Controllo dei Processi. Modellistica - Parte 3

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1 Università di Roma La Sapienza A.A. 2004/05 Controllo dei Processi Modellistica - Parte 3 Prof. Leonardo Lanari DIS, Università di Roma La Sapienza

2 Sistema non interagente: 3 serbatoi in serie Sia il processo composto da tre serbatoi nella configurazione in cascata rappresentata in figura. La temperatura di ogni serbatoio è costante e la superficie si trova a pressione atmosferica. Si desidera studiare l effetto del flusso f i (t) in ingresso al primo serbatoio e del flusso f o (t) della pompa sul livello del liquido nel terzo serbatoio h 3 (t). f i f o h 1 f 1 h 2 f 2 h 3 f 3 Le valvole hanno un apertura costante e il flusso attraverso di esse è dato dalla formula P (t) f(t) = C v G f con C v coefficiente della valvola, P (t) caduta di pressione e G f costante. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) Modellistica - parte 3 2

3 Sistema non interagente: 3 serbatoi in serie La valvola scarica a pressione atmosferica e pertanto per la generica valvola P (t) = P u (t) P d = P a + ρgh(t) P a = ρgh(t) con P u (t) pressione a monte e P d (t) pressione a valle della valvola, P a pressione atmosferica, ρ densità del liquido, g accelerazione di gravità e h(t) livello del liquido nel serbatoio. Il flusso attraverso la generica valvola è dato da P (t) ρgh(t) f(t) = C v = C v = C v h(t) G f Essendo la massa di liquido contenuta nel primo serbatoio (serbatoi cilindrici con area base A i ) pari a m 1 (t) = ρa 1 h 1 (t), la conservazione della massa porta all equazione dm 1 (t) dh 1 (t) = ρa 1 = ρf i (t) ρf 1 (t) ρf o (t) Per il secondo e il terzo serbatoio si ha dh 2 (t) ρa 2 dh 3 (t) ρa 3 G f = ρf 1 (t) ρf 2 (t) = ρf 2 (t) ρf 3 (t) L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) Modellistica - parte 3 3

4 Sistema non interagente: 3 serbatoi in serie mentre le equazioni per le valvole sono f 1 (t) = C v1 h1 (t), f 2 (t) = C v2 h2 (t), f 3 (t) = C v3 h3 (t) Si linearizzano le equazioni precedenti f k (t) f k + C k [ hk (t) h k ], avendo definito le variazioni rispetto al punto di lavoro Ck = f k(t) = 1 h k (t) ss 2 C vk ( h k ) 1/2, k = 1,..., 3 H k (t) = h k (t) h k, F k (t) = f k (t) f k, k = 1,..., 3, F i (t) = f i (t) f i, F o (t) = f o (t) f o La matrice dinamica del sistema è data da A = C 1 C 1 A 2 C 1 A A C 2 A 3 C 3 A 3, con autovalori λ i = 1/τ i. τ i = A i C i, i = 1,..., 3 K 1 = 1 C 1, K k = C k 1 C k, k = 2, 3 L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) Modellistica - parte 3 4

5 Sistema non interagente: 3 serbatoi in serie Si ottengono, trasformando secondo Laplace, le seguenti relazioni e cioè H 1 (s) = H k (s) = H 3 (s) = K τ 1 s F i(s) K τ 1 s F o(s) K k 1 + τ k s H k 1(s), k = 2, 3 ( 3 k=1 K k (1 + τ k s) ) [F i (s) F o (s)] serie di tre sistemi caratterizzati ognuno da un guadagno K k e una costante di tempo τ k. In molti testi di controllo dei processi una situazione rappresentata dalla relazione (sistemi in serie) n G(s) = G i (s) i=1 viene definita come sistema non-interagente. In ambito controllistico si usa questa dizione solo per sistemi MIMO. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) Modellistica - parte 3 5

6 Sistema non interagente: processi termici in serie Siano i due processi termici rappresentati in figura. Nel primo serbatoio entra solo il liquido A mentre nel secondo entra anche il liquido B. Si desidera studiare l effetto della temperatura dei due flussi in ingresso T 1 (t) e T 3 (t) sulla temperatura in uscita dal secondo serbatoio T 4 (t). T 1 ½ f f A + f A B T 4 V 1 T 2 V 2 f B ½ T 3 Hyp. flussi volumetrici f A e f B costanti, densità e calori specifici uguali nei due serbatoi e costanti ρ, C p, serbatoi vicini e perdite di calore trascurabili. Per i due serbatoi, h 1 e h 2 sono le entalpie specifiche, mentre u 1 e u 2 le energie interne. Si ricorda che sia l entalpia che l energia interna assumono valori rispetto a una situazione di riferimento. In tutti gli esempi fin qui riportati si è preso idealmente 0 K come temperatura di riferimento. Le due equazioni di conservazione della massa portano a V 1 e V 2 costanti. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) Modellistica - parte 3 6

7 Sistema non interagente: processi termici in serie Le equazioni di conservazione dell energia, per ogni serbatoio, sono dt 2 (t) V 1 ρc p dt 4 (t) V 2 ρc p = f A ρc p T 1 (t) f A ρc p T 2 (t) = f A ρc p T 2 (t) + f A ρc p T 3 (t) (f A + f B )ρc p T 4 (t) Il sistema è già lineare ed è caratterizzato dalla matrice dinamica ( ) A = f A V 1 0 f A V 2 Trasformando le relazioni precedenti si ottiene f A+f B V 2 con K 1 = T 4 (s) = K 1 (1 + τ 1 s)(1 + τ 2 s) T 1(s) + K τ 2 s T 3(s) f A f A + f B, K 2 = f B f A + f B, τ 1 = V 1 f A, τ 2 = V 2 f A + f B In conclusione si ha un sistema non interagente quando interconnettendo più sistemi la dinamica del sistema interconnesso è data dall unione delle dinamiche dei singoli sottosistemi. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) Modellistica - parte 3 7

8 Sistema interagente: serbatoi in serie con valvola Sia il processo costituito da due serbatoi interconnessi come in figura. f i f o h 1 h f 2 1 f 2 In questo caso la caduta di pressione sulla prima valvola è data da P (t) = P u (t) P d (t) = [P a + ρgh 1 (t)] [P a + ρgh 2 (t)] = ρg [h 1 (t) h 2 (t)] e dipende sia dall altezza del liquido nel primo serbatoio h 1 che dall altezza h 2. I flussi f 1 e f 2 assumono quindi l espressione f 1 (t) = C v1 P (t) G f f 2 (t) = C v2 h2 (t) = C v1 ρg [h 1 (t) h 2 (t)] G f = C v1 h1 (t) h 2 (t) L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) Modellistica - parte 3 8

9 Sistema interagente: serbatoi in serie con valvola La funzione f 1 (t) è una funzione non lineare sia di h 1 (t) che di h 2 (t). Rispetto al punto di lavoro la linearizzazione porta a con mentre per f 2 (t) si ha f 1 (t) f 1 + C 4 [ h1 (t) h 1 ] C4 [ h2 (t) h 2 ] C 4 = f 1(t) = f 1(t) = 1 h 1 (t) ss h 2 (t) ss 2 C v1 ( h 1 h 2 ) 1/2 f 2 (t) f 2 + C 2 [ h2 (t) h 2 ], C2 = f 2(t) = 1 h 2 (t) ss 2 C v2 ( h 2 ) 1/2, Le equazioni di conservazione della massa sono identiche al caso considerato precedentemente. Il sistema lineare finale è dato da Ḣ 1 (t) = C 4 A 1 H 1 (t) + C 4 A 1 H 2 (t) + 1 A 1 [F i (t) F o (t)] Ḣ 2 (t) = C 4 H 1 (t) C 2 + C 4 H 2 (t) A 2 A 2 L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) Modellistica - parte 3 9

10 Sistema interagente: serbatoi in serie con valvola Definendo le seguenti grandezze K 4 = 1 C 4, K 5 = C 4 C 4 + C 2, τ 1 = A 1 C 4, τ 2 = A 2 C 2 + C 4 si può ottenere la seguente relazione in s H 2 (s) = a cui corrisponde lo schema a blocchi K 4 K 5 (1 + τ 4 s)(1 + τ 5 s) [F i(s) F o (s)] + F i (s) F o (s) - K 5 (1 + τ 4 s)(1 + τ 5 s) H 2(s) + K K H 1 (s)h 2 (s) 4 s s + + La funzione di trasferimento di interesse è infine data dalla H 2 (s) = K 4 K 5 1 K 5 τ 4 τ 5 1 K 5 s 2 + τ 4+τ 5 1 K 5 s + 1 [F i(s) F o (s)] Si noti come, anche se apparentemente il sistema fisico è connesso in serie, il sistema risultante non lo è. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) Modellistica - parte 3 10

11 Sistema interagente: processi termici con ricircolo Si consideri lo stesso esempio precedente dei due processi termici in serie con in più un ritorno α nel primo serbatoio, attraverso una pompa, di una quota del flusso in uscita f A + f B a temperatura T 4. Si noti che 0 α 1. T 4 T 1 f A ½ V 1 V 2 f A +f B T2 f B ½ T 3 Le equazioni di conservazione della massa per ogni serbatoio portano, come nel caso precedente, a concludere che i volumi rimangono costanti. In particolare per il primo serbatoio si ha un flusso entrante pari flusso entrante = f A + α(f A + f B ) e deve coincidere con il flusso uscente dal primo serbatoio ed entrante nel secondo. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) Modellistica - parte 3 11

12 Sistema interagente: processi termici con ricircolo Le equazioni di conservazione dell energia sono invece date dalle dt 2 (t) V 1 ρc p = f A ρc p T 1 (t) + α(f A + f B )ρc p T 4 [f A + α(f A + f B )] ρc p T 2 (t) dt 4 (t) V 2 ρc p = [f A + α(f A + f B )] ρc p T 2 (t) + f B ρc p T 3 (t) (1 + α)(f A + f B )ρc p T 4 (t) La matrice dinamica è pari a A = ( f A+α(f A +f B ) α(f A +f B ) V 1 V 1 f A +α(f A +f B ) V 2 (1+α)(f A+f B ) V 2 ) Nel dominio della variabile complessa s, definendo le seguenti grandezze K 1 = f A f A + α(f A + f B ), K 2 = α(f A + f B ) f A + α(f A + f B ), K 3 = f A + α(f A + f B ) (1 + α)(f A + f B ), K 4 = τ 1 = V 1 f A + α(f A + f B ), τ 2 = f B (1 + α)(f A + f B ), V 2 (1 + α)(f A + f B ) L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) Modellistica - parte 3 12

13 Sistema interagente: processi termici con ricircolo si ha la seguente relazione T 4 (s) = K 3 K 1 (1 + τ 1 s)(1 + τ 2 s) K 2 K 3 T 1 (s) + a cui corrisponde lo schema a blocchi K 4 (1 + τ 1 s) (1 + τ 1 s)(1 + τ 2 s) K 2 K 3 T 3 (s) T 3 (s) T 1 (s) K 1 +T 1 2 (s) s 1 K 3 + K s T 4 (s) K 2 Si noti che i legami T 1 T 4 e T 3 T 4 hanno apparentemente la stessa dinamica. In effetti le due funzioni di trasferimento corrispondenti hanno lo stesso denominatore ma il legame T 3 T 4 è inoltre caratterizzato dalla presenza di uno zero (1 + τ 1 s). T 4 risponderà, per la presenza di tale zero, più prontamente ad una variazione di T 3 che ad una variazione di T 1. Fisicamente, una variazione di T 1 influenzerà prima la temperatura T 2 e, attraverso T 2, successivamente T 4 ; una variazione di T 3, invece, influenza direttamente T 4. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) Modellistica - parte 3 13

14 CSTR con capacità termica delle pareti Un modello più realistico del CSTR tiene in conto anche della capacità termica delle pareti del serbatoio. In effetti, si è implicitamente finora ipotizzato che una variazione della temperatura del liquido di raffreddamento si traducesse in un trasferimento istantaneo di calore tra il serbatoio e il jacket. T m (t) temperatura parete, C T i (t) T ai (t), T a (t) temperatura in ingresso e in uscita jacket, C f i f a T ai (t) A T m (t) k B f a T a (t) T(t) f ρ a densità acqua raffreddamento nel jacket, kg/m 3 V a volume acqua nella camicia di raffreddamento H ai, H a entalpie acqua in ingresso/uscita jacket, J/kg f i, f flusso volumetrico in ingresso/uscita reattore m 3 /s L equazione di bilanciamento del componente A rimane inalterata. Il contributo delle pareti a temperatura uniforme T m porta a dover modificare l equazione di conservazione dell energia del serbatoio in dt (t) ρv C p = ρc p (f i T i (t) ft (t)) λv (C A (t)) 2 k 0 e E/RT h i A i (T (t) T m (t)) con h i coefficiente di trasferimento del calore e A i area dello scambio per la parete interna. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) Modellistica - parte 3 14

15 CSTR con capacità termica delle pareti Per le pareti la conservazione dell energia si esprime con dt m (t) ρ m V m C vm = h i A i (T (t) T m (t)) h o A o (T m (t) T a (t)) dove h o e A o indicano rispettivamente il coefficiente di trasferimento del calore e area dello scambio per la parete esterna, V m volume parete, ρ m densità parete e C vm calore specifico a volume costante della parete. Infine per l acqua di raffreddamento si ha la seguente espressione della conservazione dell energia ρ a V a C pa dt a (t) = f a ρ a C pa (T ai (t) T a (t)) + h o A o (T m (t) T a (t)) Linearizzando e definendo le opportune costanti, si ottengono le seguenti relazioni in s C A (s) = T (s) = T m (s) = T a (s) = τ 1 s (K 1C Ai (s) + K 2 f(s) K 3 T (s)) τ 4 s (K 11f(s) + K 12 T i (s) K 13 C A (s) + K 14 T m (s)) τ 5 s (K 15T (s) + K 16 T a (s)) τ 6 s (K 17f a (s) + K 18 T ai (s) + K 19 T m (s)) L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) Modellistica - parte 3 15

16 CSTR instabile Si desidera vedere nel dettaglio il comportamento di un CSTR sotto ipotesi semplificative. Hyp. Mescolamento perfetto sia nel reattore che nel jacket, reazione irreversibile A k B del primo ordine, T a direttamente manipolata (non è necessaria un equazione di conservazione dell energia per il jacket), volume e concentrazione costanti (quindi f i = f), capacità termica della parete del reattore trascurabile. Le uniche equazioni necessarie derivano dal bilanciamento del componente A e dalla conservazione dell energia nel reattore dc A (t) dt (t) = f V (C Ai(t) C A (t)) k 0 e E/RT C A (t) = f V ( Ti (t) T ref ) + H ρc p Gli stati di equilibrio sono determinati dalle equazioni 0 = f V (C Ai(t) C A (t)) k 0 e E/RT C A (t) 0 = f V ( Ti (t) T ref ) + H ρc p k 0 e E/RT C A (t) C ea V ρc p (T (t) T a (t)) k 0 e E/RT C A (t) C ea V ρc p (T (t) T a (t)) L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) Modellistica - parte 3 16

17 CSTR instabile Si possono considerare i seguenti insiemi di parametri Parametro Unità Caso 1 Caso 2 Caso 2 F/V hr k 0 hr * * * 3600 ( H) kcal/kgmol E kcal/kgmol ρc p kcal/(m 3 C) T i C C Ai kgmol/m C e A/V kcal/(m 3 C hr) T a C Si consideri solo il Caso 2. Gli stati di equilibrio, trovati numericamente, sono pari a Stato 1 Stato 2 Stato 3 C Ae T e L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) Modellistica - parte 3 17

18 CSTR instabile Definendo i seguenti parametri k 1e = k 0 e E/RT e, k 2e = k 0 e E/RT E e RTe 2 si ottiene la seguente matrice dinamica per il sistema linearizzato intorno al generico stato di equilibrio x T e = (C Ae, T e ) ( ) F A e = la quale porta alle seguenti conclusioni: V k 1e ( H) ρc p k 1e F V C ea Stato di equilibrio 1: stabile asintoticamente; C Ae k 2e C e Ak 2e ( H) V ρc p ρc p Stato di equilibrio 2: instabile (autov. a parte reale positiva); Stato di equilibrio 3: stabile asintoticamente. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) Modellistica - parte 3 18

19 CSTR instabile Dalle equazioni di equilibrio (aggiungendo il pedice e alle variabili) si possono ricavare le seguenti relazioni e C Ae = F V C Aie F V + k 0e E/RT e F ρc p (T e T ie ) + C e A (T e T ae ) = HV k 0 e E/RT e C Ae Q rim = Q gen nella quale si è indicato con Q rim l energia rimossa e con Q gen quella generata dalla reazione. All equilibrio, avendo ipotizzato l assenza di altre perdite, si ha l uguaglianza tra le due energie. Si noti che l energia rimossa ha un espressione lineare in T e Q rim = [ C e AT ae F ρc p T ie ] + [C e A + F ρc p ] T e La retta individuata da tale equazione ha una pendenza indipendente dalla temperatura sia di alimentazione T ie che del jacket T ae ; pertanto variazioni di tali temperature porteranno ad una traslazione della retta. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) Modellistica - parte 3 19

20 CSTR instabile Sostituendo C Ae ricavata precedentemente nell espressione di Q gen si ottiene Q gen = HV k 0e E/RT e F V C Aie F V + k 0e E/RT e Tale funzione di T e ha un tipico andamento ad S. Il generico stato di equilibrio è dato dall intersezione della retta con la curva Q gen e si possono avere diverse situazioni come quelle rappresentate in figura: un solo stato di equilibrio (grafico a sinistra) o più stati di equilibrio (grafico di destra). Q rim Q rim Q gen x e3 Q gen x e x e2 x e1 T e T e L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) Modellistica - parte 3 20

21 CSTR instabile Dall andamento dei grafici dell energia rimossa e dell energia generata, si possono dare le seguenti interpretazioni fisiche riguardo la stabilità asintotica o meno degli stati di equilibrio. x e1 x e2 Q rim x e3 Q gen T e Si consideri una perturbazione positiva di T in x e3, in corrispondenza si avrà una quantità maggiore di energia rimossa rispetto all energia generata, riportandoci in x e3. Per una perturbazione negativa la quantità di energia generata è maggiore di quella rimossa, riportandoci in x e3. Lo stesso vale per lo stato di equilibrio x e1 mentre si ha esattamente il comportamento contrario per x e2. Per far funzionare il reattore nell intorno dello stato di equilibrio x 2e si devono modificare alcuni parametri del sistema (o condizioni operative) in modo tale da ottenere un unica intersezione in x 2e con caratteristiche simili a quelle in x 1e o x 3e. Ovviamente si può pensare di ottenere lo stesso risultato attraverso il controllo a controreazione. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) Modellistica - parte 3 21

22 CSTR instabile Altre interessanti considerazioni possono essere effettuate a partire dai grafici di Q gen e Q rim. Per diversi valori della temperatura del liquido di raffreddamento T a si ottengono diverse rette per l energia rimossa, tutte con stessa pendenza. Indicando con A, B, C, D e E tali rette, si ottengono diversi punti di equilibrio numerati da 1 a 9. Si può generare un nuovo grafico avente in ascissa T ae e sulle ordinate T e. T a Q rim 5 6 A B C D E Q gen T e A B C D E Q gen T e T ae La curva risultante mette in luce un comportamento simile ad una isteresi. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) Modellistica - parte 3 22

23 CSTR instabile Il termine isteresi viene usato in questo contesto per evidenziare un diverso comportamento a seconda del verso di percorrenza. Partendo dal punto indicato con 1 a basse temperature del liquido di raffreddamento, all aumentare di T a, ci si sposta verso destra passando per i punti 2 e 3. Arrivati nel punto 4, un lieve aumento di T a provoca un brusco aumento della temperatura del reattore che passa direttamente al punto 8. Tale fenomeno viene chiamato ignition. Piccoli aumenti successivi di T a si traducono in lievi aumenti di T. Extinction T e A B C D E Q gen Ignition Partendo dal punto 9, lievi diminuzioni di T a portano a piccole diminuzioni di T fino al punto 6. Al diminuire di T a si ha una brusca diminuzione di T con un salto 4 direttamente in 2. Successive diminuzioni non provocano variazioni brusche di T. Il fenomeno viene detto extinction. T ae Si noti che la regione di possibili punti di equilibrio compresa tra i punti 4 e 6 non verrà mai percorsa. Tale insieme di punti di equilibrio rappresenta, al variare di T a, un insieme di punti instabili. L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma La Sapienza ) Modellistica - parte 3 23