Primo appello invernale

Transcript

1 Primo appello invernale Test. Gli autovalori della matrice A = sono (a), +, + (b), +, + (c),, + (d), +, + L equazione caratteristica associata alla matrice A, det(a λi ) = è in questo caso specifico λ λ λ =. Risposta esatta: (d). Sia s n = n k= n (a) s n = (n + ) n (b) s n = (n + 4) (k + )(k + ). Allora: n (c) s n = (n + ) (d) s n = n n + Se si prende ad esempio n = si vede che s = k= (k + )(k + ) = ( + )( + ) =. Ora delle 6 quattro alternative solo una, la prima rispetta la condizione s =. Risposta esatta: (a) 6. lim n n (k k) k= n = (a) (b) (c) (d) 6 a n Applichiamo la regola di Cesàro che permette di considerare al posto del limite lim il limite n b n a n a n lim. La cosa è lecita in quanto la successione a denominatore è crescente. Si ha: n b n b n Risposta esatta: (b) 4. Sia I = a n a n lim = lim n b n b n n dx, allora: (x + )(x + ) n n n (n ) = lim n n n n + n. (a) I = ln 6 (b) I = ln 4 (c) I = ln 4 (d) I = ln 9 8

2 Osservato che ( + x) ( + x) = + x + x I = Risposta esatta: (a) x x + x + x 4 = 9. Il sistema lineare x x + x x 4 = x x + x + x 4 = l integrazione è sensibilmente semplificata: ( + x ) [ ] = ln( + x) ln( + x) + x. (a) ammette infinite soluzioni della forma x = + 9h, x = 9 + h, x = h, x 4 = h con h R (b) ammette infinite soluzioni della forma x = 9 + h, x = + 9h, x = h, x 4 = h con h R (c) ammette infinite soluzioni della forma x = + 9h, x = h, x = 9 + h, x 4 = h con h R (d) ammette infinite soluzioni della forma x = h, x = 9 + h, x = + 9h, x 4 = h con h R Usando il metodo di riduzione per righe si trova che la matrice completa del sistema è equivalente alla matrice A = / 9. Questo permette di concludere che il sistema è 9/ / compatibile e indeterminato e che le sue soluzioni si possono rappresentare come: x = + 9 x 4, x = 9 + x 4, x = x 4, x 4 R. A questo punto basta prendere x 4 = h. Risposta esatta: (a) 6. Se f C (R) allora, posto g(x) = e x f(e x ) si ha che g (x) vale: (a) e x f(e x ) + f (e x ) (b) e x f(e x ) + f (e x ) (c) e x f(e x ) f (e x ) (d) e x f(e x ) f (e x ) Applicare la regola per la derivazione delle fuinzioni composte. Risposta esatta: (b) 7. Giocando al lotto quale è la probabilità che esca una cinquina costituita solo da numeri divisibili per? 7 (a) (b) (c) (d) 8494 ( ) 9 La totalità di tutte le possibili estrazioni del lotto, numeri, è C 9, =, combinazioni semplici di 9 oggetti di classe. Ora la cardinalità dell insieme T = {n N : n 9 & n = h, h N},

3 cioé dell insieme dei numeri minori o uguali di 9 e divisibili per è, evidentemente, = 9 ( ). Pertanto il numero di cinquine costituite solo da numeri divisibili per è C, =. Ne consegue che la probabilità p che esca una cinquina divisibile per tre è: p = casi favorevoli casi possibili = C, C 9, =!!( )! 9!!(9 )! Risposta esatta: (d) (NB In termini percentuali p, 4) 8. Si consideri l uguaglianza arctanx = =! 8! =! 9! = x arctan. Possiamo dire che essa è x (a) vera per ogni x R (b) falsa per ogni x R (c) vera per ogni x ], [ (d) vera solo per x = Cominciamo osservando che, mentre la funzione a primo membro è ben definita per ogni x R, affinché il secondo membro abbia senso occorre che sia x ±. In questo modo è già esclusa la alternativa (a). Inoltre siccome per x = l affermazione è vera è esclusa la alternativa (b). Resta allora da decidere fa (c) e (d). Osserviamo che: d dx arctanx = + x = d dx ( ) x arctan x. Per il teorema della derivata nulla le due funzioni f (x) = arctanx e f (x) = arctan x x differiscono di una costante su un opportuno intervallo I in cui sono definite. D altra parte f () = f () e ], [, quindi f (x) = f (x) per ogni x ], [. Risposta esatta: (c) 9. Sapendo che (a) 64 π (b) 8 π π sin 6 xdx = π, allora π sin 8 xdx = (c) 6 π (d) π Per la regola di integrazione per parti abbiamo: sin 8 xdx = cosxsin 7 x cosx7sin 6 x cosxdx = cosxsin 7 x + 7 cos xsin 6 xdx = cosxsin 7 x + 7 ( sin x)sin 6 xdx = cosxsin 7 x + 7 sin 6 xdx 7 sin 8 xdx. Pertanto ne deduciamo che: sin 8 xdx = 8 cosxsin7 x sin 6 xdx. Passando all integrale definito: π Risposta esatta: (c) sin 8 xdx = 7 8 π sin 6 xdx = 7 8 π.

4 . Si sa che la successione x n verifica l identità x n+ x n = (a) x n = + n + n (b) x n = + n + n 6 + n + n, allora: (c) x n = + n + n (d) x n = + n + n Basta calcolare la differenza x n+ x n per ciascuno dei casi proposti. Il primo, il terzo e il quarto caso danno rispettivamente: Risposta esatta: (b) Domanda aperta x n+ x n = + 7n + n, x n+ x n = + n + n, x n+ x n = 6 + n + n. Si consideri la funzione f : R R, f(x) = ln + x + 7 arctanx x.. Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di f(x) nel punto di ascissa x =. Calcolare lim x ± f(x). Dimostrare che f(x) ha esattamente due punti critici: trovarli e classificarli 4. Dimostrare che f(x) ha due punti di flesso. Tracciare il grafico di f(x) 6. Calcolare f(x)dx 7. Dopo aver osservato che il problema ha senso, si calcoli d dy f (y ) con y = f() 8. Dopo aver osservato che il problema ha senso, si calcoli 9. Calcolare lim x f(x) 6x x Soluzione. f() f() f (y)dy. Essendo f() = 7 4 π + ln, f (x) = 6 + x x + x si ha f () = quindi l equazione della retta tangente è y = 7 4 π 4 + ln + x.. Se x i termini ln + x, x sono positivamentge divergenti, quindi lim f(x) = in x quanto l arcotangente è una funzione limitata. Se, invece x la differenza ln + x x si prensenta nella forma indeterminata ma l infinito lineare x prevale su quello logaritmico, quindi lim f(x) =. x 4

5 . Da f (x) = 6 + x x + x vediamo che i due punti critici cercati sono le due soluzioni dell equazione di secondo grado 6+x x =, per la precisione x m =, x M =. Ora essendo f (x) = 4 x x ( + x ) si trova immediatamente che f (x m ) =, f (x M ) = ; pertanto x m = è un punto di minimo relativo e x M = è un punto di massimo relativo. Le ordinate sono: f(x m ) = 7 arctan + ln 4, 94, log f(x M ) = + 7 arctan + 6, I punti di flesso, per quanto visto al punto precedente si trovano risolvendo l equazione di secondo grado 4 x x =. Essi sono x f = 7, x g = 7 +. Le ordinate sono: f(x f ) = arctan(7 + ) + ln( + 7 ), 6, 877 f(x g ) = 7 7 arctan(7 ) + ln( 7 ), 489. Dai quattro punti precedenti si trova che il grafico della funzione assegnata è come nella figura, nella quale abbiamo evidenziato i massimi e minimi relativi ed i flessi: Conviene usare il metodo di integrazione per parti. Essendo: x arctanxdx = xarctanx + x dx = xarctanx ln( + x ), ln ( + x ) dx = xln ( + x ) x + x dx = xln ( + x ) ( ) + x otteniamo: f(x)dx = [ ( + 7x)arctanx + (x 7)ln( + x ) ] x x = π ln Lo studio della derivata prima di f(x) assicura che f () >, la funzione è così invertibile in un intorno dell origine ed esiste la derivata dell inversa di f(x) in corrispondenza di x =. Essendo poi f () = 6 si ha, essendo anche, f() =, che: d dy f () = 6. dx,

6 8. Nell intervallo [, ] f(x) è strettamente crescente, dunque esiste la funzione inversa f (y) di f(x) e tale funzione è integrabile. Ricordando la formula di integrazione: f(b) f(a) possiamo rapidamente concludere che: f() f() f (y)dy = f() f (y)dy = bf(b) af(a) b a f(x)dx, f(x)dx = 7 4 π + ln ( π ln 8 ) = π + 4 ln Si ha: f(x) 6x 7 arctanx 7x + x = ln( + x ) x che è in forma indeterminata / per x. Il quoziente delle derivate porge un ulteriore forma indeterminata / per x, infatti: 7 + x 7 + x + x. x Derivando una seconda volta otteniamo il quoziente: 4 x x ( + x ) che non è più in forma indeterminata per x, infatti: lim x 4 x x ( + x ) Possiamo allora applicare il teorema del marchese di Sante Mesme e conte d Entremont, Guillame François Antoine De l Hospital e di Jean Bernoulli per concludere che: =. 7 arctanx 7x + lim ln( + 7 x ) x x = lim + x 7 + x + x x x = lim x 4 x x ( + x ) =. 6

7 Secondo appello invernale Test. Se f(x) = x la retta tangente al grafico della curva y = f(x) nell origine è + x (a) y = x (b) y = x (c) y = x (d) y = x Basta applicare la formula per l equazione della retta tangente y = f(x )+f (x )(x x ), ricordare che nel caso presente essendo f (x) = x ( + x ) e x = si trova y = x. Risposta esatta: (d) 6 4. Il determinante della matrice 9 vale: 6 9 (a) (b) (c) 8 (d) 9. Usiamo il metodo di Gauß: in questo modo troviamo che la matrice assegnata è equivalente a Trattandosi di una matrice a scala il suo determinante è dato dal prodotto degli elementi della diagonale principale. Risposta esatta: (a) n= n+ + n+ = n= (a) 4 (b) (c) (d) 4 Si ha n= n+ = n= conclude: Risposta esatta: (a) n e n+ = n= n= n. Quindi, ricordato che 4. Sia f(x) = x + a x + b, x b ove a, b R sono due numeri reali. Allora f (x) = a b (a) (x + b) (b) (x + b) (c) (x + b) b a (x + b) Basta applicare la regola per la derivazione del quoziente. Risposta esatta: (d) (d). Sia f : R R una funzione che verifica l identità f(x) x n= = si n f(t)dt = per ogni x R. Allora: 7

8 (a) f(x) = e x + (b) f(x) = e x (c) f(x) = e x (d) f(x) = 4e x Derivando i due lati dell uguaglianza si vede che f (x) = f(x) e quindi f(x) = ke x con k R costante. D altra parte l uguaglianza comporta che deve essere f() = il che implica che deve essere k =. Risposta esatta: (c) n + n + 6. lim n n n + = (a) (b) (c) (d) n + n n + + Si ha lim n n n + = lim n + n n n n +. Risposta esatta: (b) n 7. L equazione x + x = cosx ha esattamente (a) una soluzione (b) due soluzioni (c) nessuna soluzione (d) infinite soluzioni I grafici della funzione y (x) = x + x e y (x) = cosx sono rappresentati nella figura Risposta esatta: (a) 8. Sia S l insieme delle soluzioni della disequazione (x x + 6)(x + x + ) > e sia I = [, ]. Allora (a) S I = I (b) S I = S (c) S I = (d) S I = S Eseguendo i calcoli si vede che S = ], [ ], [ ne viene che I S. Risposta esatta: (d) 9. π cosx + sin x dx (a) π (c) π 6 (b) π 4 (d) π Si ha π cosx [ + sin x dx = arctansinx. Uno degli autovalori della matrice è ] π = arctan. Risposta esatta: (b) 8

9 (a) (b) (c) - (d) Il polinomio caratteristico è p(λ) = + 7 λ + λ λ. Risposta esatta: (d) Domanda aperta Si consideri il sistema lineare: ax + ay + (a )z = x + ay + (a )z = a + (a )x + y + z = lo si discuta e, quando possibile lo si risolva. Successivamente stabilire se esistono valori del parametro reale a per cui la matrice incompleta del sistema ha un autovalore uguale a -. Soluzione. Il determinante della matrice incompleta del sistema è a, quindi se a il sistema è crameriano con soluzione unica. In tal caso la soluzione è: x = y = + a a z = a + a Se a = il sistema si riduce a: che è compatibile con soluzione: x + y = x + y = y + z = x = α y = α R z = α Il polinomio caratteristico della matirce incompleta è p(λ) = + a a λ + λ + a λ λ che per λ = si riduce a + a, quindi a = /. 9

10 Terzo appello invernale Test. Quale è la probabilità che una estrazione del lotto (nb numeri estratti) sulla ruota di Venezia non contenga il numero? (a) è bassa perché il ritarda da 8 settimane (b) 8 (c) 9 (d) 7 8 I casi possibili di estrazioni in cui un numero, ovviamente non importa ( ) quale fra i 9 possibili, non 89 compare sono le combinazioni di 89 oggetti di classe, C 89, =. Il numero complessivo di ( ) 9 estrazioni è C 9, =, quindi la probabilità cercata è: ( ) 89 p = casi favorevoli casi possibili = ( ) = 89! 8! 9 84! 9! = 8 9. Risposta esatta (d). Quale fra le seguenti affermazioni al variare del parametro a R sul sistema di equazioni lineari x + x + x = ax + x x = è vera? x + x = (a) il sistema ammette infinite soluzioni per ogni valore di a (b) il sistema ammette infinite soluzioni se e solo se a = 4 (c) il sistema è univocamente risolubile per ogni valore di a (d) il sistema è impossibile per a = 4 Per prima cosa notiamo che il sistema è omogeneo, il che esclude immediatamente l opzione (d), poi, visto che la matrice incompleta del sistema è: C = a, essendo det C = 8 a, e, dunque det C = a = 4 anche l opzione (a) è esclusa. Resta dunque da decidere fra (b) e (c). x + x + x =, Per a = 4 il sistema assegnato diventa 4x + x x =, che, dopo alcune operazioni sulle x + x =, { x + x =, righe è equivalente al sistema indeterminnato Risposta esatta (b) x x =.. Sia f(x) = x x, x [, ]. Quali sono i punti di [, ] in cui è verificato il teorema di Lagrange?

11 (a) ± 6 (c) ± (b) ± 6 (d) ± I punti ξ di ],[ [ in cui la ] tesi del teorema di Lagrange è soddisfatta sono definiti dalla relazione f() f( ) = ( ) f (ξ), che nel caso in oggetto diviene = 4 ( + ξ ), da cui dopo le opportune semplificazioni si giunge all equazione ξ = 6. Risposta esatta (c) 4. Sia a >. Il massimo M ed il minimo m assoluti della funzione f(x) = a + x a, x [ a, a] sono: + x (a) m = a ( + ), M = a ( ) (b) m = a ( ), M = a ( + ) (c) m = 4a ( + ), M = 4a ( ) (d) m = 4a ( ), M = 4a ( + ) Si ha f (x) = a a x x (a + x ). I punti stazionari di f(x) si ottengono allora risolvendo l equazione in x : a a x x = che porge x = ( + ) a, x + = ( ) a, entrambe accettabili, vale a dire x, x + [ a, a]. Il teorema di Weierstraß e il teorema di Fermat assicurano che il massimo ed il minimo assoluti di f(x) in [ a, a] sono raggiunti in due fra i quattro punti a, x, x +, a. Essendo: f( a) = a, f(x ) = ( + ) a, f(x +) = vediamo che f(x ) < f( a) < f(a) < f(x + ). Risposta esatta (a). Sia a >. Allora ln a xe ax dx = ( ) a, f(a) = a, (a) + aa (a lna + ) a (b) + aa (a lna ) a (c) + aa (a lna ) a (d) + aa (a lna + ) a Integrando per parti con f (x) = e ax, g(x) = x, troviamo: xe ax dx = a xeax e ax dx = a a xeax a eax. Passando all integrale definito troviamo: Risposta esatta (b) ln a xe ax dx = + aa (a lna ) a. 6. Sapendo che la funzione f(x) è strettamente positiva e derivabile e che f() = e f () = allora se g(x) è la funzione g(x) = x + lnf(x) si ha: f(x)

12 (a) g () = ln 6 (b) g () = + ln 6 (c) g () = ln 4 (d) g () = + ln 4 7. Per la regola di derivazione della funzione composta e la regola di derivazione del quoziente si vede che: g (x) = f(x) + f (x) xf (x) f (x)ln f(x) f(x). Imponendo f() =, f () = si ottiene g () = ln. Risposta esatta (c) 4 n = n= (a) (b) (c) 6 (d) Ricordato che per ogni naturale m vale la formula Risposta esatta (d) m n = n= m(m + ), basta prendere m =. x + 8. La derivata della funzione inversa di f(x) = log, calcolata in f(/) vale: x (a) 9 4 ln (b) 4 9 ln (c) 4 9 ln (d) 9 4 ln Si ha, per la regola di derivazione della funzione composta: f (x) = ( x) ( + x) ln, da cui: f ( ) 4 = 9 ln. A questo punto si applica il teorema per la derivazione della funzione inversa. Risposta esatta (a) 9. Il determinante dell inversa A della matrice A = vale: 4 (a) 6 (b) (c) A non esiste (d) Si vede immediatamente che deta =. Poi si applichi il teorema di Binet. Risposta esatta (b). Si noti che calcolare esplicitamente l inversa A è del tutto inutile in questo caso. ( ) ( ) ( ) a a 9. Per quali valori di a R risulta =? a a 9 (a) nessun valore di a (b) a = (c) a = (d) a =

13 Eseguendo il prodotto a primo membro si trova: ( ) ( ) ( a a a + a + a = a a a + a + a ). Dunque devono simultanemente essere verificate le condizioni: 9 = a + a, = + a, 9 = a + a, = + a. Il sistema è, manifestamente, incompatibile. Risposta esatta (a) Domanda aperta Studiare la funzione Si calcoli poi: Suggerimento: x + x 4 = ( f(x) = arctanx. π f(x)dx. x x + x x + x + x Soluzione. La funzione assegnata è definita per ogni x R, quindi non ci sono asintoti verticali. Si tratta di una funzione pari in quanto f(x) = arctanx = arctan( x) = f( x). Abbiamo un asintoto orizzontale per x ±, infatti si ha lim f(x) = π x ±. Dunque y = π è asintoto orizzontale al grafico di y = f(x). Osservato poi che l argomento della funzione arcotangente è sempre non negativo vediamo che f(x) ha minimo assoluto per x =. Si ha: f (x) = x + x 4, f (x) = 6 ( ) ( x4 + x ( + x 4 ) = x ) ( + x 4 ). Se ne deduce che: f(x) è strettamente crescente per x >, punto di minimo assoluto; f(x) è strettamente convessa per 4 < x < 4, punti di flesso. ). Le corrispondenti ordinate sono: = f(), π ( 6 = f ± ). 4 Il grafico di f(x) è rappresentato nella figura. Per integrare f(x) procediamo per parti. Si ha:

14 π f(x)dx = [ ] π π π xf(x) xf (x)dx = arctan π 4 π x + x 4 dx. A questo punto basta applicare il suggerimento, e, dopo avere osservato che: x + x + x dx = ( arctan + ) x ( x, x + x dx = arctan ) x, si conclude, dopo qualche noiosa semplificazione, che: π f(x)dx = π π arctan 4 π 4 + [ + ( π arctan [ ln ] (4 + π) 4 + π π + ( ) π + + arctan ) arctan ]. + π 4

15 Primo appello estivo Test. Sia a >. Allora (a) aa a (b) aa + a ln a xe ax dx = (c) aa a (d) aa + a Integriamo per sostituzione ponendo ax = t, cioé x = ϕ(t) = L integrale assegnato è, pertanto, trasformato in: ln a Risposta esatta (c) xe ax dx = aln a dx = ϕ (t)dt = dt. a t t a et a dt = t a. Data la funzione f(x) = ln (x + ) + ln (x + ), allora t. Ne segue che: a aln a e t dt = (a lna ). a (a) f(x) è strett. concava per ogni x > (b) f(x) è strett. decrescente per ogni x > (c) f(x) ha asintoto orizzontale per x (d) f(x) è strett. convessa per ogni x > Poiché lim f(x) = l alternativa (c) è subito esclusa. Si ha: x f + x (x) = ( + x)( + x), f + 6x + x (x) = ( + x) ( + x). Si vede dal segno di f (x) per x > che anche l alternativa (b) è esclusa. Resta pertanto da decidere fra le eventualità opposte (a) e (d). Ora il polinomio di secondo grado p(x) = +6x+x ha il discriminante negativo e dunque p(x) > per ogni x. Risposta esatta (a). Siano A = (a) sin α + cos α ( sin α sinα cosα ), B = ( sin α cosα cosα sin α ) l elemento c della matrice C = A B è: [ ] (c) sin α sinα + cosα (b) Si osservi che: (d) cosα ( ) ( sin α sin α sin α cosα C = A B = cosα cosα sinα ( cosαsin α + sin α cosαsin α + sin α sin α = cos α + sin α cosα + cosα sinα ) = ). Risposta esatta (b) 4. Quale è la probabilità che una estrazione del lotto (nb numeri estratti) sulla ruota di Firenze non contenga il numero e il numero 4?

16 (a) 4 (b) oltre il 9% (c) oltre il 9% (d) 8 67 Tutte le possibili estrazioni di cinque numeri che non contengono due numeri preventivamente fissati, come ad esempio il e il 4, su un totale di novanta, sono date dalle combinazioni semplici di 88 oggetti di classe, che costituiscono i casi favorevoli: ( ) 88 C 88, =. Naturalmente l estrazione effettiva avviene su novanta oggetti, dunque i casi possibili sono le combinazioni di 9 oggetti di classe : ( ) 9 C 9, =. Ne viene che la probabilità che un estrazione non contenga due prefissati numeri è: ( ) 88 p = ( ) = 9 88! 8! = = 8! 9! Risposta esatta (d) Si osservi che il giocatore che cerca di fare ambo, spera nella probabilità che si verifichi l evento opposto a quello che abbiamo appena studiato. Tale probabilità è, quindi, p = p = 9 67, 864%.. Quale sulle seguenti affermazioni circa la funzione f(x) = xe ax, a R è vera? (a) se a < f(x) non ha punti critici (b) se a > f(x) non ha punti critici (c) f(x) ha sempre un punto critico, indipendentemente dalla scelta di a (d) f(x) non ha punti critici, indipendentemente dalla scelta di a Si ha f (x) = ( ax ) e ax quindi f (x) si annulla se e solo se si annulla il fattore ax e questo è possibile se e solo se il numero reale a è positivo. Risposta esatta (a) 6. Il rango della matrice A = a vale: a 4 (a) per ogni a (b) se e solo se a (c) se e solo se a (d) se e solo se a Visto che A è quadrata ne calcoliamo il determinante deta = 6 + a. Ora, essendo chiaro che deta = a = si vede immediatamente che solo l ultima alternativa è corretta. Risposta esatta (d) 7. Sapendo che la funzione f(x) è strettamente positiva e derivabile e che f() = e f () = allora se g(x) è la funzione g(x) = f(x) f(x) si ha: 6

17 (a) g () = 4(ln + ) (b) g () = (c) g () = (ln 4 + ) (d) g () = 4(ln ) La derivata della funzione g(x) = f(x) f(x) vale: ( ) g (x) = f(x) f(x) f (x) + f (x)ln f(x). Imponendo che f() =, f () = si trova g () = 4(ln + ). Risposta esatta (a) 8. La derivata della funzione inversa di f(x) = e x + e x, calcolata in y = f(ln ) vale: (a) (b) (c) 6 (d) ln Il teorema sulla derivazione della funzione inversa assicura che: d dy f (y ) = f (x ), purché f (x ) e y = f (x ). D altra parte f (ln ) = e ln + e ln = +. Risposta esatta (b) ( ) n 8 9. La somma della serie è: 9 n= (a) 9 (b) 8 (c) 64 9 (d) Basta ricordare la formula n= x = 8. Risposta esatta (a) 9 x n = valida per x < e applicarla per il valore particolare x. Quale fra le seguenti affermazioni al variare del parametro a R sul sistema di equazioni lineari x + x + x = ax + x x = è vera? x + x + x = (a) il sistema ammette infinite soluzioni per ogni valore di a (b) il sistema è univocamente risolubile se e solo se a = (c) il sistema è impossibile per a = (d) il sistema ammette infinite soluzioni se e solo se a = Si tratta di un sistema omogeneo con matrice incompleta: C = a. Essendo det C = a sappiamo che il sistema è determinato se e solo se a. Risposta esatta (d) 7

18 Domanda aperta Studiare la funzione Si calcoli poi: f(x) = arctanh coshx + sinh x. f(x)dx. Essendo quoziente di due funzioni pari la funzione assegnata è anch essa pari, dunque verifica l identità f(x) = f( x). Inoltre f(x) > per ogni x R. Usando il teorema di De l Hospital-Bernoulli troviamo: Questo prova che: lim f(x) = lim f(x) = lim x x x sinhx sinhxcoshx = lim x coshx =. la retta y = (asse delle ascisse) è asintoto orizzontale per il grafico di y = f(x); usando il teorema di Weierstraß (come?) si deduce che f(x) raggiunge il massimo assoluto in almeno un elemento x M R; usando il teorema di Rolle (come?) si deduce che f(x) ha almeno un punto stazionario. Si ha f (x) = sinhx( cosh x + sinh x ) ( + sinh x ) = sinhx cosh x, f (x) = sinh x cosh. Dunque per quanto premesso x M = è il punto di massimo assoluto di f(x) e il valore del massimo è f() =. Naturalmente x chi non avessa fatto il ragionamento a priori può vedere che f () = provando direttamente la massimalità di x M =. Si vede poi che f(x) è strettamente concava se e solo se < sinhx <, vale a dire: f (x) < arcsinh ( ) < x < arcsinh. ( ) ( ) Dunque abbiamo due flessi F = arcsinh ( ),, F + = arcsinh,. Il grafico di f(x) è come nella figura sotto. Per calcolare l integrale basta osservare che cosh x = D sinh x quindi il nostro integrale è del tipo: per concludere che: arctanh Ricordato che: sinh y = sinhy coshy sinh arctanh y = u (x) + u dx = arctanu(x), (x) f(x)dx = [ [ ( arctansinhx ]arctanh = arctan sinh arctanh )]. y y, y < 8

19 cosharctanh y =, y < y sinh (arctanh y)cosh(arctanh y) = y y, y < ) possiamo concludere che sinh (arctanh =, quindi: arctanh f(x)dx = π. 9

20 Secondo appello estivo Test. La funzione f(x) = xe x, x R (a) non ammette asintoti orizzontali (b) ammette sia massismo sia minimo assoluto (c) è invertibile (d) ammette minimo assoluto, ma non massimo assoluto Basta osservare che f (x) = e x (x + ) per concludere che il solo punto critico di f(x) è in x m = e che tale punto è di minimo. Il minimo è assoluto in quanto lim f(x) = e lim =. Risposta x x esatta (d) La derivata della funzione inversa di f(x) = xe x, calcolata in y = f() vale: (a) non esiste (b) e (c) (d) e Essendo f () = e è immediato concludere, usando il teorema sulla derivata dell inversa. Risposta esatta (d). Sia I = dx, allora: (x )(x + ) (a) I = ln 8 (c) I = 4 ln 8 (b) I = ln 8 Osservato che: si trova: Quindi: Risposta esatta (a) (d) I = ln 8 (x )(x + ) = (x ) ( + x), (x )(x + ) dx = I = (x ) dx [ ln(x ) ln(x + ) ] x= x=. (x + ) dx. 4. Quale sulle seguenti affermazioni circa la funzione f(x) = xe ax, a R è vera?

21 (a) f(x) non ha alcun punto critico, per ogni scelta di a R (b) se a < f(x) ha due punti critici (c) se a = allora f(x) è costante (d) se a f(x) ha un flesso nell origine Si ha: f (x) = e a x ( + a x ), f (x) = a e a x x ( + a x ). Risposta esatta (a). Il valore dell espressione: è: (a) (b) ( ( n= n= ) n+ ) n+ (c) (d) 6. Si ha Analogamente: Risposta esatta (c) π xsin (x) dx = (a) π (b) π n= n= ( ) n+ = ( ) n+ = ( ( ) n= ) n= ( ) n = ( ) = 8 9. ( ) n = 4 = 4. (c) π π (d) Integrando per parti si trova: xsin (x)dx = x cos(x) + sin(x). 4 Risposta esatta (a) 7. Giocando al lotto quale è la probabilità che esca una cinquina costituita solo da numeri divisibili per 7? (a) (b) (c) (d) I numeri 9 e divisibili per 7 sono, precisamente 7, 4,, 8,, 4, 49, 6, 6, 7, 77, 84. ( ) Pertanto le cinquine possibili costituite solamente ( ) da numeri divisibil per 7 sono in numero di 9 = 79. Il numero complessivo di cinquine è = Risposta esatta (c) 8. Data la funzione f(x) = x ln ( x + ), allora

22 (a) f(x) è strettamente decrescente per ogni x (b) f(x) è strettamente concava per ogni x < (c) f(x) ha asintoto orizzontale per x (d) f(x) è strettamente convessa per ogni x < Si ha f (x) = x + x + ln( + x ), f (x) = x ( ) + x ( + x. Risposta esatta (b) ) 9. Gli autovalori della matrice A = sono (a), +, (b), +, (c), +, (d), +, L equazione caratteristica è: λ det λ = λ + λ λ =. λ Risposta esatta (d). Il sistema lineare x + x + x x 4 = x x + x x 4 = x x + x x 4 = (a) ammette infinite soluzioni della forma x = 4, x =, x = 9 + x 4, x 4 R (b) ammette infinite soluzioni della forma x = 4, x =, x = 9 + x 4, x 4 R La matrice completa del sistema è equivalente per righe a esatta (a) Domanda aperta Studiare la funzione Si calcolino poi: f(x) = xe x. f(x)dx, e (c) ammette infinite soluzioni della forma x = 4, x =, x = 9 + x 4, x 4 R (d) ammette la sola soluzione della forma x = 4, x =, x = 9, x 4 = f (y)dy. 4. Risposta 9 Si ha lim f(x) =, lim f(x) =, quindi essendo f (x) = (x + )e x abbiamo un punto di minimo x x assoluto in ( ( ), e ). La derivata seconda è f (x) = (x + )e x, di conseguenza si ha un flesso in, e. L integrale f(x)dx, si calcola per parti ponendo u (x) = e x e v(x) = x, in modo che f(x)dx = (x ) e x, quindi possiamo concludere che f(x)dx =.

23 Infine, osservato che f() = e f() = e, applicando la formula otteniamo: f(b) f (y)dy = bf(b) af(a) f(a) a e f (y)dy = e. b f(x)dx,

24 Appello autunnale Test. La successione x n = [ + ( ) n ] n è (a) convergente (b) positivamente divergente (c) strettamente crescente (d) limitata inferiormente È immediato verificare che x n per ogni n N. Risposta esatta (d). (. lim x x x) = x (a) (b) (c) (d) Basta osservare che x x x =. Risposta esatta (a). x +. 4 dx 7 + 8x + x = (a) arcsin8 arcsin4 (b) (c) (d) arcsinh8 arcsinh4 Si ha 7 + 8x + x = + (4 + x), dunque: Risposta esatta (d) La derivata della funzione inversa di f(x) = dx 8 = dy x + x + y 4 + sin x, x ] π, [ π calcolata in y = = f() è: (a) 4 (b) 4 (c) (d) Basta osservare che f () = 4. Risposta esatta (b). ( ) 86. = 8 ( ) (a) (c) ( ) (b) (d) Vale: ( ) ( ) n n =. Risposta esatta (b). k n k x( + x ) cosh x = Si noti che non è vero che lim n xn =, in quanto x n = per ogni n N. 4

25 (a) ( x + x + ) sinhx ( + x) coshx (b) (c) (d) nessuna delle altre risposte è corretta La funzione integranda è dispari, e il dominio di integrazione simmetrico rispetto all origine. Risposta esatta (c). 7. Nel gioco del tresette (quaranta carte, quattro giocatori con dieci carte ciascuno) in quanti modi possono essere servite le carte? (a) (b) 4! (!) 4 ( ) 4 (c) ( ) 4 4 (d) nessuna delle altre risposte è corretta Le quaranta carte possono venir distribuite dal mazziere in 4! modi distinti, ma per ognuno dei quattro giocatori l ordine con cui gli vengono consegnate le dieci carte per giocare è indifferente. Le stesse dieci carte possono essere quindi consegnate a ciascun giocatore in! modi diversi. Risposta esatta (a). 8. La retta di equazione y = x + è asintoto per x della funzione (a) f(x) = x + x + x + (b) f(x) = x + x + x + (c) f(x) = x + 4x + x + (d) f(x) = x + 4x + x + La retta y = mx + q è asintoto per la curva di equazione y = f(x) se e sole se: Risposta esatta (d). f(x) [ ] m = lim x x, q = lim f(x) mx. x 9. Se f : R R è continua e derivabile in R con f() = e f (x) > per ogni x R, allora è necessariamente vero che: (a) f(4) < 7 (b) nessuna delle altre risposte è corretta (c) f() > (d) f(6) > 9 Se a, b R, a < b per il Teorema del valor medio di Lagrange e per l ipotesi f (x) > per ogni x R, abbiamo che f(b) f(a) > b a. In particolare se a = e f() = si ha f(b) > + b per ogni b >. Risposta esatta (d).. Il determinante della matrice a a vale per (a) a =, a = (b) a =, a = (c) Nessuna delle altre risposte è corretta (d) a =, a = 4 Basta risolvere l equazione 8 + a a =. Risposta esatta (a).

26 Domanda aperta Studiare la funzione Si calcolino poi: Si ha: f(x) = det x. f(x)dx, 6 4 f (y)dy. Di conseguenza abbiamo: minimo (, 4) massimo f(x) = ( + x) ( x + x ), f (x) = ( + x) ( + x), f () (x) = ( 4 + x), F(x) = (, ) 7 Il grafico è come nella figura: x f(t)dt = 6 x x + 4 x x4 4. flesso ( 4, ) 7 f(x)dx = La formula per l integrale dell inversa, per funzioni strettamente crescenti è: f(b) f(a) f (y)dy = bf(b) af(a) b a f(x)dx, qui bisogna mutarla di segno in quanto nell intervallo [, ] considerato f(x) è decrescente, in modo da 6 concludere che f (y)dy =