Precessione geodetica ed effetto Lense-Thirrinng. Il sistema Binario PSR Limiti sperimentali sui parametri PPN.

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1 Precessione geodetica ed effetto Lense-Thirrinng. Il sistema Binario PSR Limiti sperimentali sui parametri PPN.

2 Tabella della lezione precedente

3 Gli effetti di precessione Nel 1918, Joseph Lense and Hans Thirring predissero l effetto di trascinamento del sistema di riferimento locale. Ogni corpo dotato di massa deforma lo spazio-tempo attorno a se. Se questo oggetto ruota, esso induce una seconda distorsione torcendo lo spazio attorno a se. Se lo spazio-tempo è in stato di trascinamento attorno a questa prima massa, allora gli oggetti presenti in quella zona di spazio debbono risentire di tale stato dinamico.

4 Precessione Geodetica La curvatura dello spazio-tempo causa la precessione del giroscopio rispetto alle stelle fisse!& = 6.6 "" / yr S J!& = "" / yr Precessione geodetica ds r d" = # r G $ S r r # G = (% )r v $ & r U S = spin del giroscopio S v = velocità del giroscopio U = potenziale gravitazionale terrestre γ = parametro PPN Ad esempio il sistema Terra-Luna è un giroscopio con gli assi perpendicolari al piano orbitale: la precessione è di 2 secondi d arco per secolo

5 L effetto Lense-Thirring Secondo la Relatività Generale il moto della materia produce un effetto analogo al moto di cariche in elettromagnetismo. Tra due corpi in rotazione esiste allora un accoppiamento Spin- Spin che ne altera lo stato dinamico. Si parla allora di effetto Gravitomagnetico o effetto Lense- Thirring ds r d" = # r LT $ S r n = versore radiale r = distanza dal centro della Terra α 1 = parametro PPN r # LT = % 1 2 (1+ & ' )[r 1 J % 3n r ( n r ( J r )]/r 3 Per un orbita polare a 650 km d altezza ci aspettiamo (1/2) x (1+γ+α 1 /4) x 42 x 10-3 secondi d arco/anno

6 La rivelazione dell effetto Lense-Thirring I satelliti LAGEOS e LAGEOS 2 sono stati utilizzati per osservare l effetto Lense-Thirring aanalizzando 11 anni di dati. Ogni satellite è una sfera altamente riflettente. I segnali emessi da un Laser sono fatti rimbalzare all indietro colpendo i satelliti e quindi vengono analizzati. Dall analisi dei dati si deduce un valore dell effetto di precessione misurato coincidente entro 1% con il valore previsto dalla teoria di Einstein. Tuttavia l errore associato a tale misura è del 10%. Un altro satellite, Gravity Probe B, è stato lanciato nel 2005 per measurare direttamente l effetto Lense-Thirring. I risultati saranno rilasciati dalla collaborazione internazionale nel 2007

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8 Gravity Probe B - GPB I rotori dei giroscopi sono sfere di quarzo di 3.8 cm, sospensi elettrostaticamente Per limitare l effetto torsionale mareale la sfericità deve essere assicurata entro 10-6 cm Le sfere sono ricoperte di niobio, materiale che diviene superconduttore per T< 9 K. In condizioni di superconduttività alle sfere viene associato un momento magnetico (London magnetic moment) parralelo allo spin. Le sfere sono circondate da bobine superconduttrici in cui si induce una corrente quando la sfera precede. La variazione di corrente è misurata con uno SQUID (Superconducting Quantum Interference Device)

9 Gravity Probe B - GPB I giroscopi sono posti in una camera da vuoto circondata da elio superfluido a 1.8 K L asse longitudinale del satellite è mantenuto in una direzione fissata tramite un telescopio che punta su una stella di riferimento e da un sistema di controllo basato sull uso di piccoli razzi correttori Il satellite è reso drag-free grazie al monitoraggio del moto relativo al satellite di una massa libera al suo interno.

10 Gravity Probe B - GPB

11 Test della teoria gravitazionale su sistemi stellari il sistema binario PSR PSR B , The Vela Pulsar PSR B , The Crab Pulsar Una Pulsar è una stella che presenta un elevatissimo campo magnetico ~ volte il campo magnetico terrestre. Si ipotizza che si tratti di una stella di neutroni la sua struttura sia con un raggio km e massa dell ordine di 1,4 M s. Il suo asse di rotazione non coincide con l asse del dipolo magnetico e le particelle relativistiche cariche presenti nella magnetosfera emettono radiazione e.m. di sincrotrone focalizzata in uno stretto cono lungo i poli magnetici. Questo segnale elettromagnetico, proveniente da grande distanza e modulato dalla rotazione dela stella, viene ricevuto a Terra sotto forma di impulsi e.m. aventi una molto ben periodicità ben definita. Il sistema emettente si comporta come un immenso e compatto volano ed alcune pulsar emettono con una regolarità cos`ˆben definita da essere utilizzabili come orologio primario di riferimento.

12 Il radiotelescopio di Arecibo courtesy of the NAIC - Arecibo Observatory, a facility of the NSF Si tratta del più largo radiotelescopio esistente installato nel 1963 a Puerto Rico dalla National Science Fundation (USA) sotto la responsabilità della Cornell University.. Lo specchio riflettore al suolo è di 305 m di diametro ed è costituito da pannelli di aluminio perforato ciascuno di 1m x 2 m. Sospeso 150 m sopra di esso vi è l apparato ricevente di 900 tonnellate.

13 Il segnale radioastronomico Prima di riporare il tempo d arrivo degli impulsi osservato a Terra in tempo proprio della Pulsar occorre correggere la Dispersione. Essa è dovuta alla propagazione del segnale e.m. attraverso gli elettroni liberi del mezzo interstellare.le componenti a bassa frequenza del segnale sono ritardate maggiormente. Per corregere si rivela ad esempio nell intervallo MHz diviso in 32 sottobande da 1.25 MHz. Il tempo d arrivo dell impulso è dedotto misurando la differenza di fase tra ciascun profilo ed il corrispondente profilo di riferimento ottenuto mediando a lungo i dati. Si corregge poi per la dispersione

14 Test della teoria gravitazionale su sistemi stellari il sistema binario PSR Nell estate del 1974 usando il radio telescopio di Arecibo nello stato di Portorico, Joseph Hulse e Russel Taylor scoprirono una Pulsar generante un segnale radio periodico di 59 ms, PSR Tuttavia la periodicità di 59 ms non era stabile e manifestava cambiamenti dell ordine di 80 µs /giorno e a volte dell ordine 8µs in 5 minuti. Il grafico del periodo apparente in funzione del tempo d osservazione fu interpretato in termini di effetto Doppler dovuto alla presenza del moto orbitale della pulsar attorno ad una stella compagna.

15 La frequenza di ripetizione degli impulsi è utilizzata per dedurre la velocità radiale orbitale. Quando la Pulsar si muove verso di noi la Pulsar è vicina al Periastro la frequenza di ripetizione è più alta. Quando è più lontana da noi, ovvero all Apoastro, la frequenza degli impulsi deve calare. Il fatto che velocità negative (blueshift frequency, più vicino alla Terra) sono più grandi delle positive (redshift frequency, più lontano dalla Terra) è indice di una forte eccentricità dell orbita.

16 Il tempo d arrivo dei segnali cambia anche a seconda del movimento della Pulsar. Quando questa si muove lungo il tratto di orbita rivolto verso la Terra il tempo d arrivo anticipa di 3 secondi rispetto a quando è lungo il tratto opposto. Questo tempo implica che abbiai una dimensione di circa ~ km.

17 Vicino all Apoastro il campo gravitazionale è più forte e lo scorrere del tempo è rallentato (redshift gravitazionale): il tempo tra gli impulsi ricevuti si allunga. L orologio della pulsar è rallentato quando viaggia più veloce e si trova nella zona di spazio dove il campo gravitazionale è più forte. Lo scorrere del tempo poi accelera di nuovo quando siamo nella zona di campo debole.

18 L orbita della Pulsar giace su un piano inclinato di ~45 o rispetto alla direzione di vista ed appare ruotare nel tempo; più precisamente l orbita è aperta e quasi ellittica in cui il punto più vicino al cetro di massa continua a ruotare ad ogni giro (precessione del Periastro analogo a quello osservato per l orbita di Mercurio attorno al Sole. L avanzamento del periastro per PSR è di ~ 4.2 gradi/anno, ovvero si osserva in un giorno ciò che per Mercurio accade in un secolo.

19 Parametri del fit kepleriano per il sistema binario PSR Sotto l ipotesi d effetto doppler dal grafico della velocità in funzione del tempo fu dedotto un fit nell ipotesi d orbita Kepleriana del sistema a due corpi. K 1 = semi-ampiezza della variazione della velocità radiale della pulsar P b = periodo del moto orbitale del sistema binario P P = periodo della Pulsar correttoper lo spostamento Doppler ad una data epoca e = eccentricità dell orbita a 1 sin i = semi-asse maggiore dell orbita proiettato sul piano del cielo, essendo i l angolo tra il piano dell orbita ed il piano di riferimento (piano perpendicolare alla linea di vista dalla Terra alla pulsar) ω = longitudine del periastro ad una data assegnata ( Settembre 1974) m 1 = massa della Pulsar m 2 = massa del compagno f 1 = (m 2 sin i) 3 /(m 1 +m 2 ) 2 =funzione di massa

20 Update using data from

21 PSR e la verifica della Relatività Generale Dai dati si osserva un cambiamento nel tempo del periodo orbitale. Questo può essere legato a varie cause. Una di esse è la perdita d energia per emissione di Onde Gravitazionali legate all esistenza di un momento di quadrupolo del sistema. Sulla base della formule di puro quadrupolo della Relatività Generale che discuteremo più tardi, si ha: de/dt = -(32/5) [µ/ (m 1 +m 2 )] 2 [(m 1 +m 2 )/a)] 5 [1+ (73/24) e 2 + (37/96) e 4 )](1-e 2 ) -7/2 µ = [(m 1 m 2 ) / (m 1 +m 2 )] = massa ridotta del sistema orbitante Dalla terza legge di Keplero si deduce la derivata del periodo orbitale nel tempo (1/P b ) (dp b /dt) = -(3/2) (1/E) (de/dt) ovvero (dp b /dt) =-(192π/5)[2π (m 1 +m 2 )/P b ] 5/3 [µ/ (m 1 +m 2 )][1+(73/24) e 2 +(37/96) e 4 )](1-e 2 ) -7/2

22 Identificazione degli oggetti stellari di PSR Sono state dedotte previsioni diverse sull avanzamento del periastro sulla base della natura dei corpi in gioco U= uniform rotation D= differential rotation BH= Black Hole WD= White Darf NS= Neutron Star Identificazione più probabile corrisponde al punto a Il valore misurato dello shift del periastro costringe a muoversi nel piano (m 1,m 2 ) lungo la linea BH-NS-WD, corrispndente ad (m 1 +m 2 ) =2.85 M S Il valore di red-shift misurato costringe a muoversi lungo le linee tratteggiate marcate dalle lettera C I valori massimo e minimo di dp b /dt chiudono la zona grigia

23 Parametri post-newtoniani dedotti sperimentalmente < d" >= (18) dt anni#1 $ = 4.294(3) ms Avanzamento medio del periastro Ritardo degli impulsi dovuto al redshift gravitazionale dp b dt = #2.425(10) %10 #12 Previsioni della Relatività Generale Newtoniana Variazione nel tempo del periodo orbitale in approssimazione post- Inoltre si considerano altri due i parametri osservativi legati all effetto Shapiro (tempo di ritardo gravitazionale quando il segnale della pulsar transita in prossimita della compagno lungo la linea di vista dell osservatore a Terra) s = sin i = andamento funzionale del tempo di ritardo r = m 2 = ampiezza dell effetto di ritardo

24 m 2 m 1 = (7) M S m 1 m 2 = (7) M S

25 Cambiamento del periastro per emissione di Onde Gravitazionali: accordo tra teoria ed osservazione Russell A. Hulse 1950 Joseph H. Taylor Jr 1941 Premio Nobel per la Fisica nel 1993

26 Limiti dei parametri PPN α 1, α 2, α 3 Effetti legati all esistenza di riferimenti privilegiati Anisotropie della costante G misurata localmente Effetto di variazione del Periodo delle Pulsar Limite su α 3 di qualche parte su Torsione anomala sul sole che causa una oscillazione a caso della direzione dello spin rispetto al piano orbitale Limite su α 2 di qualche parte su 10 7 ζ 1, ζ 2, ζ 3, ζ 4, α 3, Violazione della Conservazione dell Impulso Bartlett and Van Buren Limiti dall effetto Nordvedt m A = m P " 3 E e c 2 " 3 <1#10 $8

27 I sistemi binarie come laboratorio di test delle teorie della gravitazione ζ 1, ζ 2, ζ 3, ζ 4 and α 3 parametri PPN relativi alle leggi di conservazione. Limite su ζ 1 dedotto indirettamente dall effetto Nordtvedt. Limite di ζ 3 < dedotto da Bartlett e van Buren (vedi lez. Precedente, modello lunare) relativo alla violazione della coincidenza tra massa attiva m A e massa passiva m P associata alla diversa energia di legame elettrostatica del nucleo atomico E e m A = m P +(1/2)ζ 3 E e /c 2. ζ 4 è connesso alla Gravità generata dalla pressione p generata da un fluido. In ogni ragionevole teoria della Gravità p è connessa con l energia cinetica ρv 2 e con l energia interna ρπ. Ne segue che ζ 4 = 3α 3 +2 ζ 1 3 ζ 3. In presenza di violazione della conservazione del momento avremo che in un sistema binario l accelerazione del suo centro di massa a CM risulta diversa da zero a CM = 1 2 (" + # ) m $ m 1 2 m 1 m 2 e 2 3 n a 3 m 1 + m 2 (1$ e 2 ) ˆ 3 / 2 P è il versore che dal centro di massa punta verso il periastro di m 1 a è il semi-asse maggiore dell orbita, e la sua eccentricità ˆ n P a CM = 0 (d 2 P b /d 2 t ) = 0 Dai limiti sulle osservazioni di PSR segue α 3 +2 ζ 2 <

28 I sistemi binarie come laboratorio di test delle teorie della gravitazione In Relatività Generale non è prevista radiazione dipolare. In teorie che includono la violazione del Principio d Equivalenza Forte (SEP) un tale contributo può essere significativo. Riferendoci al centro di massa del sistema binario, m I1 x 1 + m I2 x 2 =0 si può ragionevolemente affermare che l onda dipende da d (m G1 x 1 + m G2 x 2 ) /dt ovvero da ( v 1 - v 2 ) [(m I1 / m G1 ) - (m G2 / m I2 )] La violazione di SEP implica la dipendenza dall energia gravitazionale di legame degli oggetti stellari e poichè in PSR m 1 ~ m 2 Se esiste l effetto, esso è comunque altamente depresso nel sistema a masse uguali.

29 I sistemi binarie come laboratorio di test della teoria di Brans-Dicke Modifica della 3 o legge di Keplero 2 π f b = (G m /a 3 ) 1/2 Predizioni per <ω>, γ', dp b /dt in funzione del parametro d accoppiamento del campo scalare della teoria di Brans-Dicke, ω BD Termine di monopolo e quadrupolo s a e k a * misurano la dipendenza della generica massa m a e del generico momento d inerzia I a da ω BD. s a è connessa all energia di legame gravitazionale. s a e k a * dipendono dall equazione di stato della stella. Termine di dipolo ξ 0 B-D GR Assumendo l equazione di stato politropica delle stelle di neutroni, il diagramma di compatibilità impone ω BD > 500

30 Sommario sui limiti dei parametri PPN etc.. Argomento per una tesina.

31 Materiale Didattico Lezione Testo utile TESINE POSSIBILI C. M Will: The confrontation between General Relativity and Experiment Pre- print astro-ph/ gr-qc/ ( vedi sito web) C.M. Will Theory and experiment in gravitational physics,cambridge University Press Tesine: 1) analisi dettagliata dei dati della PSR e di sistemi simili 2) studio dei limiti imposti da osservazioni nel sistema solare ai parametri postnewtoniani