Meccanica. 1. Vettori. Domenico Galli. Dipartimento di Fisica e Astronomia. 5 maggio 2017

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1 Meccanica 1. Vettori Domenico Galli Dipartimento di Fisica e Astronomia 5 maggio 2017

2 Traccia 1. Grandezze Fisiche 2. Vettori 3. Calcolo Vettoriale 4. Somma e Differenza di vettori 5. Moltiplicazioni di Vettori 6. Definizioni 2

3 Alfabeto Greco Minuscolo Maiuscolo Nome Minuscolo Maiuscolo Nome α A alfa ν N nu, ni β B beta ξ Ξ xi γ Γ gamma o O omicron δ delta π Π pi ε, ɛ E epsilon ρ, ϱ P ro ζ Z zeta σ, ς Σ sigma η H eta τ T tau θ, ϑ Θ theta υ Υ upsilon ι I iota ϕ, φ Φ fi κ K kappa χ X chi λ Λ lambda ψ Ψ psi µ M mu, mi ω Ω omega 3

4 Vettori Le grandezze a fondamento di tutta la fisica sono lo spazio e il tempo. La descrizione della posizione nel tempo (fissata l unità di misura) richiede un semplice numero reale (grandezza scalare). La descrizione della posizione nello spazio richiede l introduzione di un nuovo ente matematico: il vettore. Un vettore è una entità matematica astratta: Utilizzata per rappresentare entità fisiche concettualmente molto diverse tra loro. 4

5 Vettori in Matematica In matematica un vettore è un elemento di una particolare struttura algebrica, denominata Spazio Vettoriale. Struttura algebrica: insieme S (chiamato insieme sostegno) munito di una o più leggi di composizione (operazioni), le quali: Possono essere, unarie, binarie, ecc. Sono caratterizzate dall avere proprietà quali commutatività e associatività, ecc. Le entità matematiche sono spesso astrazioni di entità concrete utilizzate nelle scienze sperimentali (fisica, biologia, economia, ecc.): I vettori sono astrazioni di entità concrete utilizzate soprattutto nella fisica (spostamento rettilineo di un punto, forza, ecc.). 5

6 Grandezze Fisiche Grandezze scalari: completamente specificate assegnando un valore numerico e una unità di misura. Esempi: lunghezza, tempo, superficie, volume, massa, densità, temperatura, carica elettrica, densità di carica, potenziale, lavoro, energia, flusso, intensità di corrente, resistenza, resistività, capacità, induttanza, impedenza, ecc. Grandezze vettoriali: completamente specificate assegnando un valore numerico (detto modulo o norma), una direzione, un verso e una unità di misura. Esempi: spostamento rettilineo di un punto, velocità, accelerazione, quantità di moto, momento della quantità di moto, forza, momento di una forza, campo elettrico, campo magnetico, momento di dipolo elettrico, momento di dipolo magnetico, densità di corrente, ecc. Grandezze tensoriali: la loro specificazione è ancora più complicata. Esempi: rotazione, tensore di inerzia, tensore degli sforzi, tensore energia-impulso del campo elettromagnetico, tensore di curvatura, ecc. 6

7 Segmento È la parte di retta delimitata da due punti distinti (O e P in figura): Ha una lunghezza (la distanza tra O e P ); Ha una direzione (una qualunque retta dello spazio parallela a quella di cui il segmento è parte); Ha due estremi (i punti O e P ). 7

8 Segmento Orientato È un segmento dotato di orientazione (uno dei due possibili sensi di percorrenza): Ha un modulo (la distanza tra O e P ); Ha una direzione (una qualunque retta dello spazio parallela a quella di cui il segmento è parte); Ha un verso (il senso, che può essere da O a P, oppure da P a O); Ha un punto di applicazione (il punto O in figura). Notazioni: r OP = OP = P O. 8

9 Punti dello Spazio Ordinario e Segmenti Orientati Fissato un certo punto dello spazio O, detto origine, a ogni altro punto P dello spazio corrisponde, in maniera bi-univoca, un segmento orientato con l origine in O e il vertice in P : fissato O: P 1 1 r OP su 9

10 Segmenti Orientati Equipollenti Due segmenti orientati si dicono equipollenti se hanno: Lo stesso modulo; La stessa direzione; Lo stesso verso. 10

11 Vettori Posizionali Chiamiamo vettore posizionale il quid comune (cioè ciò che hanno in comune) ai segmenti orientati equipollenti (astrazione secondo Vailati-Enriquez). Oppure, definiamo vettore posizionale la classe di equivalenza dei segmenti orientati rispetto alla relazione di equipollenza (astrazione secondo Frege-Russel). Un vettore posizionale r: Ha un modulo; Ha una direzione; Ha un verso. 11

12 Vettori Generici Estensione del concetto di vettore posizionale. Il modulo non è necessariamente una lunghezza: Può essere una forza, una velocità, ecc. Notazioni: v = v = v = v. Possono essere utilizzate nei testi scritti a mano (p. es. nei compiti di esame). 12

13 Vettori Liberi e Vettori Applicati In fisica si distinguono 2 diversi tipi di vettore: Vettori Liberi (o vettori ordinari): Non è definito un particolare punto si applicazione. Esempio: spostamento rettilineo di un punto. Vettori Applicati: Insieme di un vettore libero e di un punto di applicazione. Esempio: forza. 13

14 Vettori Polari e Vettori Assiali In fisica si classificano i vettori in 2 categorie a seconda del loro comportamento per riflessione speculare: Vettori Polari: Cambiano verso i vettori perpendicolari allo specchio. Esempio: spostamento rettilineo di un punto, forza, campo elettrico. Vettori Assiali (o Pseudo-Vettori): Cambiano verso i vettori paralleli allo specchio. Esempio: campo magnetico, momento di una forza, momento della quantità di moto. Vettori Polari Vettori Assiali 14

15 La Velocità Angolare è un Vettore Assiale 15

16 Modulo, Direzione e Verso Modulo (o norma): distanza tra origine e vertice. Si indica con v = v = v. Direzione: Una qualunque retta parallela a quella su cui giace il vettore. Verso: senso di percorrenza. Medesima direzione, medesimo verso, moduli diversi. Medesimo modulo, direzione diversa. Medesimo modulo, medesima direzione, verso opposto. 16

17 Calcolo Vettoriale Le operazioni tra vettori sono la traduzione in forma algebrica delle possibili operazioni tra segmenti orientati nello spazio, in accordo con le leggi della geometria euclidea. P. es.: calcolo delle lunghezze dei segmenti, degli angoli compresi, delle aree, dei volumi, ecc. Tali operazioni di natura geometrica possono essere tradotte in forma algebrica introducendo 4 operazioni fondamentali: somma e differenza di due vettori; moltiplicazione scalare di un vettore (prodotto di un numero reale per un vettore); prodotto scalare di due vettori; prodotto vettoriale di due vettori. 17

18 Uguaglianza di Vettori Due vettori si dicono uguali se, e soltanto se, essi hanno: Il medesimo modulo; La medesima direzione; Il medesimo verso. Se due vettori non sono uguali si dicono disuguali, ma non è possibile definire una relazione d ordine: Non si può trovare un criterio per affermare che un vettore è maggiore o minore di un altro. Vettori uguali. Vettori disuguali. Vettori disuguali. Vettori disuguali. 18

19 Vettore Opposto Dato un vettore v, si definisce vettore opposto, v, un vettore avente la stessa direzione, lo stesso modulo ma verso opposto. Si noti che il simbolo, in questo contesto: Non ha nulla a che vedere con il concetto di negativo (i vettori non possono essere classificati in negativi e positivi come gli scalari); Non ha nulla a che vedere con il segno del modulo del vettore, il quale è sempre positivo ( v = v = v > 0). Il simbolo, in questo contesto, denota l operazione (unaria) di cambiamento del verso del vettore a cui esso è applicato. 19

20 Vettore Nullo Si chiama vettore nullo e si indica con 0 nullo: 0 = 0 un vettore che ha modulo Direzione e verso del vettore nullo sono indeterminati (vettore degenere); Il vettore nullo è diverso dal numero zero: Il vettore nullo è un vettore, il numero zero è un numero... 20

21 Somma di Vettori: Regola del Triangolo Prototipo: spostamento rettilineo di un punto (vettore posizionale che si concretizza in un segmento orientato). Consideriamo due spostamenti successivi dello stesso punto: prima da A a B, poi da B a C. Il risultato dei due spostamenti (somma dei due vettori) è lo spostamento da A a C (regola del triangolo): r AC = r AB + r BC ovvero, indicando: a = r AB, b = rbc risulta: a + b = r AC 21

22 Somma di Vettori: Regola del Parallelogramma La somma a + b = r AC è la diagonale del parallelogramma ABCD, avente per lati i segmenti orientati r AB e r AD. Come è evidente dalla geometria della figura, la regola del parallelogramma è equivalente alla regola del triangolo. 22

23 Somma di Vettori: Casi Particolari Il triangolo ABC, utilizzato per calcolare la somma, degenera (si appiattisce ) se: I vettori a e b sono paralleli ( a b ); I vettori a e b sono anti-paralleli ( a b ). Vettori quasi paralleli. Vettori paralleli. Vettori quasi anti-paralleli. Vettori anti-paralleli. 23

24 Proprietà Commutativa della Somma di Vettori Interpretando la somma di due vettori come la composizione di due spostamenti rettilinei di un punto, dai risultati della geometria euclidea segue la proprietà commutativa: a + b = b + a 24

25 Proprietà Associativa della Somma di Vettori Interpretando la somma di due vettori come la composizione di due spostamenti rettilinei di un punto, dai risultati della geometria euclidea segue la proprietà associativa: Ä a + b ä + c = a + Ä b + c ä 25

26 Riassunto delle Proprietà della Somma di Vettori Proprietà associativa: Ä a + b ä + c = a + Ä b + c ä a, b, c V Esistenza dell elemento neutro (vettore nullo): a + 0 = a a V Esistenza dell elemento inverso (vettore opposto): a + ( a) = 0 a V Proprietà commutativa: a + b = b + a a, b V 26

27 Rotazioni Una traslazione è rappresentata da un vettore. Una rotazione è essa pure rappresentata da un vettore? (vedremo che la risposta è NO). Tuttavia, a prima vista potremmo pensare di rappresentare una rotazione mediante: Una direzione (asse di rotazione); Un numero (angolo di rotazione); Un verso (a seconda che la rotazione avvenga in senso orario o antiorario, come in figura). 27

28 Rotazioni (II) Verifichiamo se le rotazioni godono della proprietà commutativa: Il risultato è diverso se si scambia l ordine delle rotazioni. Non vale la asse z asse y proprietà commutativa. Le rotazioni non sono rappresentate da vettori (sono rappresentate asse y asse z da tensori). Grandezze Vettori Calcolo ALMA MATER STUDIORUM { UNIVERSITA DI BOLOGNA Somma e Differenza Moltiplicazioni Definizioni 28

29 Differenza di Vettori È l operazione inversa della somma. Dati due vettori, a e b si chiama differenza fra a e b e si indica con a b quel vettore che sommato a b dà come risultato a. Si effettua mediante la regola del triangolo: a = r OA b = rob a b = r BA b a = rab Oppure sommando il vettore opposto: a b = a + Ä b ä 29

30 Disuguaglianza Triangolare Il modulo della somma (o della differenza) di due vettori è in generale diverso dalla somma (o dalla differenza) dei moduli. Per la disuguaglianza triangolare si ha: a b a + b a + b a b a b a + b 30

31 Moltiplicazioni tra Vettori e Scalari Si possono definire 3 diverse moltiplicazioni che coinvolgono i vettori: Moltiplicazione scalare di un vettore: } α R c = α a V a V Prodotto scalare di due vettori: } a V c = a b R b V Prodotto vettoriale di due vettori: } a V c = a b V b V { R = insieme dei numeri reali V = spazio vettoriale 31

32 Moltiplicazione Scalare di un Vettore Si può definire la moltiplicazione scalare di un vettore a per un numero naturale n come una somma vettoriale ripetuta: b = n a = a + a + + a }{{} n volte In analogia alla definizione di moltiplicazione di due numeri naturali. 32

33 Moltiplicazione Scalare di un Vettore (II) Generalizzando, si definisce moltiplicazione scalare di un vettore a per un numero reale α e si indica con il simbolo α a il vettore che ha per modulo il prodotto α a, per direzione la stessa direzione di a, e, per verso, lo stesso verso di a se α 0, il verso opposto se α < 0: { c a, se α 0 c = α a c = α a, c a, se α < 0 } α R a V c = α a V, { R = insieme dei numeri reali V = spazio vettoriale 33

34 Proprietà della Moltiplicazione Scalare di un Vettore Proprietà commutativa: α a = a α Proprietà omogenea (o associativa rispetto a un fattore scalare): α Ä β a ä = Ä αβ ä a α R, a V α, β R, a V Proprietà distributiva rispetto alla somma algebrica di scalari: Ä ä α ± β a = α a ± β a α, β R, a V Proprietà distributiva rispetto alla somma algebrica di vettori: α Ä a ± b ä = α a ± α b Esistenza dello scalare neutro: 1 a = a Esistenza dello scalare assorbente: 0 a = 0 Esistenza dello scalare invertente: ( 1) a = a α R, a, b V a V a V a V 34

35 Prodotto Scalare di Due Vettori Associa a due vettori uno scalare: P. es., associa alla forza (vettore) e allo spostamento (vettore) il lavoro (scalare). Si definisce prodotto scalare di due vettori a e b, e si indica col simbolo a b il prodotto dei moduli dei due vettori per il coseno dell angolo compreso tra i due vettori, posti con l origine coincidente: } a b = a a V b cos θ a b R b V Si osservino i casi in cui il prodotto scalare è nullo: a = 0 oppure a b = 0 b = 0 oppure a b 35

36 Prodotto Scalare di Due Vettori (II) Interpretazione geometrica del prodotto scalare. a b = a Ä b cos θ ä a b = Ä a cos θ ä b 36

37 Proprietà del Prodotto Scalare di Due Vettori Proprietà commutativa: a b = b a a, b V Proprietà omogenea (o associativa rispetto a un fattore scalare): Ä α a ä b = a Ä α b ä = α Ä a b ä α R, a, b V Proprietà distributiva rispetto alla somma algebrica di vettori: Ä ä a ± b c = a c ± b c a, b, c V 37

38 Quadrato e Modulo di un Vettore Si chiama quadrato di un vettore il prodotto scalare di un vettore per se stesso: a 2 = a a = a a cos 0 = a 2 Il modulo (o norma) di un vettore si può perciò scrivere: a = a 2 = a a Da questa espressione è implicito che il modulo sia sempre un numero reale positivo: a R + 38

39 Versori Si chiamano versori e si indicano con l accento circonflesso, ˆv (in parole: vu cappello ), i vettori di modulo unitario: ˆv = 1 Un versore definisce una direzione orientata. Per ogni vettore v non nullo esiste un versore ˆv che ha la stessa direzione orientata (versore associato al vettore v ): ˆv = vers ( v ) ˆb 39

40 Versori (II) Il versore ˆv associato al vettore v si può scrivere: ˆv = vers ( v ) = scalare {}}{ 1 v vettore {}}{ v Reciproco dello scalare v Moltiplicazione scalare Ogni vettore si può scrivere come moltiplicazione scalare del suo modulo per il suo versore associato: v = v ˆv = v vers ( v ) 40

41 Componente di un Vettore Rispetto a una Direzione Orientata Dato un vettore v e una qualsiasi direzione orientata û, si definisce componente (o proiezione) di v su û e si indica con v u il prodotto del modulo di v per il coseno dell angolo θ che il vettore forma con la direzione orientata û: v u = v cos θ Utilizzando il prodotto scalare, si può anche scrivere: v u = v û 41

42 Vettore Componente di un Vettore Rispetto a una Direzione Orientata Dato un vettore v e una qualsiasi direzione orientata û, si definisce vettore componente di v su û e si indica con v u il vettore che ha per modulo il valore assoluto della corrispondente componente v u e per verso: lo stesso verso di û se v u 0; il verso contrario se v u < 0: v u = v u = v cos θ In termini vettoriali risulta: v u = ( v û) û Moltiplicazione scalare Prodotto scalare 42

43 Nota Bene Al fine di evitare errori è bene prestare attenzione a non confondere: Il vettore v: Non è uno scalare, dunque non si può considerare né positivo né negativo ; Il modulo del vettore v: È uno scalare sempre positivo; Una componente di un vettore, p. es. v x : È uno scalare che può essere positivo o negativo. Nell esempio in figura risulta, essendo î il versore parallelo all asse x: v = 3 î v = v = 3 v x = v cos θ = v cos π = v = 3 43

44 Nota Bene (II) Un attenzione ancora maggiore deve essere posta nella somma di vettori paralleli o antiparalleli. Nell esempio in figura risulta: a x = a b x = b c = a + b c x = a x + b x < 0 c = a b > 0 44

45 Modulo della Somma e della Differenza di Vettori Utilizzando le proprietà delle operazioni tra vettori, otteniamo: a + Ä a ä b = + 2 Ä a ä Ä ä b = + b a + b = =» a a + a b + b a + b b =» a 2 + b a b a + b = a 2 + b a b cos θ a Ä a ä b = 2 Ä a ä Ä ä b = b a b = =» a a a b b a + b b =» a 2 + b 2 2 a b a b = a 2 + b 2 2 a b cos θ 45

46 Prodotto Vettoriale di Due Vettori Si definisce prodotto vettoriale tra due vettori a e b, e si indica a b, il vettore che ha: Modulo pari all area del parallelogramma formato dai vettori a e b; Direzione perpendicolare a entrambi i vettori ; Verso determinato dalla regola della mano destra : Pollice: primo vettore; Indice: secondo vettore; Medio: prodotto vettoriale. 46

47 Prodotto Vettoriale di Due Vettori (II) L area del parallelogramma (modulo del prodotto vettoriale) formato dai vettori a e b, si può scrivere come: a b = a Ä b sin θ ä = a b sin θ per cui il prodotto vettoriale si scrive: a b = a b sin θ ˆn dove ˆn è il versore con direzione perpendicolare ai 2 vettori e verso dato dalla regola della mano destra. 47

48 Prodotto Vettoriale di Due Vettori (III) Si noti bene che il prodotto vettoriale è un vettore: } a V a b V b V Si osservino i casi in cui il prodotto vettoriale è nullo: a = 0 oppure a b = 0 b = 0 oppure a b 48

49 Proprietà del Prodotto Vettoriale di Due Vettori Proprietà di annullamento: a a = 0 Proprietà anti-commutativa: a b = b a a V a, b V Proprietà omogenea (o associativa rispetto a un fattore scalare): Ä α a ä b = a Ä α b ä = α Ä a b ä α R, a, b V Proprietà distributiva rispetto alla somma algebrica di vettori: Ä ä a ± b c = a c ± b c a, b, c V Sviluppo del doppio prodotto vettoriale a destra e a sinistra: Ä ä Ä ä Ä ä a b c = a c b b c a a, b, c V a Ä b c ä = Ä a c ä b Ä a b ä c a, b, c V 49

50 Doppio Prodotto Misto di Tre Vettori È dato da: a b c def = Ä a b ä c ; È uguale, a meno del segno, al volume del parallelepipedo avente per lati a, b e c; Tale parallelepipedo ha per base B e altezza h: B = a b h = c ˆn = c vers Ä a b ä dunque volume V : V = a b vers Ä a b ä } {{ } a b V = a b c c 50

51 Proprietà del Doppio Prodotto Misto di Tre Vettori Invarianza per scambio tra prodotto scalare e prodotto vettoriale: a b c = a b c Invarianza per permutazione ciclica dei tre fattori: a b c = b c a = c a b a, b, c V a, b, c V La seconda segue dal fatto che nei 3 casi il volume del parallelepipedo è il medesimo. La prima si ottiene utilizzando la seconda e la proprietà commutativa del prodotto scalare: ( a b ) c = ( b c ) a = a ( b c ) 51

52 Dal Calcolo Vettoriale ai Teoremi sui Triangoli Generici Teorema di Carnot o teroema dei coseni: b = c a b 2 = ( c a) 2 = ( c a) ( c a) = c 2 + a 2 2 a c b 2 = c 2 + a 2 2 a c cos β Teorema di Eulero o teroema dei seni: a + b = c Ä a + b ä b = c b a b + b }{{ b } = c b a b = c b a b sin γ = c b sin α 0 a sin α = c sin γ Teorema delle proiezioni: a + b = c Ä a + b ä c = c c a c + b c = c c a c cos β + b c cos α = c 2 a cos β + b cos α = c 52

53 Definizione di Spazio Vettoriale Matematicamente si definisce Spazio Vettoriale una Struttura Algebrica, basata su un Insieme Sostegno V (i cui elementi sono detti vettori) dotata di 2 Operatori Binari (somma tra vettori e moltiplicazione scalare di un vettore) che soddisfano i seguenti 8 assiomi: Ä a + b ä + c = a + Ä b + c ä a, b, c V a + b = b + a 0 V ; a + 0 = a a, b V a V a V ( a) V ; a + ( a) = 0 α Ä a ± b ä = α a ± α b Ä ä α ± β a = α a ± β a α Ä β a ä = Ä αβ ä a 1 R; 1 a = a α R, a, b V α, β R, a V α, β R, a V a V 53

54 Definizione di Spazio Euclideo Matematicamente si definisce Spazio Euclideo uno Spazio Vettoriale in cui è definita una legge di composizione, detta prodotto interno o prodotto scalare: Ä a, b ä [ V V ] a b R che soddisfa i seguenti 4 assiomi: a b = b a a, b V Ä ä Ä ä Ä ä α a b = a α b = α a b α R, a, b V Ä ä a ± b c = a c ± b c a, b, c V a a 0, a a = 0 a = 0 a V 54

55 Domenico Galli Dipartimento di Fisica e Astronomia domenico.galli@unibo.it