La Teoria del Portafoglio e il Capital Asset Pricing Model

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1 Lezioni -3 La Teoria del Portafoglio e il Capital Asset Pricing Model Corso di Finanza Aziendale Università di Bari Facoltà di Economia

2 Argomenti. Misurazione dei rendimento e del rischio di un portafoglio. La Frontiera Efficiente e la Capital Market Line 3. La Security Market Line e l equazione del CAPM 4. Principali problematiche inerenti alla stima del coefficiente beta di un titolo

3 Presupposti alla base della teoria di portafoglio I soggetti economici sono: - Razionali - Avversi al rischio Sono disposti a massimizzare il rendimento atteso, supportando livelli accettabili di rischio. Il rischio in finanza viene inteso come dispersione dei rendimenti dal loro valore atteso. 3

4 Il valore dell investimento di US$ nel 96:rendimenti nominali Indice S&P Piccole imprese Obbligaz. aziend. Titoli Stato l. ter Titoli Stato b. ter , Fonte: Ibbotson Associates

5 Il valore dell investimento di US$ nel 96:rendimenti reali 000 S&P Piccole imprese Obbligaz. Aziend. titoli stato l. ter. titoli stato b. ter Indice , Fonte: Ibbotson Associates

6 Tassi di rendimento Azioni ordinarie Titoli Stato lungo ter. Titoli Stato breve ter Fonte: Ibbotson Associates Anno

7 Rischio di mercato, premio medio ( ) Premio per il rischio di mercato, % ,3 5, 6 6, 6, 6,5 6,7 7, 7,5 8 Den Bel Can Swi Spa UK Ire Neth USA Swe 8,5 9,9 9,9 0 Aus Ger Fra Jap It 7

8 Ipotesi alla base della Teoria di Portafoglio (Markowits, 95) La Teoria di Portafoglio di Markowitz poggia sulle seguenti tre ipotesi: ) La selezione dei portafogli avviene sulla base di due parametri: Rischio e Rendimento; ) Il modello ha natura statica (orizzonte temporale uniperiodale); 3) Gli investitori sono avversi al rischio. Principio di Media-Varianza e E(R A ) E(R B ) 8 A B

9 Il rendimento atteso di un portafoglio (logica ex-ante) Il rendimento di un portafoglio coincide con la media ponderata dei rendimenti attesi dei titoli che compongono il portafoglio, ove i coefficienti di ponderazione sono rappresentati dai pesi dei singoli titoli. dove: E N ( Rp ) = X E( R ) + X E( R ) +... X N E( RN ) = X ie( Ri ) E(R i ) = rendimento atteso di ciascun titolo i pari alla media ponderata dei possibili rendimenti futuri, dove le misure di ponderazione sono rappresentate dalle rispettive probabilità di realizzazione degli scenari possibili X i = quantità percentuale investita nel titolo i i= 9 E N q ( Rp ) = X i i= s= R i, s p s

10 Esempio di calcolo del rendimento atteso di un portafoglio Si ipotizi un portafoglio composto da attività (A e B) nelle quali sia investito, rispettivamente, il 60% e il 40% dell investimento totale. Se il rendimento atteso dell attività A è pari al 0% e quello dell attività B è pari al 5%, il rendimento atteso del portafoglio composto dalla due attività sarà: Investimento Quota investita Rendimento % Rendimento complessivo Rendimento % x quota % investita A 60 60% 0% 6 6% B 40 40% 5% 6 6% Portafoglio 00 % Rendimento % portafoglio = /00 = % 0

11 Quale media nel calcolo dei rendimenti storici? Medie aritmetiche o. Media aritmetica = N t= Div t ( P ) t Pt + P t N Rendimenti annui composti (medie geometriche)? Media geometrica = N P N P 0

12 Le misure del rischio in una logica ex-post Quando si parla di rischio, il concetto generale è che il rischio è associato alla possibilità che i possibili risultati attesi siano diversi dalla media dei rendimenti storici, quindi una misura del rischio comunemente accettata è: la varianza Media degli scarti al quadrato del valore atteso. Misura della variabilità/dispersione. Varianza = = N i= ( R i R) N - oppure lo scarto quadratico medio/deviazione standard Radice quadrata della varianza. Misura della variabilità. Deviazione Standard = = = N i= ( R i R) N -

13 Le misure del rischio Valore atteso Valore atteso Valore atteso 3 Varianza 3 Varianza Varianza 3

14 Esempio di calcolo della Varianza e della Deviazione Standard di rendimenti Rendimento Scarto dalla Media Scarto dalla Media al quadrato 40% 30% 9% 0% 0% 0% 3 0% 0% 0% 4-0% -30% 9% Media 0% Somma 8,0% N - 3 Var 6,0% Dev. St. 4,5% 4

15 La diversificazione Il rischio di un portafoglio (deviazione standard) non coincide necessariamente con la media ponderata dei rischi dei titoli che compongono il portafoglio (deviazione standard). Diversificazione consiste in una riduzione della rischiosità del rendimento di un portafoglio, legata alla presenza di più attività finanziarie che compongono il portafoglio, i cui rendimenti non sono 5 perfettamente correlati.

16 L effetto diversificazione nel FTSE MIB 6 FTSE MIB 40 Market Cap. (in mln di Euro) Volatility 6 Months % Peso sull'indice Volatility 6 Months Ponderata AA S.p.A..4 36,99% 0,47% 0,7% Ansaldo STS S.p.A ,9% 0,33% 0,0% Assicurazioni Generali S.p.A ,39% 5,3%,80% Atlantia S.p.A ,70%,34% 0,86% Autogrill S.p.A ,60% 0,63% 0,7% Azimut Holding S.p.A ,38% 0,36% 0,7% Banca Monte dei Paschi di Siena S.p.A ,30%,0% 0,78% Banca Popolare dell'emilia Romagna S.C.A.500 6,94% 0,50% 0,3% Banca Popolare di Milano S.C.A.R.L ,70% 0,36% 0,9% Banco Popolare S.C..9 69,73% 0,63% 0,44% Buzzi Unicem S.p.A ,36% 0,46% 0,% Davide Campari-Milano S.p.A ,78% 0,99% 0,6% DiaSorin S.p.A ,8% 0,38% 0,4% Enel Green Power S.p.A ,66%,04% 0,54% Enel S.p.A ,5% 7,47%,50% ENI S.p.A ,9%,47% 5,4% EXOR S.p.A ,5%,33% 0,56% Fiat Industrial S.p.A ,43% 3,37%,63% Fiat SpA ,76%,59% 0,87% Finmeccanica S.p.A ,38% 0,63% 0,45% Impregilo Spab.4 39,7% 0,40% 0,6% Intesa Sanpaolo S.p.A ,88% 6,5% 3,93% Lottomatica S.p.A..8 39,35% 0,74% 0,9% Luxottica Group S.p.A ,5% 4,3%,0% Mediaset S.p.A..03 5,3% 0,67% 0,35% Mediobanca Banca di Credito Finanziario S ,09%,05% 0,57% Mediolanum S.p.A ,7% 0,74% 0,35% Parmalat S.p.A ,98%,00% 0,33% Pirelli & C. S.p.A ,4%,40% 0,55% Prysmian S.p.A ,43% 0,89% 0,38% Saipem S.p.A ,8% 5,44%,9% Salvatore Ferragamo S.p.A ,50% 0,85% 0,40% SNAM S.p.A..3,94% 4,03% 0,88% STMicroelectronics N.V ,00%,5% 0,75% Telecom Italia S.p.A ,46% 4,93%,60% Tenaris S.A ,00% 5,7%,% Terna Rete Elettrica Nazionale S.p.A ,37%,85% 0,47% Tod's S.p.A ,37% 0,87% 0,3% UniCredit S.p.A ,9% 5,70% 4,64% Unione di Banche Italiane SCpA ,50% 0,76% 0,45% Totale Totale 00% 38,95% FTSE Italy All Share Index 30,6% Effetto diversificazione = 8,33%

17 La covarianza campionaria Covarianza = indice di misurazione delle variazione congiunta di due variabili casuali (nello specifico di due titoli) Cov(, ) dove:, = titolo e titolo R = rendimenti dei titoli =, = N t= (R, t _ - R ) (R N, t _ - R ) Se Cov(,) > 0 Se Cov(,) = 0 Se Cov(,) < 0 I due titoli tendono a muoversi nella stessa direzione I due titoli sono indipendenti I due titoli tendono a muoversi in direzione opposta 7

18 Il coefficiente di correlazione Poiché la covarianza risente della dimensione degli scarti, risulta più appropriato il coefficiente di correlazione. ρ(, (,) ) = Cov ρ Є [- ; +], dove:, = titolo e titolo = deviazione standard dei rendimenti dei titoli 8

19 Due tipologie di rischio 9 Scarto quadratico medio del portafoglio 0 Rischio Diversificabile Rischio Sistematico Numero di titoli

20 Rischio di Portafoglio con due titoli Var portafogli o = p = x + x + (xx ρ) Dove ρ, rappresenta il coefficiente di correlazione. Poiché il valore di: ρ =, ( ) = Cov(,), La varianza di un portafoglio di due titoli può essere così riscritta: Var portafogli o = p = x + x + (xx, ) 0 dove:, = titolo e titolo X = quota % del portafoglio investita nel titolo nei titoli = deviazione standard dei rendimenti dei titoli

21 Rischio di Portafoglio con due titoli x x x x x Titolo x x x x x Titolo Titolo Titolo ρ ρ = = = =,,,, Come regola generale, dunque la varianza di un portafoglio di due azioni è la somma di queste quattro caselle:

22 Rischio di Portafoglio con due titoli: esempio di portafoglio Pirelli - Enel A B C = (At / At-) - D = (B t / Bt-) - E = (C - Media)^ F = (D - Media)^ G = C - Media H = D - Media I = G x H Date Prezzo Pirelli & C. Prezzo Enel Rendimento Pirelli & C. Rendimento Enel Scarti Quadratici - Scarti Quadratici - Pirelli Enel Scarto Pirelli Scarto Enel Prodotto degli scarti dic-0 6,05 3,74 gen- 5,58 4,3-7,77% 0,36% 0,80%,33% -8,9%,5% -,03% feb- 5,84 4,3 4,66% 4,6% 0,% 0,33% 3,5% 5,77% 0,0% mar- 6,0 4,45 6,6% 3,0% 0,5% 0,7% 5,0% 4,7% 0,% apr- 7,03 4,8 3,3% 8,3%,48% 0,88%,6% 9,39%,4% mag- 6,93 4,77 -,4% -0,83% 0,07% 0,00% -,57% 0,33% -0,0% giu- 7,45 4,50 7,58% -5,66% 0,4% 0,0% 6,43% -4,50% -0,9% lug- 7,4 4,0 -,8% -0,75% 0,6% 0,9% -3,97% -9,59% 0,38% ago- 5,83 3,40-9,48% -5,4% 4,5%,03% -0,63% -4,6%,94% set- 5,37 3,3-7,89% -,9% 0,8% 0,0% -9,04% -,4% 0,0% ott- 6,40 3,4 9,8%,65% 3,5% 0,4% 8,03% 3,8% 0,69% nov- 7,00 3,5 9,30% -7,57% 0,66% 0,4% 8,5% -6,4% -0,5% dic- 6,5 3,4-7,0% -0,5% 0,67% 0,0% -8,6% 0,90% -0,07% Media,5% -,6% Peso % Pirelli 60% Somma Scarti Quadratici,94% 6,45% Sommatoria Scarti 3,74% Peso % Enel 40% Varianza,8% 0,59% Covarianza 0,340% Deviazione Standard 0,84% 7,66% Dev. Standard Pirelli x Dev. Standard Enel 0,830% Correlazione 0,40 Var Portfoglio Dev. Standard Portafoglio 0,68% 8,5% Var Portfoglio come Media Ponderata Dev. Standard Portafoglio come Media Ponderata 0,94% 9,70% Effetto Diversificazione,45% = 9,70% - 8,5% Non considerando l'effetto diversificazione

23 La combinazione di due titoli Il rendimento atteso e lo scarto quadratico medio variano secondo le differenti combinazioni dei due titoli (titolo e titolo ) in portafoglio. E(R) B A 3 0 p

24 Segue La concavità della curva è funzione del coefficiente di correlazione tra i due titoli (ρ, ) 45,00% 40,00% B 35,00% E(Rp) 30,00% 5,00% C ρ, =-0,5 ρ, =-0,5 ρ, =0 ρ, =+0,5 ρ, =+ 0,00% 5,00% A 0,00% 0,00% 0,0% 0,40% 0,60% 0,80%,00%,0%,40%,60%,80%,00% 4 p

25 La Frontiera Efficiente Frontiera Efficiente: linea di trade-off rischio-rendimento che raccoglie tutte le combinazioni rischio-rendimento che individuano portafogli efficienti (portafogli che offrono il minore rischio per un dato rendimento atteso ed il più alto rendimento atteso per un dato livello di rischio). MVP 5 MVP = Minimum Variance Portfolio

26 Una formula generale per il calcolo del rischio di portafoglio Le caselle verdi contengono i termini che indicano le varianze; le altre caselle indicano le covarianze. AZIONE Per calcolare la varianza del portafoglio effettuate la somma delle caselle. 6 N N AZIONE

27 Una formula generale per il calcolo del rischio di portafoglio Ipotesi: - Investimento in un portafoglio di N titoli; - Investimento di una quota di /N per ogni titolo. VARIANZA DEL PORTAFOGLIO: VAR PORT = N N Var MEDIA + (N N) N Cov MEDIA VAR PORT = N Var MEDIA + N Cov MEDIA VAR PORT = Cov MEDIA + N (Var MEDIA Cov MEDIA ) 7 Lim N+00 Var (Portafoglio) = Cov Media

28 Qual è il portafoglio ottimale per l investitore? L investitore selezionerà il portafoglio in funzione della sua avversione al rischio. Markowitz individua la seguente espressione di funzione di utilità attesa. E [ U( X) ] = E(R) - λ dove: E[U(x)] = utilità attesa per l investitore E(R) = rendimento atteso λ = coefficiente di avversione al rischio = varianza del portafoglio selezionato dall investitore 8

29 Il portafoglio ottimale per l investitore Il portafoglio ottimale per l investitore è dato dal punto di tangenza tra la frontiera efficiente e la curva di utilità attesa E(R) Curve di Utilità Attesa Portafoglio Ottimale Frontiera Efficiente 9 0 p

30 Le ipotesi sottostanti al CAPM Le ipotesi sottostanti al CAPM sono le seguenti: 30 ) Tutti gli investitori sono avversi al rischio e massimizzano la propria utilità attesa. ) Tutti gli investitori selezionano i propri portafogli in base al rendimento medio atteso e alla deviazione standard dei rendimenti del portafoglio (Principio di Media-Varianza). 3) Tutti gli investitori decidono sulla base di un orizzonte uniperiodale. 4) L orizzonte uniperiodale adottato da ogni investitore è il medesimo per tutti gli investitori. 5) ogni investitore può investire oppure prendere a prestito senza nessuna limitazione ad un medesimo tasso privo di rischio (risk-free rate), uguale per tutti gli investitori. 6) Gli investitori hanno aspettative omogenee circa i rendimenti attesi, le varianze e le covarianze dei rendimenti attesi di tutte le attività rischiose nelle quali possono investire. 7) Non esistono tasse, né costi di transazione o altre imperfezioni. Ipotesi comuni alla Teoria del Portafoglio di Markowitz Ipotesi aggiuntive

31 Le combinazioni rischio-rendimento atteso ottenibili investendo in attività prive di rischio e attività rischiose E(R) E(R i ) Titolo i E E ( ) ( Ri ) R = Rf + p i Rf p Rf ( ) E R i Rf i 0 i p 3

32 La determinazione della Capital Market Line (CML) E(R) CML E E ( ) ( Ri ) R = Rf + p Rf M p E(R M ) Rf ( ) E R i Rf M M Frontiera Efficiente 0 M p 3 Sulla base dell ipotesi 6, la CML è identica per ogni investitore

33 L identificazione del portafoglio ottimale per il singolo investitore E(R) E(R M ) Portafoglio low-risk Rf ( ) Portafoglio high-risk E R i Rf M M Frontiera Efficiente CML E E ( ) ( Ri ) R = Rf + p M Rf p 0 M p 33 Sulla base dell ipotesi 6, la CML è identica per ogni investitore

34 La Capital Market Line (CML) ed il Principio di Separazione di Tobin Il principio di separazione di Tobin la combinazione ottimale di investimenti rischiosi è indipendente dal livello di avversione al rischio individuale. L investitore prende due scelte distinte: scelta: l investitore seleziona il portafoglio ottimale; scelta: attraverso attività di lending e borrowing, l investitore sceglie il livello di rischio maggiormente compatibile con le proprie preferenze. 34 Unico prezzo di equilibrio per il rischio

35 Dalla Capital Market Line (CML) alla Security Market Line (SML) SML E ( R ) = Rf + E( R ) p [ Rf ] i ρ, i M i M E(R) β i > SML E(R M ) M β i < Rf E( R i ) Rf 35 0 β M = β i

36 L equazione del CAPM ed il coefficiente Beta di un titolo La SML E ( R ) = Rf + E( R ) p [ Rf ] i ρ, i M i M può essere così riscritta E ( R ) = Rf + E( R ) p Market Risk Premium (MRP) [ i Rf ] i β 36 con i β i ρi, M = M Cov = Indicatore di rischio sistematico i, M M β > Titolo Aggressivo 0< β < Titolo Difensivo

37 Come si stima il Beta di un titolo nella pratica Market Model: pone in relazione il rendimento del titolo con il rendimento del portafoglio di mercato (indice di mercato): R i,t α β R ε = i + i M +, t i,t Characteristic Line 37 dove: R i,t = rendimento del titolo i al tempo t; R M,t = rendimento dell indice di mercato al tempo t; α i = intercetta della regressione, che dovrebbe esprimere il rendimento specifico non dipendente dal rendimento del mercato. Esprime pertanto il rischio diversificabile attribuibile β i = coefficiente beta del titolo i, indica quanta parte del rendimento del titolo è spiegata dal rendimento del portafoglio di mercato. Esprime pertanto il rischio sistematico attribuibile; ε i = termine di errore.

38 Un esempio di stima del Beta di un titolo aggressivo: il Beta di Unicredit Group 30,0% R i =,8594x R M - 0,049 R² = 58,09% 5,0% 0,0% 5,0% Rendimento Mensile Unicredit Group 0,0% 5,0% 0,0% -5,0% -,5% -0,0% -7,5% -5,0% -,5% 0,0%,5% 5,0% 7,5% 0,0%,5% -5,0% -0,0% -5,0% -0,0% -5,0% -30,0% 38-35,0% Rendimento Mensile Stoxx 600

39 Un esempio di stima del Beta di un titolo difensivo: il Beta di AA R i =,0649xR M - 0,057 R² = 39,93% 5,0% 0,0% Rendimento Mensile AA 5,0% 0,0% -5,0% -,5% -0,0% -7,5% -5,0% -,5% 0,0%,5% 5,0% 7,5% 0,0%,5% -5,0% -0,0% -5,0% -0,0% 39-5,0% Rendimento Mensile Stoxx 600

40 Un analisi qualitativa del Beta dello Stoxx 600 Banks Ante e Post Crack Lehman y =.556x R² = 80,7% β i i 0,030 = ρ ( i; m) = 0,896 = 0,896,40 =, 6 m 0, A parità di coefficiente di correlazione, il livello del coefficiente beta è determinato dalla maggiore rischiosità del titolo rispetto all indice di mercato Beta Stoxx Banks Ante- Crack Lehman ( ) -0.0 y =.5558x R² = 8,08% β i i 0,066 = ρ ( i; m) = 0,900 = 0,900,78 =, 56 m 0, Beta Stoxx Banks Post- Crack Lehman ( )

41 Lo small size effect sul FTSE MIB I coefficienti beta dei titoli a ridotta capitalizzazione risultano in genere molto più contenuti dei beta dei titoli a maggiore capitalizzazione. Società del Decile del FTSE IT All Shares Mkt Cap. al ( mln) % Mkt Cap. FTSE IT All Share Beta Raw 5Y Daily al R ρ Titolo / Mkt ENI S.p.A. (IT Listing) 64, %.0x 66.8% Enel S.p.A. (IT Listing) 38, % 0.85x 58.3% UniCredit S.p.A. (Ordinary) 36,53 8.0%.6x 7.% Intesa Sanpaolo S.p.A. (Ordinary) 3, %.4x 7.7% Assicurazioni Generali S.p.A. 4,5 5.4% 0.88x 66.7% Telecom Italia S.p.A. (Ordinary) 0, % 0.93x 48.% Tenaris S.A. (IT Listing) 7,64 3.9%.4x 46.4% Fiat SpA (Ordinary) 4,85 3.3%.5x 47.4% Saipem S.p.A. (Ordinary) 4,094 3.%.x 43.8% Snam Rete Gas S.p.A. 3,899 3.% 0.4x 0.3% Luxottica Group S.p.A. (Ordinary) 9,877.% 0.84x 39.4% Atlantia S.p.A. 9,857.% 0.64x 3.% TERNA S.p.A. 6,644.5% 0.35x 7.5% Mediobanca Banca di Credito Finan 6,4.4% 0.80x 46.6% Mediaset S.p.A. 6,6.4% 0.78x 44.6% Banca Monte dei Paschi di Siena S. 6,89.4% 0.90x 50.7% Finmeccanica S.p.A. 5,799.3% 0.67x 34.% STMicroelectronics N.V. (IT Listing) 5,74.3% 0.93x 4.9% UBI Banca (IT Listing) 4,848.% 0.96x 54.3% Edison S.p.A Ordinary Stock (Ordina 4,77.0% 0.67x 9.9% EXOR S.p.A. (IT Listing) 4,86 0.9%.3x 48.5% AA S.p.A. 3, % 0.7x 34.% Parmalat S.p.A. 3,44 0.8% 0.54x 9.% Banca Carige S.p.A. (Ordinary) 3,35 0.7% 0.76x 33.0% Media 0.89x 44.% Mediana 0.87x 45.5% Totale Mkt Cap. FTSE IT All Shares 454,57 Peso su FTSE IT All Shares 78.6% Società dell'ultimo Decile del FTSE IT All Shares Mkt Cap. al ( mln) % Mkt Cap. FTSE IT All Share Beta Raw 5Y Daily al R ρ Titolo / Mkt Cogeme Set S.p.A % 0.35x 4.9% Centrale del Latte di Torino & C. S.p % 0.34x 7.6% 0.8. Antichi Pellettieri S.p.A % 0.40x 7.6% CDC Point S.p.A % 0.7x 0.8% CHL S.p.A % 0.87x 3.3% Gruppo Ceramiche Ricchetti S.p.A % 0.36x 5.% Olidata S.p.A % 0.69x 6.9% Digital Bros. S.p.A % 0.65x 3.8% Fidia S.p.A % 0.88x 4.5% Rosss S.p.A % 0.50x 3.6% Investimenti e Sviluppo S.p.A % 0.57x 4.0% Cape Listed Investment Vehicle in E % 0.8x 3.4% Vincenzo Zucchi S.p.A. (Ordinary) % 0.37x 4.6% 0..7 TXT e-solutions S.p.A % 0.76x 8.0% Caleffi S.p.A % 0.4x 3.6% Best Union Co. S.p.A % 0.x 0.8% IT Way S.p.A % 0.35x 6.9% Monti Ascensori S.p.A % 0.36x 3.5% Fullsix S.p.A % 0.30x 4.% Poligrafica San Faustino S.p.A % 0.6x 6.8% Giovanni Crespi S.p.A % 0.49x 8.% Yorkville bhn S.p.A % 0.36x.% Le Buone Societa S.p.A % 0.46x 4.4% 0..9 Mondo Home Entertainment S.p.A % 0.59x 7.% 0.7. Media 0.48x 7.3% Mediana 0.43x 6.0% Totale Mkt Cap. FTSE IT All Shares 454,57 Peso su FTSE IT All Shares 0.08%

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