Problema: Risposta: e una funzione di ripartizione definita da:

Transcript

1 Problema: 1) Che cosa si puo' dire sulla distribuzione della somma di due variabili casuali uniformemente distribuite in [0;1]? 2) Che cosa si può dire della variabile casuale che rappresenta la somma dei punteggi ottenuti nel lancio di un dado a sei facce? Cosa succede se si lanciano 2 dadi, e tre dadi, e N dadi? Risposta: Iniziamo a rispondere al primo esercizio. Abbiamo visto che una variabile casuale continua uniformemente distribuita in (0; 1) ha una funzione densità definita da: e una funzione di ripartizione definita da: Abbiamo anche visto che tale variabile poteva essere ben simulata dalla funzione rand(). Per considerare una variabile casuale Z data dalla somma X + Y di due variabili casuali continue X e Y uniformemente distribuite in (0; 1) è naturale pensare a definire una lista definita da rand() + rand() o a due liste L1 e L2 ciascuna generata da una variabile rand() e poi considerare una lista L3 data da L1+L2 (ovviamente non ha senso procedere ad alcun ordinamento prima di avere definito L3, altrimenti non si simula la somma di due variabili casuali... che casualità c'è in una lista ordinata?). Sceglieremo la prima modalità, che appare più rapprsentativa dell'esperimento che vogliamo simulare... ma andue cose: a) Z varierà tra 0 e 2; b) è più probabile l'uscita di numeri vicino a 1 piuttosto che non vicno a 0 o a 2, perché i numeri vicini a 1 possono essere ottenuti in più modi, mentre i numeri vicini a 0 si hanno solo se si addizionano due numeri "piccoli" e quelli vicini a 2 solo se si addizionano due numeri "grandi" ("piccoli" e "grandi" relativamente all'intervallo (0; 2)). Ci aspettiamo quindi una funzione crescente linearmente da 0 a 1 e poi decrescente linearmente da 1 a 2. Una sorta di grafico a triangolo (naturalmente la linearità dei due tratti è una congettura tutta da verificare). In questo caso la funzione di ripartizione sarà costituita da due rami di parabole, la prima con la concavità rivolta verso l'alto e la seconda verso il basso (ovviamente la funzione di ripartizione sarà crescente). Verifichiamo queste congetture mediante un approccio sperimentale, generando una variabile Z che sia somma di due variabili casuali continue uniformemente distribuite tra 0 e 1 e trovando, come siamo capaci, la sua funzine di densità e la sua funzione di ripartizione. Allo scopo, effettuiamo innanzitutto le seguenti operazioni: a) definiamo una lista l0 che tenga conto del numero d'ordine del lancio (normalizzandola); b) definiamo una lista l1 che simuli la generazione di 2500 occorrenze di una variabile casuale continua Z data dalla somma di due variabili casuali continue uniformemente distribuite in (0; 1); c) disegniamo in grafici e geometria la densità geometrica di Z per vedere se le nostre congetture sulla distribuzione di Z sono sensate o no.

2 Come si vede il foglio 2 e la lista l1 suggeriscono che Z (simulata da l1) vari fra 0 e 2, ma che i valori vicini a 1 siano più probabili (la densità geometrica dei punti è maggiore vicino a 1, piuttosto che non vicino a 0 e a 1). Verifichiamo questa sensazione(che corrobora la nostra congettura iniziale) individuando la funzione di ripartizione (ricordiamo che ci aspettiamo due rami di parabole...). Allo scopo: a) definiamo la lista l2 che sia l'ordinamento di l1;

3 b) rappresentiamo su grafici e geometria il grafico a dispersione di l0 verso l2 (ossia l0 sulle y e l2 sulle x), in modo da avere la funzione di ripartizione. Molto simile a quanto ci aspettavamo. Per avere una conferma che si tratta di rami di parabole ( e quindi di funzioni quadratiche), esploriamo la funzione di densità (come siamo abituati, ossia aprendo il mudulo "dati & statistiche"). Ci aspettiamo una funzione a triangolo (ossia formata da due funzioni lineari dei cui tratti potremo chiedere le pendenze).

4 La congettura più semplice è che la funzione di densità sia formata da due tratti di rette, una con pendenza 1 e l'altra con pendenza -1. Se così fosse, la funzione di densità dovrebbe essere definita da: Vediamo se ha senso questa congettura inserendo nel grafico con l'istogramma la funzione f per vedere se si sovrappone bene al grafico.

5

6 Attenzione: quando scriviamo nella calcolatrice Define F(x) = TI-npsire modifica le maiuscole (F) in minuscole (f). Quindi la funzione che apparirà sul grafico, anche se viene scritta con la effe minuscola è la funzione di ripartizione F(x).

7 Siamo ora pronti per rispondere alla seconda domanda. Simuliamo una variabile casuale che rappresenti le uscite del lancio di un dado. Si tratta della lista "dadi". Ci aspettiamo (anzi, lo sappiamo) una distribuzione uniforme di valore 1/6 e discreta.

8

9 Che accadrà con due dadi, in particolare alla variabile casuale che dà la somma dei punteggi ottenuti sulle due facce? Definiamo una variabile casuale "duedadi" e vediamo che accade

10 Una distribuzione a triangolo...ve lo aspettavate? E che cosa se i dadi sono tre, quattro...n alla somma dei punteggi sulle loro facce? Che cosa vi sorprende in questo risultato?