Moti di Filtrazione. Filtrazione: flusso di un fluido attraverso un mezzo poroso saturo

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1 Moti di Filtrazione Filtrazione: flusso di un fluido attraverso un mezzo poroso saturo Permeabilità: attitudine a consentire la mobilità dell'acqua nel suo interno.

2 Applicazioni Trasporto di contaminanti Emungimento da pozzi Intrusione salina Filtrazione e sifonamento in opere di sbarramento e arginature

3 La rappresentazione grafica della composizione granulometrica si chiama CURVA GRANULOMETRICA e si ottiene mediante setacciatura (setacci tipo ASTM, DIN, UNI). Proprietà fisiche dei terreni: Il moto di filtrazione dipende dalla forma e natura dei grani, e della composizione granulometrica diametro significativo o efficace: usualmente D 10

4 Modello di mezzo poroso - una regione dello spazio occupata da un Sistema Multifase Eterogeneo, costituito dalle fasi fluida e solida, con la presenza anche di vuoti - al fine di garantire il flusso del fluido all'interno dei pori del mezzo è necessario che questi ultimi costituiscano un sistema interconnesso; la porzione di dominio interessata da tali connessioni viene definita come spazio poroso effettivo, non escludendosi la possibilità della presenza di pori ciechi nei quali il flusso è assente. difficoltà nella stima di n per terreni naturali IMP la disposizione degli elementi

5 Modello continuo dei mezzi porosi Representative Elementary Volume (REV): Il volume minimo al di la' del quale i singoli grani sono ininfluenti sul valore medio della porosità Analogia con la definizione di particella fluida (per la definizione della densità) -> fluido mezzo continuo

6 L acqua può presentarsi nel terreno in vari stati: - sotto forma di vapore, contenuto nell aria che riempie i pori; -allo stato igroscopico, attaccato con un microfilm alle particelle di terreno; - allo stato di acqua pellicolare che avvolge le particelle di terreno con un film non più spesso del campo di azione delle forze molecolari; - allo stato di acqua capillare che riempie in alto i pori e le fessure più piccole ed è soggetta alle forze capillari (tensione superficiale) predominanti sulla forza di gravità; - acqua gravitazionale che si muove per effetto della gravità preponderante sulle forze molecolari. Zona di areazione sopra la superficie libera Frangia capillare p < pa Zona di saturazione sotto la superficie libera.

7 Acquifero: strato, formazione o raggruppamento di formazioni di materiale permeabile, saturato con acqua; Acquiferi confinati:sovrastati da una formazione con basso valore di permeabilità, risalita dell'acqua nel tubo piezometrico fino ad un livello superiore del tetto dell'acquifero stesso. Se la pressione dell'acqua è sufficiente ad ottenere una risalita nel piezometro al di sopra del piano campagna, l'acquifero confinato viene definito Artesiano Acquiferi non confinati - Falda freatica: la superficie piezometrica dell'acqua coincide con la sua superficie libera Le funzioni degli acquiferi - sorgente; - serbatoi (attenuazione effetto delle fluttuazioni delle precipitazioni); - condotte naturali che consentono il trasferimento di portate d acqua; - impianto di trattamento (sostanze chimiche inorganiche ed organiche eliminate o disciolte, fenomeni di adsorbimento e scambio di ioni con la matrice solida).

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9 VELOCITÀ DI FILTRAZIONE Nel campo di moto di filtrazione di un liquido in un mezzo poroso: - estrema complessità del sistema di pori e canalicoli - velocità effettiva del liquido estremamente variabile in modulo e direzione (moduli della velocità in genere molto limitati) ESTREMAMENTE DIFFICILE E DI SCARSO INTERESSE LO STUDIO DEL MOTO NEI SUOI DETTAGLI FONDAMENTALE CONOSCERE LA PORTATA CHE FILTRA ATTRAVERSO UNA ASSEGNATA SUPERFICIE VELOCITA DI FILTRAZIONE

10 DISCHARGE VELOCITY AND SEEPAGE VELOCITY - VELOCITÀ DI FILTRAZIONE E VELOCITÀ REALE v discharge velocity: la quantità di fluido che filtra attraverso un area unitaria del mezzo poroso nell unità di tempo (velocità fittizia) E detta talora anche portata specifica ed indicata con il simbolo q. velocità di filtrazione v = Q/A v* seepage velocity: la velocità locale del fluido che attraversa il singolo poro (velocità reale).

11 LEGGE DI DARCY v = Q Ω = K dh dx Permeametro Legame lineare tra velocità di filtrazione e gradiente idraulico Legge sperimentale trovata da Darcy per terreni sabbiosi poi estesa ad altre tipologie di terreni e a moto 3D K [LT -1 ]: conduttività idraulica o coefficiente di filtrazione, dipende dal mezzo poroso e dal fluido

12 LEGGE DI DARCY: analogia con la legge di Poseuille Legame lineare tra velocità di filtrazione e gradiente idraulico Legge di Poiseuille (moto laminare uniforme in un condotto cilindrico a sezione circolare) Legge di Darcy v = Q Ω = K dh dx K [LT -1 ]: conduttività idraulica, dipende dal mezzo poroso e dal fluido k [L 2 ]: permeabilità, dipende dal solo mezzo poroso v k = = Q = Ω μ ρ g K g ν k dh dx

13 GIUSTIFICAZIONE DELLA LEGGE DI DARCY Sia le velocità di filtrazione che quelle reali sono etremamente piccole quindi il moto nei meati è prevalentemente laminare a numeri di Re molto bassi. Gli sforzi viscosi predominano (quelli turbolenti sono trascurabili) resistenze proporzionali alle velocità. analogia con la legge di Poseuille CIP (correnti in pressione) 64 64ν λ = = Re UD 2 H λ U j = = x D 2g H h = x x 2 gd h U = 32ν x Coeff resistenza in moto laminare CIP = 2 64ν U 2 D U 2g = 32ν U 2 gd Eq Darcy-Weisbach In moto uniforme (o trascurando i termini cinetici) LEGGE DI POSEUILLE: velocità proporzionale al gradiente idraulico

14 Re = v d/ν LIMITI DI VALIDITA DELLA LEGGE DI DARCY v = velocità di filtrazione ν = viscosità cinematica del fluido d = lunghezza caratteristica del mezzo poroso (es. il diametro medio dei granuli) Re generalmente basso deflusso laminare: vale a legge di Darcy u = 0.25cm/sec; d = 0.4 mm Nella gran parte dei casi la filtrazione negli acquiferi soddisfa alla legge di Darcy. Re critico (secondo Bakhmeteff) Si riscontrano deviazioni dalla legge di Darcy nelle formazioni carsiche e in vicinanza di scarichi come pozzi e sorgenti. Flussi turbolenti: eq Darcy-Forchheimer

15 k = μ ρ g K K [LT -1 ]: conduttività idraulica k [L 2 ]: permeabilità (intrinseca, indipendente dal fluido) Conduttività e Permeabilità per diversi mezzi porosi IMP TEMPERATURA

16 TERRENI IMPERMEABILI Non esistono terreni perfettamente impermeabili. Si usa il termine impermeabile soprattutto in senso relativo e cioè per strati la cui permeabilità è molto bassa rispetto a quella degli strati vicini. TERRENI PERMEABILI Isotropi: il coefficiente di permeabilità in ogni punto è indipendente dalla direzione del vettore velocità di filtrazione. Anisotropi: il coefficiente di permeabilità dipende in ogni punto dalla direzione del vettore velocità di filtrazione. Vi sono nel piano 2 direzioni (tre nello spazio) ortogonali fra loro, dette direzioni principali di anisotropia del terreno, lungo le quali il coefficiente di permeabilità è minimo e massimo.

17 DIFFERENZA TRA OMOGENEITA E ISOTROPIA

18 LEGGE DI DARCY: ESTENSIONE AL CASO 3D La legge di Darcy è stata inizialmente ottenuta in condizioni di flusso monodimensionale e mezzo omogeneo ed isotropo, essa può comunque essere ritenuta valida anche nello spazio tridimensionale eterogeneo anisotropo 1D: v x = K h x 3D terreno isotropo: 3D terreno anisotropo: v = K h Tensore di conduttività idraulica diagonale (3 elementi significativi rispetto alle direzioni principali) v = K h v v v x y z K = K = K = K = K 0 0 x x y z h x h y h z 0 K 0 y 0 0 K z

19 LEGGE DI DARCY La legge di Darcy non descrive ciò che succede nel singolo poro: rappresenta lo statistico macroscopico equivalente delle equazioni del moto di Navier-Stokes per le filtrazioni. Gli effetti viscosi sono inglobati nella legge di Darcy e il fluido può poi esser trattato come NON VISCOSO. MOTI IRROTAZIONALI (MOTI A POTENZIALE) MdF

20 MOTI DI FILTRAZIONE MOTI IRROTAZIONALI (MOTI A POTENZIALE) Equazione di continuità (per fluido pesante incomprimibile in moto stazionario): Equazione di Darcy: v = 0 SOSTITUENDO: ( K h) = 0 nel caso di mezzo isotropo si riduce all'equazione DI LAPLACE 2 h = 0

21 EQUAZIONE DI LAPLACE in 2D può essere rappresentata da 2 famiglie di curve che si intersecano ad angolo retto:

22 RETE IDRODINAMICA - FLOW-NET rappresentazione grafica di una famiglia di linee di corrente e di una famiglia di linee equipotenziali in un campo idrodinamico Il flusso fra due linee di corrente ψ1 e ψ2 ha portata δq=costante e quindi le due linee di corrente individuano UN TUBO DI FLUSSO (di spessore unitario).

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24 EQUAZIONE DI LAPLACE Metodi di soluzione: -metodi alle differenze finite, agli elementi finiti - rappresentazione conforme (vedi profili alari!) - composizione di moti elementari

25 Spinte esercitate dalle acque sotterranee su fondazioni o manufatti -> SOTTOSPINTA IMP per la verifica delle strutture! Imposte le condizioni al contorno, risolvendo l eq. di Laplace si ottiene il carico piezometrico h in ogni punto, si può valutare la distribuzione di pressione p= γ(h-z) e quindi ricavare la sottospinta idraulica su qualunque struttura

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27 Opere arginali di solito costituite da rilevati in terra Alti valori della velocità di filtrazione e quindi di portata comporterebbero: 1) allagamento del terreno da proteggere dall esondazione 2) rottura per sifonamento ARGINI

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31 DIGHE IN TERRA Stesse considerazoni fatte per le opere arginali superficie di gocciolamento (analogia con il fenomeno della sorgente sospesa nei pozzi) Trovare Q filtrante e posizione di AE: Condizioni al contorno DA DEPPO!!! diga con zoccolo di valle

32 Eterogeneità del suolo: analogia con la rifrazione ottica In generale:strati con alto K moti in orizzontale, Strati con basso K moti in verticale

33 Reticolo di filtrazione in un terreno anisotropo Ipotesi Suolo omogeneo

34 Esempio Kx >> Kz Z = (Kx/Kz)^0.5 z >> z

35 POZZI: -ARTESIANI -FREATICI

36 POZZO ARTESIANO COMPLETAMENTE PENETRANTE w w h h R r r R h h KT Q h h Q KT r R dh Q TK r dr dr dh rtk rt dr dh K v Q dr dh K v w ln ) ( 2 ) ( 2 ln = = = = Ω = = = π π π π π

37 R 2 KT ln = π ( h 2 h1 ) r Q w Essa presenta tuttavia una caratteristica incompatibile con l ulteriore condizione al contorno per la quale, lontano dal pozzo (teoricamente per r ), il carico piezometrico dovrebbe tendere al valore costante h imposto dalla falda artesiana indisturbata. La causa di tale contraddizione è l ipotesi di stazionarietà del deflusso (e, quindi, della superficie piezometrica). Infatti un deflusso stazionario nelle condizioni ipotizzate (acquifero indefinitamente esteso e assenza di alimentazione) non può sussistere: la superficie piezometrica deve inevitabilmente deprimersi in misura crescente nel tempo per far fronte al costante emungimento dal pozzo. Il problema dovrebbe dunque essere riformulato in forma non stazionaria. Fortunatamente, tuttavia, si dimostra che il deflusso tende ad uno stato quasi stazionario in cui l abbassamento della superficie piezometrica è talmente lento da risultare praticamente trascurabile. La distanza dal pozzo alla quale l abbassamento della piezometrica può considerarsi sensibilmente assente definisce il cosiddetto raggio d influenza del pozzo.

38 ACQUIFERI FREATICI la soluzione matematica del problema della filtrazione negli acquiferi freatici considerevolmente più complessa rispetto al caso degli acquiferi artesiani: 1. problema a frontiera libera (la regione in cui avviene il deflusso è superiormente confinata dalla superficie freatica, la cui configurazione è a priori non nota, costituisce anzi una delle incognite del problema). Il valore del carico sul contorno dipende dalla forma incognita della superficie freatica. 2. ogniqualvolta una falda freatica è confinata lateralmente da un corpo idrico (in particolare da un pozzo), l affioramento della superficie freatica avviene ad una quota superiore rispetto al livello della superficie libera nel corpo idrico: si forma cioè quella che viene denominata una sorgente sospesa (superficie di trapelazione). La posizione di tale sorgente è anch essa a priori non nota.

39 LA TEORIA DI DUPUIT PER CAMPI A FRONTIERA LIBERA osservazione sperimentale: la pendenza della superficie freatica risulta tipicamente molto piccola (generalmente compresa fra 1/1000 e 10/1000) IPOTESI DI DUPUIT: Consiste nel considerare il deflusso orizzontale. Tale approssimazione equivale a confondere le superfici isopieziche (h = cost) con superfici verticali. La legge di Darcy impone infatti che vettore velocità di filtrazione sia allineata al grad h L ip. di DUPUIT fornisce risultati accettabili

40 POZZO FREATICO COMPLETAMENTE PENETRANTE v Q R r w ln = dr r R r K w dh dr = vω = K = = 2πK Q πk Q πk ( h2 Q = ln dh dr h h ( h 2 h R r w 2 1 2πrh hdh 2 2 h 2 1 ) 2 1 formula di Dupuit-Forchheimer Q precisa anche tenendo conto della sorgente sospesa ) = 2πrKh dh dr Ip. di Dupuit: trascuro componente verticale delle velocità -> superfici isopieziche cilindriche errata la forma della superficie libera in prossimità del pozzo

41 POZZO FREATICO COMPLETAMENTE PENETRANTE Questo stesso calcolo può essere applicato anche quando la falda è indefinita nelle direzioni x e y. In tal caso si assume che la superficie libera è tangente al piano originario della falda a una distanza radiale R denominata RAGGIO D'INFLUENZA del pozzo. Visto che Q poco dipende da R/rw, assunzioni ragionevoli di R conducono a ragionevoli stime di Q. RAGGIO D'INFLUENZA del pozzo. R = m R = m R = m Per terreni fini Per terreni medi Per terreni grossolani

42 CONFRONTO TRA POZZO ARTESIANO E POZZO FREATICO COMPLETAMENTE PENETRANTI Q = f (Δh)conΔh = h 2 - h 1 La curva caratteristica Q = f (Dh) è rettilinea nel caso del pozzo artesiano, mentre è curva per il pozzo freatico. Q N.B. le soluzioni trovate si riferiscono in entrambi casi (pozzo artesiano e pozzo freatico) all ipotesi di stazionarietà, si può studiare il processo in moto vario Durata transitorio: differenze tra pozzi freatici e artesiani!

43 Pozzo artesiano in una falda EQUAZIONE DI LAPLACE in movimento - equazione differenziale lineare: se j1 e j2 sono soluzioni, anche qualsiasi loro combinazione lineare, j = a j1 + b j2, lo è. Quindi possiamo studiare una serie di soluzioni elementari le quali, combinate insieme, possono fornirci la soluzione di ampi insiemi di problemi.

44 pozzo+moto uniforme -> CENEDESE

45 Metodo delle immagini

46 Metodo delle immagini

47 Metodo delle immagini 2 condizioni al contorno

48 Metodo delle immagini