Relazione tra variabili (cont.) Due variabili continue. Una variabile continua e un altra qualitativa o discreta.

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1 Relazione tra variabili (cont.) Due variabili continue. Una variabile continua e un altra qualitativa o discreta. María Eugenia Castellanos Nueda (DEIO) Estadística Aplicada a la Publicidad Noviembre de / 26

2 Relazione tra 2 variabili continue Quando abbiamo due variabili quantitative (misurabili) e i valori di queste variabili non si ripetono, non è possibile fare tabelle di frequenze come abbiamo visto nella lezione precedente. In questo caso, il miglior modo di descrivere congiuntamente le due caratteristiche è tramite una rappresentazione grafica in due dimensioni. Il diagramma più utile in questa situazione è il diagramma a dispersione. María Eugenia Castellanos Nueda (DEIO) Estadística Aplicada a la Publicidad Noviembre de / 26

3 Diagramma a dispersione Un modo utile di riportare un insieme di dati di valori accoppiati quantitativi consiste nel rappresentare i dati in un diagramma rettangolare bidimensionale in cui, l asse x (delle ascisse) rappresenta il valore x dei dati, dove x denota la variabile çausa"(e in genere si considera una variabile indipendente), y e l asse y (delle ordinate) rappresenta il valore di y, questa variabile si considera risultato o effetto (variabile dipendente). È usuale rappresentare la variabile indipendente nell asse orizzontale (ascisse), y la variabile dipendente nell asse verticale (ordinate). María Eugenia Castellanos Nueda (DEIO) Estadística Aplicada a la Publicidad Noviembre de / 26

4 Esempio: Studi di Galton sulla statura Sir Francis Galton (16 febbraio gennaio 1911), è stato un antropologo, geografo, esploratore, inventore, meteorologo, statistico, psicologo britannico con un ampio spettro di interessi. Galton era anche cugino di Charles Darwin. María Eugenia Castellanos Nueda (DEIO) Estadística Aplicada a la Publicidad Noviembre de / 26

5 Esempio: Studi di Galton sulla statura (in pollici) In particolare Galton si è occupato dell ereditarietà biologica umana. Nel suo libro Natural inheritance (1889) raccolse risultati sulla relazione di diverse variabili tra padri e figli. Ad esempio, studiò l altezza dei padri e dei corrispondenti figli su 928 coppie padre/figlio. In questo esempio, la variabile dipendente è l altezza dei figli, e quella indipendente è l altezza dei padri. María Eugenia Castellanos Nueda (DEIO) Estadística Aplicada a la Publicidad Noviembre de / 26

6 Esempio: Studi di Galton sulla statura Cosa si può dire sulla relazione tra l altezza dei figli e quella dei padri? María Eugenia Castellanos Nueda (DEIO) Estadística Aplicada a la Publicidad Noviembre de / 26

7 Esempio: Studi di Galton sulla statura È evidente I associazione positiva tra l altezza del figlio e quella del padre. Le coppie per Ie quali I altezza del padre è uguale a quella del figlio giacciono sulla retta inclinata a 45 gradi (y = x). Le coppie per le quali l altezza del padre è intorno ai 183 cm giacciono all interno della banda tratteggiata. María Eugenia Castellanos Nueda (DEIO) Estadística Aplicada a la Publicidad Noviembre de / 26

8 Esempio Viene riportato un diagramma di dispersione per un insieme di coppie di valori. Riempite gli spazi bianchi. María Eugenia Castellanos Nueda (DEIO) Estadística Aplicada a la Publicidad Noviembre de / 26

9 Esempio Nel seguente diagramma a dispersione: 1 La media dei valori misurati sull asse delle ascisse (x) è attorno a 1, 1.5 o 2? 2 La media dei valori misurati sull asse delle ordinate (y) è attorno a 1, 1.5 o 2? 3 Quale deviazioni standard è più grande tra quella della x e quella della y? María Eugenia Castellanos Nueda (DEIO) Estadística Aplicada a la Publicidad Noviembre de / 26

10 Esempio Il seguente diagramma di dispersione mostra i voti ottenuti da un certo numero di studenti nell esame intermedio e in quello finale di un certo corso. 1 Il voto medio nell esame intermedio è attorno a 25, 50 o 75? 2 Quale esame era più difficile, l intermedio o il finale? 3 C è più dispersione nei voti dell esame intermedio o in quelli dell esame finale? 4 Cosa si può dire tra l associazione tra i voti dell esame intermedio e quelli dell esame finale? María Eugenia Castellanos Nueda (DEIO) Estadística Aplicada a la Publicidad Noviembre de / 26

11 Sintesi di un diagramma di dispersione María Eugenia Castellanos Nueda (DEIO) Estadística Aplicada a la Publicidad Noviembre de / 26

12 Esempio Nel esempio precedente, La deviazione standard dei voti dell esame intermedio è attorno a 5, 10 o 20? La deviazione standard dei voti dell esame finale è attorno a 5, 10 o 20? María Eugenia Castellanos Nueda (DEIO) Estadística Aplicada a la Publicidad Noviembre de / 26

13 Correlazione Una questione molto interessante quando si studiano dati bivariati congiuntamente è sapere se i valori delle due variabili sono relazionati, e in particolare se sono correlazionati. Idea intuitiva: correlazione Le osservazioni che hanno un valore grande di x hanno anche un valore grande di y?, o viceversa, hanno un valore piccolo de y? Se a valori grandi di x corrispondono valori grandi di y, e a valori piccoli, valori piccoli, Esiste correlazione positiva. Se invece, a valori grandi di x corrispondono valori piccoli di y, e a valori piccoli, valori grandi di y, Esiste correlazione negativa. María Eugenia Castellanos Nueda (DEIO) Estadística Aplicada a la Publicidad Noviembre de / 26

14 Diversi tipi di correlazione No relación. Independencia Relación lineal positiva y y x x Relación lineal negativa Relación cuadrática y y x x María Eugenia Castellanos Nueda (DEIO) Estadística Aplicada a la Publicidad Noviembre de / 26

15 Correlazione Covarianza La relazione tra variabili può essere espressa numericamente. La covarianza è una misura di relazione lineare tra due variabili che sintetizza l informazione presente in un grafico di dispersione. Per adesso consideriamo variabili (dati) che hanno media zero La relazione tra due variabili non si modifica se sottraiamo a ogni variabile la sua media. María Eugenia Castellanos Nueda (DEIO) Estadística Aplicada a la Publicidad Noviembre de / 26

16 Correlazione Per variabili con media zero, l esistenza di relazione lineare comporta che i punti disegnati nel diagramma di punti tendono a apparire in quadranti opposti. Appaiono nel quadranti (1) e (3); o nei quadranti (2) e (4). María Eugenia Castellanos Nueda (DEIO) Estadística Aplicada a la Publicidad Noviembre de / 26

17 Correlazione Invece, in queste caso le due variabili stano molto relazionate, ma non in forma lineare e i punti si distribuiscono nei quattro quadranti. María Eugenia Castellanos Nueda (DEIO) Estadística Aplicada a la Publicidad Noviembre de / 26

18 Correlazione Se abbiamo le osservazioni delle variabili x e y a coppie: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) chiamiamo covarianza tra x e y alla quantità: cov(x, y) = n i=1 (x i x) (y i y) n La covarianza rappresenta una misura della relazione lineare tra due variabili. Il segno della covarianza indica se la relazione è positiva o negativa. La covarianza vale zero quando le variabili sono ïndipendenti". María Eugenia Castellanos Nueda (DEIO) Estadística Aplicada a la Publicidad Noviembre de / 26

19 Correlazione La covarianza sarà positiva e grande se la maggioranza dei punti appaiono nei quadranti dispari, (1) e (3), (questo significa che la relazione è positiva), e invece sarà negativa e grande, in valore assoluto, quando i punti appaiono nei quadranti pari, (2) e (4), (relazione negativa). La covarianza sarà prossima a zero quando non esiste relazione tra le variabile, o se esiste una relazione non lineare. María Eugenia Castellanos Nueda (DEIO) Estadística Aplicada a la Publicidad Noviembre de / 26

20 Correlazione Il coefficiente di correlazione La covarianza può prendere valori in tutto R, e quindi è difficile valutare quando la covarianza è piccola o grande. È un valore molto influenzato dalla magnitudine di x e y (e anche delle unità in cui vengono espresse queste misure). La soluzione per potere interpretare la covarianza è calcolare un altro valore in cui abbiamo corretto la covarianza, dividendo per la deviazione standard delle variabili x e y. Il coefficiente di correlazione si definisce come: r = r(x, y) = cov(x, y) s x s y (Dove s x = n n i=1 (x i x) 2 n e sy i=1 = (y i ȳ) 2 n ). María Eugenia Castellanos Nueda (DEIO) Estadística Aplicada a la Publicidad Noviembre de / 26

21 Correlazione Questa misura è adimensionale, cioè, non dipende della magnitudine di x e y, e delle unità di misura. Proprietà del coefficiente di correlazione Quando le variabili sono relazionate linearmente, in forma esatta, il coefficiente di correlazione assume il valore 1 in valore assoluto, e quando le variabili sono indipendenti (non esiste relazione tra loro), r =0. Il coefficiente di correlazione non dipende dall ordine con cui sono considerate le variabili, cioè r(x, y) = r(y, x), e r prende valori tra 1 e 1. Valori vicini a 0 indicano assenza di relazione lineare. Non assenza di relazione!. María Eugenia Castellanos Nueda (DEIO) Estadística Aplicada a la Publicidad Noviembre de / 26

22 In ogni grafico appare un diagramma di dispersione con i valori (x i, y i ). Nel titolo di ogni uno appare il valore del coefficiente di correlazione. María Eugenia Castellanos Nueda (DEIO) Estadística Aplicada a la Publicidad Noviembre de / 26

23 María Eugenia Castellanos Nueda (DEIO) Estadística Aplicada a la Publicidad Noviembre de / 26

24 Che diagramma di dispersione corrisponde a ogni dei valori di r? r = 0,85, 0,38, 1, 0,06, 0,97, 0,62 María Eugenia Castellanos Nueda (DEIO) Estadística Aplicada a la Publicidad Noviembre de / 26

25 Importante: r = 0 NON SIGNIFICA NECESSARIAMENTE che le variabili siano indipendenti, può essere che ci sia altro tipo di relazione NON LINEARE tra loro!! María Per Eugenia esempio, Castellanos innueda questo (DEIO) diagramma Estadística Aplicada a dispersione a la Publicidadci sono due Noviembre variabili de 2009 dove25 / 26 y r= x

26 Esempio Altro esempio su altezze Consideriamo queste osservazioni su altezze di padri e figli: Padre Figlio Definire ché variabile si deve considerare come x e quale come y. Disegna il diagramma di dispersione. Calcola la covarianza c(x, y). Calcola il coefficiente di correlazione r tra x e y. María Eugenia Castellanos Nueda (DEIO) Estadística Aplicada a la Publicidad Noviembre de / 26