GEOMETRIA EUCLIDEA La misura delle grandezze

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1 pputi i Matematica GEOMETRI EUCLIDE Defiizioe Ua casse i graezze geometriche è u isieme i eti geometrici i cui è possibie: - i cofroto tra ue quasiasi eemeti e isieme; - aizioe, che goe ea proprietà commutativa e associativa, che associa a ue eemeti e e isieme eemeto + apparteete a isieme etto somma i e. Le graezze apparteeti a ua stessa casse si icoo omogeee. Soo cassi i graezze omogeee isieme ei segmeti, egi agoi, ee superfici piae. Mutipo i ua graezza I mutipo i ua graezza secoo i umero aturae è a graezza omogeea a = ( aei) Si ice ache che è sottomutipa i secoo i umero oppure che è eesima parte i e si scrive Caso particoare Se = si ha stessa. = = cioè tra i mutipi e i sottomutipi i ua graezza c è ache a graezza 37

2 pputi i Matematica Graezze commesurabii Defiizioe Due graezze omogeee e si icoo commesurabii quao ammettoo ua graezza sottomutipa comue cioè quao esiste ua terza graezza U (omogeea a e ) che è coteuta u umero itero i vote i ciascua i esse cioè tae che m U, = U co m, Ν Quii poiché sostitueo si ha = U U = m m = Rapporto i graezze commesurabii Se m m chiameremo rapporto tra e (e o iicheremo co ) i umero razioae m Quii i rapporto tra ue graezze commesurabii è u umero razioae. Esempio I figura soo isegate ue graezze e tai che 3 U, = U = 3 38

3 pputi i Matematica Graezze icommesurabii Defiizioe Due graezze omogeee e si icoo icommesurabii quao o esiste ua graezza sottomutipa comue. Esempio: imostriamo che i ato e a iagoae i u quarato soo segmeti icommesurabii. Cosieriamo u quarato CD e a sua iagoae C. Suppoiamo per assuro che i ato e a iagoae C siao segmeti commesurabii cioè suppoiamo che esista u segmeto EF tae che EF, C = m EF (a figura è soo iicativa). ppicao i teorema i Pitagora e cotao i umero ei quaratii i ato cogruete a EF si ovrebbe avere: m = Ma questa uguagiaza o può essere vera perché se cosieriamo a scomposizioe i fattori primi e i particoare quate vote compare i fattore, avremo che e umero m i fattore o o compare mai o compare u umero pari i vote (esseo u quarato) metre i i fattore sarà presete u umero ispari i vote perché c è u motipicato per i cui i compare o essua vota o u umero pari i vote. I cocusioe siamo arrivati a ua cotraizioe e questo sigifica che i segmeti e C o soo commesurabii. 39

4 pputi i Matematica Nota storica I primi matematici che pararoo i graezze icommesurabii furoo i Pitagorici: ifatti appicao i teorema i Pitagora a triagoo rettagoo isoscee furoo costretti, co ragioameti aaoghi a quei che abbiamo visto, a ammettere esisteza i graezze omogeee sprovviste i u sottomutipo comue. Ivece essi pesavao che i segmeti fossero costituiti a u umero fiito i puti e che quii fossero tutti commesurabii tra oro. Iotre riteevao che tutti i corpi fossero costituiti a corpuscoi tutti uguai isposti i varie forme geometriche e cosieravao iterpretazioe geometrica ea reatà come u aeo i cogiuzioe tra umao e ivio. La scoperta ee graezze icommesurabii sembrò quii ai Pitagorici basfema e scocertate tato che fu teuta segreta e fu proibito ai membri ea setta i riveara. Rapporto i graezze icommesurabii Si può efiire i rapporto tra ue graezze icommesurabii? Ripreiamo esempio e ato e ea iagoae i u quarato. bbiamo che < <,4 < <,5,4 < <,4,44 < <,45... < <,4 < <,5,4 < <,4,44 < <,45... I umero è efiito come eemeto separatore ei ue isiemi i umeri razioai,,,4,,5,,4,,4,,44,,45, che rappresetao i vaori approssimati per ifetto e per eccesso. Questo umero viee etto irrazioae, cioè o razioae, e i questo caso viee iicato co i simboo. I cocusioe se e soo graezze icommesurabii i oro rapporto è u umero irrazioae. 40

5 pputi i Matematica Misura i ua graezza Se fissiamo ua graezza U come uità i misura, a misura rispetto a U i ua graezza, omogeea co U, è i umero reae (razioae o irrazioae) che esprime i rapporto tra e U e si iica co cioè Nota importate La misura i u segmeto si ice ughezza, quea i u agoo si ice ampiezza e quea i ua superficie piaa area. U Teorema I rapporto tra ue graezze omogeee e (co 0 ) è uguae a rapporto tra e oro misure (rispetto a ua quauque uità i misura) cioè Dimostrazioe Iichiamo co U ua graezza, omogeea a e, sceta come uità i misura. vremo quii per esempio: au e quii a ; = bu e quii = b Ricaviamo U aa reazioe a a U = = b b a b = bu U = e sostituiamo e atra b I cocusioe quii 4