Bolzano, gennaio Problemi a righe e competenze. Rosetta Zan Dipartimento di Matematica Università di Pisa

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1 Bolzano, gennaio Problemi a righe e competenze Rosetta Zan Dipartimento di Matematica Università di Pisa zan@dm.unipi.it Se vogliamo che la contestualizzazione in una storia sostenga la comprensione e soluzione di un problema, la formulazione deve essere attenta all integrazione fra dimensione logica e dimensione narrativa, in particolare: Attenzione ai dati rilevanti dal punto di vista narrativo Attenzione all artificiosità narrativa dei dati rilevanti dal punto di vista logico Narratore a focalizzazione interna Continuità narrativa fra storia e domanda PROBLEMI A RIGHE

2 Problemi a righe e problemi reali Nei problemi narrativi a righe si risolve quindi la frattura tipicamente esistente fra problemi scolastici e problemi reali. I problemi a righe mettono in primo piano gli scopi delle persone e gli ostacoli a raggiungere tali scopi PROBLEMI A RIGHE E PROCESSI DECISIONALI Quindi i problemi a righe permettono di recuperare (almeno in parte) la centralità e la complessità dei processi decisionali che caratterizza la soluzione di problemi reali, e che è invece sacrificata nei problemi scolastici standard. Nel caso di un problema scolastico la maggior parte delle decisioni è stata presa dall autore prima della formulazione del testo, e quello che ci si aspetta dall allievo è che riproduca i processi risolutivi che l autore stesso ha immaginato fin dall inizio: Per me un problema èuna cosa che si devi risultare uguale a quello che la maestra ha gia fatto. [Andrea, 3 a primaria]

3 Invece i processi risolutivi dell allievo che risolve un problema a righe rimandano ai processi decisionali dei personaggi della storia narrata, e quindi a decisioni prese in situazioni reali, che sono frutto di un bilancio fra diversi fattori. I problemi narrativi a righe costituiscono una risorsa importante nella pratica didattica COMPITI DI REALTA PROBLEMI Rimangono quelli standard dei libri di testo! Potenzialità dei problemi a righe: per lo sviluppo di competenze di problem solving per lo sviluppo di competenze argomentative per lo sviluppo di competenze competenza vista come la capacitàdi far fronte ad un compito, o a un insieme di compiti, riuscendo a mettere in moto e ad orchestrare le proprie risorse interne, cognitive, affettive e volitive, e a utilizzare quelle esterne disponibili in modo coerente e fecondo Pellerey (2004)

4 Particolarmente fertili sono i problemi: sufficientemente aperti da prevedere una pluralità di soluzioni, come accade per i problemi reali; In cui la soluzione scelta non è semplicemente il risultato di una serie di calcoli effettuati su alcuni dati numerici disponibili ma è invece frutto di un bilancio fra diversi fattori, alcuni anche esterni alla matematica. Pane e pensiero

5 Analisi di questo testo: discussione Quali sono a vostro parere le criticità di questo testo dal punto di vista dell approccio che abbiamo seguito fin qui ( problemi a righe )?

6 Limiti riformulazione Il problema della suddivisione delle monete d oro viene presentato insieme alla sua soluzione. Abbiamo quindi omesso la spiegazione di Beremiz nel testo. Abbiamo poi eliminato quei dettagli narrativi del testo originale che non solo non sono rilevanti per la soluzione, ma non sono nemmeno rilevanti per la comprensione del problema. Abbiamo anche modificato alcuni dettagli che ci sembravano poco plausibili: il viaggio dura solo un giorno, e 8 pagnotte sembrano eccessive, soprattutto non sembra necessario dividerle tutte in tre parti uguali. Nella nostra versione allora il viaggio dura 8 giorni, e questo rende credibile la necessità di dividere ogni giorno ogni pagnotta in 3 parti uguali. Nel testo originale l Uomo Che Contava non desta molte simpatie e sembra avere comportamenti contraddittori: prima protesta per quanto ha ricevuto, apparendo piuttosto avaro, poi dopo aver dato sfoggio di erudizione nell argomentare la propria posizione, fa sfoggio invece di magnanimità e propone un altro modo di effettuare la divisione. In altre parole le varie proposte che si succedono sembrano frutto delle originalità caratteriali di Beremiz, invece che legate agli scopi di qualcuno. Per questi motivi abbiamo attribuito la protesta sulla divisione delle monete alla persona che riteneva di aver avuto troppo rispetto all altro, rendendo più naturale anche l emergere dell ultima proposta (la divisione a metà). Abbiamo lasciato la storia sospesa, mentre prima era chiusa. Ma soprattutto abbiamo voluto lasciare all allievo la scelta fra le varie opzioni, richiedendo però di comprenderle tutte (in particolare quella basata sul modello proporzionale), prevedendo ulteriori possibilità, e infine richiedendo di motivare la scelta finale Pane e pensiero (versione modificata A) Assad e Beremiz, sulla strada del viaggio per Baghdad, incontrano Salem, un viandante affamato. Il viandante chiede loro da mangiare, dicendo di essere un ricco mercante, e di poterli ricompensare non appena arrivati a Baghdad. Assad ha 5 pagnotte, e Beremiz ha 3 pagnotte. Si mettono in viaggio insieme. Assad dice: «Abbiamo 8 giorni di viaggio, dobbiamo consumare solo una pagnotta al giorno: ce la divideremo in tre». E così fanno il primo giorno, e poi il secondo, e poi l ottavo si dividono l ultimo pane. Finalmente arrivano a Baghdad. Lì Salem li invita a casa sua, e per ricompensarli dà 5 monete d oro a Assad, che aveva messo 5 pagnotte, e 3 monete d oro a Beremiz, che aveva messo le sue 3 pagnotte. Beremiz dice: «Amico, non hai fatto il conto giusto. Devi dare 7 monete a Assad, e solo 1 a me. Infatti anche noi abbiamo mangiato le pagnotte». Assad dice: «Amico, Beremiz ha fatto i conti per bene. Però l importante è che ognuno di noi due ha messo a disposizione quello che aveva. Quindi dividiamo la ricompensa a metà: 4 monete per ciascuno». Salem non sa più come fare. Prova a spiegargli il ragionamento che hanno fatto Beremiz e Assad. Tu come faresti? Come aveva fatto Salem, come dice Beremiz, o come dice Assad? O in un altro modo ancora? Perché?

7 Attività 6.1 : a) La soluzione a1) Raccogliete i ragionamenti dei componenti del vostro gruppo per spiegare il motivo della suddivisione 7 e 1 invece che 5 e 3. Sono tutti uguali? a2) Ogni componente risponda alle domande poste in fondo fornendo un argomentazione a sostegno della soluzione che ha scelto, e un argomentazione contro le due soluzioni che ha scartato. Discutete fra voi. BEREMIZ: 3 pagnotte ASSAD: 5 pagnotte

8 Ogni pagnotta viene divisa in 3: BEREMIZ: 3 pagnotte 9 pezzi ASSAD: 5 pagnotte 15 pezzi In tutto: 24 pezzi 8 pagnotte = 24 pezzi 3 pagnotte = 9 pezzi di Beremiz 5 pagnotte = 15 pezzi di Assad In 8 giorni: 3 pezzi al giorno, uno per ciascuno (Assad, Beremiz, Salem) Beremiz alla fine del viaggio ha mangiato 8 pezzi. Ne aveva messi a disposizione 9, e ne ha mangiati 8. Assad alla fine del viaggio ha mangiato 8 pezzi. Ne aveva messo a disposizione 15, e ne ha mangiati 8. Quindi degli 8 pezzi che ha mangiato Salem (il viandante): -8 erano di Beremiz -solo 1 era di Assad Invece quando Salem dà 8 monete per le 8 per ricompensa, ne dà: -3 monete ad Assad -5 monete a Bereniz

9 Attività 6.1 b) L analisi didattica b1) Su quali competenze permette di lavorare questo problema? b2) Quali possibili difficoltà prevedete? b3) Quali potenzialità vedete? b4) Quali agganci con altre discipline? b5) Altre osservazioni libere Potenzialità Le soluzioni proposte sono varie (quella iniziale 3-5, poi 7-1, infine 4-4), e si basano su valutazioni di tipo diverso, alcune squisitamente matematiche, altre no (non a caso all inizio si parla di divisione semplice, divisione esatta e divisione perfetta). I processi decisionali che portano alla scelta della soluzione finale sono quindi frutto di un bilancio fra diversi elementi, in cui entra in gioco la matematica ma non solo.

10 Pane e pensiero (versione modificata B, più semplice) Assad e Beremiz, sulla strada del viaggio per Baghdad, incontrano Salem, un viandante affamato. Salem chiede loro da mangiare, dicendo di essere un ricco mercante, e promettendo di ricompensarli con un premio in monete d oro non appena arrivati a Baghdad. Assad ha 4 pagnotte, e Beremiz ha 2 pagnotte. Salem dice: Vi scongiuro di dividere le vostre pagnotte con me. Vi propongo uno scambio ragionevole. Vi darò per il pane 6 monete d oro, non appena giungerò a Baghdad. I tre si mettono in viaggio insieme. Assad dice: Abbiamo 6 giorni di viaggio, dobbiamo consumare solo una pagnotta al giorno: ce la divideremo in tre. E così fanno il primo giorno, e poi il secondo, e poi il sesto si dividono l ultimo pane. Finalmente arrivano a Baghdad. Lì Salem li invita nella sua casa, e per ricompensarli dà 4 sacchetti di monete d oro a Assad, e 2 sacchetti di monete d oro a Beremiz. Assad dice: Amico, non hai fatto il conto giusto. Devi dare tutti e 6 i sacchetti di monete a me. Infatti Bereniz ha mangiato tutte le sue pagnotte Beremiz dice: Amico, secondo me l importante è che ognuno di noi due ha messo a disposizione quello che aveva. Quindi dividiamo la ricompensa a metà: 3 sacchetti di monete d oro per ciascuno. Salem non sa più come fare. Prova a spiegargli il ragionamento che hanno fatto Assad e Beremiz. Tu come faresti? Come aveva fatto Salem, come dice Assad, o come dice Beremiz? O in un altro modo ancora? Perché?

11 Dalle sperimentazioni Verticalità Infanzia: 5 anni Versione: 6 monete, 6 pagnotte, 6 giorni di viaggio Indicatore di buon problema Primaria: versioni 6 e 8 Prima Seconda Terza Quarta Quinta Secondaria Versione: 8 monete, 8 pagnotte, 8 giorni di viaggio Prima Seconda Terza ma non solo matematica!

12 Verticalità Verticalità Infanzia: 5 anni Versione: 6 monete, 6 pagnotte, 6 giorni di viaggio Primaria: 1a e 2a

13 Verticalità Primaria: 3 a, 4 a e 5 a Verticalità Secondaria

14 Verticalità Secondaria VARIAZIONI SUL TEMA 5.CLASSE QUARTA COLLODI PROBLEMA DELLE PAGNOTTE SALEM Quanto pane ha?.. Cosa offre in cambio di un po di pane? Quanti giorni viaggia per arrivare a Baghdad?.. Quanto pane mangia durante il viaggio?.... BEREMI Z Quanto pane ha?.. Quanti giorni viaggia per arrivare a Baghdad?.. Quanto pane mangia durante il viaggio?.... Quanto pane mette a disposizione degli altri?.... ASSAD Quanto pane ha?.. Quanti giorni viaggia per arrivare a Baghdad?.. Quanto pane mangia durante il viaggio?.... Quanto pane mette a disposizione degli altri?....

15 Interdisciplinarietà UN ESEMPIO (classe seconda) Multimedialità LIM COMPUTER REGISTRATORE CARTELLONI DISEGNI VIDEO

16 Matematica / Italiano raccontare contare Argomentazione!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Classe quarta scuola primaria (26 alunni) Primo incontro / un ora per ogni metà classe. Testo proiettato alla LIM. Lettura dell insegnante. Registrazione audio. Trascritti alcuni interventi significativi di uno dei gruppo. In azzurro i problemi posti dagli alunni. Secondo incontro / due ore a classe intera. LIM: Perché la città di Samarra è famosa? Ricerca su Google Earth e in whc.unesco.org. Disegno Un incontro. (vedi allegati) Terzo incontro / un ora a classe intera. Scrivi quale potrebbe essere il significato dei numeri straordinari enunciati dall Uomo Che Contava?. (vedi allegato) Quarto incontro / due ore a classe intera. Compresenza ins. matematica e ins. italiano. Testo proiettato alla LIM. Lettura dell insegnante. Registrazione audio. Trascritti alcuni interventi significativi. In azzurro i problemi posti dagli alunni, nell ordine indicato dalle lettere. Quinto incontro / due ore a classe intera. Disegno Un uomo su cui contare. (vedi allegati) Un esempio: classe quarta primaria primi 5 incontri

17 Argomentazione Un esempio: classe quarta primaria 1. In presenza dell insegnante di matematica e dell insegnante di italiano viene letto e discusso il testo del problema, proiettato alla LIM. 2. L insegnante di matematica riprende la lettura del testo, focalizzando l attenzione sul pezzo: «Insieme riprendemmo il viaggio. Abbiamo otto giorni di cammino, possiamo consumare solo una pagnotta al giorno: ce la divideremo in tre dissi. E così facemmo il primo giorno, il secondo, il terzo,... e poi l ottavo giorno dividemmo tra noi l ultima pagnotta.» Chiede quindi agli alunni di disegnare gli otto giorni di cammino. 3. Gli alunni provano a risolvere individualmente il problema della suddivisione posto da Beremiz. 4. Il problema viene poi risolto collettivamente in classe. Al termine l insegnante chiede agli alunni di rappresentare individualmente la soluzione trovata. 5. L insegnante a questo punto pone due domande: In quale punto di vista ti riconosci? In quali punti di vista non ti riconosci? Ad ogni alunno quindi viene chiesto di scegliere il punto di vista preferito e di produrre argomenti a favore, ma anche di produrre argomenti contro le posizioni da lui non condivise. 6. L attività si conclude con una discussione collettiva in cui si confrontano le varie posizioni e argomentazioni. 6 incontro 7 incontro 8 incontro 9 incontro 10 incontro Argomentazione Un esempio: classe quarta primaria 1. In presenza dell insegnante di matematica e dell insegnante di italiano viene letto e discusso il testo del problema, proiettato alla LIM. 2. L insegnante di matematica riprende la lettura del testo, focalizzando l attenzione sul pezzo: «Insieme riprendemmo il viaggio. Abbiamo otto giorni di cammino, possiamo consumare solo una pagnotta al giorno: ce la divideremo in tre dissi. E così facemmo il primo giorno, il secondo, il terzo,... e poi l ottavo giorno dividemmo tra noi l ultima pagnotta.» Chiede quindi agli alunni di disegnare gli otto giorni di cammino. 3. Gli alunni provano a risolvere individualmente il problema della suddivisione posto da Beremiz. 4. Il problema viene poi risolto collettivamente in classe. Al termine l insegnante chiede agli alunni di rappresentare individualmente la soluzione trovata. 5. L insegnante a questo punto pone due domande: In quale punto di vista ti riconosci? In quali punti di vista non ti riconosci? Ad ogni alunno quindi viene chiesto di scegliere il punto di vista preferito e di produrre argomenti a favore, ma anche di produrre argomenti contro le posizioni da lui non condivise. 6. L attività si conclude con una discussione collettiva in cui si confrontano le varie posizioni e argomentazioni. 6 incontro 7 incontro 8 incontro 9 incontro 10 incontro

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19 Argomentazione Argomentare: un intreccio tra righe e quadretti D Azeglio: classe quarta 1. In presenza dell insegnante di matematica e dell insegnante di italiano viene letto e discusso il testo del problema, proiettato alla LIM. 2. L insegnante di matematica riprende la lettura del testo, focalizzando l attenzione sul pezzo: «Insieme riprendemmo il viaggio. Abbiamo otto giorni di cammino, possiamo consumare solo una pagnotta al giorno: ce la divideremo in tre dissi. E così facemmo il primo giorno, il secondo, il terzo,... e poi l ottavo giorno dividemmo tra noi l ultima pagnotta.» Chiede quindi agli alunni di disegnare gli otto giorni di cammino. 3. Gli alunni provano a risolvere individualmente il problema della suddivisione posto da Beremiz. 4. Il problema viene poi risolto collettivamente in classe. Al termine l insegnante chiede agli alunni di rappresentare individualmente la soluzione trovata. 5. L insegnante a questo punto pone due domande: In quale punto di vista ti riconosci? In quali punti di vista non ti riconosci? Ad ogni alunno quindi viene chiesto di scegliere il punto di vista preferito e di produrre argomenti a favore, ma anche di produrre argomenti contro le posizioni da lui non condivise. 6. L attività si conclude con una discussione collettiva in cui si confrontano le varie posizioni e argomentazioni. 6 incontro 7 incontro 8 incontro 9 incontro 10 incontro

20 Argomentazione Un esempio: classe quarta primaria 1. In presenza dell insegnante di matematica e dell insegnante di italiano viene letto e discusso il testo del problema, proiettato alla LIM. 2. L insegnante di matematica riprende la lettura del testo, focalizzando l attenzione sul pezzo: «Insieme riprendemmo il viaggio. Abbiamo otto giorni di cammino, possiamo consumare solo una pagnotta al giorno: ce la divideremo in tre dissi. E così facemmo il primo giorno, il secondo, il terzo,... e poi l ottavo giorno dividemmo tra noi l ultima pagnotta.» Chiede quindi agli alunni di disegnare gli otto giorni di cammino. 3. Gli alunni provano a risolvere individualmente il problema della suddivisione posto da Beremiz. 4. Il problema viene poi risolto collettivamente in classe. Al termine l insegnante chiede agli alunni di rappresentare individualmente la soluzione trovata. 5. L insegnante a questo punto pone due domande: In quale punto di vista ti riconosci? In quali punti di vista non ti riconosci? Ad ogni alunno quindi viene chiesto di scegliere il punto di vista preferito e di produrre argomenti a favore, ma anche di produrre argomenti contro le posizioni da lui non condivise. 6. L attività si conclude con una discussione collettiva in cui si confrontano le varie posizioni e argomentazioni. 6 incontro 7 incontro 8 incontro 9 incontro 10 incontro

21 SOLUZIONE PROPOSTA da HANAK (4 4) A FAVORE CONTRO FEDERICA( SOFIA( ( ( A FAVORE SOLUZIONE PROPOSTA da SALEM (5 3) SARA( CONTRO

22 A FAVORE SOLUZIONE PROPOSTA da SALEM (5 3) CONTRO TOMMASO( A FAVORE SOLUZIONE PROPOSTA da BEREMIZ (7 1) FILIPPO( ( ( (

23 SOLUZIONE PROPOSTA da BEREMIZ (7 1) A FAVORE CONTRO PIETRO( ( ( Argomentazione Un esempio: classe quarta primaria 1. In presenza dell insegnante di matematica e dell insegnante di italiano viene letto e discusso il testo del problema, proiettato alla LIM. 2. L insegnante di matematica riprende la lettura del testo, focalizzando l attenzione sul pezzo: «Insieme riprendemmo il viaggio. Abbiamo otto giorni di cammino, possiamo consumare solo una pagnotta al giorno: ce la divideremo in tre dissi. E così facemmo il primo giorno, il secondo, il terzo,... e poi l ottavo giorno dividemmo tra noi l ultima pagnotta.» Chiede quindi agli alunni di disegnare gli otto giorni di cammino. 3. Gli alunni provano a risolvere individualmente il problema della suddivisione posto da Beremiz. 4. Il problema viene poi risolto collettivamente in classe. Al termine l insegnante chiede agli alunni di rappresentare individualmente la soluzione trovata. 5. L insegnante a questo punto pone due domande: In quale punto di vista ti riconosci? In quali punti di vista non ti riconosci? Ad ogni alunno quindi viene chiesto di scegliere il punto di vista preferito e di produrre argomenti a favore, ma anche di produrre argomenti contro le posizioni da lui non condivise. 6. L attività si conclude con una discussione collettiva in cui si confrontano le varie posizioni e argomentazioni. 6 incontro 7 incontro 8 incontro 9 incontro 10 incontro

24 Inizialmente gli alunni spiegano all insegnante di italiano, non presente durante gli incontri dedicati alla risoluzione del problema posto da Beremiz, le tre diverse proposte di suddivisione della ricompensa. Filippo: Visto che Hanak ha dato cinque pagnotte, secondo Salem deve avere cinque monete d oro, mentre Beremiz che ha dato tre pagnotte, ne deve ricevere tre Sofia: Beremiz dice che a Hanak deve dare sette monete d oro, perché Salem ha mangiato sette pezzi dei suoi pani, e deve dare a lui una sola moneta perché Salem ha mangiato un solo pezzo del suo pane. Giorgia: Hanak aveva cinque pagnotte che ha diviso in tre pezzi ognuna. Allora sono venuti quindici pezzi e lui di quei quindici ne mangia otto. Mentre Beremiz ha tre pagnotte che lui divide in tre pezzi ciascuna e diventano nove pezzi, lui ne mangia otto. Allora a Hanak ne rimangono sette e Salem li mangia tutti. A Beremiz rimane un pezzo e questo pezzo lo dà a Salem. E così diventano sette monete a Hanak e una a Beremiz. Cecilia: Hanak dice che hanno messo a disposizione tutto quello che avevano, quindi Salem deve dare quattro monete d oro a ciascuno. Sara: Per me quando devi dare una ricompensa a qualcuno, devi... come dire... fare uguale; quindi se Hanak ha messo a disposizione le sue cinque pagnotte, deve ricevere cinque monete d oro, e Beremiz che ha messo a disposizione tre pagnotte, deve ricevere tre monete d oro. Hanak ha dato cinque pagnotte e Salem gli vuole dare cinque monete d oro, per me questo è giusto. Secondo me, in quel momento, la matematica non c entra molto. Beremiz pensa a..., ha un idea matematica, però non lo trovo giusto. Se io dovessi dare una ricompensa a qualcuno, darei pari a quello che mi ha dato. [ ] Clara: Come ha detto Hanak nel testo, l importante per lui non è quanto hai dato ma cosa hai dato e perché lo hai dato. Luisa: Visto che Hanak e Beremiz hanno mangiato lo stesso numero di pagnotte, devono ricevere lo stesso numero di monete. Ludovica: Hanak in un certo senso conta quanto hai dato, ma non lo conta veramente, perché quello che hai dato è importante. Sofia: Se non ci fosse stato Hanak, loro sarebbero morti di fame dopo tre giorni di cammino, perché non ci sarebbero più state a disposizione le pagnotte. Quindi Hanak ha contribuito a sopravvivere. Poi se non ci fosse stato Beremiz, sarebbero sopravvissuti di più, cinque giorni, ma gli ultimi tre giorni sarebbero rimasti senza pane, quindi sarebbero morti lo stesso. Quindi hanno contribuito tutti e due alla sopravvivenza e meritano tutti e due quattro monete. Clara: Non mi convince, perché se non ci fosse stato Hanak, rimanevano solo Salem e Beremiz, erano solo in due a mangiare... se non c è più Hanak, e non mangia se non c è più, sarebbero sopravvissuti più di tre giorni, resistono di più... Ins.mat: Il problema è: arrivano a Baghdad? Sofia: Dipende... dipende dalla quantità di pane che mangiano Voci: Se continuano a dividere ogni pagnotta in tre pezzi?... ne hanno nove... visto che i giorni sono otto... ne servirebbero sedici... mancano pezzi... e se non ci fosse stato Beremiz?