Propagazione delle incertezze. Propagazione delle incertezze

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1 Propaazione dee incertezze 1 h t Posso misurare, indirettamente T π h t 4π T T t/n Devo propaare e incertezza su h e t. N # di osciazioni Propaazione dee incertezze vs ( x1 x )ν Veocità de suono vs misurata daa distanza tra due massimi (x1 ed x) di onde stazionarie e a frequenza (ν). Caso enerae: deduzione di una randezza dipendende (vs) da atre randezze indipendenti (x1, x, n). La randezze indipendenti possono a oro vota essere dedotte da reazioni, percui dipendenti a oro vota (λ unhezza d onda per esempio). λ ( x1 x ) vs λν Attenzione a non confondersi con misure dirette o indirette È utie a descrizione funzionae randezza dipendente dae randezze x, y,, e z: ( x, y,..., z )

2 Propaazione: somme e sottrazioni x y x xms ± δx y yms ± δy Voiamo trovare a miiore stima di e incertezza δ ms xms yms Qua è i vaore massimo? max xmax ymax ( xms δx) ( yms δy) ( xms yms ) (δx δy) Qua è i vaore minimo? min xmin ymin (xms δx) ( yms δy) (xms yms ) (δx δy) ms ± δ Esprimiamo a misura di : δ δx δy Propaazione: somme e sottrazioni x y z ς z Possiamo iterare per n variabii (randezze) Possiamo verificare che anche nee sottrazioni: x y Si ha δ δx δy In enerae in caso di somme o sottrazioni: x o y o L z δ δx δy Lδz si sommano e incertezze totai (assoute)

3 Somme ineari ed in quadratura max xmax ymax ( x δx) ( y δy ) ( x y ) (δx δy ) In questa derivazione abbiamo assunto che, quando x è massima, o è anche y, questo si ha, quando c è reazione tra e due randezze. Non c è reazione tra x e y C è reazione tra x e y Se non c è reazione si sommano in quadratura δ (δ ) (δx ) (δy ) L(δz ) (δx ) (δy ) L (δz ) Propaazione prodotti e frazioni xy Discuto i caso xy, con x ed y positive Se prendo in vaore assouto x y, a discussione vae per tutti i casi come mostrato a ato. Quindi quanto ricavato o estendo a quasiasi situazione, rispetto ai vaori assouti. Le incertezze e esprimiamo in vaore assouto.

4 Propaazione per prodotti xy ms xms yms max xmax ymax max ( xms δx)( yms δy ) xms yms xmsδy ymsδx δxδy max xms yms xmsδy ymsδx δy δx y x ms ms δ max ms xms yms δy δx max xms yms xms yms y x ms ms δy δx δ ms xms yms yms xms Propaazione per prodotti min ( xms δx)( yms δy ) xms yms xmsδy ymsδx δxδy min xms yms xmsδy ymsδx min δy δx xms yms xms yms yms xms δy δx d ms yms xms δy δx d ms yms xms Con i vaori assouti incudo tutti i possibii casi.

5 Propaazione per prodotti frazioni xyz ς z Possiamo iterare per n variabii (randezze) xy L z d δx δy δz ms xms yms z ms Frazioni max xmax xms δx xms δx δy 1 1 ymin yms δy yms xms yms δx δy δx δy x y x yms ms ms ms min δx δy max ms ms xms yms δx δy xmin xms δx xms 1 1 ymax yms δy yms xms yms δx δy δx δy x y x yms ms ms ms δx δy min ms ms xms yms

6 Prodotti/frazioni somma ineare e quadr. ( x, y,l z) frazionie/o prodotti d δx δy δz ms xms yms z ms x, y, z dipendenti tra oro, δx δy δz d ms xms yms z ms x, y, z indipendenti tra oro. Propaazione su reazioni funzionai δ d ( x) δx dx Una vota studiate e derivate si può anche introdurre.

7 Considerazioni Per a propaazione senaiamo che abbiamo utiizzato i simboo δ, per intendere incertezza totae, ma si intende una piccoa variazione rispetto ad un vaore (per noi a miiore stima misura). Le reoe vaono per quasiasi tipo di incertezza (ε, η, δ), dato che ci si aspetta siano tutte piccoe quantità. Misuriamo di Possiamo provare a misurare acceerazione ravitazionae, per esempio con misure ripetute di una paina asciata cadere. Oppure Possiamo misurare con misure ripetute con i pendoo. Seuiamo quest utimo approccio, in quanto pensiamo di avere più controo

8 Stima a priori dee incertezze Stima a priori dee incertezze: serve per farsi un idea di quae precisione si possa raiunere. A cosa serve? per iniziare a raionare su quae incertezza domina maiormente nea stima, per iniziare, prima di andare in aboratorio, a vedere quai formue usare per a propaazione. Perché questa precisione o cosa possiamo vedere? Per effetto dea rotazione dea terra, a variare dea atitudine c è a forza centrifua: riduce acceerazione di ravità. A equatore forza centrifua massima: m/s Ai poi forza centrifua minima: m/s A Ferrara atitudine 44.83º: m/s Variazione totae di : /centrae 0.05/ per mie ~ 5 A priori con un apparato, è verificabie effetto dea forza centrifua?

9 Stima a priori: soo incertezze di ettura T t/n T π A priori soo incertezze di ettura (ε): 4π T Stima a priori: soo incertezze di ettura ετ1/3 εt 1/3 (1/*1/100 s) s ε 1/ (1 mm) 0.5 mm T t/n T π 4π T Misuriamo e.

10 Misure ripetute: 3 osciazioni t3 T imisura T t/n jstudente Nome G A_s M A_t R_s R_b P , tmedio 6.65 s σt 0.17 s T π Incertezza casuae σt /t σt /T π T Incertezza totae (δt) σt εt ( 0.17 s) Incertezza su [cm] jstudente Nome G A_s M A_t R_s R_b P max 11.7 cm, min 10.8 cm Pochi dati per usare dev. St. e media: I massimo ed i minimo hanno anche un incertezza di ettura, non contempata ne intervao, si possono sommare in modo ineare o anche in quadratura: Per a dispersione si usa appositamente i simboo ( max min), con a pedice per distinuero da sempice scarto quasiasi ( 1).

11 Incertezza su 4π T δ Otteniamo a misura di m s- Confronto con i vaore atteso [m s-] 10,4 10, 10 9,8 9,6 9,4 9, 9

12 Estraimo quindi e misure d maiore precisione maiore compicazionemisu Precisione su intervai di tempo con un osciatore (impusi/s), un contatore (ris. 1 impuso). Incertezza a priori: per t 0.45 s, impusi a secondo, precisione: 0.5/ εt/t ~ 1/ Incertezza a priori su h 1 m, stecca metrica (ris. 1 mm) εh/h ~ 0.5 mm/ mm. Incertezza a priori su misura di 1 h h t t δ δh δt δ h t δ per mie 5 su

13 Apparato per a misura precisa di : maiore precisione maiore compicazione Misure de tempo: Misura diretta de numero di impusi durante a caduta: n. Conversione da n a t sua base dea misura de numero di impusi per unità di tempo. nun impusi/s n dim impusi t s nun impusi/s Misura de numero di impusi a s: nun Cronometriamo per un tempo fissato ( ) tf i numero di impusi che acquisisce i contatore nf. nun nf tf impusi in ' 10 s misure a inzio de esperienza, a metà, e aa fine. Avremo 6 misure di nun. nun. vaore centrae semidispersione. intervao de 100 % dei dati osservati

14 Impusi durante a caduta: n. n ripetuto per 100 vote (a inizio, a metà ed aa fine di queste misura, si misura nun). Studio dea variabie osservata n: è aussiana? 0,45 0,4 0,35 fk e G(X,σ) 0,3 0,5 fk 0, auss 0,15 0,1 0, n Comunque nmedio, stima de vaore di centraità X, σn stima de punto di fesso σ. Incertezza su n Se n è aussiana possiamo utiizzare per incertezza statistica a deviazione standard dea media (σn/ N, N è i numero di dati) Se n non è aussiana una buona stima de incertezza statistica è a deviazione standard de campione (σn : cac., exce). L incertezza su n deve contenere incertezza dovuta aa risouzione (detta di ettura vedi strumenti diitai εn ) n non aussiana δn σ ε n n n aussiana δn σ n N ε n

15 Misura de tempo di caduta: t. Daa reazione t n/nun La miiore stima di t ( tms) si ha da nmedia n nun vaore centrae nˆ un t ms t n/nun n nˆ un Qua è incertezza su tempo di caduta? Incertezza su t Si propaa incertezza totae reativa: δt t δn δnun n nun δt t δn δnun n nˆun δn vedi situazione osservata (Gauss, non Gauss). nun semidispersione incertezza di ettura (ε).

16 Per misurare otre a t serve h Sfera di diametro d Modeo Reatà Incertezza su h Ovviamente va osservato su apparato Si osserva che interruttore si attiva quando metà sferetta entra ne interruttore. d h h' s 1 δh ε h' ε s ε d Soo incertezze di ettura: h misurata con reoo, s e d misurati con caibro.

17 Accettiamo i vaore atteso? 9,8 9,7 9,6 9,5 9,4 9,3 9, misura meno precisa misura piu' precisa vaore atteso