REGIME QUASI STAZIONARIO 2 REGIME STAZIONARIO 5 CAMPO MAGNETICO 8 TRANSITORI 12 REGIME SINUSOIDALE 14

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2 REGIME QUASI STAZIONARIO 2 1) TENSIONE ELETTRICA: DEFINIZIONE OPERATIVA, PROPRIETÀ E LEGGE DELLE TENSIONI 2 2) CORRENTE ELETTRICA: DEFINIZIONE OPERATIVA, PROPRIETÀ E LEGGE DELLE CORRENTI 2 3) BIPOLO ELETTRICO E PORTA ELETTRICA 2 4) POTENZA ELETTRICA: DEFINIZIONE FORMALE, DEFINIZIONE OPERATIVA, SEGNO E CONVENZIONE DEGLI UTILIZZATORI E DEI GENERATORI 2 5) REGIME QUAI STAZIONARIO: DEFINIZIONE E CONDIZIONE DI ABRAHAM 3 6) EQUAZIONE DI OHM PER UN BIPOLO: DEDUZIONE PER VIA TERMODINAMICA DELL EQUAZIONE DI OHM, BIPOLI PERFETTI E FORMALIZZAZIONE TIPO SERIE E PARALLELO. 3 REGIME STAZIONARIO 5 1) METODO COMPLETO: NUMERO DI INCOGNITE E TIPO DI EQUAZIONI NECESSARIE PER LA RISOLUZIONE. ESEMPIO. 5 2) METODO RIDOTTO: INCOGNITE PRINCIPALI. NUMERO DI INCOGNITE E TIPO DI EQUAZIONI NECESSARIE PER LA RISOLUZIONE. ESEMPIO. 5 1) ENUNCIARE IL PRINCIPIO NEL CASO GENERALE 5 2) PARTICOLARIZZARE ALLE RETI ELETTRICHE (RUOLO DEI GENERATORI, DELLE RESISTENZE, ECC.) 5 3) ILLUSTRARE I LIMITI DI APPLICABILITA DEL PSCE 6 1) ENUNCIARE IL TEOREMA DEL GENERATORE EQUIVALENTE ED EVIDENZIARE LE SUE PARTICOLARIZZAZIONI SERIE (THEVENIN) E PARALLELO (NORTON) 6 2) DIMOSTRARE IL TEOREMA DI THEVENIN ED ESEMPLIFICARE IL TEOREMA NEI DUE DIVERSI CASI 6 3) ILLUSTRARE I LIMITI DI APPLICABILITA DEL TEOREMA 6 1) ENUNCIARE E DIMOSTRARE IL TEOREMA DEL MASSIMO TRASFERIMENTO DI POTENZA 7 2) RENDIMENTO DI TRASMISSIONE 7 CAMPO MAGNETICO 8 1) ANALOGIA FORMALE TRA CAMPO ELETTRICO E MAGNETICO: TABELLA DI CORRISPONDENZA DELLE GRANDEZZE, DEFINIZIONE DI RILUTTANZA, PERMEANZA MAGNETICA E FMM. 8 2) CRITERIO GENERALE DI COSTRUZIONE DI UNA RETE MAGNETICA A PARTIRE DA UN CIRCUITO MAGNETICO (CON ESEMPIO) 8 3) CHIARIRE I CONTENUTI DELL ANALOGIA TRA CE E CM DAL PUNTO DI VISTA FISICO 9 4) FORMULARE A PARTIRE DALLA LEGGE DELL INDUZIONE DI FARADAY LA NOZIONE DI INDUTTANZA PER UN CIRCUITO MAGNETICO ISOLATO. 9 5) CALCOLARE CON RIFERIMENTO AD UN ESEMPIO SEMPLICE L INDUTTANZA ASSOCIATA AD UN CIRCUITO AD UN SOLO SOLENOIDE. 9 6) ENERGIA NEL CAMPO MAGNETICO: ESPRESSIONE E DIMOSTRAZIONE DELLA STESSA. 10 7) FORMULARE A PARTIRE DALLA LEGGE DELL INDUZIONE DI FARADAY LA NOZIONE DI AUTO E MUTUA INDUTTANZA PER UN CIRCUITO MAGNETICO A DUE AVVOLGIMENTI. 10 8) IL CONCETTO DEI MORSETTI CONTRASSEGNATI E LA LORO IDENTIFICAZIONE. 10 9) ENERGIA IN PRESENZA DI DUE AVVOLGIMENTI: ESPRESSIONE E DIMOSTRAZIONE. 11 TRANSITORI 12 1) DEDURRE, BASANDOSI SU UN ESEMPIO, LE RELAZIONI CHE GOVERNANO UN FENOMENO TRANSITORIO SPIEGANDO IL SIGNIFICATO FISICO DEI TERMINI CHE LA COMPONGONO. 12 2) PRECISATA LA DIFFERENZA CONCETTUALE TRA LE NOZIONE DI VARIABILE DI STATO E DI RETE, DEDURRE LA FORMULA GENERALE CHE DESCRIVE IL TRANSITORIO DI ENTRAMBI I TIPI DI GRANDEZZA. 12 3) ILLUSTRARE IL METODO PER ISPEZIONE 13 REGIME SINUSOIDALE 14 1) INTRODOTTO IL CONCETTO DI FASORE ESPLICITARE IL SUO LEGAME CON LE GRANDEZZE NEL TEMPO (TRASFORMAZIONE E ANTITRASFORMAZIONE DI UNA GRANDEZZA). 14 2) DEDURRE CON RIFERIMENTO AL CIRCUITO SERIE R-L O R-L-C, IL TEOREMA DI KENNELLY-STEINMETZ. ENUNCIARE IL TEOREMA E RIPORTARE LA TABELLA DI CORRISPONDENZA. 14 3) USO DELL ALGEBRA DEI FASORI NELL ANALISI DI RETI ELETTRICHE IN REGIME SINOSUIDALE: CONDIZIONI RICHIESTE PER L APPLICABILITA 14 1) POTENZA ISTANTANEA E PARTICOLARIZZAZIONE NEL CASO DI BIPOLI ELEMENTARI PASSIVI. 15 2) DEDUZIONE, A PARTIRE DALLA POTENZA ISTANTANEA, DELLA POTENZA ATTIVA E SUA INTERPRETAZIONE FISICA. 16 3) DEFINIZIONE DELLA POTENZA REATTIVA E SUA INTERPRETAZIONE FISICA. 16 4) DEDUZIONE DELLA POTENZA COMPLESSA E LEGAME CON LA POTENZA ATTIVA E REATTIVA. 16 5) DEFINIZIONE DI POTENZA APPARENTE E LEGAME CON CIMENTO TERMICO. 16 6) ENUNCIARE IL COROLLARIO DI BOUCHEROT. 17 7) IL RIFASAMENTO. 17 8) DEFINIRE UNA LINEA CORTA E IL SUO MODELLO. 17 8) ESPRESSIONE DELLA CADUTA DI TENSIONE INDUSTRIALE di 17

3 REGIME QUASI STAZIONARIO GRANDEZZE ELETTRICHE E NOZIONE DI BIPOLO 1) TENSIONE ELETTRICA: DEFINIZIONE OPERATIVA, PROPRIETÀ E LEGGE DELLE TENSIONI la tensione elettrica è definita il lavoro fatto per spostare una carica unitaria tra due punti A e B. v AB = L AB q = v A v b [V ] la tensione possiede un segni algebrico e dipende solamente dai due estremi considerati ma non dal percorso. La tensione si misura in Volt attraverso il voltmetro o tensiometro. la legge delle tensioni o II legge di Kirchhoff prevede che la somma algebrica delle tensioni ordinatamente misurabili lungo un percorso chiuso qualunque sia identicamente nullo. Questo esprime la conservatività del campo elettrico. n j=1 v j = 0 2) CORRENTE ELETTRICA: DEFINIZIONE OPERATIVA, PROPRIETÀ E LEGGE DELLE CORRENTI E la grandezza fisica che descrive il moto delle cariche elettriche, viene definita come la quantità di carica che attraversa una superficie nell unità di tempo. i(t) = d q La corrente è una grandezza dotata di segno e dipende dal conduttore ma preso un conduttore la corrente è la stessa in ogni sezione. Lo strumento di misura è l amperometro. La legge delle correnti o I legge di Kirchhoff prevede che la somma algebrica delle correnti attraverso una superficie chiusa qualunque sia identicamente nulla. [A] n j=1 i j (t) = 0 3) BIPOLO ELETTRICO E PORTA ELETTRICA Il bipolo è l elemento fondamentale della teoria delle reti. E costituito da una superficie chiusa dalla quale fuoriescono due morsetti attraverso i quali, in unione con le connessioni elettriche ( almeno 2 fili) forma la porta elettrica che permette al bipolo di comunicare con l esterno. 4) POTENZA ELETTRICA: DEFINIZIONE FORMALE, DEFINIZIONE OPERATIVA, SEGNO E CONVENZIONE DEGLI UTILIZZATORI E DEI GENERATORI La potenza esprime la rapidità di accrescimento del lavoro ed è definita come il prodotto delle grandezze tensione e corrente. 2 di 17

4 P(t) = v(t) i(t) = L AB Δq Δq Δt il wattmetro combinazione di un tensiometro e di un amperometro permette di misurare la grandezza potenza. La potenza così calcolata può essere numericamente positiva o negativa. Si dice assorbita la potenza entrante positiva e erogata la potenza uscente positiva. Oltre al segno si stabilisce una convenzione: convenzione utilizzatori: I e V sono coordinate allo stesso morsetto e la potenza è assorbita convenzione generatori: I e V non hanno verso coordinato e la potenza è generata [W ] 5) REGIME QUAI STAZIONARIO: DEFINIZIONE E CONDIZIONE DI ABRAHAM La condizione di RQS consente di modellare il fenomeno elettromagnetico mediante tensione e corrente univoche e costanti nel tempo. Per la condizione di Abraham si considera un bipolo: data la celerità della luce c = m /s il tempo di propagazione di un segnale iniettato in un morsetto si chiama Delay time ed è pari, nel caso di l=1m a: Δτ = l c = n s In base alla frequenza del segnale, dipendente dal periodo, si stabilisce se il fenomeno del ritardo può essere trasformato in relazione alla scala dei tempi del fenomeno. La condizione di regime quasi stazionario è λ = c f d dove λ è la lunghezza d onda del campo elettromagnetico, c è la velocità della luce, f è la frequenza massima del campo elettromagnetico e d è la massima dimensione lineare misurabile nel campo. Se è valida la condizione di RQS allora: 1. Il tempo di propagazione del campo elettromagnetico è nullo. 2. Le dimensioni del circuito elettrico sono trascurabili 3. La variabile spaziale può essere eliminata dal modello matematico. 4. EQUAZIONE DI OHM PER UN BIPOLO 6) EQUAZIONE DI OHM PER UN BIPOLO: DEDUZIONE PER VIA TERMODINAMICA DELL EQUAZIONE DI OHM, BIPOLI PERFETTI E FORMALIZZAZIONE TIPO SERIE E PARALLELO. Applicando il 1 principio della TDN si ha che tutto il lavoro entrante alla porta (δl) viene convertito in parte in energia immagazzinata nel bipolo (d W ) e in parte in calore dissipato (δq). Il lavoro esterno è la somma del lavoro elettrico e di quello scambiato in modo reversibile con i sistemi fisici interagenti essendo δl e = p(t) = v(t) i(t) δl = d W + δq δl = δl e + δl * l equazione di Ohm per un bipolo diventa v(t) i(t) + δl * = d W + δq P(t) + P * = d W + P persa 3 di 17

5 Nei bipoli perfetti avviene solo una di queste trasformazioni energetiche, si hanno: 1. δl e = δl * Generatori di tensione o corrente ovvero si converte energia elettrica in energia non elettrica v(t) i(t) = e(t) i(t) v(t) = e(t) il generatore di tensione applica ai suoi morsetti una tensione pari alla sua forza elettromotrice. v(t) i(t) = e(t) i(t) i(t) = a(t) il generatore di corrente eroga una corrente pari alla sua corrente interna. 2. δl e = δq Resistenza o conduttanza ovvero si converte lavoro elettrico in calore dissipato. La potenza assorbita è sempre non negativa e il resistore può solo assorbire potenza da degradare in calore. R,G sono carichi cioè utilizzatori e vengono detti elementi passivi che necessitano alimentazioni esterne. v(t) = R i(t) P p (t) = R i(t) 2 i(t) = G v(t) P p (t) = G v(t) 2 3. δl e = d W Induttanza e condensatore dove si converte lavoro elettrico accumulando energia nel campo magnetico (induttanza L [H]) o nel campo elettrico (condensatore C [F]) v(t) = L di(t) i(t) = C d v(t) I bipoli sono lineari e tempo-invariati (LTI) ovvero i loro valori sono indipendenti dalla corrente che circolano dalla tensione e non variano nel tempo, sono bipoli ideali. Se LTI > esiste un unica soluzione 4 di 17

6 REGIME STAZIONARIO ANALISI RETI ELETTRICHE: METODO DI KIRCHHOFF E KIRCHHOFF MODIFICATO 1) METODO COMPLETO: NUMERO DI INCOGNITE E TIPO DI EQUAZIONI NECESSARIE PER LA RISOLUZIONE. ESEMPIO. In generale se una rete ha L lati si hanno 2L incognite, ovvero una corrente ed una tensione per ogni lato. Queste 2L equazioni devono essere linearmente indipendenti si scrivono: L N 1 L N + 1 L Ω L KC L K T Esempio, considero una rete LTI, definisco il numero di lati, il numero di nodi e determino il numero di incognite. Successivamente si scrivono per ogni lato le relative L equazioni di ohm, le N-1 LKC e le L-N+1 LKT 2) METODO RIDOTTO: INCOGNITE PRINCIPALI. NUMERO DI INCOGNITE E TIPO DI EQUAZIONI NECESSARIE PER LA RISOLUZIONE. ESEMPIO. Se esiste un legame tra la corrente e la tensione allora si può scrivere un sistema di incognite principali, pari al numero di lati della rete (L) e dedurre le altre incognite utilizzando le equazioni costitutive. Bisogna innanzitutto individuare per ogni lato le incognite principali cioè le variabili non vincolate. L altra variabile di lato può essere ricavata dal legame costitutivo ( L Ω implicite). L N N 1 L N + 1 I NCOGNI T E NODI L KC L K T PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DELLE CAUSE E DEGLI EFFETTI 1) ENUNCIARE IL PRINCIPIO NEL CASO GENERALE Il PSCE si basa sul fatto che gli effetti sono combinazione lineare delle cause. Considerando un sistema lineare: i termini noti cioè le forzanti/cause f, le incognite cioè le risposte/effetti x, i coefficienti cioè le proprietà costitutive sono in relazione tramite: tramite il PSCE si ha quindi che: [A] [x] = [f ] { a 1 x 1 + b 1 x 2 = f 1 a 2 x 1 + b 2 x 2 = f 2 [x] = [A] 1 [f ]; [x ] = [A] 1 [ f 1 0] ; [x ] = [A] 1 [ 0 f 2 ] ; x 1 [ x 2 ] = x 1 [ x 2 ] + x 1 [ x 2 ] 2) PARTICOLARIZZARE ALLE RETI ELETTRICHE (RUOLO DEI GENERATORI, DELLE RESISTENZE, ECC.) Nelle reti elettriche i generatori di tensione e corrente sono i termini noti (le forzanti), le variabili di rete (le risposte) sono gli effetti e le resistenze (proprietà costitutive del sistema) sono i coefficienti. 5 di 17

7 Prof. Sonia Leva Teoria di Sistemi Elettrici Primo Parziale Ciascuna variabile di rete in un circuito lineare può essere espressa come somma dei valori che essa assume quando nel circuito agisce un solo generatore alla volta cioè come sovrapposizione degli effetti prodotti dai singoli generatori. Si può quindi scomporre la rete in tante sottoreti ognuna delle quali ha un solo generatore funzionante. Spegnere un generatore di tensione corrisponde a sostituire il generatore con un corto circuito, spegnere un generatore di corrente corrisponde a sostituire il generatore con un circuito aperto. 3) ILLUSTRARE I LIMITI DI APPLICABILITA DEL PSCE Il PSCE non vale per le potenze perché implicano relazioni non lineari. Il PSCE richiede che tutti i componenti siano lineari. L applicazione comporta la risoluzione di molte semplici reti TEOREMA DEL GENERATORE EQUIVALENTE 1) ENUNCIARE IL TEOREMA DEL GENERATORE EQUIVALENTE ED EVIDENZIARE LE SUE PARTICOLARIZZAZIONI SERIE (THEVENIN) E PARALLELO (NORTON) Un bipolo misto può essere reso equivalente agli effetti esterni a due bipoli serie e parallelo, nel senso che questi risultano caratterizzati dal medesimo legame ingresso- uscita proprio del bipolo originario. TEOREMA DI THEVENIN: l ipotesi alla base è che la rete sia lineare. Se la rete è lineare allora può essere sostituita da una rete equivalente costituita dalla serie di un generatore ideale di tensione e da un resistore. La tensione del generatore è la tensione ai capi dei morsetti A e B quando sono lasciati aperti (tensione a vuoto), la resistenza del resistore è la resistenza equivalente vista dai morsetti A e B quando la rete è passivata. TEOREMA DI NORTON: l ipotesi alla base è che la rete sia lineare. Se la rete è lineare allora può essere sostituita da una rete equivalente costituita dal parallelo di un generatore ideale di corrente e da un conduttore. La corrente del generatore è la corrente tra i morsetti quando sono chiusi in corto circuito (corrente di corto circuito), la conduttanza del conduttore è la conduttanza equivalente vista dai morsetti quando la rete è passivata. 2) DIMOSTRARE IL TEOREMA DI THEVENIN ED ESEMPLIFICARE IL TEOREMA NEI DUE DIVERSI CASI la dimostrazione del teorema di Thevenin prevede di considerare una rete lineare accoppiata ad un bipolo generico e tramite il teorema di sostituzione questo bipolo sia un generatore di corrente dove A = I e V identificano la rete. Successivamente tramite il teorema di sovrapposizione si considera la tensione V = V + V dove nel primo caso si considera la tensione della rete a vuoto ( cioè I = 0 ) e nel secondo caso la tensione data dalla rete lineare passivata ( cioè V = R eq I da cui si ottiene la caratteristica di un bipolo costituito da un generatore di tensione E eq e da un resistore di R eq da cui V = E eq R eq I 3) ILLUSTRARE I LIMITI DI APPLICABILITA DEL TEOREMA L equivalenza è solo agli effetti esterni in termini di variabili di tensione, corrente e potenza alla sola porta elettrica ma non è valida per gli effetti interni, gli elementi circuitali presenti e le potenze dissipate/generate internamente sono differenti. I versi dei generatori equivalenti sono correlati ai versi scelti per la tensione a vuoto e per la corrente di cortocircuito. Per Norton la corrente di cortocircuito deve essere valutata con verso di riferimento A > B 6 di 17

8 TEOREMA DEL MASSIMO TRASFERIMENTO DI POTENZA ( O DI ADATTAMENTO) 1) ENUNCIARE E DIMOSTRARE IL TEOREMA DEL MASSIMO TRASFERIMENTO DI POTENZA I generatori reali non possono fornire al carico una potenza infinita come viene assunto per i generatori ideali. Il modello di un generatore reale di tensione è in generale costituito da un generatore ideali dei tensione con in serie un resistore (interno al generatore) si hanno dissipazioni sotto forma di calore. Il teorema stabilisce le condizioni che massimizzino la potenza ceduta da una sorgente reale ad un carico. 2 E P = R I = R s ( R s + R ) le ipotesi alla base del teorema sono che la sorgente reale sia lineare e che la resistenza di carico sia lineare e tempo invariante. Il teorema prevede che la potenza trasferita al carico R da un generatore reale di resistenza interna R s sia massima quando la resistenza di carico eguaglia quella interna del generatore reale, o del suo equivalente di Thevenin. DIM considerando che la potenza per R = 0 e R + assume sempre valori finiti positivi e presenta un massimo si ha: da cui si ottiene che vale d P d R = E2 s R s + R 2R = 0 R = R s (R s + R) 2 2R (R s + R) (R s + R) 4 = 0 e che la potenza massima trasferibile P max = E2 s 4R s 2) RENDIMENTO DI TRASMISSIONE si definisce il rendimento di trasmissione come il rapporto tra la potenza utilizzata e la potenza generata: η = P utilizzata P generata = R I 2 R I 2 + R s I 2 = Se R = R s P = P max η = R si ha il massimo trasferimento di potenza ma 2R = 0.5 con un rendimento di trasmissione pari a 0.5 cioè si produce il doppio di quello che poi si trasmette effettivamente. Dal punto di vista energetico non è l ottimo trasferire la massima potenza poiché lo si farebbe con un rendimento basso. R R + R s Nella pratica si cerca di avere almeno η 90 % R carico 4 5 R th in modo che il rendimento sia 7 di 17

9 CAMPO MAGNETICO 1) ANALOGIA FORMALE TRA CAMPO ELETTRICO E MAGNETICO: TABELLA DI CORRISPONDENZA DELLE GRANDEZZE, DEFINIZIONE DI RILUTTANZA, PERMEANZA MAGNETICA E FMM. Tabella Campo Elettrico Campo Magnetico Grandezze Locali Grandezze Integrali Leggi di Ohm E J J = σ E E I = V J A = I V = R I I = G V E (fem) H B B = μ H H I = U B A = Φ U = R Φ Φ = P U f = N I A / Leggi di Kirchhoff V = 0 I = 0 U = 0 Φ = 0 La forza magnetomotrice è la causa del campo magnetico ed è definita, a partire dalla legge di Ampere, come la sommatoria delle correnti che concatenano il circuito. Nel caso di un solenoide di N spire in cui passa una corrente I si ha f = N I La riluttanza misura l opposizione di un materiale al transito del flusso magnetico ed è definita come: R k = l k μ A k [ H 1 ] dove μ [H /m] è la permeabilità del materiale e l, A rispettivamente la lunghezza e l area. La permeanza è l inverso della riluttanza P k = 1 R k = μ A k l k 2) CRITERIO GENERALE DI COSTRUZIONE DI UNA RETE MAGNETICA A PARTIRE DA UN CIRCUITO MAGNETICO (CON ESEMPIO) Si considera ad esempio un circuito magnetico con 3 colonne (tratti verticali) di cui due sono avvolti da spire in cui passano correnti differenti e 2 gioghi(tratti orizzontali). 1. Tracciare le linee baricentriche associate ai vari tronchi in modo da individuare il grafo della rete magnetica. 2. si associa a ciascun lato omogeneo a sezione costante la corrisponde riluttanza data da: R k = l k μ k A k 8 di 17

10 3. In ogni lato di grafo concatenato con un solenoide di N spire percorso dalla corrente I si colloca un corrispondente generatore serie di fmm orientato secondo la regola della mano destra: f i = N i I i 4. Si risolve quindi l esempio tramite il corollario di Millman: dove f 1 f 2 R U ab = 1 R 2 U e Φ 3 = ab ; Φ R 1 = F 1 U ab ; Φ 3 R 2 = Φ 3 + Φ 2 1 R 1 R 2 R 3 3) CHIARIRE I CONTENUTI DELL ANALOGIA TRA CE E CM DAL PUNTO DI VISTA FISICO L analogia tra reti elettriche e magnetiche è legata alla sola forma delle equazioni. Infatti dal punto di vista fisico i due fenomeni differiscono per: A. La fisica del fenomeno: Nel campo elettrico si ha un effettivo trasporto di carica netta mentre nel campo magnetico si ha solamente una polarizzazione locale. Inoltre dal punto di vista energetico nel CE si hanno perdite in forma di calore dovute agli attriti mentre il CM è conservativo e tutta l energia accumulata nel CM viene integralmente restituita. B. La natura del legame costitutivo: il legame J(E ) è lineare, infatti σ f (J ) mentre il legame B(H ) è un ciclo d isteresi e quindi non lineare, cioè μ varia con B. C. Le condizioni al contorno: per il campo di conduzione (CE) è possibile trovare un isolante che sia capace di rendere la superficie laterale del conduttore un tubo di flusso per il ce mentre non è così per il CM in quanto non esiste un materiale che può ritenersi un perfetto isolante magnetico. 4) FORMULARE A PARTIRE DALLA LEGGE DELL INDUZIONE DI FARADAY LA NOZIONE DI INDUTTANZA PER UN CIRCUITO MAGNETICO ISOLATO. La legge di Faraday afferma che ai capi di una spira immersa in un campo magnetico si genera una fem pari a e(t) = d φ(t) e nel caso di N spire si ha dove Ψ è il flusso concatenato. Un qualsiasi circuito percorso da corrente produce un campo magnetico che si concatena anche al circuito stesso perciò, riferendosi al conduttore ad anello con N avvolgimenti di spira, per Faraday si ha e(t) = d Nφ(t) d o ve φ = N I R e(t) = d Nφ(t) perciò si ha da cui si ottiene l induttanza o coefficiente di autoinduzione dipende da fattori geometrici e/o dal mezzo. = d Ψ v(t) = e(t) = N 2 R d I(t) L = N 2 R [H ] che 5) CALCOLARE CON RIFERIMENTO AD UN ESEMPIO SEMPLICE L INDUTTANZA ASSOCIATA AD UN CIRCUITO AD UN SOLO SOLENOIDE. Si considera un circuito magnetico composto da una sola spira con N avvolgimenti. La riluttanza i-esima dovuta alla presenza del vuoto ( μ o = 4π 10 7 ) è calcolabile come R i = 1 δ i di conseguenza, calcolata la μ o A i 9 di 17

11 riluttanza equivalente della rete si può calcolare il flusso di campo φ = NI. R eq Da cui l induttanza L = Φ I = Nφ I = N 2 I R eq 6) ENERGIA NEL CAMPO MAGNETICO: ESPRESSIONE E DIMOSTRAZIONE DELLA STESSA. Si considera un bipolo generico con la convenzione degli utilizzatori, cioè I e V coordinati allo stesso morsetto, δl e entrante e d W nel bipolo. Si considera quindi l induttanza, sempre nella convenzione degli utilizzatori dove P è entrante. Si ha δl e = d W p = d w p = d W = V I La potenza assorbita rappresenta la variazione di energia accumulata nell induttanza. Per il calcolo della potenza si ha, poiché V = L di t t t W = p = V I = L i di i(t)=i = L 1 [ 2 i2 = 1 ] 2 L I2 i(t 0 )=0 quindi l energia associata all induttore dipende dalla corrente nell istante della valutazione. 7) FORMULARE A PARTIRE DALLA LEGGE DELL INDUZIONE DI FARADAY LA NOZIONE DI AUTO E MUTUA INDUTTANZA PER UN CIRCUITO MAGNETICO A DUE AVVOLGIMENTI. In presenza di due avvolgimenti la fem indotta su un avvolgimento può essere prodotta dalla variazione della propria corrente, fenomeno dell autoinduzione, oppure dalla variazione di flusso concatenato al circuito prodotto dall altro avvolgimento. Si ha, dato che Φ 1 = NI I 1 la fem indotta sull avvolgimento 1 dall avvolgimento 2 risulta essere: v 12 = d Φ 12 dove L 12 è detta mutua induttanza L M infatti L 11 = Ψ 1 = NΦ 1 = N 2 I 1 I 1 R eq I 2 =0 = d Φ 12 i ( i 2 2 ) = L 12 di 2 L M = L 12 = L 21 = Ψ 21 = Ψ 12 i 2 i 1 i 1 =0 i 2 =0 8) IL CONCETTO DEI MORSETTI CONTRASSEGNATI E LA LORO IDENTIFICAZIONE. Nel caso più generale possibile l equazione del mutuo induttore è la seguente: v 1 (t) = L 1 di 1 dt v 2 (t) = L 2 di 2 dt ± L M di 2 dt ± L M di 1 dt dove il termine ± tiene conto del tipo di interazione (additiva o sottratti) tra i due avvolgimenti. I morsetti contrassegnati sono tali poiché facendo entrare la corrente nei suddetti morsetti l effetto sarà additivo. Il procedimento che porta alla loro identificazione prevede la scelta di primo tentativo del primo 10 di 17

12 morsetto, successivamente iniettando la corrente in quel morsetto si verifica, attraverso la regola della mano destra, il verso del flusso prodotto e successivamente si sceglie il morsetto dell altro avvolgimento in modo tale da avere un flusso cospirante con quello primario. 9) ENERGIA IN PRESENZA DI DUE AVVOLGIMENTI: ESPRESSIONE E DIMOSTRAZIONE. Nel caso più generale possibile l equazione del mutuo induttore è la seguente: si ha che la potenza è data da t t t di W = P 1 + P 0 2 = 1 (t) 0 0 [L 1 v 1 (t) = L 1 di 1 dt v 2 (t) = L 2 di 2 dt ± L M di 2 dt ± L M di 1 dt P = P 1 + P 2 = v 1 i 1 + v 2 i 2 ± L M di 2 (t) e si calcola: t ] i 1 + di 2 (t) 0 [L 2 i(t)=t t = L 1 di 1 i 1 ± L M di 2 i 1 + L i(0)=0 2 di 2 i 2 ± L M di 1 i 2 = 0 ± L M di 1 (t) ] i 2 = = 1 2 L 1 I i(t)=i 2 L 2 I2 2 ± L M (i 1 di 2 + i 2 di 1) = 1 i(0)=0 2 L 1 I L 2 I2 2 ± L M d (i 1 i 2) = = 1 2 L 1 I L 2 I2 2 ± L M I 1 I 2 11 di 17

13 TRANSITORI FENOMENI TRANSITORI PER RETI LINEARI TEMPO-INVARIANTI DEL I ORDINE 1) DEDURRE, BASANDOSI SU UN ESEMPIO, LE RELAZIONI CHE GOVERNANO UN FENOMENO TRANSITORIO SPIEGANDO IL SIGNIFICATO FISICO DEI TERMINI CHE LA COMPONGONO. Si considera un circuito formato da i seguenti elementi in serie: un resistenza R, un generatore di tensione E, un induttanza L e un interruttore comandato in chiusura. Si studia il transitorio della variabile di stato i(t). Per t = 0 il circuito è aperto e non passa corrente quindi si ha i(0 ) = 0. Per t > 0 + il circuito è chiuso e si può scrivere una legge delle tensioni che modellizza la rete: E = v r + v L = Ri + L di Si giunge ad un modello differenziale che descrive la variazione delle corrente nel tempo: di. + R L i = E L In un modello differenziale come questo, l uscita (i) dipende dai valori istantanei e contemporanei dell ingresso (E). Questo modello differenziale necessita l abbinamento ad un condizione iniziale della variabile in oggetto affinché la soluzione sia determinata univocamente. di dt + R L i = E L { i(0 + ) = i(0 ) relazione che governa il fenomeno transitorio 2) PRECISATA LA DIFFERENZA CONCETTUALE TRA LE NOZIONE DI VARIABILE DI STATO E DI RETE, DEDURRE LA FORMULA GENERALE CHE DESCRIVE IL TRANSITORIO DI ENTRAMBI I TIPI DI GRANDEZZA. Le variabili di stato, corrente nell induttore e tensione ai capi di un condensatore, sono variabili che caratterizzano l evoluzione di una rete poiché sono le responsabili dell accumulo energetico nella rete. Essendo variabili di stato non possono subire discontinuità (proprio perché legate all energia). Tutte le altre grandezze sono variabili di rete. La loro evoluzione è ottenuta tramite combinazione lineare dell evoluzione delle variabili di stato. Questo tipo di variabili può subire discontinuità. partendo dall esempio precedente si ha di dt + R L i = E L { i(0 + ) = i(0 ) Introducendo la costante di tempo τ = L di si ha R + i τ = E L che è un equazione differenziale la cui soluzione è la somma dell integrale generale e di quello particolare ovvero i(t) = i G (t) + I P (t) dove i G (t) è la soluzione dell omogenea associata, ovvero di di + 1 τ i = 0 che è i G (t) = Ke t τ La soluzione particolare deve avere la stessa forma della forzante ovvero una costante i P (t) = I P 12 di 17

14 d I P + 1 τ I P = E L I P = E L τ = E L L R = E R La soluzione trovata è la soluzione del sistema a regime perciò si ha: i(t) = Ke t τ + E R = Ke t τ + i (+ ) Per determinare la costante K si usa la condizione iniziale imposta, ovvero: t = 0 i(t = 0) = i(0 + ) = i(0 )i(0) da cui i(0) = Ke 0 τ + i (+ ) e quindi K = i(0) i(+ ) Si arriva quindi alla formula generale che esprime la soluzione di un transitorio del primo ordine: x (t) = [x (0) x (+ )] e t τ + x (+ ) dove 0 = 0 + se x è una variabile di rete oppure 0 = 0 + = 0 se x variabile di stato. Per quanto riguarda la costante di tempo si ha: τ = L R τ = C R In d u t t a n z a Con d en sa tor e 3) ILLUSTRARE IL METODO PER ISPEZIONE Costituisce un metodo per determinare i valori di x (0 ), x (0 + ), x (+ ), τ A. La condizione in 0 è antecedente alla manovra di interruttore, quindi si può risolvere la rete in regime stazionario sostituendo all induttore un corto circuito e al condensatore un circuito aperto. Si calcolano nella rete sia le variabili di stato sia quelle di rete. B. In 0 + l unica evoluzione riguarda la variabile di rete, che può subire discontinuità. Per la continuità dello stato bisogna sostituire all induttore un generatore di corrente (A = i(0 )) e al condensatore un generatore di tensione (E = v(0 )) C. Per t = + si è in una condizione di regime stazionario dopo la manovra sull interruttore. Perciò risolviamo la rete sostituendo all induttore un corto circuito e al condensatore un circuito aperto. D. Per la costante di tempo basta calcolare la resistenza equivalente vista dall elemento conservativo, infatti: τ L = L Req τ C = C R eq 13 di 17

15 REGIME SINUSOIDALE ALGEBRA DEI FASORI 1) INTRODOTTO IL CONCETTO DI FASORE ESPLICITARE IL SUO LEGAME CON LE GRANDEZZE NEL TEMPO (TRASFORMAZIONE E ANTITRASFORMAZIONE DI UNA GRANDEZZA). Una funzione sinusoidale del tipo a(t) = A si n(ωt + φ) può essere vista come la proiezione di un vettore rotante su un asse. Nel piano complesso un vettore rotante a velocità angolare ω è descritto dall espressione in forma polare di un numero complesso x (t) = ρ e jωt quindi è possibile rappresentare una sinusoide come una proiezione sull asse immaginario (sin) o reale (cos) di un numero complesso. Trascurando uno dei dati caratteristici di una funzione sinusoidale, la pulsazione, si può ottenere una relazione ancora più efficiente che permette di passare dal dominio del tempo a quello fasoriale: a(t) = 2A si n(ωt + φ) = I{ā(t)} = I [ 2Ae jωt+φ ] = I [ 2Ae jωt e jφ ] = I [ 2Āe jωt ] dove Ā = A e jφ è definito fasore. Un fasore è quindi un numero complesso, non dipendente dal tempo, che rappresenta una funzione sinusoidale, comprendendone il valore efficace e la fase. E quindi possibile passare da una funzione sinusoidale al corrispondete fasore (trasformazione) o eseguire l operazione inversa (antitrasformazione). Noto il fasore Ā: Ā = Ae jφ a(t) = 2A si n(ωt + φ) dove A è il valore efficace, φ la fase Ā = x + j y x 2 + y 2 y = A; ar ctg = φ; a(t) = 2A si n(ωt + φ) ( x ) 2) DEDURRE CON RIFERIMENTO AL CIRCUITO SERIE R-L O R-L-C, IL TEOREMA DI KENNELLY-STEINMETZ. ENUNCIARE IL TEOREMA E RIPORTARE LA TABELLA DI CORRISPONDENZA. Si considera un circuito tipo serie con un generatore di tensione e(t), una resistenza R, un induttanza L e un condensatore C. Per risolvere il circuito si può applicare la LKT ma si arriva ad un equazione integro-differenziale: e(t) = v R (t) + v L (t) + v C (t) e(t) = Ri(t) + L di(t) dt + 1 C i(t) Il teorema di Kennelly-Steinmetz permette di passare dal dominio del tempo al dominio favoriate in modo da avere un equazione in cui compaiono solo fasori. ENUNCIATO: qualunque problema relativo a reti lineari tempo-invariati stabili, sottoposte ad ingressi sinusoidali isofrequenziali, può risolversi impiegando gli stessi metodi e le stesse formule del regime stazionario, sostituendo ordinatamente gli ingressi stazionari con i fasori e gli operatori reali con quelli complessi come riassunto in tabella seguente. TEMPO FASORI 2Fsi n(ωt + φ) K Fe jφ K d jω < x y > 1 jω R{ x y} = R{ȳx} 14 di 17

16 3) USO DELL ALGEBRA DEI FASORI NELL ANALISI DI RETI ELETTRICHE IN REGIME SINOSUIDALE: CONDIZIONI RICHIESTE PER L APPLICABILITA Le condizioni per l applicabilità sono: La forma fasoriale delle leggi delle correnti e delle tensioni sono: L C : LT : k i k (t) = 0 k I{Ī e jωt } k Ī k = 0 k v k (t) = 0 k I{ V e jωt } k V k = 0 Per quanto riguarda resistenza, condensatore e induttore si ha rispettivamente: r esi sten z a V = R Ī { Ī = G V con d en sa tor e 1 V = j ωc Ī X c = 1 ωc Ī = jωc V B c = ωc i n d u t tor e V = jωl Ī Ī = j X L = ωl 1 ωl V B L = 1 ωl dove si è indicata con X n la reattanza e con B n la suscettanza. BILANCIO ENERGETICO IN REGIME ALTERNATO SINUSOIDALE 1) POTENZA ISTANTANEA E PARTICOLARIZZAZIONE NEL CASO DI BIPOLI ELEMENTARI PASSIVI. In regime alternato sinusoidale, considerando gli ingressi v(t) = V sen(ωt + φ v ) e i(t) = I si n(ωt + φ i ) la potenza istantanea è definita come: A seguito di passaggi matematici si può dare una definizione più significativa della potenza istantanea, ovvero: Dove emergono la potenza attiva e la potenza reattiva istantanee: Particolarizzando ai bipoli passivi si ha: A. per la resistenza: V, Ī sono in fase, quindi φ = 0 cosφ = 1; si n φ = 0 perciò in una resistenza la potenza è solo attiva ed è pari a P a = V I [1 cos(2ωt)], è sempre positiva ed il valore medio è V I ( in accordo con la definizione P = R i 2 dissipata in calore P(t) = v(t) i(t) = V I si n(ωt + φ v ) si n(ωt + φ I ) P(t) = V I{cosφ cosφcos [2(ωt + φ I )] + si n φsi n [2(ωt + φ I )]} AT T I VA P a (t) = V I cosφ{1 cos [2(ωt + φ i )]} { R E AT T I VA P r (t) = V I si n φsi n [2(ωt + φ I )] ). Nei resistori la potenza viene assorbita e B. per l induttore: si ha che φ = π cosφ = 0; si n φ = 1 di conseguenza la 2 potenza è rappresentata solo da quella reattiva ed è pari a P r (t) = V I si n(2ωt) e può essere positiva o negativa poiché essa viene alternativamente accumulata e ceduta dall induttore e, data la conservatività dello stesso, il valore medio è nullo. C. per il condensatore: si ha che φ = π cosφ = 0; quindi anche il 2 si n φ = 1 condensatore è rappresentato dalla sola potenza reattiva Pr(t) = V I si n(2ωt) che può essere positiva o negativa ma di valor medio nullo. 15 di 17

17 2) DEDUZIONE, A PARTIRE DALLA POTENZA ISTANTANEA, DELLA POTENZA ATTIVA E SUA INTERPRETAZIONE FISICA. Integrando in un intervallo di tempo la potenza instantanea si ottiene il lavoro elettrico, dato che per la potenza resisteva il valor medio è nullo: T T T L = p(t) = P a (t) = V I cosφ(1 cos 2ωt) = V Icosφ(t 1 si n 2ωt) 2ω Si nota che il lavoro è dato da una componente lineare nel tempo (V I cosφ t) e da una oscillante a frequenza doppia rispetto all ingresso ( V I cosφ 1 si n 2ωt). 2ω Quest ultima è trascurabile considerando le tempistiche dei fenomeni industriali e la usuale frequenza a 50Hz, perciò si può esprimere il lavoro come: L = V I cosφ i = P t dove si definisce Poten z a a t t i va = V I cosφ [W ] Essa è il valor medio della potenza istantanea e rappresenta il lavoro elettrico trasmesso. Il suo segno è riconducibile al verso di trasmissione del lavoro. 3) DEFINIZIONE DELLA POTENZA REATTIVA E SUA INTERPRETAZIONE FISICA. La potenza reattiva Q è definita analogamente alla potenza attiva come Q = V I si n φ Essa viene introdotta per tener conto dei flussi energetici tra campo elettrico e campo magnetico. E il valore massimo della potenza reattiva istantanea ed è interpretabile come l ampiezza della rapidità di variazione delle energie scambiate dal circuito con il campo elettrico / magnetico. 4) DEDUZIONE DELLA POTENZA COMPLESSA E LEGAME CON LA POTENZA ATTIVA E REATTIVA. La potenza complessa sintetizza in forma fasoriale tutte le informazioni necessarie per il bilancio energetico in regime sinusoidale. Al fine di far comparire nell espressione della potenza i valori efficaci di V, I e l angolo di fase φ si introduce il fasore coniugato I con cui si definisce: e in forma binomiale: V I = Ve jφ v Ie jφ i = V Ie j(φ v φ I ) = V Ie jφ = S V I(cosφ + jsi n φ) = V Icosφ + jv Isi n φ = P + jq = S dove si riconosce R{ S} = P e I{ S} = Q è possibile quindi costruire un triangolo rettangolo delle potenze di cateti P, Q e ipotenusa S. 5) DEFINIZIONE DI POTENZA APPARENTE E LEGAME CON CIMENTO TERMICO. La potenza apparente è definita come il modulo della potenza complessa: S = A = P 2 + Q 2 = V e I e Essa esprime la massima elongazione della potenza istantanea attorno al suo valor medio. Sul piano energetico rappresenta la massima potenza elaboratile dal bipolo. Essa è legata al cimento termico poiché al valore efficace della corrente sono legate le perdite in calore (temperatura d esercizio) e a quella della tensione è legato il corretto isolamento della macchina. Perciò V e, I e fissano un area di utilizzo in sicurezza del dispositivo rappresentabile su un piano con asse delle ascisse I e asse delle ordinate V. 16 di 17

18 6) ENUNCIARE IL COROLLARIO DI BOUCHEROT. Il corollario di Boucherot afferma che in una rete con N gen componenti descritti dalla convenzione dei generatori e N utl da quella degli utilizzatori, vale la seguente relazione di bilancio energetico: N gen N utl N gen S k = S k k=1 k=1 k=1 P k = N gen k=1 P k ; N gen k=1 Q k = N gen k=1 Q k 7) IL RIFASAMENTO. Rifasare significa agire per incrementare il fattore di potenza fornendo localmente potenza reattiva Q c, prodotta da batterie di condensatori, in modo da diminuire la corrente richiesta a pari potenza attiva e tensione. Il rilassamento comporta un miglior utilizzo delle macchine elettriche, riduzione delle Paride e una riduzione della caduta di tensione. LINEA ELETTRICA IN REGIME ALTERNATO SINUSOIDALE 8) DEFINIRE UNA LINEA CORTA E IL SUO MODELLO. Una linea corta è una linea di collegamento tra due carichi che a causa della sua lunghezza non può essere considerata un corto circuito. Il termine corta sta a significare che il termine preponderante nell impedenza di tale linea è quello induttivo e non quello resistivo. Il modello circuitale prevede la serie di una R linea resistenza di linea e di una J X linea impedenza di linea. 8) ESPRESSIONE DELLA CADUTA DI TENSIONE INDUSTRIALE. Schematizzando una linea elettrica come la serie di un generatore di tensione E, una resistenza di linea R linea, un induttanza con impedenza jx linea e un carico di impedenza Z linea. Risolvendo la rete, la caduta di tensione industriale è definita come ΔV = Ē V e poiché Ē = V + Ī(R linea + jx linea ) si ha che ΔV I(R linea cosφ + jx linea si n φ) 17 di 17