Quando ℵ ω è un potente grande cardinale (generico)

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1 1 / 14 Quando ℵ ω è un potente grande cardinale (generico) Vincenzo Dimonte 09 April 2015

2 Hausdorff, dopo aver definito il cardinale debolmente inaccessibile, disse 2 / 14

3 2 / 14 Hausdorff, dopo aver definito il cardinale debolmente inaccessibile, disse: Quote Il più piccolo fra di loro ha una grandezza così esorbitante [exorbitanten Grösse] che difficilmente verrà preso in considerazione per gli scopi consueti [üblich] della teoria degli insiemi

4 2 / 14 Hausdorff, dopo aver definito il cardinale debolmente inaccessibile, disse: Quote Il più piccolo fra di loro ha una grandezza così esorbitante [exorbitanten Grösse] che difficilmente verrà preso in considerazione per gli scopi consueti [üblich] della teoria degli insiemi. Definizione κ è un cardinale inaccessibile se è regolare e strong limit

5 2 / 14 Hausdorff, dopo aver definito il cardinale debolmente inaccessibile, disse: Quote Il più piccolo fra di loro ha una grandezza così esorbitante [exorbitanten Grösse] che difficilmente verrà preso in considerazione per gli scopi consueti [üblich] della teoria degli insiemi. Definizione κ è un cardinale inaccessibile se è regolare e strong limit. Osservazione Se κ è inaccessibile, allora ℵ κ = κ.

6 Definizione κ è un cardinale Mahlo se l insieme di cardinali inaccessibili sotto di esso è stazionario (implica che ci sono κ inaccessibili sotto di esso) 3 / 14

7 3 / 14 Definizione κ è un cardinale Mahlo se l insieme di cardinali inaccessibili sotto di esso è stazionario (implica che ci sono κ inaccessibili sotto di esso). Definizione κ è un cardinale misurabile se esiste j : V M V e κ è il punto critico di j

8 3 / 14 Definizione κ è un cardinale Mahlo se l insieme di cardinali inaccessibili sotto di esso è stazionario (implica che ci sono κ inaccessibili sotto di esso). Definizione κ è un cardinale misurabile se esiste j : V M V e κ è il punto critico di j. Ovvero, j è iniettiva, per ogni formula ϕ e per ogni insieme a, V ϕ(a) sse M ϕ(j(a)) e κ è il più piccolo ordinale tale che j(κ) > κ.

9 4 / 14 Definizione (Kunen, 1972) κ è un cardinale huge se esiste j : V M, κ è il punto critico di j e M è chiuso per sequenze lunghe j(κ)

10 4 / 14 Definizione (Kunen, 1972) κ è un cardinale huge se esiste j : V M, κ è il punto critico di j e M è chiuso per sequenze lunghe j(κ). Definizione (Kunen, 1972) κ è un cardinale 2-huge se esiste j : V M, κ è il punto critico di j e M è chiuso per sequenze lunghe j(j(κ))

11 4 / 14 Definizione (Kunen, 1972) κ è un cardinale huge se esiste j : V M, κ è il punto critico di j e M è chiuso per sequenze lunghe j(κ). Definizione (Kunen, 1972) κ è un cardinale 2-huge se esiste j : V M, κ è il punto critico di j e M è chiuso per sequenze lunghe j(j(κ)). Definition (Reinhardt, 1970) κ è un cardinale ω-huge o Reinhardt se esiste j : V M, κ è il punto critico di j e M è chiuso per sequenze lunghe λ = sup n ω j n (κ)

12 4 / 14 Definizione (Kunen, 1972) κ è un cardinale huge se esiste j : V M, κ è il punto critico di j e M è chiuso per sequenze lunghe j(κ). Definizione (Kunen, 1972) κ è un cardinale 2-huge se esiste j : V M, κ è il punto critico di j e M è chiuso per sequenze lunghe j(j(κ)). Definition (Reinhardt, 1970) κ è un cardinale ω-huge o Reinhardt se esiste j : V M, κ è il punto critico di j e M è chiuso per sequenze lunghe λ = sup n ω j n (κ). Equivalentemente, j : V V

13 4 / 14 Definizione (Kunen, 1972) κ è un cardinale huge se esiste j : V M, κ è il punto critico di j e M è chiuso per sequenze lunghe j(κ). Definizione (Kunen, 1972) κ è un cardinale 2-huge se esiste j : V M, κ è il punto critico di j e M è chiuso per sequenze lunghe j(j(κ)). Definition (Reinhardt, 1970) κ è un cardinale ω-huge o Reinhardt se esiste j : V M, κ è il punto critico di j e M è chiuso per sequenze lunghe λ = sup n ω j n (κ). Equivalentemente, j : V V. Teorema (Kunen, 1971) Non esistono cardinali Reinhardt.

14 Come fare a far diventare tali grandi cardinali piccoli? 5 / 14

15 5 / 14 Come fare a far diventare tali grandi cardinali piccoli? Definition (Solovay) Sia κ un cardinale, I un ideale su P(κ). Allora P(κ)/I è un forcing

16 5 / 14 Come fare a far diventare tali grandi cardinali piccoli? Definition (Solovay) Sia κ un cardinale, I un ideale su P(κ). Allora P(κ)/I è un forcing. Se G è generico per P(κ)/I, allora G è un V -ultrafiltro su P(κ) ed esiste j : V Ult(V, G)

17 5 / 14 Come fare a far diventare tali grandi cardinali piccoli? Definition (Solovay) Sia κ un cardinale, I un ideale su P(κ). Allora P(κ)/I è un forcing. Se G è generico per P(κ)/I, allora G è un V -ultrafiltro su P(κ) ed esiste j : V Ult(V, G). (Jech, Prikry) I è precipitevole sse Ult(V, G) è ben fondato, e in quel caso j : V M V [G]

18 5 / 14 Come fare a far diventare tali grandi cardinali piccoli? Definition (Solovay) Sia κ un cardinale, I un ideale su P(κ). Allora P(κ)/I è un forcing. Se G è generico per P(κ)/I, allora G è un V -ultrafiltro su P(κ) ed esiste j : V Ult(V, G). (Jech, Prikry) I è precipitevole sse Ult(V, G) è ben fondato, e in quel caso j : V M V [G]. Quindi κ è un cardinale misurabile generico

19 5 / 14 Come fare a far diventare tali grandi cardinali piccoli? Definition (Solovay) Sia κ un cardinale, I un ideale su P(κ). Allora P(κ)/I è un forcing. Se G è generico per P(κ)/I, allora G è un V -ultrafiltro su P(κ) ed esiste j : V Ult(V, G). (Jech, Prikry) I è precipitevole sse Ult(V, G) è ben fondato, e in quel caso j : V M V [G]. Quindi κ è un cardinale misurabile generico. Allo stesso modo si possono definire huge generico, n-huge generico, supercompatto generico...

20 6 / 14 Definizione (Chang s Conjecture, 1963) Ogni modello di tipo (ℵ 2, ℵ 1 ) (ovvero, l universo ha cardinalità ℵ 2 ed ha un predicato di cardinalità ℵ 1 ) per un linguaggio numerabile ha un sottomodello elementare di tipo (ℵ 1, ℵ 0 ).

21 6 / 14 Definizione (Chang s Conjecture, 1963) Ogni modello di tipo (ℵ 2, ℵ 1 ) (ovvero, l universo ha cardinalità ℵ 2 ed ha un predicato di cardinalità ℵ 1 ) per un linguaggio numerabile ha un sottomodello elementare di tipo (ℵ 1, ℵ 0 ). Notazione: (ℵ 2, ℵ 1 ) (ℵ 1, ℵ 0 )

22 6 / 14 Definizione (Chang s Conjecture, 1963) Ogni modello di tipo (ℵ 2, ℵ 1 ) (ovvero, l universo ha cardinalità ℵ 2 ed ha un predicato di cardinalità ℵ 1 ) per un linguaggio numerabile ha un sottomodello elementare di tipo (ℵ 1, ℵ 0 ). Notazione: (ℵ 2, ℵ 1 ) (ℵ 1, ℵ 0 ). Osservazione CC implica la non esistenza di un albero di Kurepa

23 6 / 14 Definizione (Chang s Conjecture, 1963) Ogni modello di tipo (ℵ 2, ℵ 1 ) (ovvero, l universo ha cardinalità ℵ 2 ed ha un predicato di cardinalità ℵ 1 ) per un linguaggio numerabile ha un sottomodello elementare di tipo (ℵ 1, ℵ 0 ). Notazione: (ℵ 2, ℵ 1 ) (ℵ 1, ℵ 0 ). Osservazione CC implica la non esistenza di un albero di Kurepa. Vi sono estensioni di CC: (ℵ 3, ℵ 2 ) (ℵ 2, ℵ 1 ), oppure (ℵ 3, ℵ 2, ℵ 1 ) (ℵ 2, ℵ 1, ℵ 0 ).

24 7 / 14 Teorema (Laver) Con(huge) Con((ℵ 3, ℵ 2 ) (ℵ 2, ℵ 1 ))

25 7 / 14 Teorema (Laver) Con(huge) Con((ℵ 3, ℵ 2 ) (ℵ 2, ℵ 1 )). In effetti, il teorema precedente si divide in due:

26 7 / 14 Teorema (Laver) Con(huge) Con((ℵ 3, ℵ 2 ) (ℵ 2, ℵ 1 )). In effetti, il teorema precedente si divide in due: : Teorema (Laver) Con(huge cardinal) Con(ℵ 2 è huge generico e j(ℵ 2 ) = ℵ 3 )

27 7 / 14 Teorema (Laver) Con(huge) Con((ℵ 3, ℵ 2 ) (ℵ 2, ℵ 1 )). In effetti, il teorema precedente si divide in due: : Teorema (Laver) Con(huge cardinal) Con(ℵ 2 è huge generico e j(ℵ 2 ) = ℵ 3 ). Proposizione Se j : V M V [G], M chiuso sotto ℵ 3 -sequenze, crt(j) = ℵ 2 e j(ℵ 2 ) = ℵ 3, allora (ℵ 3, ℵ 2 ) (ℵ 2, ℵ 1 )

28 7 / 14 Teorema (Laver) Con(huge) Con((ℵ 3, ℵ 2 ) (ℵ 2, ℵ 1 )). In effetti, il teorema precedente si divide in due: : Teorema (Laver) Con(huge cardinal) Con(ℵ 2 è huge generico e j(ℵ 2 ) = ℵ 3 ). Proposizione Se j : V M V [G], M chiuso sotto ℵ 3 -sequenze, crt(j) = ℵ 2 e j(ℵ 2 ) = ℵ 3, allora (ℵ 3, ℵ 2 ) (ℵ 2, ℵ 1 ). La proposizione si può generalizzare: Proposizione Se j : V M V [G], M è chiuso sotto ℵ n+1 -sequenze, crt(j) = ℵ 1 e j(ℵ 1 ) = ℵ 2, j(ℵ 2 ) = ℵ 3,..., allora (ℵ n+1,..., ℵ 2, ℵ 1 ) (ℵ n,..., ℵ 1, ℵ 0 ).

29 Definizione κ è un cardinale Jónsson sse ogni struttura in un linguaggio numerabile con dominio di cardinalità κ ha una sottostruttura elementare propria con dominio della stessa cardinalità 8 / 14

30 8 / 14 Definizione κ è un cardinale Jónsson sse ogni struttura in un linguaggio numerabile con dominio di cardinalità κ ha una sottostruttura elementare propria con dominio della stessa cardinalità. Teorema (Silver) Se (..., ℵ 2, ℵ 1 ) (..., ℵ 1, ℵ 0 ) allora ℵ ω è Jónsson

31 8 / 14 Definizione κ è un cardinale Jónsson sse ogni struttura in un linguaggio numerabile con dominio di cardinalità κ ha una sottostruttura elementare propria con dominio della stessa cardinalità. Teorema (Silver) Se (..., ℵ 2, ℵ 1 ) (..., ℵ 1, ℵ 0 ) allora ℵ ω è Jónsson. La consistenza di ℵ ω Jónsson è un problema rimasto aperto da decenni.

32 Kunen ha dimostrato j : V λ+2 V λ+2 9 / 14

33 Kunen ha dimostrato j : V λ+2 V λ+2. Ciò lascia un po di spazio aperto: 9 / 14

34 Kunen ha dimostrato j : V λ+2 V λ+2. Ciò lascia un po di spazio aperto: Definition I3 sse esiste λ tale che j : V λ V λ ; 9 / 14

35 9 / 14 Kunen ha dimostrato j : V λ+2 V λ+2. Ciò lascia un po di spazio aperto: Definition I3 sse esiste λ tale che j : V λ V λ ; I2 sse esiste λ tale che j : V 1 V λ+1 ;

36 9 / 14 Kunen ha dimostrato j : V λ+2 V λ+2. Ciò lascia un po di spazio aperto: Definition I3 sse esiste λ tale che j : V λ V λ ; I2 sse esiste λ tale che j : V 1 V λ+1 ; I1 sse esiste λ tale che j : V λ+1 V λ+1 ;

37 9 / 14 Kunen ha dimostrato j : V λ+2 V λ+2. Ciò lascia un po di spazio aperto: Definition I3 sse esiste λ tale che j : V λ V λ ; I2 sse esiste λ tale che j : V 1 V λ+1 ; I1 sse esiste λ tale che j : V λ+1 V λ+1 ; I0 sse esiste λ tale che j : L(V λ+1 ) L(V λ+1 ), con crt(j) < λ

38 9 / 14 Kunen ha dimostrato j : V λ+2 V λ+2. Ciò lascia un po di spazio aperto: Definition I3 sse esiste λ tale che j : V λ V λ ; I2 sse esiste λ tale che j : V 1 V λ+1 ; I1 sse esiste λ tale che j : V λ+1 V λ+1 ; I0 sse esiste λ tale che j : L(V λ+1 ) L(V λ+1 ), con crt(j) < λ. Nella giusta situazione, ℵ ω I1 o I0 generico implica ℵ ω Jónsson

39 9 / 14 Kunen ha dimostrato j : V λ+2 V λ+2. Ciò lascia un po di spazio aperto: Definition I3 sse esiste λ tale che j : V λ V λ ; I2 sse esiste λ tale che j : V 1 V λ+1 ; I1 sse esiste λ tale che j : V λ+1 V λ+1 ; I0 sse esiste λ tale che j : L(V λ+1 ) L(V λ+1 ), con crt(j) < λ. Nella giusta situazione, ℵ ω I1 o I0 generico implica ℵ ω Jónsson. Peccato che non sia chiaro se I0 generico sia consistente

40 9 / 14 Kunen ha dimostrato j : V λ+2 V λ+2. Ciò lascia un po di spazio aperto: Definition I3 sse esiste λ tale che j : V λ V λ ; I2 sse esiste λ tale che j : V 1 V λ+1 ; I1 sse esiste λ tale che j : V λ+1 V λ+1 ; I0 sse esiste λ tale che j : L(V λ+1 ) L(V λ+1 ), con crt(j) < λ. Nella giusta situazione, ℵ ω I1 o I0 generico implica ℵ ω Jónsson. Peccato che non sia chiaro se I0 generico sia consistente. Teorema (Foreman,1982) Con(2-huge) Con(ℵ 1 è un cardinale 2-huge e... ).

41 10 / 14 I0 generico ha ulteriori conseguenze: Definition Θ = sup{α : π : P(ℵ ω ) α, π L(P(ℵ ω ))}

42 10 / 14 I0 generico ha ulteriori conseguenze: Definition Θ = sup{α : π : P(ℵ ω ) α, π L(P(ℵ ω ))}. Teorema (GCH) Supponiamo ℵ ω I0 generico

43 10 / 14 I0 generico ha ulteriori conseguenze: Definition Θ = sup{α : π : P(ℵ ω ) α, π L(P(ℵ ω ))}. Teorema (GCH) Supponiamo ℵ ω I0 generico. Allora in L(P(ℵ ω ))

44 10 / 14 I0 generico ha ulteriori conseguenze: Definition Θ = sup{α : π : P(ℵ ω ) α, π L(P(ℵ ω ))}. Teorema (GCH) Supponiamo ℵ ω I0 generico. Allora in L(P(ℵ ω )): 1. ℵ ω+1 è misurabile (di più, ω-fortemente misurabile)

45 10 / 14 I0 generico ha ulteriori conseguenze: Definition Θ = sup{α : π : P(ℵ ω ) α, π L(P(ℵ ω ))}. Teorema (GCH) Supponiamo ℵ ω I0 generico. Allora in L(P(ℵ ω )): 1. ℵ ω+1 è misurabile (di più, ω-fortemente misurabile); 2. Θ è debolmente inaccessibile (di più, è inaccessibile nel senso di AC)

46 10 / 14 I0 generico ha ulteriori conseguenze: Definition Θ = sup{α : π : P(ℵ ω ) α, π L(P(ℵ ω ))}. Teorema (GCH) Supponiamo ℵ ω I0 generico. Allora in L(P(ℵ ω )): 1. ℵ ω+1 è misurabile (di più, ω-fortemente misurabile); 2. Θ è debolmente inaccessibile (di più, è inaccessibile nel senso di AC); 3. Θ è limite di cardinali misurabili.

47 Shelah e altri hanno sviluppato la teoria pcf per avere risultati in ZFC di combinatorica infinita, con risultati straordinari 11 / 14

48 11 / 14 Shelah e altri hanno sviluppato la teoria pcf per avere risultati in ZFC di combinatorica infinita, con risultati straordinari. Teorema (Shelah) Se ℵ ω è strong limit, allora 2 ℵω < ℵ ω4

49 11 / 14 Shelah e altri hanno sviluppato la teoria pcf per avere risultati in ZFC di combinatorica infinita, con risultati straordinari. Teorema (Shelah) Se ℵ ω è strong limit, allora 2 ℵω < ℵ ω4. Quindi in ZFC la grandezza dell insieme potenza è molto limitata

50 11 / 14 Shelah e altri hanno sviluppato la teoria pcf per avere risultati in ZFC di combinatorica infinita, con risultati straordinari. Teorema (Shelah) Se ℵ ω è strong limit, allora 2 ℵω < ℵ ω4. Quindi in ZFC la grandezza dell insieme potenza è molto limitata. Ma I0 generico dà un esempio in ZF in cui la grandezza è spropositata

51 11 / 14 Shelah e altri hanno sviluppato la teoria pcf per avere risultati in ZFC di combinatorica infinita, con risultati straordinari. Teorema (Shelah) Se ℵ ω è strong limit, allora 2 ℵω < ℵ ω4. Quindi in ZFC la grandezza dell insieme potenza è molto limitata. Ma I0 generico dà un esempio in ZF in cui la grandezza è spropositata. Ci sono dunque due opzioni: I0 generico è consistente, dunque la teoria pcf senza AC ha dei seri limiti di applicazione; I0 generico è inconsistente; questo potrebbe mettere in dubbio la consistenza di I0 stesso.

52 12 / 14 Curiosità: sia D(ℵ ω ) il risultato del teorema. Allora Teorema Sotto grandi cardinali, L(R) AD, e vale D(ω)

53 12 / 14 Curiosità: sia D(ℵ ω ) il risultato del teorema. Allora Teorema Sotto grandi cardinali, L(R) AD, e vale D(ω). Teorema (Woodin) I 0(λ) D(λ)

54 12 / 14 Curiosità: sia D(ℵ ω ) il risultato del teorema. Allora Teorema Sotto grandi cardinali, L(R) AD, e vale D(ω). Teorema (Woodin) I 0(λ) D(λ). Ma Osservazione Se λ è regolare, è facile forzare L(P(λ)) AC, quindi D(λ)

55 12 / 14 Curiosità: sia D(ℵ ω ) il risultato del teorema. Allora Teorema Sotto grandi cardinali, L(R) AD, e vale D(ω). Teorema (Woodin) I 0(λ) D(λ). Ma Osservazione Se λ è regolare, è facile forzare L(P(λ)) AC, quindi D(λ). Teorema (Shelah, 1996) Se λ ha cofinalità non numerabile, allora L(P(λ)) AC, quindi D(λ)

56 12 / 14 Curiosità: sia D(ℵ ω ) il risultato del teorema. Allora Teorema Sotto grandi cardinali, L(R) AD, e vale D(ω). Teorema (Woodin) I 0(λ) D(λ). Ma Osservazione Se λ è regolare, è facile forzare L(P(λ)) AC, quindi D(λ). Teorema (Shelah, 1996) Se λ ha cofinalità non numerabile, allora L(P(λ)) AC, quindi D(λ). Teorema Nel core model di Mitchell-Steel, se λ è singolare, allora L(P(λ)) AC, quindi D(λ).

57 Riassumendo: Problema Qual è la consistenza di ℵ ω Jónsson? 13 / 14

58 13 / 14 Riassumendo: Problema Qual è la consistenza di ℵ ω Jónsson? Problema Dobbiamo rinunciare a parte della teoria pcf senza AC oppure (forse) a I0?

59 13 / 14 Riassumendo: Problema Qual è la consistenza di ℵ ω Jónsson? Problema Dobbiamo rinunciare a parte della teoria pcf senza AC oppure (forse) a I0? Problema Quando L(P(λ)) AC? Quando L(P(λ)) D(λ)?

60 Grazie per l attenzione. 14 / 14