1 LE FIBRE OTTICHE. Introduzione

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1 1 LE FIBRE OTTICHE Introduzione Possiamo considerare una fibra ottica come una guida d'onda di forma cilindrica, realizzata con un materiale dielettrico, generalmente ossido di silicio (SiO 2 ), caratterizzata dal fenomeno di propagazione della radiazione luminosa. Tale fenomeno si basa sulla variazione dell'indice di rifrazione all'interno del materiale dielettrico. L'indice di rifrazione è definito come il rapporto tra la velocità di propagazione del raggio luminoso nel vuoto (c = m/s) e la velocità di propagazione in un mezzo diverso dal vuoto (n = c/v), dove v dipende, naturalmente, dalle caratteristiche e proprietà fisiche del mezzo stesso; se il mezzo è isotropo e omogeneo allora n risulta un numero maggiore di uno e costante all'interno del dielettrico. Le tecnologie ottiche sono molto importanti e rivestono un ruolo fondamentale nell ambito delle telecomunicazioni e dell elaborazione e trattamento dei segnali.infatti basta considerare che la luce ha una frequenza dell ordine dei Tera Hz e tale frequenza è proporzionale alla capacità del trasmettitore, cioè si riesce a trasferire ed elaborare in parallelo nell unità di tempo, una quantità elevata di informazione. Le prime applicazioni in fibra ottica sono stata per comunicazioni punto-punto a lunga distanza. Il largo impiego di fibre ottiche in telecomunicazioni è stato possibile anche grazie al fatto che nel 1960 fu dimostrato il funzionamento del laser monocromatico coerente (che consente una modulazione ad elevata velocità).le applicazioni più spinte delle fibre ottiche sono quelle non lineari. La propagazione in fibra può essere studiata con: Ottica geometrica (dimensione f.o.>> λ ) Equazioni di Maxwell Lo studio della propagazione in fibra può essere approciato con l ottica geometrica nel momento in cui le dimensioni della fibra sono >> λ. Possiamo introdurre così un ipotesi di bidirezionalità dove le radiazioni luminose sono rappresentate da raggi che individuano la direzione di propagazione. Però con tale metodo non si possono studiare i fenomeni di interferenza e diffrazione. 1.1 PRINCIPI E PARAMETRI CARATTERISTICI DI UNA FIBRA OTTICA Un raggio luminoso che incide su una superficie di interfaccia tra due mezzi di indici diversi (n 1 > n 2 ) viene in parte riflesso e in parte rifratto o trasmesso, secondo la nota legge di Snell (o legge dei seni): n 1 senφ 1 = n 2 senφ 2, ove φ 1 è l'angolo di incidenza del raggio rispetto la normale alla superfice nel punto di incidenza e φ 2 è l'angolo che il raggio rifratto forma con la stessa normale nel secondo mezzo. Poichè n 2 < n 1, il raggio trasmesso tende ad aumentare φ 2 all'aumentare di φ 1 sino a quando si arriva alla condizione per cui si ha φ 2 = π/2, ovvero assenza di raggio rifratto.

2 In quest'ultima situazione si è in presenza del fenomeno di riflessione totale, in cui l'angolo di incidenza oltre il quale si ha assenza di rifrazione è φ c = arcsin(n 2 /n 1 ), generalmente indicato come angolo critico. φ 2 n 2 S φ 1 φ c α δ n 1 In prima approssimazione possiamo intuire che i raggi giacenti su di un piano comprendente l'asse della fibra ottica, che incidono l'interfaccia vetro/aria con angolo maggiore di φ c, vengono riflessi totalmente e, quindi, restano confinati all'interno della fibra indefinitamente. Il principio appena descritto è alla base del funzionamento di tutti i tipi di fibra ma nel campo delle telecomunicazioni è preferibile poter variare con precisione il valore dell'indice di rifrazione sia della fibra vera e propria (mezzo 1), sia del mezzo che la ricopre (mezzo 2). rivestimento Si ottiene così la struttura fondamentale di realizzazione di una fibra, costituita da un cilindro interno, indicato nucleo (core) come nucleo o core, e da un rivestimento esterno, indicato come mantello o cladding. Entrambi sono in realtà costituiti dallo stesso materiale vetroso, in cui i due indici di rifrazione vengono variati e controllati con precisione durante la fabbricazione mantello (cladding) della fibra mediante l'aggiunta di droganti esterni (ossidi di germanio, piombo o alluminio). In una fibra per telecomunicazioni il diametro esterno è tipicamente di 125 µm, mentre il diametro del nucleo varia tra pochi µm e 50 µm a seconda del tipo di fibra. La fibra così prodotta risulterebbe meccanicamente fragile; è allora necessario irrobustirla mediante ulteriori rivestimenti plastici. 1.2 PARAMETRI PRINCIPALI Indipendentemente dal tipo, ogni fibra è caratterizzata da alcune grandezze che ne definiscono le proprietà fondamentali. Si è visto che se viene inviato nel nucleo della fibra un raggio luminoso con un angolo di incidenza, tra nucleo e mantello, inferiore all'angolo critico, questo viene parzialmente riflesso/rifratto. La parte rifratta si perde per rifrazione nel mezzo circostante mentre la parte riflessa subisce una nuova riflessione/rifrazione, e così via. In pratica dopo poche riflessioni il raggio si esaurisce e non viene guidato all'interno della fibra. Si dice, in questo caso, che il raggio non è accettato dalla fibra.

3 E' possibile definire un cono di accettazione che contiene tutti quei raggi che possono propagarsi all'interno del nucleo per riflessione totale. Il vertice del cono è il centro della faccia di ingresso della fibra e l'angolo al vertice viene detto angolo di accettazione θ a. L'angolo di accettazione può essere messo in relazione con i due indici di rifrazione n 1 e n 2 (rispettivamente del nucleo e del mantello) mediante la relazione: θ a =arcsin[(n 1 2 -n 2 2 ) 1/2 ]. Raggio fuori dal cono di accettazione Spesso non viene fornito θ a ma una quantità ad esso legata che viene indicata come apertura numerica ( o semplicemente apertura) definita da: NA = sinθ a = (n n 2 2 ) 1/2. Risulta evidente che maggiore è NA, più semplice è accoppiare efficientemente una sorgente luminosa alla fibra, in quanto è più ampio il cono di accettazione. Per identificare univocamente i valori di n 1 e n 2 che realizzano una certa apertura numerica, nota quest'ultima, si utilizza un parametro che prende il nome di variazione percentuale dell'indice di rifrazione definito come: = (n - n )/n E' facile, allora, rendersi conto che se n 1 n << 1, si ottiene anche: NA n 1 (2 ) 1/2 2, ovvero se e, quindi, più grande è la distanza tra n 1 e n 2, maggiore sarà la variazione e la NA. 1.3 TIPI DI FIBRE E PRINCIPALI LIMITAZIONI Il tipo di fibra più semplice è costituito da un nucleo e un mantello che presentano una discontinuità a gradino tra i due indici di rifrazione e per questo è detta Step-Index. Il raggio del nucleo è, inoltre, detto largo, in quanto è molto maggiore della lunghezza d'onda generalmente utilizzata nei sistemi di telecomunicazioni (1,55 µm); per questo, come vedremo in seguito, questo tipo di fibra consente la propagazione di più tipi di raggi detti modi. In particolare, il fatto che possano propagarsi più modi fa si che questo tipo di fibra sia caratterizzata da un fenomeno di n 2 dispersione intermodale. Per chiarire il concetto di dispersione, consideriamo n 1 due raggi entranti nella fibra, il primo con angolo di incidenza minimo (θ = 0) e il secondo con angolo di incidenza massimo (θ = θ a ), nello stesso istante di tempo. Considerando la distanza L percorsa lungo l'asse della fibra, è evidente che i due raggi compiono percorsi diversi per giungere nel medesimo punto e, quindi, impiegano due tempi diversi per coprire la stessa distanza. Questo fa si

4 che ci sia un ritardo temporale relativo tra i due raggi, indicato, appunto, come dispersione intermodale, che corrisponde ad un ritardo differenziale pari a: t = (Ln 1 2 )/(c*n 2 ), pur considerando che i due raggi viaggiano alla stessa velocità (v = c/n) in quanto viaggianti nello stesso mezzo. Le fibre che consentono più modi di propagazione (multimodo) sono caratterizzate dal fenomeno della dispersione intermodale, che può rivelarsi dannoso quando t è confrontabile con la durata T di un impulso lanciato in fibra. Da questo fenomeno nasce il fenomeno dell'interferenza intersimbolica che causa il degradimento, anche sensibile, delle prestazioni del sistema di trasmissione. La dispersione intermodale impone un limite alla massima velocità di trasmissione dell'i nformazione, in particolare, per un segnale binario, si trova che la velocità di trasmissione è limitata superiormente dalla quantità: 2 B (c*n 2 )/( *L*n 1 ) e che tale limite aumenta al diminuire di. Quanto si è detto fino ad ora è relativo a raggi appartenenti a piani contenenti l'asse della fibra (meridionali) e nell'approssimazione dell'ottica geometrica, quest'ultima valida fino a quando il raggio del nucleo può considerarsi molto maggiore della lunghezza d'onda del segnale trasmesso in fibra. In realtà, in una fibra multimodo possono propagarsi anche raggi non appartenenti a piani meridionali, detti sghembi, per i quali si può dimostrare che la propagazione avviene avvolgendo l'asse della fibra e che derivano da raggi esterni al cono di accettazione. Poichè tali raggi si propagano su di un guscio cilindrico sulla parte esterna del nucleo, contribuiscono marginalmente all'intensità luminosa del segnale e vengono di solito ignorati nei calcoli di dispersione. Per contrastare il fenomeno della dispersione intermodale sono state fabbricate delle fibre in cui i raggi vengono guidati, mediante la variazione dell'indice di rifrazione del nucleo tra un valore massimo ed uno minimo via via che ci si allontana dall'asse della fibra. Questo tipo di fibre sono indicate come Graded-Index e in esse i raggi vengono incurvati dalla variazione graduale di n. Una delle leggi più comuni di variazione di n, al variare della distanza radiale dall'asse r, è detta a profilo α, dove α è un parametro fissato in fase di fabbricazione. Si può dimostrare che, p er il profilo parabolico (α =2) e nell'ipotesi <<1, le traiettorie seguite dai raggi, ricavate mediante il principio di Fermat 1, seguono un andamento sinusoidale con diverse ampiezze. In queste condizioni la dispersione intermodale viene attenuata per effetto della n(r) n 2 1 Il principio di Fermat afferma che: "Il percorso scelto, da un raggio luminoso, per propagarsi da un punto ad un altro in un mezzo, è quello che minimizza il tempo di percorrenza".

5 graduazione di n. Infatti i raggi più distanti dall'asse transitano in zone con n minore rispetto a quelli più vicini all'asse della fibra, per cui la loro velocità di propagazione è maggiore della velocità dei raggi più vicini all'asse. Si ha, così, una sorta di compensazione dell'allungamento del percorso compiuto, non sufficiente ad annullare il ritardo differenziale t ma solo ridurlo, che infatti risulta: 2 t = (n 1 L)/(8*c), nel caso in cui α = 2*(1 - ) e α 2. Tutto ciò consente un incremento di capacità, rispetto alla fibra step-index, pari ad un fattore 8/ e consente di passare da una capacità di 10 Mbit/s*Km, per la step-index, ad una capacità di 4 Gbit/s*Km per la fibra graded-index. Fibra mono-modo Elevato tempo di vita Assenza di dispersione Minima perdita di potenza ottica Bassa attenuazione Ampia larghezza di banda Problemi di connesione Elevata potenza ottica richiesta Fibra multi-modo Economicità Dispersione modale 1.4 LA CONDIZIONE DI MONOMODALITÀ Le fibre multimodo sono caratterizzate dalla dispersione intermodale; è, allora, giocoforza cercare di liberarsi da tale fenomeno impedendo la propagazione di più modi. La condizione di monomodalità, ovvero la propagazione nel nucleo di una sola lunghezza d'onda, non si può ricavare da una semplice analisi mediante l'ottica geometrica ma si deve ricorrere all'ottica elettromagnetica descritta mediante le equazioni di Maxwell. Partendo, allora, dalle equazioni di d'alambert per le onde ed esprimendo il campo elettrico e magnetico attraverso il formalismo degli inviluppi complessi, si può esprimere tali equazioni nella forma di Helmoltz, valida per un mezzo dielettrico omogeneo, isotropo, privo di perdite. Indicando con n l'indice di rifrazione del mezzo e con k 0 = 2π/λ 0 il numero d'onda dell'oscillazione in fibra, si può esprimere l'equazione di Helmoltz in coordinate cilindriche (ρ, φ, z), ottenendo che è valida sia nel nucleo, quando n = n 1 e 0 ρ< a, sia nel mantello, quando n = n 2 e ρ a. Avendo adottato il formalismo degli inviluppi complessi, siamo interessati a soluzioni della forma dove F(ρ) e Φ(φ) sono funzioni arbitrarie per valutare il campo radialmente e angolarmente su di una sezione, mentre exp(-jβz) è la forma viaggiante dell'onda. Naturalmente, le soluzioni di tale forma devono soddisfare ulteriori requisiti fisici affinchè la soluzione abbia senso; in particolare, Φ ( φ) deve risultare periodica di periodo 2π. Sostituendo tale soluzione nell'equazione di Helmoltz, si ottengono due equazioni separate per Φ ( φ) ed F(ρ). L'equazione in Φ ( φ) viene a dipendere da un parametro m, che dovrà essere intero per rispettare la condizione di periodicità, mentre l'equazione in F(ρ), dipendente sia da βche da m (oltrechè da k 0 ed n), si divide in ulteriori due equazioni. Quest'ultima suddivisione deriva dal fatto che, affinchè l'onda resti confinata nel nucleo, la costante

6 βdeve essere minore di n 1 k 0 (numero d'onda nel nucleo) e maggiore di n 2 k 0 (numero d'onda nel mantello). Ciò porta a definire, per comodità, le due quantità da cui si può scrivere nel nucleo e nel mantello, Tali equazioni ammettono, come soluzione generale, diversi tipi di funzioni, dette di Bessel. Scartando dalla soluzione generale le funzioni non limitate e le funzioni non limitate quando ρtende all'infinito, si ottiene una soluzione della forma che dipende dalle funzioni di Bessel di prima specie (J m ) e dalle funzioni di Bessel modificate di seconda specie (K m ). Un esempio dell'andamento di J m e K m, per m = 0,1,2, è mostrato di seguito. Fig Andamento delle Funzioni di Bessel di prima specie, e modificate di seconda specie, per gli ordini 0, 1 e 2. Dalla forma trovata per la soluzione, esprimendo le componenti radiali e tangenziali di in funzione della componente assiale ed imponendo la condizione di continuità per ρ= a, s i ottiene un sistema di equazioni equivalente ad un unica equazione detta equazione caratteristica 2. Da questa equazione, fissato m (ordine dell'armonica elementare), si ottengono più soluzioni in funzione di β, una volta fissati n 1 e n 2 per la fibra considerata e k 0 per il segnale ottico. Ciascuna soluzione è detta modo di propagazione e viene contraddistinta mediante la costante β mi, dove m è quello fissato per l'armonica mentre i è l'ordine della soluzione stessa. Per ottenere la condizione di monomodalità introduciamo un nuovo parametro, il parametro V (o frequenza normalizzata) costante

7 dipendente dalle caratteristiche geometriche della fibra e da λ 0. Scrivendo in funzione di V, si ricava che, all'aumentare di k (ovvero al diminuire di β), il γ decresce, per cui l'onda non rimane più confinata nel nucleo ma si disperde nel mantello. Questo significa che un modo non si propaga quando V = k*a (γ = 0, condizione di cut-off). Il minimo valore di V per cui si ha propagazione monomodale è V = (primo nullo di J m (k*a) per m = 0). Per ottenere una fibra monomodale è, quindi, necessario ridurre V ad un valore inferiore a 2.4 e ciò può essere fatto sia riducendo la sezione del nucleo (a), sia riducendo NA. Il nucleo di piccolo diametro crea però difficoltà di accoppiamento della fibra alle sorgenti ottiche e ai fotorivelatori e rende problematiche eventuali giunzioni durante la posa.