Fisica Generale II con Laboratorio. Lezione - 2

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1 Fisica Generale II con Laboratorio Lezione -

2 Il campo gravitazionale - I Punto di vista newtoniano: Ognuna delle due masse, M ed m, sull altra esercita una forza a distanza Punto di vista moderno: La massa M da origine ad un campo gravitazionale in ogni punto dello spazio Il campo gravitazionale esercita un azione (forza) sulla massa m quando essa e immersa nel campo stesso (e viceversa) Punti di vista sostanzialmente equivalenti in condizioni statiche Molto diversi in condizioni non statiche (peraltro inesistenti nella gravitazione di Newton) E.Menichetti - 010

3 Il campo gravitazionale - II La massa M da origine ad un campo gravitazionale in ogni punto dello spazio In ogni punto dello spazio dobbiamo immaginare sia definito un vettore g (in generale variabile da punto a punto, ma costante nel tempo), tale che una massa di prova m e soggetta a una forza gravitazionale F mg P es, il campo generato da una massa M puntiforme: Fm mm 1 ˆ M g G r G ˆ r m r m r 3 E.Menichetti - 010

4 Il campo gravitazionale - III Ricordiamo che il versore ^r punta, dalla posizione generica in cui posizioniamo idealmente la massa di prova m, verso M m r^ M Vettore g Versore r^ Linee di forza 4 E.Menichetti - 010

5 Il campo gravitazionale - IV 1.Il campo gravitazionale e una grandezza fisica lineare: L effetto di una somma di cause e la somma (lineare) degli effetti Il campo gravitazionale di un insieme di masse e la somma dei singoli contributi individuali.il campo gravitazionale e una grandezza fisica vettoriale: La sua matematica e la matematica dei vettori l singoli contributi individuali si sommano con la regola del parallelogramma 5 E.Menichetti - 010

6 Applicazioni - I 1. Due masse uguali a distanza a Caso generale: algebra pesante a M q P Caso particolare: Punto P sull asse del segmento che unisce le posizioni delle due masse, algebra semplice M 6 E.Menichetti - 010

7 Applicazioni - II Risultante: sull' asse del segmento Infatti : Componenti y dei contributi: uguali e opposte Totale Totale g g y gcosq Componenti 0 dei contributi: uguali M M g G G, cosq r a a M M gtot G G a a a Segno - : campo diretto verso l'origine 3 7 E.Menichetti - 010

8 Applicazioni - III.Anello di massa M: campo sull asse g G M a 3 Esattamente quello di prima! Infatti: L anello si puo pensare scomposto in tante coppie di masse puntiformi m,m in posizioni diametralmente opposte su una circonferenza di raggio a. Ogni coppia da il contributo visto prima, che si somma a quello identico di tutte le altre coppie... 8 E.Menichetti - 010

9 Applicazioni - IV Per entrambi i casi: g G M a 3 M M g G G Limite Newtoniano 3 M GM g G a a Quindi, nel limite di scostamenti da O piccoli rispetto ad a, la forza su una massa di prova e' come quella elastica La massa di prova si comporterebbe come un oscillatore armonico... 9 E.Menichetti - 010

10 Applicazioni - V 3.Guscio sferico di massa M: campo esterno NB Ogni punto esterno sta su un asse che passa per il centro Il guscio si puo pensare scomposto in tanti anelli di larghezza infinitesima. Ogni anello da il contributo visto prima, che si somma a quello di tutti gli altri... Tuttavia, ogni anello si trova ad una distanza diversa dal punto P 10 E.Menichetti - 010

11 Applicazioni - VI R Raggio dell' anello espresso in termini dell' angolo q : R asinq Larghezza dell' anello: dw adq Area dell' anello: da Rdw a sin ad a sin d q q q q densita' superficiale di massa del guscio Massa dell'anello: dm da a sin d q q 11 E.Menichetti - 010

12 Applicazioni - VII Campo dell' anello sull' asse: dm a qdq dg G G a a sin 3 3 sin sin 3 3 s 0 0 a qdq a qdq g G G a Ora: s a r ar q sds ar d g g 0 a sin d 3 q 0 q cos sin q q; G s ra Ga ar ra s q q ds ra ra G a s s 3 s r a s r a ar ds 1 E.Menichetti - 010

13 Applicazioni - VIII g ra Ga ar ra s scos s r a a s r sr cos r ra ra G a s r a G a s r a g ds ds ar rs ar s ra ds ra ra G a r a G a 1 g 1 ds s r a ar s ar s ra G a 1 1 g r a r a r a ar r a r a G a a G a G 4 a g a r a a ar r a ar r M 4a g GM r 4 Massa totale = densita' superficiale superficie Identico a quello di una massa puntiforme posta nel centro! 13 E.Menichetti ra ra

14 Applicazioni - IX 4. Guscio sferico di massa M: campo interno La soluzione e sorprendentemente semplice Campo in P Contributo da elemento di massa Contributo da elemento di massa Ai ri i 1 Campo totale 0! m m m Contributi uguali e opposti A r1 r1 m A r r NB Effetto dell inclinazione dell elemento di area? Identico per i due elementi di ogni coppia! 14 E.Menichetti - 010

15 Applicazioni - X 4. Sfera solida La soluzione e semplice Sfera: costruita con tanti gusci sferici di raggio crescente Quindi: Esterno Campo uguale a quello di un punto di massa M nel centro della sfera (Newtoniano) Interno, al raggio r<r: Contributi dai gusci di raggio > r: 0 Contributi dei gusci di raggio < r : Newtoniani 15 E.Menichetti - 010

16 Applicazioni - XI M Densita' volumetrica di massa 4 3 R 3 Massa contenuta entro il volume di raggio M 4 3 Mr m r r r R 3 R 3 3 Mr mr 3 GM g r G G R r 3 r r R r 16 E.Menichetti - 010

17 Applicazioni - XII Andamento complessivo (interno ed esterno) del campo di una sfera piena: R 17 E.Menichetti - 010