Un interpretazione meccanica di criteri geometrici per il dimensionamento dei piedritti di un arco

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1 Actas del Cuarto Congreso Nacional de Historia de la Construcción, Cádiz, enero 2005, ed. S. Huerta, Madrid: I. Juan de Herrera, SEdHC, Arquitectos de Cádiz, COAAT Cádiz, Un interpretazione meccanica di criteri geometrici per il dimensionamento dei piedritti di un arco Danila Aita Nell ambito della stereotomia alcune problematiche di carattere essenzialmente statico e meccanico, come ad esempio il tracciamento della curva d intradosso di un arco, il problema dell inclinazione dei giunti o quello del dimensionamento dei piedritti, sono risolte mediante l utilizzo di criteri geometrici. Nel presente lavoro vengono esaminate alcune regole geometriche proposte da Rodrigo Gil de Hontañón (XVI sec.) relative al dimensionamento dei piedritti e della sovrastruttura in un arco. Il comportamento meccanico del sistema arco-piedritti viene studiato attraverso il metodo delle aree di stabilità (Durand-Claye ), per mezzo del quale è possibile determinare l insieme delle soluzioni simultaneamente compatibili con l equilibrio della struttura e con la resistenza del materiale. Per le tipologie «geometriche» in esame viene individuato il grado di stabilità al variare della resistenza del materiale e dei parametri geometrici in gioco. I PROBLEMI GEOMETRICI PRESENTI NEI TRATTATI DI STEREOTOMIA Nel corso dei secoli, i trattati di coupe de pierres hanno costituito un vero e proprio corpus di regole empiriche relative al taglio delle pietre. Ma il fatto sorprendente è che tali trattati - persino quelli pubblicati dopo la nascita della moderna meccanica delle strutture si confrontino da un punto di vista essenzialmente geometrico con questioni di carattere statico e meccanico. In tale contesto, ad esempio, il problema del taglio dei conci relativamente al loro spessore e all inclinazione dei giunti o quello del dimensionamento dei piedritti in un arco sono risolti mediante l utilizzo di regole geometriche. D altra parte, nel suo Secret d architecture del 1642, Jousse definisce con la parola trait l arte di tracciare schemi a grandezza reale dell appareil di strutture in pietra, dai quali sia possibile ricavare le sagome per il taglio dei conci. Tale applicazione particolare della geometria al tracciato delle volte è più generalmente conosciuta con il nome di stereotomia (Pérouse de Montclos 1982, 84). Con un significato più specifico, nel titolo della sua opera Frézier definisce la stereotomia come «la théorie et la pratique de la coupe des pierres et des bois» (Frézier ). Altri autori francesi, come Philibert De l Orme (1567), Girard Desargues (1640), Mathurin Jousse (1642), François Derand (1643) e Abraham Bosse (1643) hanno indicato con coupe des pierres i metodi secondo i quali si tagliano i conci di un arco o di una volta, ponendo l attenzione sugli aspetti geometrici di tale arte. Solo Philippe de La Hire, nel suo trattato di stereotomia rimasto inedito, scrive: «Les ouvriers appellent la science du trait dans la coupe des pierres, celle qui enseigne à tailler et à former séparément plusieurs pierres, en telle sorte qu étant jointes toutes ensemble dans l ordre qui leur est convenable, elles ne composent qu un massif qu on peut considérer com-

2 2 D. Aita me une seule pierre» (La Hire ). In questo passaggio per la prima volta in un trattato di coupe des pierres sembra posta come condizione necessaria per una buona progettazione di una struttura voltata l impossibilità di attivazione di cinematismi tra le parti e, quindi, una condizione di equilibrio. Tuttavia nel manoscritto di de La Hire vengono trattati gli argomenti più comuni relativi al taglio delle pietre, utilizzando costruzioni geometriche. Eppure, come è noto, nonostante che le formulazioni delle prime teorie scientifiche sulle strutture ad arco risalgano solo al XVIII secolo, a quell epoca l arte del costruire aveva già permesso la realizzazione di capolavori architettonici progettati secondo criteri di grande stabilità. Risulta così di particolare interesse, in assenza di precise giustificazioni di carattere statico e meccanico, esaminare i criteri geometrici di dimensionamento che hanno guidato la progettazione di tali architetture. Rimandando ai riferimenti citati in bibliografia per quanto riguarda lo studio da un punto di vista meccanico del problema del taglio dei conci e dell inclinazione dei giunti in un arco (Aita 2001; Aita, Corradi 2002; Aita 2003; Aita, Froli 2003), nel presente lavoro vengono esaminate alcune regole geometriche relative al dimensionamento dei piedritti e della sovrastruttura in un arco, proposte da Rodrigo Gil de Hontañón, architetto del XVI secolo (García 1681). Il comportamento meccanico del sistema strutturale arco-piedritti viene studiato attraverso una rilettura critica del metodo di Durand-Claye (1867; 1868), detto anche metodo delle aree di stabilità, per mezzo del quale è possibile determinare l insieme delle soluzioni (in termini di curva delle pressioni) simultaneamente compatibili con l equilibrio della struttura e con la resistenza del materiale. Lo spessore e l altezza dei piedritti di un arco. Le regole geometriche di Rodrigo Gil de Hontañón Nei trattati di stereotomia è possibile rintracciare varie regole di dimensionamento, di natura prevalentemente geometrica. Il problema del dimensionamento dei piedritti di un arco, oggetto del presente studio, è esaminato ad esempio da Derand nel suo trattato (1643), ove egli riporta la nota regola, probabilmente antecedente (Huerta 2002); ancora, una regola per il dimensionamento dei piedritti è proposta da Gautier nel suo Traité des ponts (1765). Il Frézier nel suo trattato di stereotomia ( ) riporta la regola di Derand, usata comunemente dagli scalpellini, e quella di Gautier, descrivendo anche gli studi sulla spinta degli archi elaborati da De La Hire e da Couplet e i risultati sperimentali di Danyzy. Se le regole geometriche di Derand e Gautier stabiliscono lo spessore dei piedritti quando sia assegnata la sola curva d intradosso dell arco, di maggiore interesse appaiono le 7 regole per il dimensionamento dei piedritti di un arco o di una volta contenute nel trattato di architettura di Rodrigo Gil de Hontañón del XVI sec., purtroppo noto solo attraverso la rielaborazione fattane dall architetto Simón García nel suo Compendio de Architectura (1681). Le regole 1, 5, 6 e 7 si basano su un sistema di proporzioni geometrico e vengono applicate a forme rinascimentali; esse derivano dallo sviluppo delle antiche regole medievali di dimensionamento in chiave geometrica. Le regole 2, 3 e 4 si basano, invece, su un sistema antropometrico e algebrico di matrice vitruviana e sono applicate al dimensionamento di volte gotiche. In particolare, la prima regola geometrica costituisce un possibile precedente della regola di Derand e prescrive che, per un arco semicircolare, lo spessore del piedritto debba essere 1/4 della luce dell arco (misurata all intradosso). Ma, mentre Derand e Gautier non considerano, ai fini del dimensionamento, né lo spessore del concio, né l altezza della sovrastruttura, Rodrigo Gil de Hontañón fornisce altre 3 regole, derivate probabilmente da considerazioni sperimentali, in cui entrano in gioco anche questi parametri. La quinta e la sesta regola geometrica, infatti, consentono di determinare, per un arco semicircolare, la quota massima del piano orizzontale della sovrastruttura e lo spessore dei piedritti, noto il raggio d intradosso R. Con la settima regola si considerano come parametri in gioco anche l altezza dei piedritti e lo spessore dell arco, differente da quello dei piedritti. Tale regola, pertanto, testimonia più delle altre una certa percezione statica e meccanica del sistema arco-piedritti, mettendo in relazione la stabilità della struttura con parametri geometrici significativi da un punto di vista strutturale. Viene considerato anzitutto un arco semicircolare (fig. 1) di cui siano noti il raggio d intradosso R e lo

3 Un interpretazione meccanica di criteri geometrici 3 spessore del concio h = 1/6 l, ove l = 2R rappresenta la luce d intradosso La costruzione inizia dividendo l in tre parti eguali. Lo spessore del piedritto è determinato dalla lunghezza del segmento CE, pari ad 1/3 l. A partire da A, che è il punto più alto dell estradosso, si traccia poi la semiretta AC, che interseca in D il lato interno del piedritto. Il segmento DE definisce l altezza massima H del piedritto e misura (1+1/3)l. L altezza L della sovrastruttura è determinata dall intersezione della verticale passante per A con l arco di cerchio di centro E e raggio l + h. Figura 2 La settima regola di Rodrigo Gil de Hontañón. Secondo arco LE, ovvero dalla misura della distanza di L dall imposta dell arco più vicina. L altezza massima della sovrastruttura è determinata come nell esempio precedente. Figura 1 La settima regola di Rodrigo Gil de Hontañón. Primo arco In seguito viene considerato un arco semicircolare di cui siano noti il raggio d intradosso R, lo spessore del concio h = 1/5 l (ove l = 2R) e l altezza del piedritto H = 3R (fig. 2). Lo spessore del piedritto viene determinato tracciando la retta HK dalla sommità H dell estradosso all imposta K del lato interno del piedritto. Essa intersecherà il diametro d intradosso dell arco in L. Lo spessore del piedritto sarà dato da IL METODO DI DURAND-CLAYE: UNA PROCEDURA GRAFICA PER VALUTARE LA STABILITÀ DI UN ARCO CON RIFERIMENTO ALL EQUILIBRIO DELLA STRUTTURA E ALLA RESISTENZA DEL MATERIALE Per valutare il grado di stabilità corrispondente agli archi progettati in accordo con le regole di Rodrigo Gil, verrà in questa sede utilizzato un metodo grafico elaborato da Durand-Claye nel Come scrisse l autore stesso, tale procedura si prefigge di verificare, «s il existe des solutions d équilibre compatibles avec un effort-limite donné» (Durand-Claye 1867: 66). E possibile qui riconoscere una forma particolare di ciò che oggi indichiamo come safe theorem dell analisi limite. Questo teore-

4 4 D. Aita ma era già implicito nelle condizioni di stabilità fornite dagli sviluppi delle teorie settecentesche sull arco in muratura (Michon 1857). Ora, però, l intervallo di soluzioni è ristretto per tener conto dell effettiva resistenza del materiale di cui la struttura è costituita. Ovviamente, la condizione ultima secondo Durand- Claye non è la condizione di collasso dell analisi limite, a meno che non si assuma infinita resistenza a compressione e si trascuri la resistenza a trazione. Il metodo di Durand-Claye è stato descritto in alcuni lavori citati in bibliografia (Foce-Sinopoli 2001; Foce-Aita 2003; Aita-Barsotti-Bennati-Foce 2003; Aita-Barsotti-Bennati-Foce in corso di pubblicazione) nel corso dei quali, sottolineando il suo ruolo di razionale mediazione tra analisi elastica e analisi limite, è stato esteso considerando anche la presenza di resistenza a trazione e la possibilità di una distribuzione lineare a tratti delle tensioni a compressione. Rimandando ad essi, pertanto, in questa sede il metodo di Durand-Claye non sarà illustrato in dettaglio. Basti qui ricordare che esso consente di determinare, nella sezione in chiave di un arco simmetrico, l area di stablilità della struttura ad arco, ovvero il luogo degli estremi dei vettori rappresentativi delle spinte ammissibili con riferimento sia all equilibrio della struttura, sia alla resistenza del materiale di cui essa è costituita. Se tale area si riduce a un punto, può sorgere un meccanismo di collasso. Secondo il Figura 3 Il metodo di Durand-Claye modello adottato da Durand-Claye, la muratura è descritta come un materiale non resistente a trazione ma in grado di sopportare una limitata tensione massima di compressione di intensità pari a c. Si consideri la porzione di arco compresa tra il giunto in chiave c 0 d 0 e un generico giunto (fig. 3). Si denoti con W( i ) il peso della porzione c 0 d 0 e dell eventuale sovrastruttura, agente sul tratto d 0, con N( i ) la forza normale al giunto, con P la spinta in chiave e con e l eccentricità del suo punto di applicazione. Assumendo l usuale legge di distribuzione delle tensioni nella generica sezione, con possibilità di parzializzazione della sezione, è possibile tracciare l area i contenente la forza normale N( i ) compatibile con la resistenza a compressione c e le corrispondenti curve i e i nella sezione in chiave, determinate imponendo le condizioni di equilibrio del concio c 0 d 0. Le spinte in chiave P ammissibili rispetto all equilibrio del concio c 0 d 0 e alla resistenza del materiale sono rappresentate da vettori orizzontali i cui estremi giacciono entro l area A r,i definita dal quadrilatero r i s i p i q i delimitato dalle curve i, i, c 0 0 e d 0 0. Per tenere in conto anche della possibilità di traslazioni mutue lungo il giunto c j d j, è sufficiente condurre per un generico punto a appartenente al giunto il cono d attrito definito dall angolo d attrito, applicare idealmente in a il peso W( j ) e considerare le due spinte orizzontali corrispondenti a risultanti aventi, rispettivamente, la medesima direzione dei lati del cono. Queste spinte definiscono in chiave due linee verticali H and H +. L area A da esse delimitata contiene gli estremi delle spinte compatibili con t t s,j l angolo d attrito assegnato. Se si ripete l operazione per ogni giunto i, è possibile definire l area di stabilità A comune a tutte le aree A i = A r,i A s,i. Per un arco ben progettato, caratterizzato da un alto coefficiente d attrito, l area di stabilità è un quadrilatero curvilineo del tipo r i s i p j q j, nel senso che esso corrisponde ai giunti e c j d j. La sua forma e la sua dimensione forniscono utili informazioni sul grado di stabilità della struttura, sulla posizione delle spinte ammissibili e sulla collocazione dei giunti maggiormente sollecitati. Quando l area di stabilità si riduce a un punto, viene raggiunta la condizione limite ed è possibile un unico valore della spinta. Supponiamo che il quadrilatero r i s i p j q j sia l area di

5 Un interpretazione meccanica di criteri geometrici 5 stabilità di un arco caratterizzato da un alto coefficiente d attrito e da una resistenza a compressione c. Diminuendo c, l area risip j q j si ridurrà progressivamente fino a divenire un singolo punto per un certo valore limite c,min. Il rapporto v = c / c,min fornisce il coefficiente di sicurezza dell arco, in accordo con il metodo di Durand-Claye. P r, i min ( i ): P r, i max ( i ): tradosso, quando la spinta è applicata in chiave all estradosso d 0 ; per la rotazione attorno allo spigolo d intradosso, quando la spinta è applicata in chiave all intradosso c 0 ; per la rotazione attorno allo spigolo di estradosso, quando la spinta è applicata in chiave all intradosso c 0 ; VALUTAZIONE DEL GRADO DI SICUREZZA DI STRUTTURE AD ARCO DIMENSIONATE IN ACCORDO ALLA SETTIMA REGOLA GEOMETRICA DI RODRIGO GIL DE HONTAÑÓN Consideriamo la tipologia di struttura ad arco riportata da Rodrigo Gil de Hontañón nell ambito della settima regola di dimensionamento, ovvero un arco in muratura semicircolare a giunti radiali (fig. 1 e fig. 2), di luce l e raggio R con riferimento all intradosso. Siano h, H, B, L,, t e c, rispettivamente, lo spessore costante della sezione trasversale dell arco, l altezza e la larghezza dei piedritti, l altezza della sovrastruttura misurata a partire dalle imposte dell arco, il peso specifico e la resistenza a trazione e a compressione del materiale muratura. Mostreremo qui di seguito alcuni risultati ottenuti applicando il metodo di Durand-Claye all analisi strutturale del primo e del secondo arco descritto nella settima regola geometrica di Rodrigo ponendo l = 2R = 1000 cm e ipotizzando che la struttura portante, formata dal sistema arco-piedritti, e la sovrastruttura siano costituite da un materiale tipo muratura avente le seguenti caratteristiche: t = 0 dan/cm 2 ; c = 200 dan/cm 2 ; = dan/cm 3. Negli esempi analizzati si è inoltre considerato un alto valore del coefficiente d attrito, escludendo la possibilità di scorrimento mutuo tra le porzioni di struttura. Con riferimento a Fig. 3, si consideri la condizione di equilibrio limite del concio c 0 d 0, sotteso dall angolo i e soggetto alla spinta orizzontale in chiave P, al peso W( i ) sopra definito, con riferimento ai movimenti rigidi di rotazione attorno allo spigolo di intradosso o di estradosso. I corrispondenti valori della spinta in chiave sono dati da: P min ( i ): P max ( i ): per la rotazione attorno allo spigolo d intradosso, quando la spinta è applicata in chiave all estradosso d 0 ; per la rotazione attorno allo spigolo di es- Primo arco In accordo alla costruzione proposta da Rodrigo, le dimensioni dell arco (fig. 1) sono date da: l = 2R = cm h = 166,7 cm H = 1.333,3 cm B = 333,3 cm L = 1.057,8 cm Come si può osservare dalla figura 4, l arco è stabile in quanto esiste un area di stabilità estesa. Figura 4 Area di stabilità determinata con il metodo di Durand-Claye per il primo arco Lasciando inalterate le dimensioni dell arco e riducendo la resistenza a compressione c fino al valore limite c,min = 23,64 dan/cm 2, l area di stabilità si riduce ad un punto (fig. 5) e l arco collassa per rotazione, come in figura 6, con la formazione di cinque cerniere: all estradosso in chiave, all intradosso in

6 6 D. Aita corrispondenza del giunto definito da = 63 e all estradosso in corrispondenza dell imposta del piedritto. Si ha infatti: max P ( = 63 ) = min P (H = 1.333,3 cm, c = c,min = 23,64 cm) = 266,1 dan. Il coefficiente di sicurezza della struttura in accordo con il metodo di Durand-Claye è, pertanto, v = c / c,min = Se invece, lasciando inalterata la resistenza a compressione ( c = 200 dan/cm 2 ) e gli altri parametri dimensionali, si aumenta l altezza dela sovrastruttura fino al valore limite L max = cm, l arco collassa per rotazione e si ha (fig. 7): Figura 5 Collasso per rotazione quando c = c,min. L area di stabilità si riduce ad un punto P ( = 63 ) = min P (H = cm, L = L max = cm) = 617,1 dan. Figura 7 Collasso per rotazione quando L = L max. L area di stabilità si riduce ad un punto Il rapporto L max / L = 1,86 fornisce indicazioni sul grado di stabilità dell arco con riferimento all altezza massima del sovraccarico. Considerando i valori di partenza, aumentiamo ora l altezza del piedritto, fino al valore H max = cm. L arco collassa per rotazione e si ha (fig. 8): Figura 6 Collasso per rotazione del primo arco quando c = c,min max P ( = 63 ) = min P (H = H = cm) = max = 233,3 dan.

7 Un interpretazione meccanica di criteri geometrici 7 Il rapporto H max / H = 1,91 fornisce il grado di sicurezza dell arco con riferimento all altezza massima del piedritto. Il rapporto B / B min = 1,31 fornisce il grado di sicurezza dell arco con riferimento allo spessore minimo del piedritto. Secondo arco Anche per il secondo arco (fig. 2) è possibile svolgere considerazioni analoghe. In questo caso i parametri dimensionali sono dati da: l = 2R = cm h = 200 cm H = cm B = 340,9 cm L = 1.090,9 cm Figura 8 Collasso per rotazione quando H = H max. L area di stabilità si riduce ad un punto Come si può osservare da figura 10, anche questo arco è stabile in quanto l area di stabilità è estesa. Partendo sempre dai valori iniziali, diminuiamo ora lo spessore del piedritto, fino al valore B min = 254,4 cm. Anche in questo caso l arco collassa per rotazione e si ha (fig. 9): max P ( = 63 ) = min P (H = 1.333,3 cm, B = B min = 254,4 cm) = 233,3 dan. Figura 10 Area di stabilità determinata con il metodo di Durand-Claye per il secondo arco In questo caso il valore limite della resistenza a compressione è dato da c,min = 21,35 dan/cm 2, in corrispondenza del quale l arco collassa per rotazione analogamente al caso precedente e: Figura 9 Collasso per rotazione quando B = B min. L area di stabilità si riduce ad un punto max P ( = 67,5 ) = min P (H = cm, c = c, min = 21,35 cm) = 253,7 dan, mentre v = c / c,min = 9,37, maggiore rispetto al coefficiente di sicurezza prima ottenuto.

8 8 D. Aita Il valore limite dell altezza della sovrastruttura è dato, invece, da L max = 2469 cm, per cui si ha: max P ( = 63 ) = min P (H = cm, L = L max = cm) = dan. Anche in questo caso il rapporto L max / L = 2.26 è maggiore rispetto a quello ottenuto per il primo arco. L altezza massima del piedritto risulta essere H max = cm, per cui si ha: max P ( = 63 ) = min P (H = H = cm) = max = 213,8 dan. Il rapporto H max / H = 2,31 risulta maggiore rispetto a quello corrispondente al primo arco. Lo spessore minimo del piedritto, in questo caso, è dato da B min = cm, in corrispondenza del quale si ha: max P ( = 63 ) = min P (H = cm, B = B min = 241,7 cm) = 213,8 dan. Il rapporto B / B min = 1,41 risulta maggiore rispetto a quello precedente. Complessivamente, pertanto, il secondo arco è più «sicuro» rispetto al primo. E interessante osservare che il meccanismo di collasso è analogo nei differenti casi esaminati (meccanismo per rotazione). Inoltre, in entrambi gli archi esaminati, le due spinte in chiave corrispondenti al collasso per rotazione che si verifica per il raggiungimento dell altezza massima o dello spessore minimo dei piedritti hanno lo stesso valore, ovvero = min P (H = H ) = min P (H, max max max B = B min ). CONCLUSIONI La rilettura in chiave meccanica delle regole proposte da Rodrigo Gil de Hontañón attraverso il metodo di Durand-Claye dimostra che esse, pur essendo di incerta derivazione, consentono la progettazione di strutture ad arco caratterizzate da un adeguato coefficiente di sicurezza, con riferimento sia ai parametri geometrici, sia alla resistenza del materiale. Per quanto non sia possibile riconoscere in esse una chiara origine da considerazioni di carattere statico o meccanico, tali regole mettono in relazione parametri geometrici significativi a livello strutturale (altezza della sovrastruttura, spessore e altezza dei piedritti, spessore dei conci dell arco), che testimoniano una effettiva percezione del comportamento strutturale del sistema arco-piedritti fondata sull esperienza diretta o sulle cognizioni empiriche consolidatesi nell ambito dell arte del costruire. RINGRAZIAMENTI Un ringraziamento speciale a Gabriele Mazzei, autore delle immagini riportate nel presente lavoro, per la preziosa collaborazione. LISTA DI REFERENZE Aita, D Una possibile rilettura del problema dell arco tra geometria e meccanica. In Atti del XV Congresso AIMETA di meccanica teorica e applicata (Taormina, settembre 2001). Memoria: su CD rom. Sommario: SP_ST_02. Aita, D.; M. Corradi On the equilibrium of the flat arch with joints that have neither friction nor cohesion. In Becchi, A.; Corradi, M.; Foce, F.; Pedemonte, O. (eds.), Towards a history of construction. Dedicated to Edoardo Benvenuto, series Between mechanics and architecture, Basel: Birkhäuser. Aita, D Between geometry and mechanics: a re-examination of the principles of stereotomy from a statical point of view. In Proceedings of the first international congress on construction history (Madrid, 20 th 24 th January 2003). Vol. I Madrid: Instituto Juan De Herrera. Aita, D; M. Froli Tra stereotomia, statica e cinematica: indagine teorico-sperimentale sull equilibrio allo scorrimento di archi tozzi a conci rigidi. In Atti del XVI Congresso AIMETA di meccanica teorica e applicata (Ferrara, 9-12 settembre 2003). Sommario, 148. Memoria: su CD rom. Aita D.; R. Barsotti; S. Bennati; F. Foce Soluzioni esplicite per l analisi elastica non lineare e l analisi limite di strutture ad arco in muratura. In Atti del XVI Congresso AIMETA di meccanica teorica e applicata (Ferrara, 9 12 settembre 2003). Sommario, 149. Memoria: su CD rom. Aita, D.; R. Barsotti; S. Bennati; F. Foce. In corso di pubblicazione. The statics of pointed masonry arches between «limit» and «elastic» analysis. Arch Bridges - ARCH 04, Barcelona 2004.

9 Un interpretazione meccanica di criteri geometrici 9 Bosse, A La pratique du trait à preuves de Mr Desargues Lyonnais, pour la coupe des pierres en l architecture, par A. Bosse... París: P. des Hayes. De l Orme, P Le premier tome de l architecture. Paris: Morel. Derand, F L architecture des voûtes, ou l art des traits et coupe des voûtes,... par François Derand Paris: S. Cramoisy Desargues, G Brouillon project d exemple d une manière universelle du S. G. D. L. Touchant la pratique du trait à preuves pour le coupe des pierres en architecture; et de l éclarissement d une manière de réduire au petit pied en perspective comme en géométral, et de tracer tous quadrants plats d heures égales au soleil. Paris. Durand-Claye, A Note sur la vérification de la stabilité des voûtes en maçonnerie et sur l emploi des courbes de pression. In Annales des ponts et chaussées. Vol. 13: Durand-Claye, A Note sur la verification de la stabilité des arcs métalliques et sur l emploi des courbes de pression. In Annales des ponts et chaussées. Vol. 15: Foce F.; A. Sinopoli Stability and strength of materials for static analysis of masonry arches: Durand-Claye s method. In C. Abdunur (ed.), Arch 01-Third Int. Conf. on Arch Bridges, París: Presses de l École Nat. des Ponts et Chaussées. Foce F.; D. Aita Between limit and elastic analysis. A critical re-examination of Durand-Claye s method. In S. Huerta (ed.), Proc. First International Congress on Construction History. Vol II Madrid: Instituto Juan de Herrera. Frézier, A.F La théorie et la pratique de la coupe des pierres et des bois pour la construction des voûtes et autres parties des bâtimens civils et militaires ou traité de stéréotomie à l usage de l architecture. Strasburg-Paris. García, S Compendio de architectura y simetria de los templos conforme a la medida del cuerpo humano con algunas demostraciones de geometria, año Biblioteca Nacional, ms Madrid. Huerta, S The medieval scientia of structures: the rules of Rodrigo Gil de Hontañón. In Becchi, A.; M. Corradi; F. Foce; O. Pedemonte. (eds.), Towards a history of construction. Dedicated to Edoardo Benvenuto, series Between mechanics and architecture Basel: Birkhäuser. Jousse, M Le secret d architecture, decouvrant fidelement les traits géométriques, couppes & dérobemens decessaires dans les Bastimens. La Flèche: G. Griveau La Hire, P. de Traité de la coupe des pierres. Bibliothèque de l Institut, ms Paris. Michon, P. F Instruction sur la stabilité des voûtes et des murs de revêtement. Metz: Lithographie de l École d Application. Pérouse de Montclos, J.- M L architecture à la française, XVIe, XVIIe, XVIIIe siècles. 84. Paris: Picard.

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