Prof. Pietro Zecca. Dipartimento di Matematica e Informatica U. Dini. Ufficio: Via Santa Marta 3, Telefono

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1 Prof. Dipartimento di e Informatica U. Dini Ufficio: Via Santa Marta 3, Telefono pietro.zecca@unifi.it web-page:

2 Il programma del corso comprende i seguenti argomenti Elementi di logica. Numeri naturali e sistemi di numerazione. I numeri interi. L aritmetica elementare I numeri razionali I numeri reali e il continuo Funzioni e loro proprietà. Elementi di geometria del piano e dello spazio. Elementi di probabilità e statistica.

3 Testi Consigliati Aritmetica di base, S. Di Sieno, S. Levi, McGraw Hill Ed.. Questione di Metodo, M. Bramanti, G, Travaglini, Zanichelli Ed. Dispense di probabilità e statistica Dispense varie in preparazione Pensare in, G. Israel, A. Millan Gasca, Zanichelli Ed.

4 .. Ho studiato chimica un anno intero e ho poi rinunciato perché in Chimica si è obbligati a memorizzare un ingente quantità di fatti. La struttura logica che aiutava a ricordare queste cose era infinitesimale... In confronto a ciò, in matematica non è praticamente richiesta alcuna memeoria. Non c è bisogno di memorizzare fatti; è solo necessario capire il modo in cui i vari fatti si combinano, prendendo senso insieme. Io quindi penso che, in questo senso, in matematica non ci sia, in pratica, bisogno del tipo di memeoria di cui necessitano chi studia medicina o scienze. La memoria, in matematica, è importante sotto un aspetto diverso. Succede che pensando a qualcosa, si riveli che quello a cui sto pensando è collegato a qualcosa visto la settimana prima, il mese scorso... Michael Francis Atiyah (Londra, 22/04/1929) Field Medal, 1966.

5 La cosa strana della fisica è che per formulare le leggi fondamentali abbiamo bisogno della matematica. Più investighiamo, più leggi troviamo, più profondamente penetriamola natura, la malattia persiste: ognuna delle nostre leggi è un affermazione puramente matematica. Voi mi direte: perchè non dirla a parole invece che a simboli? La matematica è solo un linguaggio, e noi vogliamo poterlo tradurre. Ma io non credo sia possibile, perché la matematica non è semplicemente un altra lingua. La matematica è un linguaggio più il ragionamento.; un linguaggio più la logica, cioè uno strumento per ragionare. Richard Phillips Feynman(N.Y., 11/05/ L.A., 15/02/1988), Premio Nobel per la fisica nel 1965.

6 Esercizi Introduttivi Esercizio 1 Supponiamo che in una famiglia ci siano due fratelli e due sorelle, tutti di altezze diverse. La frase I FRATELLI SONO PIU ALTI DELLE SORELLE può avere vari significati 1 il più alto fratello è più alto della più alta sorella. 2 ogni fratello è più alto di ogni sorella. 3 ogni sorella è più bassa di qualche fratello 4 la media delle altezze dei fratelli è maggiore della media delle altezze delle sorelle

7 Stabilire le implicazioni esistenti tra le precedenti affermazioni. Cioè quali siano vere e quali siano false tra le seguenti implicazioni: (1) (2), (1) (3), (1) (4), (2) (1), (2) (3), (2) (4), (3) (1), (3) (2), (3) (4), (4) (1), (4) (2), (4) (3).

8 Soluzione (1) = (2) perché indicando con 1F, 2F e 1S, 2S le altezze dei fratelli e delle sorelle, la situazione 1F = 180, 2F = 170, 1S = 178, 2S = 176 soddisfa la (1) ma non la (2). (1) = (3) perché se (1) è soddisfatta, allora TUTTE le sorelle sono più basse del fratello più alto e quindi la (3) è soddisfatta. (1) = (4), basta usare il contresempio usato per mostrare che (1) = (2). Infatti mf = 175 e ms = 177.

9 (2) = (1) perché se OGNI fratello è più alto di OGNI sorella allora, in particolare, il fratello più alto è più alto della sorella più alta. (1) = (3) perché abbiamo appena mostrato che (2) = (1) e abbiamo mostrato prima che (1) = (3). (2) = (4) perché la media tra numeri è maggiore del valore più basso, quindi, poiché per la (2) OGNI fratello è più alto di ogni sorella, la media dei fratelli è maggiore della media delle sorelle (4). (3) = (1) perché se (3) è soddisfatta, la sorella più alta è più bassa di qualche fratello e quindi del fratello più alto. Abbiamo visto prima che (1) = (3) e adesso che (3) = (1) questo significa che (1) e (3) sono EQUIVALENTI ((1) (3).

10 (3) = (2) perché altrimenti avremmo (1) = (3) = (2) cioè (1) = (2) che è falso. (3) = (4), perché usando l esempio 1F = 180, 2F = 170, = 178, 2S = 176 si ha che (3) è soddistatta perchè ogni sorella è più piccola di 1F e quindi di qualche fratello, ma ms = 177 mentre quella dei fratelli è mf = 175. (4) = (1). Per vederlo usiamo ancora un esempio (CONTROESEMPIO). 1F = 180, 2F = 176, 1S = 182, 2S = 168. E mf = 178 e ms = 175 quindi (4) è soddisfatta, ma (1) no. (4) = (2) perché altrimenti (4) = (2) = (1), cioè (4) = (1) FALSO. (4) = (2). Per vederlo basta usare il controesempio precedente.

11 Esercizio 2 Dato un quadrilatero Q determinare le implicazioni reciproche tra le seguenti affermazioni: 1 Q ha un angolo ottuso; 2 Q ha tre angoli acuti; 3 Q non ha angoli retti. Soluzione (1) = (2). CONTROESEMPIO: Un rombo che non sia un quadrato. (1) = (3). CONTROESEMPIO: Un trapezio rettangolo, che non sia un rettangolo. (2) = (1). Perché la somma delle misure degli angoli interni di un quadrilatero è 360. (2) = (3). Per lo stesso motivo precedente. (3) = (1). Gli angoli non possono essere tutti acuti. (3) = (2). Un rombo che non sia un quadrato.

12 Esercizio 3 Sia T un triangolo. Quali delle seguenti condizioni sono necessarie perché T sia isoscele? 1 che T sia equilatero; 2 che T abbia due angoli uguali; 3 che T sia rettangolo; 4 che T abbia due angoli uguali di ampiezza minore di 60 ; 5 che esistano due lati del triangolo per i quali il quoziente delle lunghezze è un numero intero. Soluzione (1) è sufficiente ma non necessaria. Il triangolo equilatero è anche isoscele ma un triangolo isoscele può non essere equilatero. (2) E necessaria e sufficiente. Perchè? (3) Non è necessaria e non è sufficiente. Perché? (4) E sufficiente ma non necessaria. Perchè? (5) E necessaria ma non sufficiente. Perché?

13 Esercizio 4 Negare le suenti affermazioni: 1 Esiste un punto che non appartiene alla retta p, né alla retta q. 2 Per ogni numero reale x si ha f (x) 5. 3 Esiste una circonferenza tangente alle rette p e q, ma non alla retta r. 4 Il quadrilatero Q e il pentagono P hanno almeno due vertici in comune. 5 L equazione ( ) ha esattamente tre soluzioni 6 p è un numeo primo, dispari e minore di 10.

14 Soluzione 1 Tutti i punti appartengono ad almeno una delle rette p e q. 2 Esiste un numero reale x 0 per il quale f (x 0 ) < 5. 3 Se una circonferenza è tangente alle rette p e q, allora è tangente anche alla retta r. 4 Il quadrilatero Q e il pentagono P hanno al più un vertice in comune. 5 L equazione ( ) ha al più due soluzioni, oppure ne ha almeno quattro. 6 p soddisfa ad almeno una delle seguenti tre condizioni: non è primo, è pari, è maggiore o uguale a 10.

15 Il linguaggio Riflettendo sugli esercizi che abbiamo fatto si riconosce che in matematica, e più in generale in tutta la scienza, la precisione del linguaggio è assolutamente necessaria per descrivere in modo completo ed univoco gli oggetti e le proprietà con cui si deve lavorare. Vediamo alcuni esempi in cui espressioni del linguaggio comune possono assumere significati diversi. Per esempio: Un computer ha un problema può indicare che Un certo computer ha un problema; Almeno uno dei computer che stiamo considerando ha un problema; Ogni computer ha un problema; e poi, che significa un problema? Un solo problema; almeno un problema; al più un problema.

16 Il linguaggio matematico NON DEVE essere FORMALE ma DEVE essere PRECISO, quindi dobbiamo definire delle CONVENZIONI di linguaggio quindi, per esempio: Esiste un SIGNIFICA esiste almeno un Se intendiamo dire esattamente uno dobbiamo precisarlo. Introduciamo quindi nel linguaggio matematico delle Convenzioni di linguaggio quali, ad esempio: Esiste uno ed un solo computer tale che... ; Esiste un computer tale che... ; Per ogni computer si ha che.... Le locuzioni esiste uno e uno solo, esiste e per ogni si chiamano quantificatori e, ad esse associamo dei simboli

17 locuzione simbolo esiste uno e uno solo! esiste per ogni, per tutti Il quantificatori e! sono spesso completati dalla locuzione tale che, come nella frase esiste un computer x tale che x ha un problema. locuzione simbolo tale che : Tornando all esempio del computer possiamo chiarire l espressione un problema dicendo... ha esattamente un problema;... ha un problema (cioè almeno uno)... ha al più un problema.

18 Esercizio Spiegare il senso delle seguenti frasi. Successivamente, dire di ciascuna di esse quale è vera e quale è falsa. (a) Se q 0 esiste al più una soluzione dell equazione p x + q = 0. (b) Se q = 0, esiste una soluzione dell equazione p x + q = 0. Soluzione La (a) vuol dire che esiste una soluzione o nessuna soluzione, ma non più di una. Questa è un affermazione di unicità. Quando è vera la (a)? Osserviamo che la (a) è vera: (i) Se q 0 e p 0 la soluzione esiste ed è unica x = q/p. (ii) Se invece, q 0 ma p = 0, allora NON esiste soluzione.

19 La (b) afferma invece l esistenza (ma non necessariamente l unicità) della soluzione. Infatti, la (b) è vera. (i) Se q = 0 e p 0 la soluzione esiste ed è unica x = 0. (ii) Se q = 0 e p = 0 ogni valore di x è una soluzione e dunque le soluzioni sono infinite. Ne segue che in matematica è importante l uso corretto dei quantificatori e, se da una parte la scrittura simbolica non è indispensabile, dall altra è utile per una corretta formalizzazione dei problemi. Esercizio Torniamo alla frase un computer ha un problema e formalizziamola. Indichiamo con p(x, y) l espressione il computer x ha il problema y.

20 1 Trascrivere, per mezzo dei quantificatori, le frasi: (a) Ogni computer ha un problema. (b) C è un problema che tutti i computer hanno. 2 Trascrivere, nel linguaggio comune, le espressioni Soluzione (a) x y : p(x, y); (b) y : x p(x, y); (c) x : y p(x, y); (d) x y : p(x, y). NOTARE come l ordine dei quantificatori cambi completamente la frase. Nella prima il problema può variare da computer a computer, mentre nella seconda esprime la situazione opposta, lo stesso problema per tutti i computer. (c) C è un computer che ha tutti i problemi (d) Ogni computer ha tutti i problemi.

21 Anche l articolo determinativo può essere ambiguo (al plurale) Gli italiani amano il calcio; I cerchi hanno un centro; I senatori hanno approvato la legge; I numeri primi sono infiniti. Anche la disgionzione o è ambigua perché può essere esclusiva o inclusiva. Consideriamo infatti le seguenti affermazioni: 1 Se n è un intero compreso tra 2 e 10 allora n = 2 o n = 3. 2 Se n e m sono numeri interi positivi e 3 divide il prodotto mn allora 3 divide m o divide n.

22 Osserviamo che nella (1) la o lega due affermazioni n = 2 o n = 3. Si afferma cioè che o l una o l altra cosa è vera ma, ovviamente, non entrambe. Siamo cioè di fronte ad una o esclusiva ( aut latino). Anche la (2) è vera purché NON si intenda la o in senso esclusivo. Infatti, per esempio, se n = 3 e m = 3, 3 divide mn, ma divide sia m che n. L uso di o non è esclusivo ( vel latino). Questo è l uso più comune in matematica. Per indicare la disgiunzione esclusiva si usa oppure o meglio ancora vale una ed una sola delle seguenti...

23 Ancora una osservazione sull uso del linguaggio. Anche la parola tutti può nascondere ambiguità. (a) I numeri dispari sono tutte le soluzioni dell equazione cos(πx) = 1. (b) I numeri primi maggiori di 2 sono tutti dispari; (c) I gatti sono tutti i miei amici. La (a) è meglio descritta dall affermazione: I numeri dispari sono tutte e sole le soluzioni dell equazione cos(πx) = 1. Nella (b) NON intendiamo che i numeri primi maggiori di 2 sono esattamente i dispari, ma che ogni primo maggiore di 2 è dispari. La differenza tra (a) e (b) è data dall articolo le, cioè tutte le soluzioni. La (c) sembra avere la stessa struttura della (a) ma è chiaro che ha un significato diverso, cioè solo tra i gatti trovo i miei amici, il che non implica che tutti i gatti sono miei amici.

24 Terminologia di base della teoria intuitiva degli insiemi - Un insieme A è una collezione di oggetti chiamati elementi dell insieme; - Se a è uno di questi elementi, scriveremo a A che leggeremo a appartiene. - Un insieme deve essere bene definito, nel senso che se A è un insieme e a è un qualsiasi oggetto, si deve poter stabilire in modo certo se a appartiene o meno ad A: (in simboli a A o a / A). - Esiste solo un insieme privo di elementi, detto insieme vuoto e denotato con ; - Due insiemi A e B si dicono uguali se hanno gli stessi elementi. In tal caso scriviamo A = B; - Se ogni elemento di un insieme A è un elemento di un insieme B; diremo che A è un sottoinsieme di B; in simboli, scriveremo A B (tale notazione non esclude che A = B).

25 Diremo che A è un sottoinsieme proprio di B se A B e A B. In tal caso scriviamo A Be diciamo che A è strettamente incluso in B. - L insieme vuoto si consisdera sottoinsieme di ogni insieme. Esistono essenzialmente due modi per descrivere un insieme: elencando tutti i suoi elementi (scrivendoli tra parentesi graffe e separandoli con delle virgole; ad esempio, l insieme A di tutti i numeri naturali fino a 5 si scrive comea := {1, 2, 3, 4, 5}; descrivendo una proprietà caratteristica P(x), che deve essere verificata da tutti e soli gli elementi x dell insieme. In tal caso scriviamo A := {x : P(x)}; ad esempio, l insieme A dei numeri interi pari, si può scrivere come A := {x : x = 2n dove n è un numero intero}. Il simbolo := sopra utilizzato, che si legge uguale per definizione sta ad indicare che l oggetto a primo membro è definito tramite l oggetto noto posto al secondo membro.

26 D altro lato, il simbolo = (uguale ) lo impiegheremo solo per indicare l esistenza di una relazione di uguaglianza tra due oggetti precedentemente definiti in modo autonomo. NOTA Ogni definizione è un affermazione del tipo se e soltanto se ma, nel linguaggio corrente, si usa tralasciare il soltanto se. Esempi. Esempio (1). Per definizione, un numero intero x è pari se (e soltanto se) è divisibile per 2. In simboli scriveremo: x è un numero intero pari : x = 2n, per qualche intero n, dove il simbolo : si legge se(e soltanto se) per definizione. Esempio (2). L uso dei simboli =, := e : è illustrato anche nel seguente esempio Dati due insiemi A e B, allora A = B : A B e B A.

27 Notazioni e primi elementi di logica Simboli (connettori e quantificatori) logici entrati nell uso corrente: denominazione simbolo linguaggio implicazione logica implica (segue che) equivalenza logica è equivalente a quantificatore esistenziale esiste quantificatore universale per ogni congiunzione e disgiunzione o (nel senso o/e, vel latino) negazione non Introduciamo, inoltre i simboli

28 denominazione simbolo linguaggio appartenenza elemento di non appartenenza / non elemento di contenimento sottinsieme di contenimento proprio sottoinsieme proprio di uguaglianza = uguale negazione dell esistenza non esiste negazione del contenimento / non è sottinsieme di quantificatore di esistenza e unicità! esiste ed è unico Esempi (1) T è un triangolo equilatero T è isoscele: (2) / (x A) x / A.

29 (3) Dati gli insiemi A e B si ha che A B : x A x B. A B ( x A x B) ( y B : y / A). A B (A B) x A : x / B (4) {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 5, 6} (5) {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4, 5} (6) x 0! y 0 : x y = 1.

30 Esercizio Sia R l insieme dei numeri reali. Scrivere la proposizione: Per ogni numero reale x esiste ed è unico il numero reale y tale che x + y = 0. x R,! y R : x + y = 0. Esercizio Sia N l insieme dei numeri naturali. Scrivere la proposizione: Per ogni naturale n 2 esiste un numero primo p tale che n sia un multiplo di p. n N, n 2, p, numero primo, q N : n = p q. Definizione Una Proposizione è un affermazione per la quale possa essere stabilito in modo univoco e senza ambiguità se essa è vera oppure falsa.

31 Esempio Si considerino le seguenti affermazioni: (a) Roma è la capitale dell Italia;; (b) 25 è un numero pari; (c) Londra è una bella città. La (a) è una proposizione (vera); la (b) è una proposizione (falsa); la (c) non è una proposizione perché la frase non è sicuramente vera o falsa, ma dipende dalle opinioni personali. Osservazione Data una proposizione P è sempre possibile introdurre una nuova proposizione P, detta la negazione della proposizione P, definita nella maniera seguente: P è vera, se P è falsa P è falsa se P è vera

32 Tabelle di verità Per esprimere schematicamente la verità di P (in funzione di quella di P) si usa la seguente tavola, detta tabella di verità: P P v f Il calcolo proposizionale è lo studio dei rapporti formali esistenti tra varie proposizioni e può essere definito in modo assiomatico, indipendentemente da ogni interpretazione sui valori di verità che possono essere attribuiti alle singole proposizioni. I Due connettivi fondamentali che collegano tra loro le proposizioni sono le congiunzioni e (in simboli ) ed o (nel senso o/e, in latino vel ) in simboli. Cioé, date due proposizioni P e Q, le affermazioni P Q e P Q sono delle proposizioni definite tramite le seguenti tabelle di verità: f v

33 P Q P Q v v v v f f f v f f f f P Q P Q v v v v f v f v v f f f In altri termini, per definizione, P Q è vera se (e soltanto se) P e Q sono entrambe vere, mentre P Q è falsa se (e soltanto se) P e Q sono entrambe false. Siano P e Q due proposizioni, molti enunciati in matematica si formano collegando P e Q con il connettivo.

34 L affermazione P Q si legge in vari modi: P implica Q; se P allora Q; P è (una condizione) sufficiente per Q; Q è (una condizione) necessaria per P Per definizione, l affermazione P Q è una proposizione, che si considera falsa se (e soltanto se) P è vera e Q è falsa. Pertanto, la tabella di verità che definisce la proposizione P Q è la seguente: P Q P Q v v v v f f f v v f f f NOTA Nel seguito, spesso per indicare in breve che P Q è falsa scriveremo P Q.

35 Se le tavole di verità di due proposizioni sono identiche, allora le proposizioni si dicono logicamente equivalenti. Si noti che la proposizione P Q è equivalente alla proposizione ( P) Q, infatti: P Q P ( P) Q v v f v v f f f f v v v f f v v P Q P Q v f f v f f f v v f f v NOTA: Date due proposizioni P e Q, allora P Q è logicamente equivalente a ( Q) ( P). NOTA Una tautologia è una proposizione, composta da proposizioni (elementari) collegate tra loro da connettivi logici, che è sempre vera, qualunque sia il valore di verità assunto dalle proposizioni (elementari) di cui essa è composta.

36 Il Metodo di Dimostrazione per Assurdo Il Metodo di Dimostrazione per Assurdo permette di affermare che: Una proposizione P è vera se da P segue una contraddizione (ovvero, P è vera se da P segue una contraddizione). Tale metodo trova il suo fondamento teorico sulla equivalenza logica tra ( P) e P. Una delle varianti principali del Metodo di Dimostrazione per Assurdo si basa sulla equivalenza logica tra le proposizioni: P Q e ( Q) P che riconduce la dimostrazione dell implicazione P Q a quella di ( Q) P.

37 Esempio Consideriamo le due affermazioni: P := x è un intero e x 3; Q := x ; è un intero e x 2 9. Per dimostrare che P Q si può usare, ad esempio, il Metodo di dimostrazione per assurdo dimostrando che da Q segue A. Cosa è Q? Q := x ; è un intero e x 2 8. Il fatto che x è intero e x 2 8 ne segue che x 2,il che contraddice il fatto che x 3. Si noti che Q P ( ad esempio x = 4 verifica Q ma non P) e quindi P non è equivalente a Q.

38 Esempio Consideriamo la proposizione non esiste un numero razionale minimo tra quelli maggiori di zero e dimostriamola per assurdo. Cominciamo supponendo il contrario e cioè che: esiste un numero razionale positivo minimo. Poiché esiste lo possiamo identificare e chiamrlo, diciamo, r 0. Adesso poniamo x = r 0 /2. Ovviamente x è un numero razionale, è maggiore di zero e ovviamente, x è minore di r 0.. Ma questo è assurdo, contraddice la ipotesi iniziale che r 0 fosse il più piccolo numero razionale positivo. Perciò possiamo concludere che la proposizione originale è vera e cioè non esiste un numero razionale minimo tra quelli maggiori di zero.

39 Un ulteriore variante del Metodo di Dimostrazione per Assurdo per dimostrare la proposizione P Q consiste nell utilizzare un appropriata proposizione ausiliaria R. Precisamente, se si riesce a dimostrare che 1 P R; 2 ( Q) ( R). allora necessariamente P Q perché altrimenti si arriverebbe ad una contraddizione cioè che R e ( R) valgono contemporaneamente.

40 Negazioni di alcune proposizioni Se una proposizione P esprime una proprietà degli elementi x variabili in un insieme assegnato X, scriveremo P = P(x). Diremo che P = P(x) è vera su X se P(x) è vera per ogni x X. Pertanto la negazione della proposizione x X : P(x) è logicamente equivalente alla proposizione: x X : P(x). cioè, esiste (almeno) un elementox X, per il quale P(x) è falsa. Simmetricamente, la negazione della proposizione x X : P(x) è logicamente equivalente alla proposizione: x X : P(x). cioè, per tutti gli elementi x X, P(x) è falsa.

41 Date due proposizioni P e Q si può facilmente verificare, sviluppando le tavole di verità che: la negazione della proposizione P Q, cioè ( ( P Q) è logicamente equivalente alla proposizione P Q; la negazione della proposizione P Q è logicamente equivalente alla proposizione P Q. Esempio. Sia X l insieme di tutti gli esseri umani, allora la negazione della proposizione tutti gli esseri umani sono mortali (in simboli, x X, x è mortale) è logicamente equivalente alla proposizione: Esiste un essere umano che non è mortale (in simboli, x X, x non è mortale). Esempio. Sia X l insieme di tutte le monete circolanti, allora la negazione della proposizione Esiste in circolazione una moneta d argento (in simboli, x X, x è d argento) è logicamente equivalente alla proposizione

42 Tutte le monete in circolazione non sono d argento (in simboli, x X, x è d argento). Esempio. La negazione della proposizione Antonio è bello ed intelligente è logicamente equivalente alla proposizione Antonio non è bello o/e non è intelligente. Esempio. La negazione della proposizione Beatrice si reca a scuola in bicicletta o (nel senso o/e) in autobus è logicamente equivalente alla proposizione Beatrice non si reca a scuola né in bicicletta né in autobus.