INTRODUZIONE A MATLAB

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1 Università degli Studi di Padova - Facoltà di Ingegneria A.A INTRODUZIONE A MATLAB Prof. Giovanni Sparacino Dipartimento di Ingegneria dell Informazione Università di Padova giovanni.sparacino@unipd.it web: http: 1 CHE COSA È MATLAB MATLAB= MATrix LABoratory. L elemento base sono le matrici Al solito, matrice M X N significa matrice ad M righe ed N colonne. Casi particolari: M=1 (vettore riga); N=1 (vettore colonna); M=N=1 (scalare) Matlab sarà per noi: un linguaggio di programmazione un ambiente di calcolo scientifico con routines altamente specializzate 2

2 PERCHE USEREMO MATLAB? Matlab ha in se' centinaia di funzioni che possono essere built-in (es. det, inv,...) o incluse in toolbox opzionali (es. funzione remez nel Signal Processing Toolbox) la cui licenza si acquista a parte. Nei programmi che scriviamo in Matlab di solito richiamiamo queste funzioni (o altre scritte da noi!). Grazie a queste funzioni, scrivere un programma in Matlab per risolvere un problema ingegneristico che coinvolge calcolo scientifico risulta molto più semplice e veloce che usare linguaggi come Fortran, Pascal, C,... Poichè il codice Matlab viene scritto in file di testo, è immediatamente trasferibile ad altre piattaforme dove Matlab è installabile (UniX, Mac, Windows, VAX,...). Un codice Matlab viene di fatto interpretato, ma è anche teoricamente possibile compilarlo tramite il Matlab Compiler (che però in questo corso non useremo mai) rendendo così al contempo chiuso il sorgente e più veloce 3 l esecuzione. UTILIZZO DI MATLAB: LA COMMAND WINDOW Lanciato Matlab, appare la command window con un prompt Uso la command window per: lavorare in modalita' interattiva lanciare l esecuzione di un M-file (= programma in Matlab) 4

3 UTILIZZO INTERATTIVO DELLA COMMAND WINDOW Dalla command window posso ad es. fare operazioni come con una calcolatrice e invocare comandi o funzioni (=programmi con argomenti). All'enter Matlab fa le sue elaborazioni e mi fornisce i risultati. L uso interattivo della command window è spesso poco conveniente e noioso (è difficile trovare gli errori, se voglio ripetere le operazioni più volte devo 5 riscrivere tutto ogni volta...), ma a volte può essere utile, specie per iniziare! OPERAZIONI DI ASSEGNAZIONE Dalla Command Window si possono assegnare valori a variabili in modo intuitivo. Osservazioni Se non metto il punto e virgola ( ; ) dopo l assegnazione, Matlab fa un eco Matlab non richiede la dichiarazione delle variabili. Matlab è case-sensitive I nomi delle variabili sono a piacere (ma non possono cominciare con un numero, includere spazi e caratteri speciali, es. *, e non dovrebbero coincidere con nomi riservati di comandi e funzioni, es. pi) Il contenuto della memoria di lavoro si chiama workspace Per vedere cosa ho nel workspace: who o whos (who+size) 6

4 Osservazione: A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] e A = [ ] creano la stessa matrice 3 X 3 di nome A Osservazione: A = [1 2;3 4] + i*[5 6;7 8] e A = [1+5i 2+6i;3+7i 4+8i] creano la stessa matrice 2 X 2 ad elementi complessi. NB: In Matlab i e j sono le costanti che rappresentano l unità immaginaria. Se dobbiamo usare numeri complessi, è bene evitare nel codice l uso di i e j come variabili (anche se è consentito) 7 Le matrici si inseriscono per righe In un operazione di assegnazione, a destra dell'uguale posso avere delle matrici Per accedere a porzioni di matrici/vettori, si usano le parentesi tonde Le parentesi quadre si usano solo per delimitare inizio e fine di matrici/vettori Gli indici delle matrici sono interi strettamente positivi In generale, per vettori riga, v(1,#) e accorciabile in v(#), mentre, per vettori, colonna z(#,1) coincide con z(#) 8

5 ESTRAZIONE DI SOTTOMATRICI Sia A=[ ] Per accedere ad un elemento: x=a(3,4) assegnera 4 Per accedere ad un intera riga, ad es. la 2 x=a(2,:) restituira [ ] Per accedere ad un intera colonna, ad es. la 3 x=a(:,3) restituira [10-3 6] Per accedere ad una sottomatrice, ad es.la 2X2 in basso a destra x=a(2:3,3:4) restituira [ ] 9 Le matrici si possono costruire affiancando matrici piu' piccole (purchè le dimensioni siano compatibili) 10

6 Una matrice molto grande come ad es. dati (40 X 4) nell esempio sotto può essere salvata in un file di testo es. dati.dat e richiamabile nel workspace con il comando load dati.dat 11 Matlab non richiede la predichiarazione delle variabili e della loro dimensione. Addirittura, fa un allocazione dinamica delle variabili: quando definisco un solo elemento di una matrice o quando definisco un nuovo elemento in una posizione che eccede la vecchia dimensione della matrice, gli altri elementi vengono definiti di imperio e posti uguali a zero! 12

7 DIMENSIONE DELLE VARIABILI Vettori length(x) restituisce la lunghezza del vettore X Matrici [M,N]=size(X) size(x,1) size(x,2) righe e colonne della matrice X numero di righe della matrice X numero di colonne della matrice X 13 COMANDO FORMAT Internamente, Matlab usa sempre doppia precisione. Per l esterno, si possono usare vari formati: format short format long virgola fissa, 5 cifre virgola fissa, 15 cifre.» format short» pi ans = » format long» pi ans = format short e format long e virgola mobile, 5 cifre. virgola mobile, 15 cifre.» format short e» pi ans = e+000» format long e» pi ans = e

8 Definizione e concatenamento di stringhe A='pinco' B='pallino' C=[A ' ' B] GESTIONE DI STRINGHE Conversione di numeri in stringhe E=67 ES=num2str(E) P=[C ES] 15 VARIABILI DI TIPO RECORD 16

9 17 GESTIONE DELLE VARIABILI NEL WORKSPACE who produce la lista delle variabili nel workspace whos la lista contiene anche informazioni su tipo e dimensioni clear all elimina tutte le variabili nel workspace clear <Variabile> cancella solo la variabile con nome Variabile Ogni volta che Matlab viene chiuso il workspace viene perso. Comandi utili: save <File> salva nel file File.mat tutte le variabili del workspace load <File> carica nel workspace tutte le variabili presenti in File.mat save <File> <Variabili> salva nel file File.mat le variabili in Variabili load <File> <Variabili> carica nel workspace le variabili Variabili del file File.mat 18

10 RIEPILOGO 19 GENERAZIONE DI VETTORI O MATRICI SPECIALI E possibile generare con semplicita vettori con elementi equispaziati avvalendosi del simbolo : 20

11 Per generare un vettore A di N elementi equispaziati tra Min e Max, posso anche usare il comando: A = linspace(min, Max, N) Il comando A=logspace(Min, Max, N) genererebbe invece N valori equispaziati su scala logaritmica 21 GENERAZIONE DI VETTORI CASUALI A=rand(3,5) matrice 3x5 con elementi casuali distribuiti unif. in [0,1] A=randn(3,5) matrice 3x5 con elementi casuali distribuiti gauss. come Ν(0, 1) Sfruttando le trasformazioni lineari riesco a estrarre da varie distribuzioni di probabilita v=10+2*randn(50,1) vettore colonna di lunghezza 50 con elementi tratti da una distribuzione gaussiana media 10 e deviazione standard 2 u=15+5*rand(50,1) vettore colonna di lunghezza 50 con elementi tratti da una distribuzione uniforme tra 15 e 20 22

12 RIEPILOGO 23 ALTRI ESEMPI A=[] : matrice vuota A=eye(10) matrice identità 10x10 A=zeros(3,5) matrice 3x5 con elementi tutti nulli A=ones(3,5) matrice 3x5 con elementi tutti pari a 1 A=diag([3, 5, 6]) matrice 3x3, con elementi sulla diagonale specificati 24

13 ESEMPI DI OPERAZIONI SULLE MATRICI Trasposizione di matrice Per la trasposizione di matrice si usa come in algebra lineare l apice 25 Prodotto per uno scalare, somma, prodotto tra matrici Matlab esegue in modo intuitivo le operazioni algebriche sulle matrici Esempio: >> a=2*eye(2) a = Esempio: >> a=ones(2,3); >> b=ones(2,3); >> a+b ans =

14 Naturalmente, quando si richiede di eseguire somma, differenza e prodotto, le dimensioni delle matrici coinvolte devono essere compatibili. Ad esempio, se usassimo a e b della slide precedente: >> a*b??? Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree. Infatti il prodotto fra queste specifiche matrici non è definibile. Posso nell esempio moltiplicare invece a per la trasposta di b, ottenendo: >> a*b' ans = Elevamento a potenza X^2 indica il prodotto della matrice X con se stessa ed è definito solo per matrice quadrate, cioè X^2 = X*X, X.^2 indica invece la matrice con elementi A i,j = ( X i,j ) 2 Per esempio: >> x=ones(2,2); >> x^2 ans = >> x.^2 ans =

15 Altro esempio >> x=[-1,2]; >> x^2??? Error using ==> ^ Matrix must be square. Posso invece sempre agire elemento per elemento >> x.^2 ans = Osservazione: Mettere il. prima dell operatore cambia l operazione drasticamente perchè significa elemento per elemento 30

16 Divisione divisione elemento per elemento equivale a a*inv(b) 31 Altre operazioni sulle matrici Ce ne sono un infinità, ad es. inv, det, trace, mean, std, var, sort, max, min, diag,... Solo per elencarne alcune: max(x), min(x): massimo e minimo del vettore x. sort(x): ordinamento ascendente del vettore x. mean(x),median(x),var(x),std(x): media, mediana, varianza e sd campionaria di x (per colonne se x è una matrice!!!). sum(x) : somma gli elementi di x (per colonne se x è matrice). prod(x): esegue il prodotto degli elementi di x (per colonne se x è matrice). diff(x): calcola le differenze [x(2)-x(1), x(3)-x(2),, x(n)-x(n-1)]. det(x) : determinante di X. rank(x) : rango di X. trace(x): traccia di X. inv(x) : matrice inversa di X. eig(x) : autovalori di X. poly(x) : polinomio caratteristico di X. norm(x, p): norma p di X (matrice o vettore che sia) 32

17 Esempi: min, max, sort 33 Esempi: poly, eig coeff. polinomio caratteristico colonne di V = autovettori di a autovalori di a 34

18 Esempi: lu 35 Manipolazione di matrici 36

19 RIEPILOGO 37 Funzioni matematiche Esistono innumerevoli funzioni, es. cos, sin, cosh, sinh, tan, tanh, asin, asinh, acos, acosh,... log, log10, log2, exp, abs, mod, sqr, sqrt, round, floor, ceil, sign che nei corsi di Matematica sono state definite su scalari e che, se l'argomento e' una matrice, in Matlab lavorano elemento per elemento. 38

20 Si possono così calcolare funzioni di matrici: >> a=zeros(1,2) a = 0 0 >> b=cos(a) b = 1 1 Altro esempio (NB: pi è una variabile predefinita che vale π): >> t=[0 pi/6 pi/3 pi/2]; >> x=cos(t) x = RIEPILOGO 40

21 GESTIONE DI POLINOMI Valutazione: polyval(p,x) : calcola il valore del polinomio in x Radici: roots(p) : radici del polinomio. poly(r) : determina il polinomio le cui radici sono r. 41 ALCUNI COMANDI PER SOPRAVVIVERE... Dalla Command Window >> <FrecciaSu>,<FrecciaGiu> Richiama i comandi già dati dalla Command Window >> help <NomeComando> Consulta l help in linea per il comando NomeComando >> lookfor <NomeComando> Ricerca nel manuale la parola chiave NomeComando >> demos Dimostrazioni >> exit Chiude Matlab 42

22 Nell help, per soli motivi grafici, la funzione viene scritta in maiuscolo, ma va usata comunque in minuscolo!!! Utili le funzioni correlate! 43 Lookfor ci aiuta a trovare comandi di cui non conosciamo l esistenza... 44

23 COMANDO diary (=big brother ) 45 ESECUZIONE DI M-FILES DALLA COMMAND WINDOW Una sequenza ordinata di comandi può essere scritta in un M-file (=file testo con estensione m). Per scrivere M-files ci si può servire di un comune texteditor (es. notepad) o del potente editor interno di Matlab Per far eseguire un M-file dalla Command Window, è sufficiente scrivere il nome dell M-file e battere Invio. Nella esecuzione di un M-file, Matlab si comporta come 46 un interprete.

24 M-FILES La scrittura di un M-file rispetto all esecuzione di comandi dalla Command Window permette di: Sperimentare un algoritmo, senza dover reintrodurre da tastiera, ad ogni variazione dello stesso, una lunga lista di comandi Ottenere programmi che possono essere riutilizzati, per esempio cambiando solo i dati Scambiare programmi con altri utenti Ottenere una documentazione permanente per un lavoro 47 TIPI DI M-FILES Scripts: sono files di comandi. Non hanno variabili in entrata e in uscita e operano sulle variabili del workspace % Questo file calcola la radice degli elementi di % una matrice a, se a>0, altrimenti stampa un messaggio di errore if a>=0 a=sqrt(a) else disp('errore') end Attenzione: nel workspace deve essere stata definita una variabile a Functions: sono files di comandi con argomenti in entrata e in uscita. Le variabili interne a questi programmi non influenzano le variabili del workspace function a=radfunz(x) % RADFUNZ(X) calcola la radice degli elementi di X % se X>=0, altrimenti stampa un messaggio di errore % if x>=0 a=sqrt(x) else disp('errore') end Per cominciare ci concentreremo sugli scripts Attenzione: Questo file deve essere salvato come radfunz.m 48

25 DA RICORDARE Quando dalla command window digitiamo pippo + Enter, Matlab: 1. Controlla nel workspace se pippo è una variabile ed eventualmente ce ne restituisce il valore 2. Controlla se esiste una function built-in di nome pippo ed eventualmente cerca di eseguirla 3. Controlla se esiste nella current directory un M-file di nome pippo.m ed ed eventualmente cerca di eseguirlo 4. Controlla se nell insieme delle cartelle presenti nel matlabpath (toolbox + quello che abbiamo inserito noi) esiste una function di nome pippo ed eventualmente cerca di eseguirla 49 USO DEL % (COMMENTI) E buona abitudine sia negli scripts che nelle functions inserire dei commenti I commenti sono segnalati da %: Matlab ignora tutti i caratteri dell intera riga dopo il % Le prime righe di commento di uno script o di una function diventano parte dell help online 50

26 GESTIONE DELLA WORKING DIRECTORY Dalla Command Window >> dir contenuto della directory corrente >> ls idem >> pwd percorso della directory corrente >> cd idem >> cd <Percorso> cambia la directory corrente >> chdir <Percorso> come sopra >> what analogo a dir, ma mostra solo i file.m,.mat,.mdl 51 OPERATORI RELAZIONALI Gli operatori relazionali più comuni sono: == uguale ~= diverso da < minore di <= minore o uguale Si usano nelle strutture if o while oppure per in operazioni di verifica (vd esempi sotto) Esempi: >> x=2; >> x==0 (questa relazione e falsa:) ans = 0 >> x==2 (questa relazione è vera) ans = 1 52

27 Gli operatori relazionali possono essere applicati anche alle matrici: >> a=[1 2; 0-1]; >> a>0 (qui i primi due elementi sono veri) ans = >> a>=0 (qui i primi tre elementi sono veri) ans = USO DEGLI OPERATORI RELAZIONALI COME FUNZIONI BINARIE eq - Equal == ne - Not equal ~= lt - Less than < gt - Greater than > le - Less than or equal <= ge - Greater than or equal >= 54

28 Gli operatori logici più comuni sono: & and logico or logico ~ not logico OPERATORI LOGICI Si usano nelle strutture if o while oppure per in operazioni di verifica (vd esempi sotto) Esempi: >> x=1; y= -1; >> x>0 & y>0 (questa relazione è falsa) ans = 0 >> x>0 y>0 (questa relazione è vera) ans = 1 55 USO DEGLI OPERATORI LOGICI SU MATRICI and - Logical AND & or - Logical OR not - Logical NOT ~ xor - Logical EXCLUSIVE OR any - True if any element of vector is nonzero all - True if all elements of vector are nonzero 56

29 USO DEGLI OPERATORI LOGICI SU MATRICI any all - True if any element of vector is nonzero - True if all elements of vector are nonzero 57 STRUTTURE DI PROGRAMMAZIONE 58

30 STRUTTURA IF ELSE END Struttura: if espressione istruzioni else istruzioni end Esempio: if mod(x,2)==0 else end disp( numero est pari ) disp( numero dispari ) 59 STRUTTURA IF ELSEIF END Struttura: if espressione istruzioni elseif espressione istruzioni else istruzioni end Esempio: if a>0 disp( a positivo ); elseif a == 0 disp( a nullo ); end else disp( a negativo ); 60

31 Il ciclo for ha la struttura: CICLO FOR END for variabile = espressione istruzioni end In genere espressione è del tipo IndMin:Incremento:IndMax. Esempio s=0; for i=1:10 s=s+i; end calcola la somma dei primi 10 numeri interi (55) s=0; for i=1:2:10 s=s+i; end calcola la somma dei numeri interi 61 dispari minori di 10 (25) Il ciclo while ha la seguente struttura while espressione istruzioni end CICLO WHILE END Esempio i=1; while i<5 i=i+1; end n=n+1; i >> i i = 5 Esempio 2 x=input('voto esame (0 per finire)'); sommavoti=0; n=0; while x~= 0 sommavoti=sommavoti+x; x=input('voto esame (0 per finire)'); end media=sommavoti/n; disp(['la media calcolata est=' num2str(media)]) 62

32 I cicli possono essere uno dentro l altro. Esempio (per il ciclo for) n=4; for i=1:n for j=1:i a(i,j) = 1; end % j end %i Crea una matrice triangolare inferiore: >> a a = Oss. trucchi per migliorare la velocita a=zeros(4,4) n=4; for i=1:n for j=1:i a(i,j) = 1; end % j end %i Fa la stessa cosa del codice prima, ma è più veloce, perché Matlab non deve ad ogni nuova riga/colonna riallocare lo spazio in memoria per la matrice a Meglio preallocare lo spazio per le variabili 64

33 Oss. trucchi per migliorare la velocita T=0.05; for i=0:100 t(i+1)=i*t+1; y(i+1)=log(t(i+1)); end %i Fa la stessa cosa di t=(0:1:100) y=log(t+1) ma e decine di volte più lento. Meglio vettorizzare il codice

34 GRAFICI Per ottenere il grafico di una funzione, devo: Preparare un vettore di ascisse Preparare un vettore di ordinate Scegliere la figura (opzionale) (Istruzione figure) Preparare il riquadro (opzionale) (istruzione subplot) Fare il grafico (istruzione plot) Settare gli assi (opzionale) (istruzione axis) Inserire titoli ed etichette (istruzioni title, xlabel, ylabel,...) 67 Esempio: grafico di e x cos4x, su [0,2] >> x=[0:0.01:2]; >> f=cos(4*x).*exp(x); >> plot(x,f) Esempio: grafico di una circonferenza sulla figura 3 >> t=0:0.01:2*pi; >> x=cos(t); >> y=sin(t); >> figure(3) >> plot(x,y,'g+') >> axis equal 68

35 ISTRUZIONE PLOT Una serie temporale (senza asse ascisse) plot(y) Una funzione plot(t,y) (di default vengono uniti i punti) Con i circoletti plot(t,y,'o') Circoletti + linea plot(t,y,'o',t,y) Circoletti + linea rossa plot(t,y,'o',t,y,'r') Circoletti+linea rossa tratteggiata plot(t,y,'o',t,y,'r--') 69 GESTIONE DI PIU GRAFICI Due funzioni sovrapposte plot(t1,y1,t2,y2) plot(t1,y1,'o',t2,y2,'*') Due spezzate Una serie di circoletti ed una serie di asterischi Oppure (comando hold on... hold off) plot(t1,y1) hold on plot(t2,y2). plot(t3,y3) hold off Piu' figure figure(1) plot(t1,y1) figure(2) plot(t2,y2) 70

36 ISTRUZIONE SUBPLOT L istruzione subplot(m,n,k) crea una figura contenente M*N riquadri, distribuiti su M righe ed N colonne. L indice K indica che il plot che segue, con annessi title, xlabel, etc.., si riferisce al K-esimo riquadro (con K che può assumere valori fra 1 e M*N) prima del plot, subplot(2,2,4) prima del plot, subplot(6,3,5) prima del plot, subplot(6,1,6) 71 figure(n) : apre la figura n. Se la figura n è gia esistente, la rende la figura attiva, ovvero quella su cui i plot avranno effetto. close: chiusura finestra grafica corrente close all: chiusura di tutte le finestre grafiche close (n) : chiude la figura n clf: cancellazione grafici, riquadri etc dalla figura corrente title(stringa) : Inserisce il titolo nella figura attiva. stringa può contenere sequenze LaTeX. ylabel(stringa) : aggiunge del testo all asse delle ordinate. xlabel(stringa) : aggiunge del testo all asse delle ascisse. grid on/off : attiva/disattiva la griglia nella figura attiva. axis([xmin, xmax, ymin, ymax]) : specifica i range per ascisse e ordinate axis tight : gli assi finiscono al valore massimo/minimo dei dati (non rimane contorno) axis equal : fa in modo che incrementi unitari sui due assi abbiano la stessa lunghezza effettiva su schermo. axis square : si impostano gli stessi minimo e massimo per entrambi gli assi ( visualizzazione quadrata) axis normal : si ritorna alla configurazione originale degli assi 72

37 Apici e Pedici nei titoli/label ylabel('concentration c_{a}(t)') xlabel('concentration c^{b}(t)') Lettere greche nei titoli/label title( Risultati per \beta = 3') 73 GRAFICI A BARRE (in alternativa a plot) bar(x,y) : produce un diagramma a barre. bar([0:.25:1],[10:10:50]) hist(y,m): suddivide l intervallo dei valori compresi tra il minimo e il massimo di y in m bin (=sottointervalli) di egual larghezza e calcola (e poi disegna) il numero di elementi di y compresi in ogni bin hist(50+4*randn(1,5000),50)

38 stem(x,y): adatto quando si vuole mettere in evidenza il fatto che il segnale è a tempo discreto» x=[0:0.1:2*pi];» y=sin(x);» stem(x,y) semilogx(x,y) : come plot ma l asse x viene rappresentato in scala log10 semilogy(x,y) : come plot ma l asse y viene rappresentato in scala log10 loglog(x,y) : come plot ma con entrambi gli assi in scala log

39 Esempi semplici di M-file Esempio 1 % qui posso mettere tutti i commenti che mi pare t=(0:1:100)'; y=5*exp(-0.05*t); ts=(0:5:100)'; ys=5*exp(-0.05*ts); % aggiungo il rumore con varianza 0.8 ns=length(ts); vn=randn(ns,1); v=sqrt(0.8)*vn; zs=ys+v; plot(t,y,'r--',ts,zs,'bo') grid title('curva e campioni rumorosi') xlabel('tempo') ylabel('concentrazione') 77 Esempio 2 % esempio di programma che disegna % 5 decay esponenziali sovrapposti % nb: comando hold on, hold off, pause t=(0:0.01:10)'; tau0=0.5; figure(1) hold on for k=1:5 tau=k*tau0; y=exp(-t/tau); plot(t,y) pause end hold off 78

40 Esempio 3 % esempio di programma che disegna % decay esponenziali, uno dopo l'altro e a volontà, sulla stessa figura % NB comandi while ed input t=(0:0.01:10)'; tau0=0.5; ancora='s' k=1; figure(1) clf hold on while ancora=='s' tau=k*tau0; y=exp(-t/tau); plot(t,y) ancora=input('vuoi continuare (s/n)? ') k=k+1 end hold off 79 Esempio 4 % esempio di programma che disegna % 5 decay esponenziali su 5 subplot % comandi eval, num2str, e subplot t=(0:0.01:10)'; tau0=0.5; figure(1) for k=1:5 tau=k*tau0; y=exp(-t/tau); stringa1=['subplot(5,1,' num2str(k) ')']; eval(stringa1) plot(t,y) end 80