanti strumenti per lo studio delle proprietà dei triangoli. In particolare è estremamente utile per stabilire le relazioni quantitative tra i lati e gli angoli di un triangolo. A,B,C vertici a,b,c lati α,β,γ angoli α +β + γ = π rad = 180 E una proprietà valida per qualsiasi triangolo

11 TRIGONOMETRIA, TEOREMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI CA b sin β = = b = asin β BC a cosβ = BA BC = c a c = a cosβ AB c sinγ = = c = asinγ BC a CA b cosγ = = b = acosγ BC a BA c tanγ = = c = b tanγ CA b CA b tan β = = b = c tan β BA c In un triangolo rettangolo un cateto è uguale all ipotenusa per il sin (cos) dell angolo opposto (adiacente). E

12 LA NOTAZIONE SCIENTIFICA Come scrivere numeri grandi e piccoli. Raggio del protone = m Età dell Universo = s Per semplificare le cose è possibile utilizzare la notazione scientifica, che utilizza le potenze di = = = = = 10 2 Raggio del protone = = m Età dell Universo= = s E

13 LA NOTAZIONE SCIENTIFICA OPERAZIONI MATEMATICHE La notazione scientifica permette di semplificare le operazioni matematiche. Ad esempio quando si fa il prodotto di due numeri scritti con la notazione scientifica, basta sommare algebricamente gli esponenti: = 10 1 Questo metodo è utile per dare una prima approssimazione del problema da risolvere, eseguendo solo semplici calcoli. E

14 IL SISTEMA INTERNAZIONALE La comunità scientifica ha recentemente adottato il Sistema Internazionale (SI), in cui la maggior parte delle misure si basa sulle seguenti grandezze fondamentali e sulle relative unità di misura: 1. per la lunghezza, il metro (m); 2. per la massa, il chilogrammo (kg); 3. per un intervallo di tempo, il secondo (s); 4. per l intensità di corrente elettrica, l ampere (A); 5. per la temperatura, il kelvin (K); 6. per la quantità di sostanza, la mole (mol); 7. per l intensità luminosa, la candela (cd).

15 IL SISTEMA INTERNAZIONALE Fattore Prefisso Simbolo yotta Y zetta Z exa E peta P tera T 10 9 giga G 10 6 mega M 10 3 kilo k milli m 10-6 micro µ 10-9 nano n pico p femto f atto a zepto z yocto y

16 LA LUNGHEZZA La lunghezza è una distanza o un estensione nello spazio. Se estendiamo un braccio possiamo dire che la distanza tra il gomito e l estremità delle dita è una lunghezza e adottarla come unità di misura della lunghezza. Questa unità era chiamata cubito e fu utilizzata in Egitto e Mesopotamia più di 4000 anni fa. La Grande Piramide d Egitto fu costruita utilizzando il cubito come unità di misura. In generale, data una grandezza fisica che si vuole misurare, si può definire: misura o valore numerico = valore della grandezza da misurare valore di una grandezza ad essa omogenea La grandezza omogenea (cioè della stessa specie) a quella da misurare si assume come unità di misura.

17 LA LUNGHEZZA Tuttavia una società avanzata non può adottare una unità di misura basata sulla lunghezza di un avambraccio che può essere differente da persona a persona. E necessario dunque scegliere per convenzione l unità di misura di ciascuna delle sette grandezze fondamentali e realizzarla con un campione primario da utilizzare come riferimento. Nel 1960 fu accettato universalmente il Sistema Internazionale ed in quella sede venne definito il nuovo metro campione: la distanza percorsa nel vuoto dalla luce, durante un intervallo di tempo di esattamente 1/ s.

18 MASSA Nel 1889 il chilogrammo (kg) fu definito come unità di massa. Il chilogrammo campione è un cilindro di platino-iridio custodito presso il Bureau International des Poids et Mésures (BIPM) a Sèvres, vicino Parigi. Il chilogrammo è l unica unità di misura del SI, il cui campione è ancora basato su un oggetto costruito dall uomo. Questa particolarità solleva parecchi problemi: l esposizione della massa all aria o la sua manipolazione per mezzo di pinze con ganasce di velluto possono provocare variazioni della massa stessa.

19 DIFFERENZA TRA MASSA E PESO La massa è una proprietà di un esemplare di materia immerso nell Universo in generale. E indipendente dalla distribuzione locale di materia ed è costante dappertutto sulla Terra. Le masse interagiscono gravitazionalmente e questa interazione dà origine alla forza detta peso o forza di gravità. Il peso di un corpo sulla superficie della terra è dovuto all interazione gravitazionale tra il corpo e la Terra. In pratica il peso di un corpo si origina da un interazione gravitazionale locale tra l esemplare di materia e qualsiasi corpo massivo che si trovi nelle sue immediate vicinanze, come ad esempio un pianeta, una luna, un asteroide. A grande distanza da tutti i corpi, il peso di un esemplare di materia si annulla, la massa invece non si annulla mai.

20 TEMPO Il tempo è una misura del succedersi degli eventi, che può essere misurato rispetto ad una variazione uniforme. Nel 1967 l unità di intervallo di tempo nel SI, il secondo, fu definita come la durata di periodi della radiazione corrispondente alla transizione tra due particolari livelli dello stato fondamentale di cesio-133 in un orologio atomico. Attualmente un orologio atomico è affetto da un errore pari a circa 1 s su anni.

21 FATTORI DI CONVERSIONE - LUNGHEZZA E

22 LA DENSITA La densità di un corpo è definita come la sua massa per unità di volume. Così un corpo di massa m e volume V, ha una densità pari a: ρ = m/v La densità di esprime nel SI in kg/m 3. Per l acqua la densità è: ρ = 1000 kg/m 3 Questa definizione di densità si può applicare unicamente ai corpi omogenei. Corpo omogeneo.: Uno corpo che ha la stessa composizione e struttura in tutto il suo volume.

23 CIFRE SIGNIFICATIVE Le misurazioni si effettuano con una certa precisione desiderata, che spesso è determinata dalle limitazioni degli strumenti a disposizione. La figura mostra una sbarra la cui lunghezza viene misurata con una riga graduata. Supponendo che un estremo della sbarra ed uno della riga coincidano esattamente, la sua lunghezza è compresa tra 4.1 e 4.2 cm.

24 CIFRE SIGNIFICATIVE Poiché la scala della riga non contiene divisioni più fini di 1 mm, le frazioni di millimetro dovranno essere stimate. Si giunge così alla conclusione che la sbarra è lunga 4.15 cm.

25 CIFRE SIGNIFICATIVE Non è corretto dire che la sbarra è lunga esattamente 4.15 cm, quanto piuttosto che la sua lunghezza è più vicina a 4.15 cm, piuttosto che a 4.14 o 4.16 cm. Questa incertezza può essere enunciata dicendo che la lunghezza della sbarra in questione è 4.15 cm ± 0.01 cm. In particolare: il valore numerico 4 è certo, il valore numerico 1 è certo, il valore numerico 5 potrebbe essere affetto da un errore fino a ± 1. Quest ultima considerazione implica che tentare di ottenere altre cifre oltre il 5 sarebbe privo di significato.

26 CIFRE SIGNIFICATIVE Una cifra di valore numerico è detta cifra significativa quando essa è nota con una certa attendibilità, come le cifre 4, 1 ed anche 5. Quando si presenta un risultato come 4.15 cm, si può supporre che tutte le cifre siano significative e che il 5 sia quella meno significativa. Per specificare esattamente la lunghezza della sbarra, sarebbe necessario un numero infinito di cifre significative.

27 CIFRE SIGNIFICATIVE Con tre cifre significative la lunghezza della sbarra può essere espressa indifferentemente nei seguenti modi: 4.15 cm, 41.5 mm, m, km. Tutte queste misure sono equivalenti e ciascuna ha 3 cifre significative. Spostare la virgola e simultaneamente cambiare il prefisso dell unità di misura non ha alcun effetto sulla precisione della misura. Poiché a sinistra della cifra 4 ci sono soltanto zeri, essi localizzano unicamente la virgola e non sono considerati come cifre significative.

28 CIFRE SIGNIFICATIVE Gli zeri a destra invece sono significativi. Ad esempio se si misurasse la lunghezza della sbarra con un micrometro e si trovasse come risultato cm, questa misura avrebbe 4 cifre significative. Anche il numero 1000 ha 4 cifre significative: gli zeri a sinistra della posizione normale della virgola sono tanto importanti quanto qualsiasi altra cifra. Ad esempio se la distanza tra la Terra ed il Sole è indicata come 146 milioni di chilometri, scriverla come km implica 9 cifre significative, un accuratezza che non è appropriata. Si devono fornire soltanto le cifre significative e si deve localizzare la virgola usando la notazione scientifica. Quindi la distanza è 146 x 10 6 km, oppure 146 x 10 9 m, cioè 14.6 x 10 7 km, oppure 1.46 x 10 8 km.

29 TRATTAMENTO DELLE CIFRE SIGNIFICATIVE Moltiplicazione Divisione. Consideriamo l area di un rettangolo, i cui lati misurano cm e 3.54 cm (sottolineate le cifre dubbie). L area del rettangolo è data da: x 3.54 = cm 2 La regola vuole che: si considera solo una cifra dubbia e si arrotonda il risultato di conseguenza. Se la prima delle cifre non significative trascurate è 5, si aumenta di 1 l ultima cifra significativa conservata; se è <5, la si lascia inalterata cm cm 2

30 TRATTAMENTO DELLE CIFRE SIGNIFICATIVE Moltiplicazione Divisione. Regola: Il risultato della moltiplicazione e/o della divisione si deve arrotondare in modo che abbia tante cifre significative quanto ne ha la misura meno precisa usata nel calcolo. Questa regola è grossolana, perché equivale a dire che un calcolo non migliora la precisione dei valori numerici usati, ma anzi talvolta può ridurre la precisione. Ad esempio usando lo stesso strumento si può misurare che una lastra rettangolare piana ha i lati di 0.91 m e 1.51 m, con rispettivamente 2 e 3 cifre significative. L area della lastra è 0.91x1.51= m m 2, dove le cifre significative devono essere 2.

31 TRATTAMENTO DELLE CIFRE SIGNIFICATIVE Addizione Sottrazione. La significatività delle cifre nell addizione e nella sottrazione si determina in relazione alla posizione della virgola. Supponiamo che una sbarra di 140 mm venga addizionata ad una lunga 2.0 m e che si voglia trovare la lunghezza totale della sbarra composta. Si potrebbe supporre che: = m Tuttavia non si conosce nulla riguardo alla seconda ed alla terza cifra decimale della sbarra lunga 2.0 m e quindi non è possibile conoscere la somma con una precisione fino alla terza cifra decimale. E ragionevole arrotondare la somma al numero minimo di cifre decimali di qualsiasi numero che compaia nell addizione. Dunque la lunghezza della sbarra è: m 2.1 m con un numero di cifre significative pari a 2.

32 TRATTAMENTO DELLE CIFRE SIGNIFICATIVE Addizione Sottrazione. Regola: Il risultato dell addizione e/o della sottrazione deve essere arrotondato in modo che abbia lo stesso numero di cifre decimali (a destra della virgola) che ha la misura che compare nel calcolo con il minimo numero delle cifre significative. Ad esempio: 275 s 270 s = 5 s 120 kg 40.0 kg = 80 kg

33 TRATTAMENTO DELLE CIFRE SIGNIFICATIVE Logaritmo Funzioni trigonometriche. Regola: Si può approssimare il risultato della funzione a tante cifre significative quante ne ha il numero di cui si è calcolata la funzione. Ad esempio: ln 10.2 = = 2.32 sin 40 = = 0.64 E

34 CONCETTO DI DIREZIONE Data una linea retta, possiamo muoverci lungo essa in due versi opposti. Questi sono distinti assegnando a ciascuno un segno, più o meno. Una volta che sia stato fissato il verso positivo, diciamo che la retta è orientata e la chiamiamo asse. Ad esempio gli assi coordinati x,y sono rette orientate, in cui i versi positivi sono quelli indicati in figura. y x Il verso positivo è generalmente indicato da una freccia. Una retta orientata, o asse, definisce una direzione.

35 SCALARI Molte grandezze fisiche sono completamente determinate dalla loro grandezza: esse vengono dette scalari. Ad esempio per specificare il volume di un corpo, è necessario indicare soltanto quanti metri cubi esso occupa. Per conoscere una temperatura è sufficiente leggere un termometro disposto nel luogo adatto. Il tempo, la massa e l energia sono altri esempi di grandezze scalari.

36 VETTORI Altre grandezze fisiche richiedono, per essere completamente determinate, anche una direzione, un verso, oltre naturalmente alla loro grandezza. Tali grandezze vengono chiamate vettori. Il caso più ovvio è quello dello spostamento. Lo spostamento di un corpo è determinato dalla distanza effettiva che esso ha percorso, dalla direzione in cui si è mosso, dal verso.

37 VETTORI Anche la velocità è una grandezza vettoriale, in quanto il moto è determinato dal tempo nel quale lo spostamento ha luogo. Analogamente la forza e l accelerazione sono grandezze vettoriali. Graficamente i vettori sono rappresentati da segmenti di retta aventi la medesima direzione del vettore (segmento), il suo verso (indicato da una freccia), una lunghezza proporzionale alla grandezza.

38 VETTORI Un vettore è rappresentato da un simbolo in neretto (v). La sola lettera v (corsivo, non grassetto) si riferisce al modulo o norma, cioè al valore della grandezza. Un vettore unitario è un vettore il cui modulo è 1. L opposto di un vettore è un altro vettore che ha lo stesso modulo, la stessa direzione, verso opposto al primo.

39 P 0 UN ESEMPIO DI VETTORE: IL VETTORE SPOSTAMENTO Supponiamo di porre una piccola tartaruga su un foglio P f di carta in un certo punto P 0 e di lasciarla a se stessa per un po' di tempo. Quando ritorniamo, troviamo che la tartaruga è in una nuova posizione, P f. Non sappiamo alcunché del cammino che ha seguito, ma sappiamo che si è spostata da P 0 a P f.

40 UN ESEMPIO DI VETTORE: IL VETTORE SPOSTAMENTO Questo spostamento è rappresentato dal segmento P f rettilineo congiungente la posizione iniziale P 0 e la posizione finale P f ; per determinarlo se ne s specificano la lunghezza e la direzione orientata. Nella figura la tartaruga è finita a 10 cm a nordest del punto di partenza. P 0

41 P 0 s UN ESEMPIO DI VETTORE: IL VETTORE SPOSTAMENTO Lo spostamento di un corpo rispetto a una posizione di P f partenza P 0 è il vettore congiungente quella posizione con la posizione finale P f del corpo. Il vettore spostamento è denotato di solito con il simbolo s. Nella figura il vettore s si può rappresentare graficamente come una freccia lunga 10 cm diretta e orientata verso nordest.

42 P 0 s UN ESEMPIO DI VETTORE: IL VETTORE SPOSTAMENTO Se è scomodo disegnare una P f freccia lunga effettivamente 10 cm, si può ridurla a 10 volte «qualsiasi unità» e contrassegnarla 10 cm. La lunghezza della freccia (segmento orientato) che rappresenta il vettore è detta modulo o norma del vettore. Il modulo di un vettore è sempre un valore numerico positivo ed è denotato di solito con un simbolo costituito da una lettera chiara corsiva (s).

43 LA SOMMA DI VETTORI Supponiamo che una particella compia dapprima uno spostamento da A a B, rappresentato dal vettore d 1, e successivamente uno spostamento da B a C, rappresentato da d 2. C d 2 A d 1 B Il risultato è equivalente ad un singolo spostamento da A a C, rappresentato dal vettore d. d d 2 C A d 1 B

44 LA SOMMA DI VETTORI Possiamo quindi scrivere simbolicamente: d = d 1 + d 2 ATTENZIONE! La precedente non va confusa con: d = d 1 + d 2 che invece si riferisce alla somma dei moduli. Il vettore d invece rappresenta la somma vettoriale dei vettori d 1 e d 2. La somma vettoriale è commutativa: il risultato è uguale, se si inverte l ordine con cui vengono sommati i vettori. d d 2 d 1 d 1 d 2 d

45 P 0 SOMMA DI VETTORI: UN ESEMPIO s 3 cm s 1 4 cm A P f s 2 Con riferimento alla figura a lato, si può immaginare di determinare in qualche modo la somma degli spostamenti intermedi, (s1+s2), per giungere allo spostamento totale s. E evidente che non si può sommarli semplicemente nel modo algebrico solito. La lunghezza totale del cammino percorso è s 1 +s 2 =7 cm, mentre il modulo dello spostamento totale è s=5 cm, e, evidentemente, s s 1 +s 2.

46 SOMMA DI VETTORI: UN ESEMPIO P 0 s 3 cm s 1 4 cm A P f s 2 L'illustrazione stessa indica una regola generale per la composizione di vettori, nota come regola della poligonale. Due vettori si possono comporre disponendoli in modo che il punto origine del secondo (la «coda» della freccia che lo rappresenta) coincida con il punto termine del primo (la «punta» della freccia che lo rappresenta):

47 SOMMA DI VETTORI: UN ESEMPIO P 0 s 3 cm s 1 4 cm A P f s 2 la somma o (vettore) risultante di questi due vettori è il vettore congiungente il punto origine del primo vettore con il punto termine del secondo. Nella composizione di due vettori, la somma non varia se uno dei due vettori o entrambi vengono traslati parallelamente alla rispettiva direzione iniziale.

48 LA REGOLA DEL PARALLELOGRAMMA s 2 s 1 s s 2 s 1 Quest altra figura indica un altro metodo per la determinazione grafica della somma di due vettori. Partendo dalla regola della poligonale e tenendo presente la proprietà commutativa, si può costruire il vettore risultante in due modi che, presi insieme, formano un parallelogramma. Usando questi vettori come lati adiacenti, si costruisce un parallelogramma. La diagonale uscente dall'origine è il risultante dei due vettori. Questo procedimento è detto regola del parallelogramma.

49 SOMMA DI VETTORI PERPENDICOLARI CALCOLO DEL MODULO E DELL ANGOLO α Nel caso particolare in cui V 1 e V 2 sono tra loro perpendicolari, valgono le seguenti relazioni: V = V + V α = arctan V 2 /V 1 E 1

50 SOMMA DI VETTORI NON PERPENDICOLARI CALCOLO DEL MODULO AC 2 = AD 2 + DC 2 AD = AB + BD AB = V 1 BD = V 2 cos θ DC = V 2 sin θ V 2 = (V 1 + V 2 cos θ) 2 + (V 2 sin θ) 2 V 2 = V 12 + V 22 cos 2 θ + 2V 1 V 2 cos θ + V 22 sin 2 θ V 2 = V 12 + V 22 (cos 2 θ + sin 2 θ) + 2V 1 V 2 cos θ V 2 = V 12 + V V 1 V 2 cos θ V = (V 12 + V V 1 V 2 cos θ) 0.5

51 SOMMA DI VETTORI NON PERPENDICOLARI CALCOLO DELL ANGOLO α Per trovare la direzione di V, è necessario calcolare l angolo α. Nel triangolo ACD CD = AC sin α Nel triangolo BCD CD = BC sin θ AC sin α = BC sin θ V sin α = V 2 sin θ α = arcsin (V 2 /V sin θ) E 2

52 D F G C A B A F E D B SOMMA DI PIU VETTORI Stabilita una regola per comporre due vettori, si può usarla per comporre un numero qualsiasi di vettori. Per esempio, nella figura si possono comporre i quattro vettori, A + B + D + F, due alla volta, usando la regola della poligonale. Di conseguenza: A + B = C; C + D = E; E + F = G; cosicché, A + B + D + F = G.

53 SOMMA DI PIU VETTORI F D B A F Evidentemente, non è necessario preoccuparsi delle somme intermedie di C ed E. La figura indica che si sarebbe potuto comporre direttamente A, B, D e F con la regola della poligonale e, quanto a ciò, si sarebbe potuto farlo in qualsiasi ordine. G A B D

54 DIFFERENZA DI VETTORI La differenza fra due vettori si ottiene aggiungendo al primo il negativo (od opposto) del secondo: D = V 1 V 2 = V 1 + ( V 2 ) V 1 V 1 D V V 2 2 V 2 La differenza fra due vettori è anticommutativa: D = V 1 V 2 V 2 V 1 = D

55 PRODOTTO SCALARE Il prodotto scalare (o prodotto interno) di due vettori A e B, rappresentato dal simbolo: A B ( A punto B ) è definito come la quantità scalare ottenuta facendo il prodotto dei moduli di A e di B per il coseno dell angolo θ compreso tra i vettori: A B = A B cos θ Se i due vettori sono perpendicolari (θ = 90 ) il loro prodotto scalare è nullo. Dunque la condizione di perpendicolarità di due vettori è espressa da: A B = 0

56 PRODOTTO SCALARE Il prodotto scalare è commutativo: A B = B A Ovviamente è: A A = A 2 E

57 PRODOTTO VETTORIALE Il prodotto vettoriale (o prodotto esterno) di due vettori A e B, rappresentato dal simbolo: A x B ( A vettor B ) è definito come il vettore il cui modulo è dato da A B sin θ dove θ è l angolo (minore di 180 ) compreso tra A e B. Il vettore A x B è perpendicolare al piano individuato da A e B e ha la direzione del pollice, se la mano destra è posta con le altre dita orientate nella direzione di rotazione da A verso B.

58 PRODOTTO VETTORIALE A x B O B x A θ B A

59 PRODOTTO VETTORIALE Il prodotto vettoriale è anticommutativo: A x B = B x A Se i due vettori sono paralleli, θ = 0, sin θ = 0 ed anche il prodotto vettoriale è nullo. In altre parole la condizione di parallelismo di due vettori è espressa da: Ovviamente A x B = 0 A x A = 0 E