- S.Barbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Cap. 3. Riflessione e rifrazione su una superficie piana

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1 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici Leggi di Snell 1) Cap 3 Riflessione e rifrazione su una superficie piana Consideriamo due mezzi lineari, isotropi, omogenei e di estensione indefinita, separati dalla superficie piana S Il versore n sia normale al piano S e diretto dalla regione caratterizzata dai parametri ɛ, µ, σ alla regione caratterizzata dai parametri ɛ 1, µ 1, σ 1 dove viaggia un onda elettromagnetica piana Sia O un origine fissa che, per comoditá, immaginiamo situata su S ɛ 1, µ 1, σ 1 S ɛ, µ, σ n θ 1 θ O θ 0 n 1 n n 0 fig31-1 Un generico punto P che si trovi in uno dei due mezzi é individuato dal vettore posizione r e dall origine O; allora l equazione della superficie piana S é: cioé per tutti i punti di S vale la (311) n r S = 0 (311) Stratton Julius Adams - Electromagnetic Theory - IEEE Press Series on Electromagnetic Wave Theory, 007; Stratton Julius Adams: Teoria dell elettromagnetismo - Boringhieri, ) Willebrordus Snell van Royen (Snellius): Leiden (The Netherlands), Leiden,

2 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Un onda piana che si propaga nel mezzo 1 incida su S Essa é rappresentata da: E i = E 0 e ik 1 n 0 r iωt Hi = k 1 ωµ 1 n 0 E i (31) dove E 0 é l ampiezza complessa dell onda incidente ed n 0 il versore che definisce la direzione di propagazione; indichiamo inoltre con k 1 la costante di propagazione nel mezzo 1 e con k quella nel mezzo Il piano definito dai versori n ed n 0 é detto piano d incidenza Il passaggio dell onda dal mezzo 1 al mezzo é regolato dalle condizioni al contorno sulla superficie S, per soddisfare le quali si deve postulare (come vedremo) l esistenza di un campo riflesso nel mezzo 1 Dal punto di vista fisico, é evidente che il campo incidente induce un movimento oscillatorio di cariche libere e legate in prossimitá di S, il quale, a sua volta, irradia un campo secondario sia all indietro che in avanti Introdotta l ipotesi che tanto l onda riflessa quanto l onda trasmessa (o rifratta) siano piane, si ha: E t = E e ik n r iω t Ht = k n E ω µ t E r = E 1 e ik 1 n 1 r iω 1 t Hr = k 1 ω 1 µ 1 n 1 E r (313) dove n 1 ed n sono i versori delle direzioni di propagazione delle onde riflesse e trasmesse rispettivamente, E 1 ed E ampiezze complesse, finora indeterminate É importante osservare che le ampiezze E 0, E 1, ed E sono indipendenti dalla posizione e dal tempo Sappiamo, d altra parte, che su ciascun punto della superficie S la componente tangenziale del campo elettrico deve essere continua in ogni istante di tempo t Pertanto deve essere: ( n E0 e ik 1 n 0 r S iωt + E ) 1 e ik 1 n 1 r S iω 1 t = n E e ik n r S iω t (314) Ora, al variare di r su S e del tempo t la (314) deve essere sempre soddisfatta Poiché E 0, E 1 ed E non dipendono da tali variazioni, condizione necessaria perché la (314) sia sempre soddisfatta é che gli argomenti dei fattori esponenziali in essa presenti siano identici sulla superficie n r S = 0 e per ogni t, cioé: Consideriamo la seguente identitá vettoriale: ω = ω 1 = ω e quindi k 1 = k 1 (315) k 1 n 0 r S = k 1 n 1 r S = k n r S (316) ( ) a b c = ( a c) b ( ) a b c (317) e valutiamola per a = b = n e c = r; si ha: n ( n r) = ( n r) n ( n n) r 3 -

3 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Poiché n n = 1, essa si scrive: r = n ( n r) + ( n r) n (318) Ne segue che tutti i punti della superficie S sono individuati dal vettore posizione (318) avendo in essa posto n r = 0 Quindi: Conseguentemente le (316) si scrivono: r S = n ( n r S ) (319) k 1 n 0 n ( n r S ) = k n n ( n r S ) k 1 n 0 n ( n r S ) = k 1 n 1 n ( n r S ) (3110) Consideriamo, ora, la seguente identitá vettoriale: ( a ) ( b c d ) ( = a b c d ) Per a = n 0, b= n, c= n, d = r S, si ha: Cosicché le (3110) diventano: n 0 n ( n r S ) = ( n 0 n) ( n r S ) (3111) che si scrivono k 1 ( n 0 n) ( n r S ) = k ( n n) ( n r S ) k 1 ( n 0 n) ( n r S ) = k 1 ( n 1 n) ( n r S ) (k 1 n 0 n k n n) ( n r S ) = 0 ( n 0 n n 1 n) ( n r S ) = 0 (311) (3113) Poiché la validitá delle (3113) é assicurata per qualunque valore di r S, si ha: k 1 n 0 n = k n n n 0 n = n 1 n (3114) Da queste due relazioni si deduce che n, n 0, n 1 ed n sono tutti complanari; cioé i piani di fase costante delle onde trasmessa e riflessa sono normali al piano di incidenza Dalla seconda delle (3114) si deduce che: sin (π θ 0 ) = sin θ 1 cioé sin θ 0 = sin θ 1 (3115) 3-3

4 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - che conduce alla legge di riflessione: l angolo di incidenza é uguale all angolo di riflessione Dalla prima delle (3114) si deduce che: k 1 sin (π θ 0 ) = k sin (π θ ) cioé k 1 sin θ 0 = k sin θ (3116) che esprime la legge di Snell o della rifrazione 3 - Equazioni di Fresnel 1) Si applichino ora le condizioni al contorno per determinare la relazione fra le ampiezze E 0, E 1 ed E Applicando le condizioni per le componenti tangenziali del campo elettrico e magnetico supponendo l interfaccia priva di corrente superficiale, si ha: ( n E0 + E ) 1 = n E (, n H0 + H ) 1 = n H su S (31) Esprimendo il campo magnetico in funzione del campo elettrico per mezzo delle note formule, le (31) si scrivono: n ( n E0 + E ) 1 = n E ( n 0 E 0 + n 1 E ) k1 ( 1 = n n µ ) k (3) E 1 µ La direzione del vettore primario E 0 é del tutto arbitraria, ma si puó sempre scomporre in una componente normale al piano di incidenza e quindi tangente a S, e in una componente giacente sul piano di incidenza Il calcolo si semplifica notevolmente se si trattano separatamente queste due componenti dell onda incidente Caso I - E 0 normale al piano di incidenza 1) Augustin Jean Fresnel: Broglie (France), Ville d Avray, Paris,

5 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - ɛ 1, µ 1, σ 1 S ɛ, µ, σ n O E 0 θ 0 n 0 H 0 fig3-1 In questo caso si ha: n E 0 = n 0 E 0 = 0 (33) Poiché i mezzi sono isotropi, i vettori elettrici dell onda trasmessa e riflessa devono essere paralleli a E 0 e quindi normali al piano di incidenza, cioé deve aversi: n E 1 = n E = 0 (34) Scriviamo in maniera diversa le equazioni (3) Moltiplichiamo la prima vettorialmente per n; si ha: n ( n E ) 0 + n ( n E ) 1 = n ( n E ) (35) Applichiamo l identitá vettoriale (317) alla (35) e alla seconda delle (3) ottenendo: ( n E ) 0 n E 0 + ( n E ) 1 n E 1 = ( n E ) n E (36) [( n E ) 0 n 0 ( n n 0 ) E 0 + ( n E ) 1 n 1 ( n n 1 ) E ] k1 1 = [( n µ E ) n ( n n ) ] k E 1 µ (37) Dalla figura 31-1 si ha: n n 0 = cos (π θ 0 ) = cos θ 0 n n 1 = cos θ 1 (38) n n = cos (π θ ) = cos θ 3-5

6 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Sostituendo nella (36) e nella (37) le (33), (34), e (38), si ha: E 0 + E 1 = E k [ 1 E0 cos θ 0 µ ] E 1 cos θ 1 = k (39) E cos θ 1 µ Ricavando E 1 ed E in funzione di E 0 si ha: E 1 + E = E 0 E 1 cos θ 1 + µ 1k µ k 1 E cos θ = E 0 cos θ 0 (310) Da cui: E 1 = E 0 1 µ 1 k E 0 cos θ 0 cos θ µ k µ 1 k cos θ 1 cos θ µ k 1 = µ 1 k cos θ cos θ 0 µ k 1 E µ 1 k 0 cos θ cos θ 1 µ k 1 E 1 = µ k 1 cos θ 0 µ 1 k cos θ µ 1 k cos θ + µ k 1 cos θ 1 E0 (311) Analogamente: E = µ k 1 (cos θ 0 + cos θ 1 ) µ 1 k cos θ + µ k 1 cos θ 1 E0 (31) Ricordiamo che la (311) e la (31) valgono per n E 0 = 0 É conveniente esprimere queste formule in funzione soltanto dell angolo di incidenza θ 0 ; applicando la (3115) e la (3116) si ha: θ 0 = θ 1 sin θ = k 1 sin θ 0 k cos θ = 1 sin θ = 1 k 1 k sin θ 0 = 1 k k k 1 sin θ 0 (313) La (311) e la (31) si scrivono, allora: E 1 = µ k 1 cos θ 0 µ 1 k k 1 sin θ 0 µ k 1 cos θ 0 + µ 1 k k 1 sin θ 0 E0 (314) 3-6

7 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - E = µ k 1 cos θ 0 µ k 1 cos θ 0 + µ 1 k k 1 sin θ 0 E0 (315) Caso II - E 0 giacente nel piano di incidenza ɛ 1, µ 1, σ 1 S ɛ, µ, σ n O H 0 θ 0 E 0 n 0 fig3- In questo caso conviene considerare i campi magnetici che sono normali al piano di incidenza e quindi paralleli a S Si ha perció: n H 0 = n H 1 = n H = 0 (316) Procediamo come nel caso precedente, prendendo come punto di partenza le equazioni (31): ( n E0 + E ) 1 = n E (, n H0 + H ) 1 = n H su S (31) esprimendo peró il campo elettrico in funzione del campo magnetico Consideriamo la seconda della (31) e della (313) e prendiamo soltanto le relazioni fra le ampiezze: H 0 = k 1 ωµ 1 n 0 E 0, H = k ωµ n E, H1 = k 1 ωµ 1 n 1 E 1 (317) 3-7

8 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Moltiplichiamo vettorialmente per n 0 la prima, per n la seconda e per n 1 la terza e applichiamo ai secondi membri l identitá vettoriale (317) Si ha: ωµ 1 n 0 H k 0 = ( n 0 E ) 0 n 0 E 0, 1 ωµ n H k = ( n E ) n E, ωµ 1 n 1 H k 1 = ( n 1 E ) 1 n 1 E 1 1 si ha: Essendo sempre: n 0 E 0 = n 1 E 1 = n E = 0 E 0 = ωµ 1 k 1 n 0 H 0 E 1 = ωµ 1 k 1 n 1 H 1 E = ωµ k n H Le (31) con la sostituzione delle (318) nella prima di esse diventano: (318) ωµ 1 n n 0 H k 0 ωµ 1 n n 1 H 1 k 1 = ωµ n n H 1 k ( n H0 + H ) 1 = n H (319) Moltiplichiamo la seconda delle (319) vettorialmente per n ed applichiamo ad entrambe l identitá (317) Si ha: ωµ [( 1 n k H ) 0 n 0 ( n n 0 ) ] H 0 ωµ [( 1 n 1 k H ) 1 n 1 ( n n 1 ) ] H 1 = 1 = ωµ [( n k H ) n ( n n ) ] H ( n H ) 0 n ( n n) H 0 + ( n H ) 1 n ( n n) H 1 = Applicando le (316) e le (38) si ha: ( n H ) n ( n n) H (30) µ 1 k 1 [ H0 cos θ 0 H 1 cos θ 1 ] = µ k H cos θ H 0 + H 1 = H (31) che si scrivono: H 0 cos θ 0 H 1 cos θ 1 = µ k 1 µ 1 k H cos θ H 0 + H 1 = H (3) 3-8

9 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Ricavando H 1 e H in funzione di H 0, si ha: H 1 cos θ 1 + µ k 1 µ 1 k H cos θ = H 0 cos θ 0 H 1 H = H 0 H 1 = µ k 1 H 0 cos θ 0 cos θ µ 1 k H 0 1 cos θ 1 µ k 1 µ 1 k cos θ 1 1 = µ k 1 µ 1 k cos θ cos θ 0 µ k 1 µ 1 k cos θ cos θ 1 H 0 cioé: H 1 = µ 1k cos θ 0 µ k 1 cos θ µ 1 k cos θ 1 + µ k 1 cos θ H0 (33) Analogamente: H = µ 1k (cos θ 0 + cos θ 1 ) µ 1 k cos θ 1 + µ k 1 cos θ H0 (34) Esprimendo la (33) e (34) in funzione di θ 0 attraverso le (313), cioé ponendo: cos θ 1 = cos θ 0 cos θ = 1 k k k 1 sin θ 0 si ha: 1 µ 1 k cos θ 0 µ k 1 k k H k 1 sin θ 0 1 = H0 = 1 µ 1 k cos θ 0 + µ k 1 k k k 1 sin θ 0 = µ 1k cos θ 0 µ k 1 k k 1 sin θ 0 H0 µ 1 k cos θ 0 + µ k 1 k k 1 sin θ 0 µ 1 k H cos θ 0 = H0 µ 1 k cos θ 0 + µ k 1 k k 1 sin θ 0 (35) I rispettivi campi elettrici si ricavano dalle (318) 3-9

10 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Nel caso di incidenza normale (θ 0 = 0) i due casi non si possono distinguere e si ha dalle (314) e (315): E 1 = µ k 1 µ 1 k µ k 1 + µ 1 k E0, E = e dalle (35): H 1 = µ 1k µ k 1 µ 1 k + µ k 1 H0, H = µ k 1 µ k 1 + µ 1 k E0, θ 0 = 0 ( E 0 al piano di incidenza) (36) µ 1 k µ 1 k + µ k 1 H0, θ 0 = 0 ( E 0 al piano di incidenza) (37) Dimostriamo che il campo elettrico derivato dalla (37) coincide con il campo elettrico dato dalla (36); dalle formule (318), tenendo conto che per incidenza normale n 1 = n 0 ed n = n 0, si ha: E 1 = ωµ 1 k 1 n 1 H 1 = ωµ 1 k 1 ( µ1 k µ k 1 µ 1 k + µ k 1 ) n 0 H 0 = ( ) µ k 1 µ 1 k E 0 (38) µ k 1 + µ 1 k Le formule precedenti furono ottenute per la prima volta da Fresnel nel 183 partendo dalle proprietá dinamiche di un ipotetico etere elastico 3-10

11 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici Leggi di Snell per mezzi dielettrici perfetti Supponiamo, inizialmente, che i due mezzi siano dielettrici perfetti e cioé abbiano entrambi conduttivitá nulle (σ 1 = σ = 0), segue allora che: k 1 = ω ɛ 1 µ 1 e k = ω ɛ µ (331) Dalle (313) si ha: sin θ = ɛr1 ɛ r sin θ 0 (33) avendo posto, come praticamente accade nei casi concreti: µ 1 = µ Posto ɛ r1 = n 1 = c e ɛ r = n = c si ha la legge di Snell per i dielettrici: v f1 v f sin θ sin θ 0 = n 1 n = v f v f1 (333) dove v f1 e v f sono le velocitá di fase nei rispettivi mezzi Se ɛ r > ɛ r1, ad ogni angolo di incidenza θ 0 corrisponde un angolo di rifrazione θ reale e si ha θ < θ 0, cioé: se la radiazione elettromagnetica passa da un mezzo meno rifrangente ad uno piú rifrangente la sua direzione di propagazione in questo mezzo si avvicina alla direzione normale alla superficie di separazione ɛ 1, µ 1, σ 1 = 0 ɛ, µ, σ = 0 S n n θ θ 0 O n 0 µ 1 µ ɛ r1 < ɛ r fig

12 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - ɛ 1, µ 1, σ 1 = 0 S ɛ, µ, σ = 0 n n O θ 0 n 0 µ 1 µ ɛ r1 > ɛ r θ fig33- Se, invece, é ɛ r < ɛ r1 come nel caso di passaggio da un dielettrico solido o liquido all aria, allora θ é reale solo nell intervallo: n 1 n sin θ 0 1 (334) e risulta θ > θ 0, cioé: se la radiazione elettromagnetica passa da un mezzo piú rifrangente ad uno meno rifrangente la sua direzione di propagazione in questo mezzo si allontana dalla direzione normale alla superficie di separazione Quando n 1 n sin θ 0 > 1 si ha il fenomeno della riflessione totale che discuteremo a parte 3-1

13 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici Formule di Fresnel per mezzi dielettrici perfetti - E 0 normale al piano di incidenza Nel caso di mezzi dielettrici quando E 0 é normale al piano di incidenza le formule (311) e (31) diventano: ɛ1 E 1 = ɛ1 cos θ 0 ɛ cos θ ɛ cos θ + ɛ 1 cos θ 0 E0 = cos θ 0 cos θ ɛ E0 = ɛ1 cos θ + cos θ 0 ɛ (341) = sin θ cos θ 0 sin θ 0 cos θ cos θ sin θ 0 + sin θ cos θ 0 E0 = sin(θ θ 0 ) sin(θ + θ 0 ) E 0 ɛ1 E = ɛ1 (cos θ 0 + cos θ 1 ) ɛ cos θ + ɛ 1 cos θ 1 E0 = cos θ 0 ɛ E0 = ɛ1 cos θ + cos θ 0 ɛ (34) = sin θ cos θ 0 cos θ sin θ 0 + sin θ cos θ 0 E0 = sin θ cos θ 0 sin(θ + θ 0 ) E 0 In funzione soltanto di θ 0, dalle (314) e (315) si ha: E 1 = ɛr1 cos θ 0 ɛ r ɛ r1 sin θ 0 E0 (343) ɛr1 cos θ 0 + ɛ r ɛ r1 sin θ 0 E = ɛ r1 cos θ 0 E0 (344) ɛr1 cos θ 0 + ɛ r ɛ r1 sin θ 0 Dalla (34) e (344) si deduce che il campo elettrico E associato all onda rifratta é sempre in fase con quello dell onda incidente Viceversa, dalla (341) e (343) si deduce che la fase del campo elettrico associato all onda riflessa dipende dai valori relativi di θ e θ 0 ; cosí se ɛ r > ɛ r1 allora θ < θ 0 e quindi E 1 ha verso opposto ad E 0 ; presenta, cioé, una differenza di fase di rispetto al campo dell onda incidente 35 - Formule di Fresnel per mezzi dielettrici perfetti - E 0 parallelo al piano di incidenza 3-13

14 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Nel caso di mezzi dielettrici quando E 0 é parallelo al piano di incidenza le formule (33) e (34) diventano: H 1 = ɛr cos θ 0 ɛ r1 cos θ ɛr cos θ 1 + ɛ r1 cos θ H0 (351) H = ɛr (cos θ 0 + cos θ 1 ) ɛr cos θ 1 + ɛ r1 cos θ H0 (35) che espresse in funzione di θ 0 attraverso le (313), cioé ponendo: cos θ 1 = cos θ 0 cos θ = 1 ɛ r ɛ r1 sin θ 0 ɛr diventano: H 1 = ɛ r cos θ 0 ɛ r1 ɛ r ɛ r1 sin θ 0 ɛ r cos θ 0 + ɛ r1 ɛ r ɛ r1 sin θ 0 H0 (353) H = ɛ r cos θ 0 ɛ r cos θ 0 + ɛ r1 ɛ r ɛ r1 sin θ 0 H0 (354) É conveniente, talvolta, scrivere le (351) e (35) in una forma diversa: dividendo numeratore e denominatore della (351) per ɛ r e ricordando che per la (33) si ha: Ma: Ne segue: ɛr1 ɛr = sin θ sin θ 0, H 1 = sin θ 0 cos θ 0 sin θ cos θ sin θ 0 cos θ 0 + sin θ cos θ H0 (355) sin θ 0 cos θ 0 = tan θ tan θ 0 e sin θ cos θ = tan θ 1 + tan θ H 1 = tan θ ( ) ( ) tan θ tan θ 1 + tan θ 0 ( ) ( ) H0 tan θ tan θ + tan θ 1 + tan = θ 0 = (tan θ 0 tan θ ) tan θ 0 tan θ (tan θ 0 tan θ ) (tan θ 0 + tan θ ) + tan θ 0 tan θ (tan θ 0 + tan θ ) H 0 = = (tan θ 0 tan θ ) (1 tan θ 0 tan θ ) (tan θ 0 + tan θ ) (1 + tan θ 0 tan θ ) H

15 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Ricordiamo che: Quindi: tan (α ± β) = tan α ± tan β 1 tan α tan β H 1 = tan (θ 0 θ ) tan (θ 0 + θ ) H 0 ( n H 0 ) = 0 (356) Dividendo numeratore e denominatore della (35) per ɛ r e ponendo la (35) diventa: che si puó scrivere: H = sin θ 0 cos θ 0 cos θ 0 sin θ 0 + sin θ cos θ H0 sin θ 0 cos θ 0 H = H 1 0 (sin θ 0 + sin θ ) ɛr1 ɛr = sin θ sin θ 0, Ricordando che: sin(a + B) + sin(a B) = sin A cos B e posto: A + B = θ 0 e A B = θ, da cui: A = θ 0 + θ e B = θ 0 θ, si ha: H = sin θ 0 cos θ 0 H sin (θ 0 + θ ) cos (θ 0 θ ) ( 0 n H ) 0 = 0 (357) Ricordando che: H 1 = k 1 ωµ 1 n 1 E 1 (358) H 0 = k 1 ωµ 1 n 0 E 0 (359) le (356) e (357) si scrivono: H = k ωµ n E (3510) n E = n 1 E 1 = tan (θ 0 θ ) tan (θ 0 + θ ) n 0 E 0 (3511) sin θ 0 cos θ 0 ɛr1 n 0 E sin (θ 0 + θ ) cos (θ 0 θ ) 0 = ɛr = sin θ cos θ 0 sin (θ 0 + θ ) cos (θ 0 θ ) n 0 E 0 (351) Dalla (356) si nota che se ɛ r > ɛ r1, cioé θ < θ 0, tan (θ 0 θ ) é positiva, ma il denominatore tan (θ 0 + θ ) diventa negativo se θ 0 + θ > π ; quindi per angoli di incidenza 3-15

16 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - per cui θ 0 + θ > π il campo magnetico riflesso presenta una differenza di fase di 1800 rispetto al campo incidente Per θ 0 + θ = π segue H 1 = 0 e quindi per la seconda delle (318) E 1 = 0, cioé: nel caso di campo elettrico polarizzato parallelamente al piano di incidenza esiste un particolare angolo di incidenza θ B per cui non esiste campo riflesso θ B prende il nome di angolo di Brewster Per il calcolo di θ B utilizziamo la (351); risulta: H 1 = 0 se ɛr cos θ B ɛ r1 cos θ = 0 Ma θ = π θ B quindi: ɛr cos θ B ɛ r1 sin θ B = 0 da cui: tan θ B = ɛr ɛr1 = n n 1 (3513) 36 - Osservazioni sulla riflessione delle componenti parallela e ortogonale del campo elettrico (ɛ r1 < ɛ r ) Per la componente parallela riscriviamo le (318): E 0 = ωµ 1 k 1 n 0 H 0 (a) E 1 = ωµ 1 k 1 n 1 H 1 (b) e consideriamo la seguente figura nel caso in cui ɛ r1 < ɛ r : E = ωµ k n H (c) 3-16

17 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - ɛ 1, µ 1, σ 1 = 0 ɛ, µ, σ = 0 S E 1 n O E 0 H 1 H 0 n 1 θ 1 θ 0 n 0 θ 0 < θ B µ 1 µ ɛ r1 < ɛ r fig36-1 Supponiamo che E 0 abbia la traccia in figura, conseguentemente H 0 ha la direzione uscente dal foglio compatibile con la (318a) In seguito alla riflessione si ha: H 1 = tan (θ 0 θ ) tan (θ 0 + θ ) H 0 ( n H 0 ) = 0 (361) Per ɛ r1 < ɛ r, θ < θ 0, ne segue θ 0 θ < π e quindi tan(θ 0 θ ) > 0 Per quanto riguarda il denominatore, osserviamo che all aumentare di θ 0, θ aumenta sempre pur essendo θ < θ 0 ha: Pertanto per θ 0 < θ B risulta θ 0 + θ < π e per θ 0 > θ B risulta θ 0 + θ > π, quindi si tan (θ 0 θ ) tan (θ 0 + θ ) > 0 per θ 0 < θ B (36) tan (θ 0 θ ) tan (θ 0 + θ ) < 0 per θ 0 > θ B (363) Allora per θ 0 < θ B H1 é in fase con H 0 ed é cosí tracciato in figura 36-1 Per θ 0 > θ B, H 1 é opposto in fase ad H 0 ed il relativo grafico é il seguente: 3-17

18 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - ɛ 1, µ 1, σ 1 = 0 ɛ, µ, σ = 0 S E 1 H 1 x n O E 0 n 1 θ 1 θ 0 n 0 H 0 θ 0 > θ B µ 1 µ ɛ r1 < ɛ r fig36- Dalla (357) si ha che il campo magnetico trasmesso é sempre in fase con quello incidente e quindi la configurazione relativa dei campi trasmessi é eguale a quella dei campi incidenti Per quanto riguarda la riflessione della componente ortogonale del campo elettrico (ɛ r1 < ɛ r ) osserviamo che dalla (341) si ha che il campo elettrico riflesso é sempre (per θ < θ 0 ) opposto in fase al campo incidente Poiché: H 1 = k 1 ωµ 1 n 1 E 1 (364) H 0 = k 1 ωµ 1 n 0 E 0 (365) H = k ωµ n E (366) la configurazione dei campi é cosí tracciata: 3-18

19 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - ɛ 1, µ 1, σ 1 = 0 ɛ, µ, σ = 0 S H 1 x E1 n O n 1 θ 1 θ 0 n 0 E 0 µ 1 µ H 0 ɛ r1 < ɛ r fig Legge di Brewster dal punto di vista della teoria degli elettroni La teoria della rifrazione che abbiamo sviluppato é stata descritta dal punto di vista fenomenologico della teoria di Maxwell Proviamo ad interpretare i processi di rifrazione come dovuti allo scattering della radiazione da parte degli atomi del secondo mezzo (il primo mezzo puó essere supposto il vuoto) Da questo punto di vista fisicamente piú profondo, la rifrazione é dovuta al fatto che il campo elettrico agente nel secondo mezzo mette in oscillazione gli elettroni atomici; codeste oscillazioni avvengono nella direzione del campo La figura (37-1) rappresenta il caso in cui il vettore campo elettrico giace nel piano di incidenza Il vettore campo elettrico nel secondo mezzo oscilla, ovviamente, in direzione ortogonale alla direzione del raggio rifratto Gli elettroni oscillano in questa stessa direzione, si comportano cioé come oscillatori hertziani e quindi non irradiano nella direzione delle loro oscillazioni, esattamente come succede nel caso delle antenne trasmittenti a radiofrequenze 3-19

20 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - E θ B θ B π/ θ E fig37-1 La riflessione regolare nel primo mezzo puó accadere solo se gli elettroni del secondo mezzo irradiano energia nella direzione del raggio riflesso Questo non avviene quando codesta direzione é parallela alla direzione di oscillazione degli elettroni, quindi perpendicolare al raggio rifratto, in accordo con la legge di Brewster In tutte le altre direzioni gli elettroni trasferiscono parte della loro energia irradiata al primo mezzo spiegando cosí la variazione dell intensitá dell onda riflessa al variare dell angolo di incidenza L assenza della energia riflessa non accade quando il campo elettrico incidente é polarizzato in direzione ortogonale al piano di incidenza In questo caso il vettore campo elettrico e quindi anche le direzioni di oscillazione degli elettroni sono perpendicolari al piano di incidenza, quindi sempre perpendicolari alla direzione del raggio riflesso Ognuna di tali direzioni é direzione di massima radiazione da parte degli elettroni Non vi é cosí ragione per l esistenza di una direzione di riflessione proibita, in accordo con le leggi di Fresnel Osserviamo inoltre che solo uno straterello prossimo alla superficie contribuisce alla riflessione, perché a grandi distanze dalla superficie i contributi dei singoli atomi vengono annullati dall interferenza Questo modello, se pur elegante, non ha la pretesa di spiegare il fenomeno della riflessione, ma certamente sembra spiegare molto bene l esistenza dell angolo di Brewster Tuttavia il modello cade in difetto quando il secondo mezzo é il vuoto!! In tal caso, infatti, si puó avere un angolo di Brewster, come previsto dalla teoria, ma non si capisce come ció possa avvenire 3-0

21 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici Calcolo della densitá di potenza riflessa e trasmessa - Dielettrici perfetti Il vettore di Poynting complesso é: S c = 1 E H Onda incidente: Si = 1 ( R Ei H ) i = 1 ɛr1 Z 0 [ ( R E0 n 0 E )] 0 = ɛr1 Z 0 E 0 n 0 Onda riflessa: Onda trasmessa: Sr = 1 ( R Er H ) r = St = 1 ( R Et H ) t = ɛr1 Z 0 E 1 n 1 ɛr Z 0 E n La potenza incidente per unitá di superficie S é: P is = Si ɛr1 n = E 0 cos (π θ 0 ) Z 0 = ɛr1 E 0 cos θ 0 (381) Z 0 Analogamente: P rs = P ts = Sr ɛr1 n = Per la conservazione dell energia si dovrá avere: Z 0 E 1 cos θ 0 (38) St ɛr n = E cos θ (383) Z 0 P is P rs = P ts (384) ɛr1 E 0 cos θ 0 = ɛ r1 E 1 cos θ 0 + ɛ r E cos θ (385) Dividendo la (384) per P is si ha: 1 P rs P is = P ts P is Posto: R = P rs P is (coefficiente di riflessione o riflettivitá) (386) T = P ts P is (coefficiente di trasmissione o trasmettivitá) (387) 3-1

22 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - si ha dalla (384): Dalla (381), (38) e (383) segue: R + T = 1 (388) R = E 1 E 0 e T = ɛr ɛr1 cos θ cos θ 0 E E 0 (389) Poiché cos θ = 1 ɛr ɛ r ɛ r1 sin θ 0 il coefficiente di trasmissione T diventa: T = 1 ɛr1 ɛ r ɛ r1 sin θ 0 cos θ 0 E E 0 (3810) Specializziamo, ora, la prima formula delle (389) e la (3810) per i due casi di polarizzazione trattati E 0 perpendicolare al piano di incidenza Dalla (343) si ha: Dalla (344) e dalla (3810) segue che: T = 1 ɛr1 ɛr1 cos θ 0 ɛ r ɛ r1 sin θ 0 R = ɛr1 cos θ 0 + ɛ r ɛ r1 sin θ 0 ɛ r ɛ r1 sin θ 0 4ɛ r1 cos θ 0 cos θ 0 ɛ r1 cos θ 0 + ɛ = r ɛ r1 sin θ 0 = 4 ɛ r1 ɛ r ɛ r1 sin θ 0 cos θ 0 ɛ r1 cos θ 0 + ɛ r ɛ r1 sin θ 0 (3811) (381) Osserviamo, subito, che se ɛ r ɛ r1 non esiste alcun valore di θ 0 per cui R si annulla; é immediato, inoltre, verificare che R + T = 1 Grafichiamo (fig38-1) i coefficienti R e T per l importante sistema aria - acqua nei casi in cui l onda incidente é radiofrequenza o radiazione visibile Nei due casi, come vedremo, la costante dielettrica assume valori sostanzialmente diversi (ɛ rh O = 80 e ɛ rh O = 1777 rispettivamente) 3 -

23 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Aria - acqua: radiofrequenza Aria - acqua: luce (ɛ r1 = 1, ɛ r = 80, σ = 0) (ɛ r1 = 1, ɛ r = 1777, σ = 0) θ 0 R T θ 0 R T É importante osservare il diverso comportamento dei due tipi di radiazione; nel caso delle radiofrequenze, per incidenza normale, viene riflessa il 64% della potenza incidente mentre nel caso di luce viene riflessa il % ed il 98% della potenza viene trasmessa Un altro importante sistema é aria-vetro; il vetro alle radiofrequenze ha costanti dielettriche dell ordine di 5 10 (per il vetro flint con densitá 87 e per ν 1 MHz si ha ɛ r = 661; per il vetro al piombo con densitá 3 35 e per ν 1 MHz si ha ɛ r = 54 8) mentre per radiazione visibile ɛ r 5 In quest ultimo caso, per incidenza normale risulta R = 4%, T = 96% che é quasi una caratteristica per tutti i vetri colpiti da luce 10 Sistema aria - acqua: radiofrequenza 08 R T R T angolo di incidenza 3-3

24 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - 10 Sistema aria - acqua: luce R T T 0 R angolo di incidenza fig38-1 E 0 parallelo al piano di incidenza Osserviamo anzitutto che dalla (358), (359) e (3510) risulta: H 1 = k 1 ω µ E 1, H 0 = k 1 1 ω µ E 0, H = k 1 ω µ E Ne segue che: R = E 1 E 0 = H 1 H 0 che per la (353) diventa: ɛ r cos θ 0 ɛ r1 ɛ r ɛ r1 sin θ 0 R = ɛ r cos θ 0 + ɛ r1 ɛ r ɛ r1 sin θ 0 (3813) Analogamente per T si ha per µ 1 = µ, k 1 = ω ɛ 1 µ 1 e k = ω ɛ µ E E 0 = ɛ r 1 ɛ r H H 0 (3814) 3-4

25 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Ne segue dalla (3814) e dalla (3810) che: T = ɛr1 ɛ r ɛ r ɛ r1 sin θ 0 cos θ 0 H H 0 (3815) Dalla (354), infine, si ha: T = 4ɛ r ɛr1 ɛ r ɛ r1 sin θ 0 cos θ 0 ɛ r cos θ 0 + (3816) ɛ r1 ɛ r ɛ r1 sin θ 0 Osserviamo subito che, al contrario della (3811), la (3813) si annulla per un particolare valore di θ 0 indicato con θ B e denominato angolo di Brewster, si ha infatti: ɛ r cos θ B = ɛ r1 ɛ r ɛ r 1 sin θ B ɛ r cos θ B = ɛ r1 ɛ r ɛ r 1 + ɛ r 1 cos θ B ( ɛ r ɛ r 1 ) cos θ B = ɛ r1 (ɛ r ɛ r1 ) da cui: cos θ B = tan θ B = ɛ r1 ɛ r1 + ɛ r ɛ r1 ɛ r1 + ɛ r ɛ r1 + ɛ r = ɛ r1 + ɛ r1 tan θ B tan θ B = ɛr ɛr1 R = 0 (3817) che é identica alla (3513) Anche in questo caso é immediato verificare che R + T = 1 Grafichiamo (fig38-), ora, i coefficienti R e T per il sistema aria-acqua nei casi in cui l onda incidente é radiazione a radiofrequenza o radiazione visibile Aria - acqua: radiofrequenza Aria - acqua: luce (ɛ r1 = 1, ɛ r = 80, σ = 0) (ɛ r1 = 1, ɛ r = 1777, σ = 0) θ 0 R T θ 0 R T

26 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici (θ B = arctan 80 = ) (θ B = arctan 1777= ) R T Sistema aria - acqua: radiofrequenza R T angolo di incidenza 3-6 θ B

27 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - R T Sistema aria - acqua: luce T 0 R θ B angolo di incidenza fig38- Come si vede dai grafici, per incidenza normale, i casi E 0 al piano di incidenza ed E 0 al piano di incidenza sono indistinguibili Dalla (343) e (344), si ha: ɛr1 ɛ R (θ0 =0) = r ɛr1 + ɛ r Dalla (3813) segue: R (θ0 =0) = ɛ r ɛ r1 ɛr ɛ r + ɛ r1 ɛr Dalla (3816) segue: ; T (θ0 =0) = 4 ɛ r1 ɛr ɛ r1 + ɛ r (3818) ɛr ɛ = r1 ɛr + = R (θ0 =0) (3819) ɛ r1 T (θ0 =0) = 4ɛ r ɛr1 ɛr ɛr + ɛ r1 ɛr = 4 ɛr1 ɛr ɛ r ɛr + = ɛ r1 4 ɛ r1 ɛr ɛ r1 + ɛ r (380) 39 - Campo elettrico incidente linearmente polarizzato in direzione arbitraria Come abbiamo visto, la riflettivitá e la trasmettivitá di una superficie dielettrica dipende fortemente dalla polarizzazione dell onda incidente Vogliamo esprimere tali grandezze in termini di riflettivitá e trasmittivitá associate a polarizzazione parallela e perpendicolare quando il campo elettrico incidente é polarizzato in direzione arbitraria 3-7

28 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Si abbia un campo elettrico E i ortogonale alla direzione di propagazione ma formante un angolo α i con il piano di incidenza: E i = E 0 e ik 1 n 0 r iωt Posto: E0 = E0 cos α i e E 0 = E 0 sin α i (391) il campo elettrico incidente é la sovrapposizione di due campi polarizzati in direzioni ortogonali: E i = E 0 e ik 1 n 0 r iωt Ei = E 0 e ik 1 n 0 r iωt (39) Pertanto si ha: P is = P is = ɛr1 Z 0 E0 cos θ0 = ɛr1 Z 0 E 0 cos θ 0 = ɛr1 Z 0 E 0 cos α i cos θ 0 (393) ɛr1 Z 0 E 0 sin α i cos θ 0 (394) e poiché, P is = ɛr1 Z 0 E 0 cos θ 0, si ha: P is = P is cos α i e P is = P is sin α i (395) Analogamente: cosí come: P rs = P rs = P ts = ɛr1 Z 0 E1 cos θ0 (396) ɛr1 Z 0 E 1 cos θ 0 (397) ɛr Z 0 E cos θ (398) Dalla (386) si ha: R = P rs P is P ts = ɛr Z 0 E cos θ (399) = P rs + P rs P is = P rs P is + P rs P is (3910) ma dalle (395) si ha: P is = (3910) conducono a: P is cos α i e P is = P is sin α i che rispettivamente sostituiti nella R = P rs P is cos α i + P rs P is sin α i (3911) 3-8

29 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - cioé: R = R cos α i + R sin α i (391) Analogamente: T = P ts P is = P ts + P ts P is = P ts P is cos α i + P ts P is sin α i (3913) cioé: T = T cos α i + T sin α i (3914) dove R e T sono dati dalla (3811) e (381) e R e T sono dati dalla (3813) e (3816) Se l onda incide con un angolo di incidenza eguale all angolo di Brewster, R = 0, e quindi l onda riflessa contiene soltanto la componente del campo elettrico ortogonale al piano di incidenza; in questo caso, essendo θ B + θ = π, la direzione dell onda riflessa e quella dell onda trasmessa sono ortogonali (fig39-1) ɛ O θ n S n 0 θ B n θ1 n 1 π/ ɛ 1 fig39-1 Vogliamo, ora, studiare lo stato di polarizzazione dell onda riflessa e trasmessa nel presente caso in cui il campo elettrico incidente é linearmente polarizzato in direzione arbitraria É conveniente ricordare che: 1) se il campo elettrico E 0, associato all onda incidente, é polarizzato in direzione ortogonale al piano di incidenza, il campo elettrico associato all onda trasmessa ( E ) é sempre in fase con quello dell onda incidente (vedi formula (344)) e, viceversa, se ɛ r > ɛ r1, 3-9

30 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - il campo elettrico associato all onda riflessa ( E 1 ) presenta una differenza di fase di rispetto al campo elettrico dell onda incidente (vedi formula (341)) ) se il campo elettrico E 0, associato all onda incidente, é polarizzato in direzione parallela al piano di incidenza, si ha che: per angoli di incidenza per cui θ 0 + θ > π, il campo magnetico riflesso presenta una differenza di fase di rispetto al campo magnetico incidente Pertanto, poiché le componenti ( e ) dei campi riflessi e trasmessi hanno fase uguale o opposta a quella del campo incidente, l onda elettromagnetica riflessa o rifratta risulta polarizzata linearmente, ma la direzione di polarizzazione é variata rispetto a quella dell onda incidente Sia α l azimuth del campo elettrico, cioé l angolo formato fra la direzione del campo elettrico e il piano di incidenza; esso é considerato positivo quando il piano di polarizzazione (cioé quello che contiene il campo elettrico) ruota in senso orario attorno alla direzione di propagazione α E direzione di propagazione fig39- Si ha allora per le tre onde: tan α i = E 0 E 0, tan α r = E 1 E 1, tan α t = E E (3915) Utilizzando le formule di Fresnel si ha: Ne segue: tan α r = cos(θ 0 θ ) cos(θ 0 + θ ) tan α i tan α t = cos(θ 0 θ ) tan α i (3916) tan α r tan α i tan α t tan α i (3917) Nella prima delle (3917) si ha l eguaglianza per θ 0 = θ = 0 o θ 0 = π ; nella seconda solo per incidenza normale 3-30

31 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - La prima delle (3917) significa che il campo associato all onda riflessa si allontana dal piano di incidenza, mentre la seconda implica che il campo associato all onda rifratta si avvicina al piano Osserviamo che quando θ 0 +θ = π, cioé per incidenza sotto angolo di Brewster, dalla prima delle (3916) si ha α r = π cioé l onda riflessa é polarizzata in direzione ortogonale al piano di incidenza Calcoliamo, ora, la riflettivitá e la trasmettivitá nel caso di luce naturale cioé radiazione non polarizzata Come abbiamo giá detto la direzione di polarizzazione della luce naturale varia rapidamente in modo completamente casuale La corrispondente riflettivitá si puó ottenere dalla (391) mediando su tutte le direzioni Poiché: 1 π cos αdα = 1 π sin αdα = 1 π 0 π 0 per la riflettivitá, dalla (391), si ha: R nat = 1 R + 1 R (3918) Analogamente: T nat = 1 T + 1 T (3919) 3-31

32 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici Indice di rifrazione della troposfera per le radioonde e per la luce Le onde elettromagnetiche che si propagano attraverso la troposfera 1) sono rifratte e diffuse da variazioni nell indice di rifrazione dell atmosfera terrestre dovute a variazioni nella pressione, nella temperatura e nella pressione del vapore acqueo Numerose misure sperimentali hanno stabilito che l indice di rifrazione dell atmosfera terrestre puó essere calcolato dalla formula: N = (n 1) 10 6 = 776 P T 56 e T e 105 (3101) T N é la rifrattivitá che é una quantitá pratica utilizzata spesso al posto di n che é l indice di rifrazione P é la pressione atmosferica misurata in mb ) e é la pressione parziale del vapore acqueo misurata in mb e denominata umiditá assoluta dell aria Nell equazione (3101), sulla superficie terrestre P é dell ordine di 1000 ed e dell ordine di 10; pertanto il secondo termine del secondo membro puó essere trascurato La (3101) si puó scrivere allora: N = (n 1) 10 6 = 776 T ( P e ) T (310) L indice di rifrazione sulla superficie terrestre, denominato n s, é di circa Esso diminuisce fino a diventare 1 a grande altezza da essa, come si evince dalla (3101) al diminuire delle pressioni Tuttavia nella troposfera esso presenta piccole variazioni Invece il valore di N sulla superficie terrestre, sia esso N s, é di circa 300 e, quindi, essendo N una grandezza che ha delle variazioni significative con l altezza, fino a diventare zero per grandi altezze, é piú usata di n per meglio descrivere la propagazione troposferica La struttura macroscopica dell atmosfera varia molto piú rapidamente verticalmente che orizzontalmente per effetto della variazione verticale della pressione Per questa ragione la troposfera é detta verticalmente stratificata La stessa stratificazione verticale puó persistere su una regione orizzontale estesa da dieci a cento chilometri Nella regione visibile l andamento dell indice di rifrazione é: N = (n 1) 10 6 = A P T ( 1 + B T ) e P (3103) 1) La troposfera é la fascia dell atmosfera a diretto contatto con la superficie terrestre ed ha uno spessore variabile a seconda della latitudine: ai poli é spessa solamente 8 chilometri mentre raggiunge i 0 chilometri all equatore In essa sono concentrati i tre quarti dell intera massa gassosa e quasi tutto il vapore acqueo dell atmosfera ) 1 mb = 1000 dyn/cm = 075 mmhg (o T orr), (760 mmhg = 1013 mb) 3-3

33 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Per la regione visibile dello spettro, 04µ < λ < 07µ, le costanti sono: ) A = 775 (1 + λ + λ 4 (3104) B T = 010 3) (3105) É utile graficare l andamento della rifrattivitá in funzione della temperatura, al variare della percentuale di umiditá N = (n 1)10 6 Rifrattivitá N in funzione della temperatura t ( 0 C) - p = 1000 mb t ( 0 C) P =100% P =90% P =80% P =70% P =60% P =50% P =40% P =30% P =0% P =10% P =0% Consideriamo l atmosfera a riposo La legge di Stevin 4) permette di rispondere alla seguente domanda: secondo quale legge la pressione atmosferica P varia con l altezza z? 3) Per la luce visibile, B/T é cosí piccola che esso puó essere considerato costante 4) Legge di Stevin: La forza di pressione su ciascun elemento di superficie immersa in un fluido é data dal peso di una colonna (cilindrica) di fluido avente per base (orizzontale) l elemento di superficie considerato e per altezza il dislivello tra il centro di questa superficie e la superficie libera del fluido, ossia: p = p 0 + ρgh 3-33

34 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Si consideri una colonna cilindrica verticale d aria Per trovare la legge con la quale varia la pressione con l altezza scriviamo l equazione di bilancio: essendo ρ la densitá dell aria espressa in ( m 3) Per la legge dei gas perfetti: P z = gρ ( N/m 3 ) (3106) P V = nrt = m RT (3107) M essendo n il numero di grammomolecole contenute nel gas, m la massa del gas e M il peso molecolare del gas Dalla (3107) si ottiene: P = m MV RT = ρ RT (3108) M da cui: Sostituendo nella (3106), si ha: ρ = P M RT (3109) P z = g P M RT (31010) Integrando la (31010) si ha: ( z P = P 0 exp 0 ) gdz RT (31011) La (31011) é integrabile solo se la temperatura si mantiene costante al variare di z Ma ció é vero per brevi dislivelli L effetto netto delle variazioni in P, T ed e é che N decresce all aumentare dell altezza Il comportamento medio di N nella troposfera é quello di un esponenziale decrescente: N = N s exp ( z/h) (3101) dove N s é il valore sulla superficie terrestre di N, z é l altezza sopra la superficie terrestre e H é una costante Il CCIR (Consultative Committee for International Radio) ha stabilito 3-34

35 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - che l atmosfera di riferimento abbia il valore N s = 315 e H = 735 km Rifrattivitá atmosferica N al variare dell altezza z dal suolo z (Km) N fig310-1 Dalla figura si deduce che la rifrattivitá é praticamente nulla, ossia l indice di rifrazione é 1, ad un altezza dal suolo di circa km, al di sopra della quale comincia la ionosfera Per altezze prossime al suolo la (3101) si puó sviluppare in serie: N N s N s z H (31013) che bene approssima la curva esatta fino a circa due chilometri di altezza dal suolo, come é mostrato in figura dalla retta tratteggiata Risulta: N z N s = 4857 (31014) H La curvatura dei raggi luminosi nell atmosfera Come abbiamo visto, la densitá dell aria va decrescendo con l altezza, va quindi anche decrescendo con l altezza il suo indice di rifrazione I raggi luminosi che ci pervengono dagli 3-35

36 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - astri attraversano dunque nell ultima parte del loro cammino, un mezzo otticamente non omogeneo, il che fa sí, che tali raggi anziché essere rettilinei siano curvi, con la concavitá rivolta verso il basso Adunque la direzione nella quale noi riceviamo un raggio, cioé la tangente ad esso nel punto di arrivo, non é la direzione nella quale si trova l astro, ma é piú elevata di quella di un angolo δ Noi quindi vediamo l astro (sia ad occhio nudo, sia col cannocchiale) in un punto che é piú alto, sull orizzonte, di quello vero Questa apparente elevazione degli astri si chiama rifrazione astronomica e si misura dall angolo δ La rifrazione astronomica é manifestamente nulla per un astro che si trovi allo zenit, perché in tal caso i raggi attraversano l aria perpendicolarmente agli strati di eguale indice; essa é poi tanto maggiore quanto piú l astro é vicino all orizzonte: il suo valore massimo é di circa 36 Ció significa che all istante in cui sembra che una stella (o l orlo del Sole) tocchi l orizzonte, in realtá essa si trova 36 al di sotto di esso L effetto della rifrazione astronomica é perció quello di ritardare apparentemente il tramonto di un astro, e anticiparne la levata Direzione apparente della luce di un astro δ direzione apparente n decrescente fig311-1 Una persona che guarda un astro attraverso l atmosfera, si trova in una situazione analoga a quella del pesce che guarda il pescatore attraverso l acqua Man mano che il raggio penetra nell atmosfera, incontra gli strati d aria piú densi e si curva verso la Terra Benché lo scarto fra la posizione reale e la posizione osservata sia molto piccolo (una frazione di grado) esso spiega delle anomalie che ciascuno puó osservare, come il sole appiattito all orizzonte La rifrazione atmosferica completamente trascurabile per astri alti nel cielo, non lo é piú in prossimitá dell orizzonte come si puó vedere dalla seguente tabella: Altezza sull orizzonte Rifrazione atmosferica

37 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici Il diametro angolare del sole é di 30 Quando il bordo superiore del sole tocca l orizzonte cioé quando il sole é completamente tramontato, l effetto della rifrazione é quello di elevarlo di 36 e quindi esso é ancora visibile Il mattino egualmente, il sole é visibile, per la rifrazione allorquando é ancora sotto l orizzonte Quindi un osservatore, per effetto della rifrazione atmosferica, vede il sole sorgere prima e tramontare dopo Questi due effetti insieme ci fanno guadagnare sette minuti di insolazione agli equinozi A causa di ció all equinozio la durata del giorno e quella della notte non sono eguali Il giorno dura 1 h e 7 m e la notte 11 h e 53 m Sole vero Ọsservatore Conseguenze della rifrazione atmosferica sulla durata del giorno Sole apparente fig311- La deviazione dei raggi si puó calcolare analiticamente assumendo la legge di variazione dell indice di rifrazione valutata secondo il modello sviluppato nei prossimi paragrafi Si assuma: n(z) = 1 + (n 0 1)e z/h (3111) essendo n 0 = l indice di rifrazione al suolo (esso dipende anche dalla lunghezza 3-37

38 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - d onda che per il momento ignoriamo) r z θ 1 θ 0 z 1 Atmosfera n(z) decrescente x ground fig311-3 Per valutare l angolo di rifrazione r, applichiamo la legge di Snell fra la superficie terrestre e la zona superiore dell atmosfera dove sicuramente l indice di rifrazione é eguale a 1; ossia: n 0 sin θ 0 = sin θ 1 (311) da cui: θ 1 = arcsin(n 0 sin θ 0 ) (3113) Riportiamo in grafico l angolo r = θ 1 θ 0 in funzione dell angolo θ 1 Angolo di rifrazione r (in gradi) Angolo di rifrazione r in funzione dell angolo θ θ 1 (in gradi) fig

39 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Per studiare le traiettorie dei raggi, cosí come si fará per la ionosfera, si procede nella seguente maniera: dalla figura (311-3) si ha: da cui: ossia: Per la legge di Snell: Quindi: tan θ = dx dz (3114) 1 n(z) sin θ = n(z) tan θ = n(z) 1 1 ( ) dx 1 + dz (3115) n 0 sin θ 0 = n(z) sin θ (3116) n 0 sin θ 0 = n(z) 1 1 ( ) (3117) dx 1 + dz ( ) dx = dz n 0 sin θ 0 n (z) n 0 sin θ 0 (3118) dx dz = n 0 sin θ 0 n (z) n 0 sin θ 0 (3119) che si puó scrivere: dx dn dn dz = n 0 sin θ 0 (31110) n (z) n 0 sin θ 0 ossia: Ma per la (3111): dx = n 0 sin θ 0 dn (31111) dn n dz (z) n 0 sin θ 0 Integrando: dn dz = 1 H (n 0 1)e z/h = 1 (n(z) 1) (3111) H dx = Hn 0 sin θ 0 dn (31113) (n(z) 1) n (z) n 0 sin θ 0 Posto a = n 0 sin θ 0 e uscendo il termine noto fuori dall integrale, l integrale al secondo membro della (31113) si scrive: dn (n(z) 1) n (z) a (31114) 3-39

40 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Per risolvere l integrale poniamo: / n a = t n = n a = (t n) = n / a = t + n tn (31115) ossia: Si ha, allora: n = t + a t = dn = 4t t a 4t dt = t a t dt (31116) dn (n(z) 1) n (z) a = t a t a = ( t t + a t ) ( t t a ) dt = 4t t t + a t (t t + a )dt = t t t t + a dt (31117) Posto t t + a = 0, si ha: t 1 = a ; t = 1 1 a (31118) Quindi: t t + a = (t t 1 )(t t ) = (t 1 ) 1 a (t 1 + ) 1 a (31119) Pertanto: t t + a dt = ( ) ( t 1 1 a t 1 + (3110) 1 a)dt Posto: ( ) ( t 1 1 a t a ) = A ( ) + B ( ) (3111) t 1 1 a t a l eguaglianza é assicurata se: A (t 1 + ) 1 a + B (t 1 ) 1 a = (311) At A + A 1 a + Bt B B 1 a = (3113) (A + B)t (A + B) + (A B) 1 a = (3114) 3-40

41 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - che é soddisfatta per: A + B = 0 = B = A (3115) Ne segue che: A = 1 1 a ; B = 1 1 a (3116) In definitiva: ( ) ( t 1 1 a t a )dt = [ 1 1 = ( )dt 1 a t 1 1 a 1 = ln t 1 1 a 1 a t a 1 ( t a )dt ] = (3117) Risostituendo per la (31115) t = n(z) + n (z) a, si ha: dn (n(z) 1) n (z) a = 1 ln n(z) + n (z) a 1 1 a 1 a n(z) + n (z) a a (3118) Poiché é sempre n(z) > 1, si puó togliere il valore assoluto e scambiando il numeratore con il denominatore si puó scrivere: [ dn (n(z) 1) n (z) a = 1 ln n(z) 1 + n (z) a + ] 1 a 1 a n(z) 1 + n (z) a 1 a che si puó ancora scrivere: dn (n(z) 1) n (z) a = 1 ln 1 a 1 a 1 + n(z) 1 + n (z) a 1 a 1 n(z) 1 + n (z) a (3119) (31130) D altra parte é noto che: arctanh(x) = 1 ( ) 1 + x ln 1 x 0 x < 1 5) (31131) 5) Abramowitz Milton and Stegun Irene A (Eds) - Handbook of Mathematical Functions - Dover Publications, pag 86 n

42 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - In definitiva, quindi: ( ) dn (n(z) 1) n (z) a = 1 a arctanh 1 a n(z) 1 + n (z) a Quindi l equazione (31113) si scrive: Hn 0 sin θ 0 dn = (n(z) 1) n (z) n 0 sin θ 0 = Hn 0 sin θ 0 1 n 0 arctanh 1 sin θ 0 n 0 sin θ 0 n(z) 1 + n (z) n 0 sin θ 0 (3113) (31133) Ma: n 0 sin θ 0 = sin θ 1 (31134) Quindi: Hn 0 sin θ 0 dn = H tan θ 1 arctanh cos θ 1 (n(z) 1) n (z) n 0 sin θ 0 n(z) 1 + n (z) sin θ 1 (31135) Quindi l equazione della traiettoria é: x = H tan θ 1 arctanh cos θ 1 (31136) n(z) 1 + n (z) sin θ 1 Imponendo, per comoditá, che per z = 0 x si annulli, l equazione (31136) diventa: x =H tan θ 1 arctanh cos θ 1 n(z) 1 + n (z) sin θ 1 arctanh cos θ 1 n n 0 sin θ 1 (31137) Le figure e riportano ciascuna due grafici rappresentanti traiettorie di raggi luminosi, valutati con la formula (31137) nel caso di θ 1 = 30 0 e nel caso di θ 1 = 45 0 la prima e nel caso di θ 1 = 60 0 e nel caso di θ 1 = 80 0 la seconda É stato scelto, virtualmente, n 0 = 5 per poter visualizzare meglio la distorsione delle traiettorie in prossimitá del suolo 3-4

43 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Programma in ambiente Matlab per graficare le traiettorie in atmosfera non omogenea con indice di rifrazione decrescente: rifrazione atmosfericam delete(get(0, children )); clear all z=0:1:100; H=886; nzero=5; senteta1=sind(30); costeta1=sqrt(1-senteta1ˆ ); nzeta=1+(nzero-1)*exp(-z/h); FF=costeta1/(nzeta-1+sqrt(nzetaˆ -senteta1ˆ )); FF0=costeta1/(nzero-1+sqrt(nzeroˆ -senteta1ˆ )); x=*h*senteta1/costeta1*(atanh(ff)-atanh(ff0)); axis([ ]) plot(x,z) 3-43

44 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Traiettoria di un raggio: n 0 = 5, H = 886 Km, θ 1 = z (Km) θ x (Km) Traiettoria di un raggio: n 0 = 5, H = 886 Km, θ 1 = z (Km) θ x (Km) fig

45 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Traiettoria di un raggio: n 0 = 5, H = 886 Km, θ 1 = z (Km) θ x (Km) Traiettoria di un raggio: n 0 = 5, H = 886 Km, θ 1 = z (Km) θ x (Km) fig

46 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici L appiattimento del Sole Poiché la rifrazione non é la stessa a tutte le altezze, viene rivelata in maniera diversa la parte alta e la parte bassa del Sole L effetto é piú marcato quando il Sole é prossimo all orizzonte fig Dispersione della luce Per il vetro crown si hanno i seguenti valori dell indice di rifrazione in funzione del colore della luce Violetto Azzurro Verde Giallo Arancione Rosso n = 153 n = 158 n = 1519 n = 1517 n = 1514 n = 1513 n θ 0 luce bianca fig Il raggio verde Vedere il raggio verde sembra un avvenimento magico ed irreale In realtá é un fenomeno atmosferico discreto e poco spettacolare Si puó vedere la sera al tramonto del sole su un orizzonte lontano: bisogna che la linea dell orizzonte sia visibile a piú di 0 Km Nel momento in cui l ultimo frammento di Sole é sul punto di sparire, si osserva 3-46

47 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - una piccola porzione di un bel verde smeraldo durante circa 1/4 di secondo I francesi e i tedeschi chiamano questo fenomeno il raggio verde ma per gli inglesi é il lampo verde, che mostra la brevitá del fenomeno Sembra che si possa cosí percepire un raggio di un blu del colore dell arco elettrico in altezza con un cielo particolarmente chiaro La comunitá scientifica si interessa a questo fenomeno alla fine del XIX 0 quando Jules Verne ne fa il titolo di un romanzo Poiché le prime osservazioni sono state fatte a bordo di una nave, si pensava che era la luce del Sole al tramonto che si colorava di verde nelle onde Ma é stato necessario cercare un altra spiegazione quando si é visto il raggio verde sulla Terra e nei deserti Si é pensato cosí a un fenomeno di persistenza visiva, il verde essendo il colore complementare al rosso arancione Ma il raggio verde é anche visibile, al mattino, al levar del Sole Il raggio verde si spiega a causa della separazione di differenti colori della luce del Sole Ciascun colore forma una immagine separata del Sole, e dal basso in alto, si hanno i dischi rossi, arancione, verde, giallo e blu Durante il quarto d ora che precede il tramonto del Sole si puó osservare con dei binocoli, muniti di un filtro per evitare l abbagliamento una frangia verde attorniante la metá superiore del Sole, allorché la metá inferiore é attorniata da una striscia rossa Questa striscia é ben visibile quando la sommitá del Sole é mascherata da uno strato di nuvole La frangia verde é visibile per circa dieci minuti, il fenomeno si intensifica man mano che il Sole si abbassa sull orizzonte Lo strato fluttua e danza a causa delle instabilitá dell atmosfera e forma talvolta delle figure spettacolari Il raggio estremo verde appare qualche volta separato dal disco solare a causa dell assorbimento della luce gialla e arancione dal vapore d acqua e dall ozono atmosferico Allorquando il Sole attraversa l orizzonte, i differenti dischi rosso, arancione giallo poi verde spariscono l uno dopo l altro Il raggio verde é la fase finale allorquando l ultimo bagliore proveniente dal Sole non é troppo rosso per la nebbia Si tratta allora di un piccolo capello verde visibile per una frazione di secondo La prima foto di questo fenomeno é stata realizzata dal padre gesuita Treusch, operante all Osservatorio del Vaticano, a Castel Gandolfo nel 1954, con un telescopio di 65 cm di distanza focale 3-47