Tesi di Laurea Specialistica. Un approccio metaeuristico per il Multi Depot Vehicle Routing Problem with Time Windows

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI GENOVA Facoltà di Ingegneria Corso di laurea in Ingegneria Informatica Tesi di Laurea Specialistica Un approccio metaeuristico per il Multi Depot Vehicle Routing Problem with Time Windows A metaheuristic approach for the Multi Depot Vehicle Routing Problem with Time Windows Candidato: Vargiu Andrea Relatore: Prof. Massimo Paolucci Anno accademico

2 Abstract This Thesis proposes an algorithm for the solution of the Multi Depot Vehicle Routing Problem with Time Windows, where the routes must be designed in a way such that: each point is visited only once by exactly one vehicle within a given time interval, all routes start and end at the same depot, the total lenght of a route does not exceed the maximum duration allowed and the total demands of all customers on does not exceed the capacity of the vehicles. The proposed approach is a metaheuristic algorithm based on Iterated Greedy paradigm powered with different local search procedures. Both traditional heuristic route construction methods and local search algorithms are examined. The features of each method, and the overall algorithm configuration are described. The popular dataset generated by Cordeau, Laporte, and Mercier (2001) is used in the experimental campaign. Test results are benchmarked against the state-of-the-art to show the effectiveness of the approach. 1

3 Indice 1 Introduzione Introduzione Vehicle Routing Problem Introduzione Generalitá sul Vehicle Routing Problem Descrizione del Problema Capacitated Vehicle Routing Problem - VRP con vincoli di capacitá Formulazione per il Capacitated VRP Alcune varianti del VRP Vehicle Routing Multi Depot with Time Window Formulazione del MDVRPTW Approcci esistenti in letteratura Introduzione Metodi esatti Metodi non esatti Metodi approssimati Metodi Euristici Metodi Metaeuristici Conclusioni Stato dell arte Approccio proposto Introduzione Approcci metaeuristici utilizzati Iterated Greedy Genera Percorso Iniziale Algoritmo Greedy

4 4.3.3 Algoritmo Regret-N Euristiche di rimozione Cluster removal Random removal Worst removal Procedura di completamento del Percorso Local Search Percorso Random opt opt Node Exchange Iterated Greedy combinata alla Local search Randomizzazione Randomizzazione nel criterio di selezione Perturbazione della funzione obiettivo Criterio di arresto Criterio di accettazione Implementazione Tecnologia utilizzata Classi utilizzate Risultati sperimentali Esperimenti propedeutici alla configurazione dell algoritmo Comportamento medio su istanze a campione Test di validazione della miglior configurazione Tuning dei parametri Risultati da battere Conclusioni 78 3

5 Elenco delle figure 2.1 Problemi base di VRP e loro interconnessioni Classificazione dei metodi risolutivi Metodi euristici Esempio di funzionamento dell algoritmo greedy Esempio di rimozione di un cluster Esempio di servizio con idle time Esempio di funzionamento della 2-Opt Esempio di funzionamento della 3-Opt Diagramma delle classi Andamento soluzione corrente e soluzione migliore al variare della configurazione Andamento soluzione migliore al variare della configurazione Andamento soluzione corrente e soluzione migliore al variare di γ Andamento soluzione migliore al variare di γ Andamento soluzione corrente e soluzione migliore al variare di η Andamento soluzione migliore al variare di η Andamento soluzione corrente e soluzione migliore al variare di ω Andamento soluzione migliore al variare di ω Miglior soluzione per l istanza 11 (corrispondente al best known in letteratura) Miglior soluzione per l istanza

6 Elenco delle tabelle 6.1 Risultati esperimenti propedeutici alla configurazione dell algoritmo Deviazione percentuale media rispetto ai best known dello stato dell arte Deviazione percentuale delle migliori soluzioni trovate rispetto ai best known Riepilogo deviazioni standard delle varie configurazioni Risultati dell algoritmo Greedy Risultati dell algoritmo Regret-k Risultati di Greedy e Regret-k combinate Risultati della Local Search Risultati Iterated Greedy combinata con la Local Search Confronto dei vari approccci Tuning dei parametri: clienti eliminati ad ogni iterazione Tuning dei parametri: rumore additivo nel calcolo dell obiettivo Tuning dei parametri: randomizzazione criterio di selezione Confronto tra valori medi rispetto allo stato dell arte Confronto con i best known

7 Capitolo 1 Introduzione 1.1 Introduzione Negli ultimi decenni si é verificato un crescente utilizzo di pacchetti software, basati su tecniche di ricerca operativa e programmazione matematica, per la gestione efficiente di beni nei sistemi di distribuzione. Il grande numero di applicazioni reali ha ampiamente dimostrato che l utilizzo di software per la pianificazione dei processi di distribuzione, produce un sostanziale risparmio (generalmente in proporzione variabile dal 5% al 20%) nei costi globali di trasporto [Toth and Vigo, 2001]. É facile osservare come l impatto di questo risparmio sul sistema economico sia significativo, dal momento che i processi di trasporto riguardano tutte le fasi della produzione dei beni, i cui costi relativi rappresentano una componente rilevante (intorno al 10% - 20%) del costo finale [Toth and Vigo, 2001]. Il successo nell utilizzo di tecniche di ricerca operativa é dovuto non solo allo sviluppo hardware e software nel campo dell informatica e alla crescente integrazione dei sistemi informativi nel processo produttivo ed in quello commerciale, ma soprattutto allo sviluppo di nuovi modelli, i quali cercano di prendere in considerazione tutte le caratteristiche dei problemi reali ed alla concezione di nuovi algoritmi che permettono di trovare buone soluzioni in tempi di calcolo accettabili. In questa tesi é stato analizzato il Multi Depot Vehicle Routing Problem with Time Windows (MDVRPTW) e dopo aver appreso le nozioni base sui modelli e sulle procedure necessarie per risolvere questo tipo di problema, si é sviluppato un algoritmo per la soluzione approssimata, utilizzando un approccio metaeuristico basato sul paradigma iterated greedy. Passiamo ora a mostrare i contenuti dei prossimi capitoli: Il capitolo 2 descrive in maniera generale il problema del Vehicle Routing, il capitolo 3 descrive lo stato dell arte e gli approcci che si possono utilizzare per risolvere il VRP. Il capitolo 4 descrive gli algoritmi sviluppati in questa tesi e il capitolo 5 ne descrive l implementazione scelta. Nel capitolo 6 vengono mostrati i risultati ottenuti dai vari algoritmi i quali vengono confrontati con i risultati dello stato dell arte attuale. 6

8 Capitolo 2 Vehicle Routing Problem 2.1 Introduzione Il problema inerente alla distribuzione di beni materiali tra un deposito o un insieme di depositi e i clienti é generalmente noto con il nome di Vehicle Routing Problem (VRP). Tale problema é stato proposto da Dantzig and Ramster [1959]; in letteratura VRP é il nome generico con cui ci si riferisce ad una intera classe di problemi, dalle numerose implicazioni pratiche, diffuse in tutti i settori concernenti il trasporto di merci e persone, come ad esempio: raccolta di posta nelle cassette postali; servizio scuolabus; visite mediche a domicilio; visite di manutenzione preventiva; raccolta rifiuti. Di seguito verrá descritta la versione piú comune della famiglia dei VRPs, il Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP) e altre significative varianti. Passiamo ora a descrivere le caratteristiche comuni e caratterizzanti di ogni VRP. 2.2 Generalitá sul Vehicle Routing Problem La distribuzione di merce riguarda il servizio di un insieme di clienti attuato mediante una flotta di veicoli, localizzati in uno o piú depositi e affidati ad autisti, che si muovono su di una rete stradale. La soluzione di un VRP consiste nel determinare un insieme di circuiti (route), ognuno percorso da un singolo veicolo che parte e arriva ad un deposito, tali da soddisfare i requisiti della clientela e del distributore e, contemporaneamente che sia minimizzato il costo globale del trasporto. La rete stradale puó essere descritta da un grafo orientato e i suoi vertici 7

9 rappresentano la posizione dei clienti e dei depositi, mentre gli archi modellano i collegamenti stradali. Si tratta nella fattispecie di un grafo pesato, ovvero ad ogni arco é associato un costo che generalmente simboleggia la lunghezza del collegamento, ma in altri modelli puó rappresentare il tempo di percorrenza, dipendente dal tipo di veicolo che percorre tale collegamento o dal periodo di tempo durante il quale l arco é attraversato. Ad ogni vertice del grafo, e quindi ad ogni potenziale cliente, possono essere associate varie informazioni aggiuntive in base al tipo di problema considerato, come ad esempio: la quantitá di merce (domanda), di uno o piú tipi, che deve essere recapitata o raccolta; il periodo del giorno (time window ) durante il quale deve avvenire il servizio, ad esempio, orari legati all apertura di un esercizio. il tempo necessario per consegnare o raccogliere la merce; un eventuale prioritá nel caso non sia possibile servire tutti i clienti, ed l eventuale penalitá associata alla parziale o totale mancanza di servizio. Ogni deposito puó essere caratterizzato dal numero e dal tipo di veicoli associato ad esso e dall ammontare di merce, di uno o piú tipi, di cui dispone. Il trasporto delle merci é affidato ad una flotta di veicoli la cui composizione, e dimensione puó essere un parametro distintivo del problema. Caratteristiche tipiche dei veicoli sono: deposito di partenza, al quale i veicoli sono obbligati o meno a far ritorno alla fine della loro route; capacitá del veicolo, espressa in volume, peso o numero di colli trasportabili; eventuale suddivisione in scompartimenti, ognuno caratterizzato dalla sua capacitá e dal tipo di merce che puó contenere, si pensi ad esempio, alla presenza di celle frigorifere assieme a vani non refrigerati; costo associato all utilizzo del veicolo, per unitá di distanza e/o per unitá di tempo; sottoinsieme dei collegamenti della rete stradale attraversabili dal veicolo. In ultima analisi, i veicoli sono condotti da autisti; a tal proposito possono essere esplicitati ulteriori vincoli sulle modalitá di lavoro riguardanti orari, numero e durata delle pause durante il servizio. Comunemente, questi vincoli sono associati direttamente ai veicoli. Trovare soluzione ad un problema di VRP significa che ogni route deve soddisfare determinati vincoli, che dipendono dalla natura della merce trasportata, dal livello di qualitá di servizio e dalle caratteristiche di clienti e veicoli presentate in precedenza. Alcuni tipici vincoli sono i seguenti: 8

10 la richiesta totale dei clienti posti lungo un determinato percorso non puó superare la capacitá del veicolo che lo serve (Capacitated VRP); i clienti dispongono di un arco di tempo limitato (VRP con Time Windows) nel quale possono ricevere il servizio richiesto e chiaramente durante il periodo lavorativo degli autisti; devono essere rispettati eventuali vincoli di precedenza definiti tra i clienti, si pensi al caso in cui la merce da consegnare ad un determinato cliente debba essere preventivamente raccolta presso un secondo cliente presente sul percorso (VRP pickup and delivery problem); in questo caso inoltre, interi gruppi di clienti devono essere serviti dallo stesso veicolo. Gli obiettivi che si possono cercare di conseguire con il calcolo di una soluzione ad un problema di vehicle routing sono molteplici e, non di rado, contrastanti. Tipici obiettivi sono: la minimizzazione della distanza totale percorsa dai veicoli; la minimizzazione dal tempo totale impiegato a servire tutti i clienti; la minimizzazione del numero di veicoli necessari per servire tutti i clienti; il bilanciamento dei percorsi in termini di tempi di percorrenza e/o carico dei veicoli; la minimizzazione delle penali associate al parziale servizio fornito a parte dei clienti. Talvolta viene richiesto di minimizzare una funzione di costo, che corrisponde ad una media pesata di una o piú delle precedenti. Inoltre potrebbe rendersi necessario considerare una versione stocastica del problema, in quanto potrebbe non essere possibile conoscere con certezza l intera caratterizzazione per quanto riguarda i vincoli e il numero di clienti che il problema richiede di servire. La soluzione di un VRP é quindi rappresentata da un insieme di percorsi che iniziano e terminano nei depositi, ognuno dei quali deve essere effettuato da un unico veicolo. L obiettivo del problema é quello di servire tutti i clienti in modo tale che tutti i vincoli operazionali siano soddisfatti ed il costo globale del trasporto sia minimizzato. Esistono molte varianti del problema, la versione base del problema di Vehicle Routing é il VRP capacitivo (CVRP). Nella versione base del CVRP tutti i clienti sono caratterizzati dalla medesima domanda, il cui valore é deterministico e conosciuto a priori; i veicoli utilizzati per visitare i clienti sono identici, in particolare hanno tutti la stessa capacitá di trasporto e partono da un unico deposito. Risolvere il CVRP significa trovare un insieme di k percorsi di costo minimo, dove il costo di un percorso rappresenta la sua lunghezza o il tempo necessario ad effettuarlo, in modo che le seguenti condizioni siano verificate: ogni veicolo durante il suo percorso deve visitare il deposito; 9

11 ogni cliente deve essere servito da un unico veicolo (non é possibile soddisfare parte della domanda del cliente quando lo si visita); la somma delle domande dei clienti visitati all interno di un percorso non deve superare la capacitá del veicolo. Il Traveling Salesman Problem (TSP) é un caso particolare del CVRP e lo si ottiene nel caso in cui il numero di veicoli disponibili sia uguale a 1 e la capacitá sia maggiore o uguale all ammontare complessivo delle domande dei clienti; essendo il TSP un problema di ottimizzazione NP-hard in senso forte, ne consegue che anche il CVRP é un problema di ottimizzazione NP-hard in senso forte [Toth and Vigo, 2001]. 2.3 Descrizione del Problema Dopo questa prima introduzione ai concetti fondamentali dei problemi di vehicle routing, si presenterá una definizione formale, sotto forma di modello su grafo, della versione base del problema di Vehicle Routing, il Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP) e delle sue varianti fino ad arrrivare al problema affrontato in questa tesi: Il Vehicle Routing Multi Depot with Time Window. In questa sezione, verrá inoltre introdotta una notazione di base, cui riferirsi nel seguito della trattazione. 2.4 Capacitated Vehicle Routing Problem - VRP con vincoli di capacitá Il Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP) é la versione piú comune dei problemi di VRP. Ció che caratterizza questa tipologia é il fatto che il servizio é di semplice consegna senza raccolta, le richieste dei clienti sono note a priori e deterministiche e devono essere soddisfatte da un solo veicolo; tutti i veicoli sono identici e basati su di un singolo deposito centrale. Gli unici vincoli imposti riguardano le capacitá dei veicoli. L obiettivo é minimizzare il costo totale di servizio, che puó essere una funzione del numero di percorsi, della loro lunghezza complessiva o del tempo di percorrenza. Consideriamo ora la rappresentazione su grafo di questo problema. Sia G = (V, A) un grafo completo, dove V = {0,..., n} é l insieme dei vertici e A quello degli archi. I vertici N = {1,..., n} corrispondono ai clienti, mentre il vertice 0 corrisponde al deposito. Ad ogni arco (i, j) A é associato un costo non negativo c ij, che rappresenta il costo di trasferimento dal vertice i al vertice j. L uso di loop non é consentito e ció é imposto definendo c ii = + per tutti gli i V. Se il grafo é diretto e la matrice dei costi asimmetrica, il corrispondente problema 10

12 viene chiamato Asymmetric CVRP (ACVRP), altrimenti se c ij = c ji (i, j) A il problema é chiamato Symmetric CVRP (SCVRP). Verrá presentata la formulazione asimmetrica del CVRP. Un insieme K di veicoli é disponibile presso il deposito. Tali veicoli sono tutti identici e di capacitá C. Una semplice condizione di ammissibilitá del problema richiede d i C per ogni cliente i N. Ogni veicolo puó percorrere un solo percorso e si assume che K sia non minore di K min, pari al minimo numero di veicoli necessari per servire tutti i clienti. Definiamo r(s) S V come il numero minimo di veicoli necessari per servire tutti i vertici in S. Il CVRP richiede la determinazione di un insieme di esattamente K circuiti semplici, ognuno corrispondente al percorso di un veicolo, in modo che il costo totale del trasporto, definito dalla somma dei costi espressi sugli archi, sia minimo. Riassumendo quanto detto fin ora, definiamo le variabili e le costanti utilizzate dal modello matematico che esprime il Capacitated Vehicle Routing Problem nella formulazione a doppio indice: G = (V, A): Grafo completo che descrive il problema. V = {0,..., n}: Insieme dei vertici presenti nel grafo G A: Insieme degli archi presenti nel grafo G N = {1,..., n}: Insieme dei vertici cliente 0: Vertice deposito K: Insieme dei veicoli C: Capacitá di un veicolo (la flotta é omogenea) c ij : Costo per andare dal nodo i al nodo j d i : Domanda del cliente i r(s) S V : Numero minimo di veicoli necessari per servire tutti i vertici in S. 1, se (i, j) A é un arco che appartiene alla soluzione ottima x ij = 0, altrimenti Formulazione per il Capacitated VRP min i V soggetto a: c ij x ij (2.1) j V x ij = 1 j V \ {0} (2.2) i V 11

13 x ij = 1 i V \ {0} (2.3) j V x i0 = K (2.4) i V x 0j = K (2.5) j V x ij r(s) S V \ {0}, S (2.6) i/ S j S x ij 0, 1 i, j V (2.7) L equazione 2.1 indica la funzione obiettivo. I vincoli 2.2 e 2.3 impongono che ad ogni vertice deve essere associato rispettivamente un solo arco entrante e un solo uscente. Analogamente i vincoli 2.4 e 2.5 impongono K archi entranti e uscenti ai depositi. Il vincolo 2.6 impone sia la connettivitá della soluzione sia le capacitá richieste per i veicoli. Il vincolo 2.7 impone le condizioni binarie della variabile x ij Alcune varianti del VRP Esistono molte varianti al problema di VRP, una possobile tassonomia viene mostrata in figura 2.1. Una importante estensione del CVRP é il DVRP - Distance-Constrained VRP: In questo problema, oltre ai vincoli di capacitá, si aggiungono i vincoli di lunghezza o di tempo massimo della durata di un percorso. Ogni veicolo k sará vincolato ad avere un percorso di durata minore uguale a T k. Una altra semplice estensione del CVRP é il Multi Depot VRP dove sono presenti piú depositi di partenza. I veicoli, nonostante la presenza di tanti depositi, sono associati a un solo deposito che rappresenta la posizione di partenza e arrivo. L obiettivo é sempre quello di servire tutti i clienti minimizzando la distanza percorsa e rispettando i vincoli di capacitá dei veicoli. Il VRP con Time Window (VRPTW) é un estensione del CVRP dove, oltre ai vincoli capacitivi, é presente per ogni cliente i una finestra temporale [e i, l i ], che rappresenta l orario di apertura e chiusura, e un tempo di servizio s i. Il servizio di ogni cliente deve iniziare all interno della finestra temporale e il veicolo che serve il cliente i dovrá fermarsi per un tempo s i prima di continuare il suo percorso. Nel caso in cui un veicolo arrivi al cliente prima della finestra 12

14 temporale, é permesso aspettare fino all istante e i prima di cominciare il servizio. Generalmente la matrice che descrive il costo coincide con quella dei tempi di percorrenza e le finestre temporali sono definite assumendo che tutti i veicoli partano dal deposito all istante 0. Per quanto riguarda i vincoli temporali, esistono due principali varianti del problema: la variante in cui le finestre temporali sono hard, cioè da rispettare rigidamente, nel senso che un veicolo può arrivare in anticipo da un cliente, ma in tal caso per poterlo servire deve aspettare l inizio della relativa finestra temporale e comunque non può mai arrivare dal cliente dopo la fine della finestra; la variante in cui le finestre temporali sono soft, cioè possono essere violate al costo però dell introduzione di un contributo di penalizzazione sulla funzione obiettivo. Il VRPTW consiste nel trovare esattamente K percorsi a costo minimo dove: ogni percorso inizia e termina al deposito. ogni cliente viene visitato da un solo veicolo. la somma delle domande dei vertici visitati da un percorso non eccede la capacitá del veicolo. per ogni cliente i, il servizio inizia all interno della sua finestra temporale [e i, l i ] e il veicolo si ferma per un tempo s i 2.5 Vehicle Routing Multi Depot with Time Window In questa tesi affrontiamo il Multi Depot Vehicle Routing Problem with Time Windows (MD- VRPTW). Questo problema è la generalizzazione del Vehicle Routing Problem with Time Windows, dove al posto di un solo deposito si hanno piú depositi disposti in diverse locazioni e con associata una flotta di veicoli. Il problema è definito da un grafo completo G = (V, A) dove V = {v 1,..., v m, v m+1,..., v m+n } è l insieme dei vertici e A = {(v i, v j ) : v i, v j V, i j} è l insieme degli archi. I vertici da v 1 a v m indicano gli m depositi, mentre i vertici da v m+1 a v n+m rappresentano gli n clienti. I vertici deposito vengono rappresentati da due insiemi: M indica i depositi di partenza e ˆM i depositi di arrivo. I vertici cliente sono rappresentati dall insieme N. Ogni vertice ha associata una domanda d i, un tempo di servizio s i e una finestra temporale [e i, l i ] che indica da quando puó iniziare ed entro quando deve iniziare il servizio. Per i depositi la time window corrisponde all orario di apertura/chiusura e ovviamente la domanda e il tempo di servizio sono nulli: d i = s i = 0 i {1,..., m}. Per ogni vertice (v i, v j ) è associato un costo non negativo c ij. In fine è presente una flotta di K veicoli posizionata in m depositi. Ogni 13

15 CVRP MDVRP VRPTW MDVRPTW Figura 2.1: Problemi base di VRP e loro interconnessioni 14

16 deposito ha f veicoli e ogni veicolo k ha una capacitá di trasporto D k e una durata massima del percorso T k entrambe maggiori uguali a zero. La distribuzione dei veicoli lungo i depositi è una dato fissato a priori. Ad ogni arco (i, j) A é associato un costo non negativo c ij, che rappresenta il costo di trasferimento dal vertice i al vertice j; l uso di loop non é consentito e ció é imposto definendo c ii = + per tutti gli i V. Ricapitolando le variabili e le costanti utilizzate per la definizione successiva definiamo: G = (V, A): Grafo completo che descrive il problema. V = {v 1,..., v m, v m+1,..., v m+n }: Insieme dei vertici presenti nel grafo G A = {(v i, v j ) : v i, v j V, i j}: Insieme degli archi presenti nel grafo G N: Insieme dei vertici cliente M: Insieme dei depositi di partenza ˆM: Insieme dei depositi di arrivo K: Insieme dei veicoli f: Numero di veicoli assegnato ad ogni deposito T k : Durata massima del percorso effettuato dal veicolo k D k : Capacitá massima del veicolo k c ij : Costo per andare dal nodo i al nodo j d i : Domanda del cliente i s i : Tempo necessario a servire il cliente i + (i): É l insieme di tutti vertici j connessi a i tali che (i, j) A; (i): É l insieme di tutti vertici h connessi a i tali che (h, i) A; 1, se (i, j) A appartiene al percorso servito dal veicolo k, k K x ijk = 0, altrimenti w ik, i V, k K: Variabile temporale la quale specifica l inizio del servizio al nodo i dal veicolo k Sulla base di questo grafo, il MDVRPTW consiste nella costruzione di K strade in modo tale che: Ogni veicolo parte e arriva al suo deposito, ogni cliente viene servito da un solo veicolo, il carico totale e la durata del percorso del veicolo k non eccede rispettivamente D k e T k, il servizio 15

17 inizia per ogni cliente nella finestra temporale associata [e i, l i ] e ogni veicolo k parte e arriva rispettando la finestra temporale del suo deposito. L obiettivo è quello di minimizzare la distanza totale percorsa da tutti i veicoli. 2.6 Formulazione del MDVRPTW Presentiamo ora la formulazione matematica del MDVRPTW: min k K c ij x ijk (2.8) (i,j) A soggetto a: x ijk = 1 i N (2.9) k K j +(i) j +(h) x hjk = f k K, h M (2.10) x ijk x ijk = 0 k K, j N (2.11) i (j) i +(j) x ijk x ijk = 0 k K, j N (2.12) i (j) i +(j) i (h) x ihk = f k K, h ˆM (2.13) x ijk (w ik + s i + t ij w jk ) 0 k K, (i, j) A (2.14) e i x ijk w ik l i x ijk k K, i N (2.15) j +(i) j +(i) e i w ik l i k K, i M, i ˆM (2.16) c ij x ijk T k k K (2.17) i,j A 16

18 d i i N j +(i) x ijk D k k K (2.18) x ijk 0 k K(i, j) A (2.19) x ijk {0, 1} k K, (i, j) A (2.20) La funzione obiettivo 2.8 rappresenta il costo totale. Il vincolo 2.9 indica l assegnamento di ogni cliente a un determinato veicolo. Il vincolo 2.10 indica che devono partire esattamente f veicoli da ogni deposito. Il vincolo 2.12 indica la caratteristica del flusso nel percorso del veicolo k. Il vincolo 2.13 indica che devono arrivare esattamente f veicoli da ogni deposito. I vincoli 2.14, 2.15, 2.16, 2.17 e 2.18 rappresentano i vincoli temporali, quelli capacitivi e sulla massima durata del percorso. Infine i vincoli 2.19 e 2.20 impongono le condizioni binarie della variabile di flusso x ijk. Il vincolo 2.14 é un vincolo non lineare che puó essere linearizzato come: w ik + s i + t ij w ik (1 x ijk )M k K, (i, j) A, (2.21) dove M è un numero grande, superiore alle costanti presenti nel problema. Un valore che si può utilizzare è il max{l i + s i + t ij e j, 0} (i, j) A imponendo M > 0 (i, j) A altrimenti nel caso in cui max{l i + s i + t ij e j, 0} = 0 si soddisferebbe il vincolo per tutti i valori di w ik, w jk e x ijk. 17

19 Capitolo 3 Approcci esistenti in letteratura 3.1 Introduzione La letteratura sui metodi risolutivi del problema di Vehicle Routing é molto ampia e sono state proposte svariate e suggestive tecniche, al punto di rendere difficile un qualsiasi tentativo di classificazione e sistematizzazione universalmente accettata. Una prima classificazione possibile é la seguente: metodi esatti metodi non esatti La maggior parte dei metodi esatti sono basati sul modellamento matematico del problema in esame, il quale viene risolto in maniera esaustiva, fino ad arrivare all ottimo globale. Anche un metodo di brute force puó essere considerato un metodo esatto, in quanto considerando tutte le permutazioni possibili, si dimostra automaticamente che la miglior soluzione trovata é ottima. 3.2 Metodi esatti I metodi esatti si distinguono in tre filoni principali che si differenziano l uno dall altro per le tecniche di base utilizzate: Programmazione dinamica Programmazione matematica Constraint programming Data la complessitá intrinseca del problema, l applicabilitá di questi metodi é limitata dalla memoria disponibile e dal tempo a disposizione per generare la soluzione. Premettiamo che la rinuncia all utilizzo di metodi esatti deve essere una scelta ponderata, basata non solo sulla 18

20 Metodi Esatti Non esatti Prog. Matematica Approssimanti Constraint programming Euristici Prog. Dinamica Metaeuristici Figura 3.1: Classificazione dei metodi risolutivi 19

21 complessitá teorica del problema (non basta, insomma, che un problema sia NP-hard), ma anche sulla effettiva praticabilitá di metodi esatti (da ricercarsi eventualmente nella letteratura), al tempo di elaborazione disponibile, alle dimensioni dei problemi da risolvere. Tuttavia, spesso i metodi esatti si basano sulla formulazione di un modello di programmazione matematica del problema di ottimizzazione e la complessitá del problema potrebbe rendere praticamente impossibile pervenire ad una formulazione sufficientemente accurata e maneggevole. In altri ambiti, pur disponendo di una buona formulazione matematica, il tempo a disposizione per la soluzione del problema non consente l utilizzo di metodi esatti. Come già ribadito spesso risolvere un problema di programmazione lineare intera può essere difficile; in questi casi si possono ottenere delle limitazioni superiori ed inferiori del valore ottimo della funzione obiettivo, chiamate rispettivamente upper bound e lower bound. Questo é molto importante sia perché a volte nelle applicazioni interessa il valore ottimo della funzione obiettivo, piuttosto che la soluzione ottima del problema, in quanto conoscere tale valore é fondamentale per utilizzare algoritmi di enumerazione implicita come gli algoritmi Branch and Bound. Gli algoritmi di enumerazione implicita, tramite opportune tecniche, scartano sottoinsiemi di elementi della regione ammissibile senza dover valutare esplicitamente per ciascuno di essi la funzione obiettivo, avendo stabilito che in tali sottinsiemi non vi possono essere soluzioni migliori rispetto alla miglior soluzione nota. Tali metodi non danno garanzia sul tempo necessario per il loro completamento. Entrando piú in dettaglio, dato un problema generico, è possibile costruire uno o più problemi detti rilassamenti che forniscono una limitazione del valore ottimo della funzione obiettivo. Siano dati i seguenti problemi di ottimizzazione: min x f(x) P x X p min x g(x) R x X r Il problema R é un rilassato del problema P se: X r X p g(x) f(x) x X p Sia R un rilassato di P. Allora: Se R é inamissibile, P é inamissibile sia ˆx p una soluzione ottima per P e sia ˆx r una soluzione ottima per R. Allora g(ˆx r ) f(ˆx p ) Sia ˆx r una soluzione ottima per R. Se ˆx r X p e f(ˆx r ) = g(ˆx r ), allora ˆx r é una soluzione ottima per P. 20

22 In programmazione lineare intera esistono diversi tipi di rilassamenti. importanti tipologie come: Citiamo alcuni Rilassamento continuo Rilassamento Lagrangiano Il rilassamento continuo si ottiene sostituendo ai vincoli di integralitá delle variabili, dei semplici vincoli di non negativitá, oppure eliminandoli del tutto a seconda della struttura del problema; un rilassamento continuo puó essere facilmente risolto con le tecniche di soluzione della programmazione lineare, inoltre se il problema originario gode della proprietá di integralitá é sufficiente a risolvere il problema. Nel rilassamento Lagrangiano si studia la struttura del problema e si individuano i vincoli che si vogliono rilassare, i cosí detti vincoli complicanti. Una volta individuati si eliminano tali vincoli ma si aggiunge un termine di penalizzazione alla funzione obiettivo, pesato secondo un vettore di parametri del rilassamento, detto vettore dei moltiplicatori Lagrangiani. 3.3 Metodi non esatti I metodi non esatti possono essere classificati in vari modi in base all approccio utilizzato. Una possibile classificazione é la seguente: metodi approssimati metodi euristici metodi metaeuristici Metodi approssimati I metodi approssimati basano il loro funzionamento su gli stessi modelli matematici e su gli stessi approcci utilizzati dai metodi esatti. La differenza da tali metodi sta nel fatto che non si applica una risoluzione esaustiva ma si termina l algoritmo una volta trovata una condizione di terminazione, tipicamente una condizione sul tempo di esecuzione. Ci si accontenta di una soluzione sub-ottima dando una stima della distanza dall ottimo fornita generalmente dai lower bound trovati per il problema in esame. Al momento, i migliori risultati in quest area di ricerca sono dati dagli algoritmi che usano la generazione di colonne. In tali metodi il problema viene diviso in piú problemi: Un problema principale, ed uno o piú sottoproblemi. 21

23 Figura 3.2: Metodi euristici Metodi Euristici I metodi euristici sono metodi che trovano una soluzione attraverso una regola che viene applicata ad ogni passo dell algoritmo e possono essere classificati in due famiglie: euristiche costruttive: Costruiscono una soluzione ammissibile, la quale viene ampliata ad ogni passo dell algoritmo euristiche di ricerca locale: A partire da una soluzione completa, si cerca di migliorarla iterativamente ad ogni passo dell algoritmo I metodi euristici hanno il pregio di trovare mediamente soluzioni di buona qualitá senza peró nessuna garanzia di vicinanza all ottimo. Le euristiche costruttive determinano una soluzione ammissibile, partendo solo dai dati di ingresso del problema in esame. Caratteristica comune é l assenza o la forte limitazione del backtracking: Si parte da una soluzione vuota e si determinano in modo itarativo nuovi elementi da aggiungere ad una soluzione, fino ad arrivare ad una soluzione completa. Questo processo viene chiamato criterio di espansione. Tra i vari tipi di euristiche costruttive consideriamo ora gli algoritmi greedy. Algoritmi greedy L idea di questi algoritmi é adottare un criterio di espansione basato sulla scelta piú conveniente in quel momento compatibilmente con i vincoli del problema: Ad ogni iterazione viene aggiunto 22

24 alla soluzione l elemento che produce il miglioramento maggiore della funzione obiettivo. Lo schema concettuale di un algoritmo greedy é di questo tipo: 1. Inizializza la soluzione S; 2. Per ogni scelta da effettuare: 3. Prendi la decisione piú conveniente, compatibilmente con i vincoli del problema. La grande diffusione degli algoritmi greedy é essenzialmente dovuta ai seguenti motivi: l algoritmo simula quello che sarebbe il comportamento manuale piú intuitivo nella determinazione della soluzione; l implementazione dell algoritmo risulta essere relativamente semplice; il tempo di calcolo richiesto per determinare la soluzione é estremamente ridotto; questi algoritmi sono utili a fornire una soluzione iniziale da integrare con algoritmi piú sofisticati. In alcuni casi gli algoritmi greedy sfruttano un ordinamento degli elementi: Gli elementi che definiscono la soluzione vengono considerati secondo tale ordine ed eventualmente inseriti nella soluzione. Spesso il criterio di ordinamento degli elementi viene aggiornato dinamicamente in modo da tener conto delle scelte fatte in precedenza. Ovviamente il continuo aggiornamento degli score degli elementi comporterá un aumento nel tempo di calcolo richiesto dall algoritmo stesso. Generalmente gli algoritmi greedy effettuano delle scelte che rispettano sempre tutti i vincoli. Per provare a ottenere delle soluzioni diverse, e possibilmente migliori, usando la stessa procedura, si puó iterare l algoritmo utilizzando ogni volta un ordinamento diverso, ottenuto da una randomizzazione della dispatching rule. Ad esempio, lo score potrebbe essere corretto con una componente casuale, in modo da avere la possibilitá di scegliere, ad ogni passo, non l elemento migliore, ma un elemento abbastanza buono : in questo modo si potrebbe rendere meno miope l algoritmo e conservare alcuni elementi per passi successivi, quando le scelte diventano maggiormente critiche. In alternativa, ad ogni passo, si potrebbe considerare la scelta casuale tra i migliori n elementi residui. Ricerca locale Le euristiche di miglioramento effettuano delle modifiche a una soluzione completa, eplorando quindi l intorno di una soluzione, cercando di migliorare il valore della funzione obiettivo. Consideriamo un problema di minimizzazione, e una sua soluzione ammissibile x, con associato il valore della funzione obiettivo f(x). La ricerca locale consiste nel definire un intorno di x, e 23

25 nell esplorarlo in cerca di soluzioni migliori, se ve ne sono. Se, in questo intorno di x, si scopre una soluzione y per cui f(y) < f(x), allora ci si sposta da x a y e si riparte da y con l esplorazione del suo intorno. Se invece nell intorno di x non si scopre nessuna soluzione migliore, allora vuol dire che x é un minimo locale. Nella ricerca locale classica, arrivati in un minimo locale, l algoritmo si ferma e restituisce questo minimo come valore di output. Ovviamente, non si ha nessuna garanzia in generale che tale valore costituisca una soluzione ottima del problema; anzi, tipicamente esso puó essere anche molto distante dall ottimo globale. Benché ogni applicazione del concetto di ricerca locale a un problema abbia le sue peculiaritá, alcuni aspetti sono abbastanza comuni a molte realizzazioni. La definizione dell intorno é in genere connessa al concetto di perturbazione di una soluzione ammissibile, nel senso che la ricerca avviene tra le soluzioni che si ottengono perturbando una soluzione iniziale. Generalmente questi algoritmi applicati al problema di VRP sono degli edge exchange algorithm ovvero effettuano degli scambi di archi. Alcuni autori parlano di forza di un intorno [Stützle, 2003]. Un intorno definito in un certo modo é tanto piú forte quanto piú la qualitá delle soluzioni prodotte dall algoritmo é indipendente dalla bontá della soluzione di partenza. Ad esempio, 3-opt per il VRP é considerato un intorno forte (almeno per grafi fino a 50 nodi): Questo fatto implica che si puó affrontare il problema senza perdere tempo a generare buone soluzioni iniziali. Anzi, conviene generare molte soluzioni iniziali casualmente, sperando cosí di avere un campionamento rappresentativo dell intera regione ammissibile. Un altro aspetto caratterizzante un approccio di ricerca locale é il modo in cui deve essere esplorato l intono di una soluzione. Due strategie antitetiche sono first improvement e best improvement. Nel primo caso l esplorazione dell intorno termina non appena si trova una soluzione migliore di quella corrente. Nel secondo, invece, lo si esplora comunque tutto cercando il massimo miglioramento che quell intono consente di ottenere. In genere si preferisce il primo approccio, ma non é una regola fissa. Metodi di decomposizione Oltre ai metodi descritti fino a questo punto esistono dei metodi basati sulla decomposizione del problema che puó essere effettuata nuovamente con metodi euristici. La generazione della soluzione viene suddivisa in due fasi denominate: cluster: genera degli insiemi di clienti route: genera dei percorsi Esistono due approcci nel utilizzare queste due fasi. Nel caso si scelga cluster first, route second si generano prima gli insiemi di clienti che saranno serviti da un certo veicolo k. Dati i cluster della prima fase, si prova a costruire dei percorsi con criteri simili agli algoritmi greedy. 24

26 Al contrario nel caso route first, cluster second inizialmente si genera un circuito (giant tour), che non rispetta i vincoli, sulla base delle distanze o del tempo di percorrenza. La seconda fase riguarda la scomposizione del giant tour al fine di soddisfare i vincoli. Ad oggi l approccio cluster first, route second risulta quello maggiormente seguito Metodi Metaeuristici Negli ultimi anni hanno acquisito importanza via via maggiore alcuni approcci euristici di tipo generale, detti metaeuristiche. La struttura e l idea di fondo di ciascuna metaeuristica sono sostanzialmente fissate, ma la realizzazione delle varie componenti dell algoritmo dipende dai singoli problemi. I metodi metaeuristici sono metodologie generali, in cui sono definite delle componenti e le loro interazioni, al fine di pervenire ad una buona soluzione. Molti di questi sono basati su analogie con sistemi naturali, che definiscono le componenti che devono essere specializzate per i singoli problemi. Ad esempio, nel simulated annealing si paragona il processo di soluzione di un problema di ottimizzazione combinatoria, in cui si passa iterativamente da una soluzione ammissibile a un altra, via via migliorando la funzione obiettivo, al processo con cui un solido, raffreddandosi, si porta in configurazioni con via via minore contenuto di energia. Negli algoritmi genetici, un insieme di soluzioni ammissibili é visto come un insieme di individui di una popolazione che, accoppiandosi e combinandosi tra loro, danno vita a nuove soluzioni che, se generate in base a criteri di miglioramento della specie, possono risultare migliori di quelle da cui sono state generate. In generale le metaeuristiche sono molto efficaci ma richiedono tempi molto più elevati degli euristici tradizionali, inoltre l applicazione a un problema di ottimizzazione combinatoria richiede una messa a punto accurata e talvolta laboriosa. Citiamo, tra le metaeuristiche piú note e consolidate: Iterated Greedy Simulated Annealing Tabu Search Variable Neighborhood Search Algoritmi genetici Ant Colony Optmization Conclusioni Quando il problema e/o il contesto della soluzione non renda possibile applicare tecniche di soluzione esatte, diventa necessario fornire delle buone soluzioni ammissibili in tempi di calcolo 25

27 ragionevoli. Si noti che, tipicamente, la determinazione di buone soluzioni approssimate é quello che serve nelle applicazioni reali, soprattutto se riferite a problemi di grandi dimensioni; questo é essenzialmente dovuto ad una serie di fattori: molti dei parametri in gioco nelle applicazioni reali sono delle stime che possono essere soggette a errore, per cui non vale la pena aspettare troppo tempo per avere una soluzione ottima; spesso si é interessati ad avere una possibile soluzione per il problema in esame al fine di valutare velocemente degli scenari di lavoro (contesti operativi, integrazione di algoritmi di ottimizzazione in Sistemi di Supporto alle Decisioni interattivi); Questi aspetti spiegano perché, nelle applicazioni reali, sia cosí diffuso il ricorso a metodi che permettono di trovare delle buone soluzioni senza garantire la loro ottimalitá ma garantendo un tempo di calcolo relativamente breve. Per la maggior parte dei problemi di ottimizzazione combinatoria é possibile progettare delle euristiche specifiche che sfruttano le proprietá del particolare problema in esame e le conoscenze specifiche che derivano dall esperienza. 3.4 Stato dell arte Il Vehicle Routing Problem (VRP) é una classe di problemi molto importanti nell ambito della ricerca operativa e dell ottimizzazione combinatoria e per questo é stato oggetto di numerosi studi. L area di maggiore interesse riguarda la soluzione ottima o sub-ottima per istanze di problema a larga scala. La versione piú semplice di questa classe, il Traveling Salesman Problem (TSP), puó essere risolto ottimamente con istanze con migliaia di nodi [Gutin and Punnen, 2002], mentre istanze di VRP con centinaia di clienti, iniziano a essere difficili da risolvere ottimamente. Per questo i metodi esatti rimangono confinati alla soluzione di istanze di dimensione limitata. Per questo motivo in letteratura vengono proposti algoritmi metaeuristici, ricerche locali parallele con schema di cooperazione, approcci ibridi che stanno a metá strada tra metodi euristici e metodi esatti, e sono in grado di produrre soluzioni di alta qualitá in tempi ragionevoli per le applicazioni pratiche. Nonostante i contributi e il progresso del settore, negli ultimi anni stanno emergendo molte competizioni in questo ambito. L efficienza, la scalabilitá e la rapiditá delle procedure sono attributi prerequisito per il loro adattamento all interno dei sistemi di supporto alle decisioni della vita reale, in cui i tempi di risposta devono essere ragionevolmente brevi. Recentemente, é stata dedicata grande attenzione all analisi di grandi insiemi di dati, di dimensioni diverse, in varianti del VRP che imitano alcune condizioni di vita reali. Gli articoli [Li et al., 2005], [Kytöjoki et al., 2007] riportano risultati per il VRP capacitivo considerando rispettivamente 1200 e clienti con approccio metaeuristico. Per VRP con flotta eterogenea 26

28 [Li et al., 2007] conduce esperimenti con piú di 480 clienti, mentre per il VRPTW [Gehring and Homberger, 1999] hanno valutato delle istanze a larga scala con cardinaliá da 200 a 1000 clienti. Il VRPTW è certamente la variante piú studiata dei VRPs e può essere considerato il prototipo dei cosiddetti rich VRPs [Gendreau and Tarantilis, 2010] a causa dei vincoli di tempo che richiedono tecniche sofisticate per verificare l ammissibilitá [Irnich, 2008]. Questa classe si verifica in diversi sistemi logistici di trasporto e può essere usato per modellare numerose applicazioni della vita reale [Bodin et al., 1983]. Tipicamente le applicazioni sul VRPTW di grandi dimensioni si possono trovare nella raccolta dei rifiuti [Sahoo et al., 2005], fast food routing [Russell, 1995], scuola bus routing [Bracca et al., 1994], consegna a domicilio [Weigel and Cao, 1999]. Si può anche fare riferimento a [Golden et al., 2002] per una raccolta di applicazioni del VRP riguardo il trasporto di rifiuti solidi, di bevande, cibo, latte e la consegna a domicilio di giornali. I primi studi sul VRPTW risalgono agli anni 60. Per una panoramica sugli sviluppi, ci riferiamo a [Golden and Assad, 1986], [Desrochers et al., 1988], [Desrosiers et al., 1995], e [Cordeau et al., 2002]. In studi più recenti [O. and M., 2005a] e [Bräysy et al., 2004a] esaminano gli sviluppi algoritmici nel campo delle euristiche costruttive e di miglioramento iterativo, delle metaeuristiche e degli algoritmi evolutivi. In questa tesi si é studiato il Multi Depot Vehicle Routing Problem with Time Windows (MDVRPTW) e come riferimento dello stato dell arte si é considerato [Polacek et al., 2008]. In questo articolo si propongono due schemi di cooperazione per comporre una variante parallela della metaeuristica Variable Neighborhood Search (VNS). Uno schema detto a grana larga, designato per trovare e memorizzare soluzioni, che verranno poi migliorate, e con un meccanismo di auto-tuning dei parametri. Un altro schema, detto a grana fine, progettato per riprodurre le caratteristiche di successo della VNS sequenziale. La combinazione con l uso parallelo di questi due approcci, ha trovato tutte le miglior soluzioni migliorandone 11 su 20 per le istanze proposte da [Cordeau et al., 2001]. 27

29 Capitolo 4 Approccio proposto 4.1 Introduzione In questa tesi é stato sviluppato un algoritmo per la soluzione del Vehicle Routing Multi Depot with Time Window attraverso un approccio metaeuristico. In particolare, inizialmente si é voluto studiare il comportamento dell algoritmo metaeuristico iterated greedy, in quanto nello stato dell arte, per il problema in esame, non sono stati trovati articoli di riferimento e, visti i buoni risultati ottenuti in altri ambiti, é risultato come argomento di interesse. Inoltre sono stati sviluppati altri approcci basati sulla local search, la quale si é mostrata una forte componente dell algoritmo finale. 4.2 Approcci metaeuristici utilizzati In questa tesi sono stati sviluppati tre algoritmi con approcci metaeuristici differenti: Iterated Greedy Stochastic Local Search Iterated Greedy combinata con la Local Search Presentiamo ora la descrizione delle metaeuristiche sviluppate e delle euristiche su cui si basa il loro funzionamento. 4.3 Iterated Greedy La metaeuristica iterated greedy esplora l intorno di una soluzione attraverso due fasi: fase di eliminazione fase costruttiva 28

30 Il concetto é di costruire una soluzione attraverso una o piú euristiche costruttive e, in maniera iterativa, eliminarne una parte per poi ricostruirla cercando di migliorare il valore della funzione obiettivo. Un euristica costruttiva opera su soluzioni vuote o parziali e la soluzione completa finale che riesce a calcolare é direttamente collegata alla soluzione parziale o vuota di partenza. L algoritmo iterated greedy sfrutta questo fatto per muoversi nello spazio delle soluzioni, eliminando clienti sempre diversi e ottenendo quindi soluzioni parziali di partenza sempre diverse. Le soluzioni generate ad ogni iterazione non sono per forza migliorative ma indentificano un intorno molto ampio. La versione della metaeuristica sviluppata in questa tesi si basa su due euristiche costruttive: Greedy: sezione Regret-N: sezione E su tre euristiche di rimozione: Random removal: sezione Cluster removal: sezione Worst removal: sezione L euristica greedy inserisce per primi i clienti con il minimo costo di inserimento, la regret-n da la precedenza ai clienti che probabilmente saranno piú difficili da inserire in futuro. Ad ogni iterazione l algoritmo iterated greedy esegue lo pseudo codice sottostante. Sia S una soluzione Step 1: applica un euristica di eliminazione ad S applica un euristica di costruttiva ad S se ci sono clienti non serviti in S applica la procedura di completamento del percorso condizioni di accettazzione della soluzione finche non é verifica la condizione di terminazione torna allo Step 1 Come si puó vedere dallo pseudo codice sovrastante, sono state indicate in maniera generica le euristiche costruttive e di eliminazione, in quanto sono state usate piú combinazioni di euristiche. In particolare sono state testate l euristica greedy e regre-n, sia singolarmente sia utilizzandole in maniera alternata. La procedura di completamento del percorso, che verrá descritta al punto 4.3.8, esegue un insieme di mosse con lo scopo specifico di aumentare il numero di clienti serviti. 29