TEORIA DEI NUMERI DIVISIBILITA

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1 TEORIA DEI NUMERI DIVISIBILITA Cosideriamo l isieme Z dei umeri iteri Metre è sempre possibile sommare, sottrarre e moltiplicare due umeri iteri, o sempre esiste la divisioe Itroduciamo quidi u operazioe chiamata divisioe co resto (o euclidea) la cui esisteza è garatita dal seguete teorema: Teorema Siao a, b umeri iteri, a 0 Allora esistoo e soo uici due umeri iteri q, r tali che: (1) b = a q + r (2) 0 r < a q e r si chiamao quoziete e resto della divisioe itera di b per a Dato che la divisioe co resto restituisce due umeri (q e r), vegoo utilizzate due scritture distite I particolare si scriverà; q = b div a Esempi: r = b mod a 9 = quidi 9 div 4 = 2 e 9 mod 4 = 1 1 = 7 ( 3) + 6 quidi -1 div 7 =-3 e -1 mod 7 = 6 Defiizioe: Si dice che a è u divisore di b (scriveremo a b ) se la divisioe di b per a ha resto uguale a zero, cioè b mod a = 0 oppure b = a q Ogi umero itero diverso da zero ha qualche divisore: ±1, ±b soo divisori di b Ce e possoo essere altri, oppure o Defiizioe: U umero aturale N, co N 2 si dice: - primo se gli uici divisori di N soo 1 e N - composto altrimeti Esempio: Numeri primi: 2, 3,, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, Nasce il problema di come stabilire se u umero N sia primo Algoritmo elemetare per stabilire se N è primo (già oto agli atichi greci) Cosideriamo tutti i possibili umeri tra 2 e N-1, 2 d (N-1), e dividiamo N per d: se la divisioe ha resto zero per qualche d, N è composto se la divisioe o ha mai resto zero, N è primo Possibili scorciatoie Basta cotrollare tutti i umeri d maggiori di 1 e miori di radice di N (1<d< N ): ifatti se N =d d co 1<d, d, allora d< N o d < N altrimeti d d > N N =N (assurdo) 1

2 Esempio: per stabilire se 101 è primo, si potrebbe cotrollare che o sia divisibile per tutti i umeri maggiori di 1 e miori di 11, cioè 2, 3, 4,, 8, 9, 10 Se d o fuzioa, iutile cotrollare per 2d, 3d, (quidi se il umero N o è divisibile per 2, è iutile cotrollare che sia divisibile per 4, 6, 8,) Esempio: per cotrollare che 101 sia primo, basta vedere che o è divisibile per 2, 3,, 7 I umeri primi soo ifiiti Questa proprietà è già ota a Euclide, che e dà ua dimostrazioe per assurdo Teorema: L isieme dei umeri primi è ifiito Dim: Dimostriamo per assurdo: suppoiamo che l isieme dei umeri primi sia fiito e idichiamo co I questo isieme: I = { 2,3,,7,, p }, dove p è il umero primo più grade di tutti Moltiplichiamo tra loro questi umeri e aggiugiamo 1 al risultato Otteiamo così il umero: N = 2 3 p + 1 Questo umero o è divisibile per 2 perché la sua espressioe ci dice che dividedolo per 2 si ottiee come resto 1 (si tega presete il teorema del quoziete e del resto e del fatto che N = 2 k + 1 dove k = 3 p) Aalogamete N o è divisibile per 3 (si avrebbe come resto 1) e o è divisibile per ogi umero dell isieme I Questo è assurdo perché N (o apparteedo a I e o essedo quidi primo) deve essere rappresetabile come prodotto di fattori primi e quidi deve essere divisibile per uo dei umeri 1, 3,, p L assurdo asce dall aver supposto che I comprede tutti i umeri primi Proprietà Se p è u umero primo e a, b soo umeri iteri diversi da 0, allora (1) p a b ( ) p a oppure p b Questa proprietà caratterizza i umeri primi, ossia vale ache viceversa: se per ogi coppia di umeri iteri a, b diversi da 0 vale la (1), allora p è primo Osservazioe: Se p o è primo, (1) o è vera: per esempio 6 ( 1 4), ma 6 o è divisore di 1 é di 4 Teorema fodametale dell aritmetica: Ogi aturale N 2 si decompoe i uo e u solo modo (a meo dell ordie dei fattori) come prodotto di umeri primi 3 Esempio: 168 = Il umero dei divisori di u umero itero Se N è u umero itero maggiore di 1, idichiamo co d (N) il umero dei divisori di N (iclusi 1 e N) Per esempio, d ( 12) = 6 ; ifatti, i divisori di 12 soo 1, 2, 3, 4, 6, 12, i tutto sei Vediamo come si calcola d (N) U umero aturale N 2 è prodotto di poteze di umeri primi: N r2 r3 r = 2 3 dove figurao soltato i fattori p r p i cui l espoete r p è maggiore di zero; sarà quidi p r p 2

3 N r 1 r 2 p1 p2 = p p per certi umeri primi p 1,, p h e altrettati espoeti positivi r p1,, r ph U umero m è divisore di N se si può fattorizzare m co gli stessi fattori primi di N o soltato alcui di essi, ma essu altro, co espoeti miori o uguali di quelli che appaioo ella fattorizzazioe di N; vale a dire che u divisore di N è: i cui, per 0 i h, s pi r h p m = p 1 s p1 p 2 s p2 p 3 s p3 p h s p h p h è u umero itero tale che 0 s pi r pi Per ciascu fattore primo p i ci soo duque r pi +1 modi di scegliere il corrispodete espoete per otteere u divisore di Segue duque che Esempio: quati soo i divisori del umero 72? d ( N) = ( rp + 1) ( r + 1) ( + 1) 1 p r 2 ph Sapedo che 72 = , i divisori di 72 si otterrao moltiplicado il 2 co gli espoeti da 0 a 3 (quattro possibilità) e il 3 co gli espoeti da 0 a 2 (tre possibili scelte), quidi i tutto i divisori soo 3 4 = 12 = d(72) Ifatti, 72 è divisibile per 1= , 2= , 3= , 4= , 6= , 8= , 9= , 12= , 18= , 24= , 36= , 72= cioè ha 12 divisori Massimo comu divisore e miimo comue multiplo Defiizioe: dati a, b N0, si dice massimo comu divisore di a e b il umero aturale d tale che: - d è divisore di a e b - ogi divisore comue di a e b è miore o uguale a d Osservazioe: idicheremo d co (a, b) Defiizioe: dati a, b N0, si dice miimo comue multiplo di a e b il umero aturale m 0 tale che: - m è multiplo di a e b - ogi multiplo comue 0 di a e b è maggiore o uguale a m Osservazioe: idicheremo co [a, b] il miimo comue multiplo di a e b Per la determiazioe di (a, b) è possibile usare il procedimeto di Euclide che deriva dalla validità dei segueti euciati: assegati due umeri a e b (suppoedo a b), eseguedo la divisioe euclidea, siao q e r rispettivamete il quoziete e il resto, cioè a=bq+r (dove 0 r<b) (*), allora: 1 u itero d che sia divisore di a e b è divisore ache di r; 2 u itero d che sia divisore di b e di r è divisore ache di a Dimostrazioe1: se d divide a allora a = d a e se d divide b allora b = d b Sostituedo ella (*) si ottiee d a = d b q+r e ricavado r: r = d a d b q = d (a -b q) Questa relazioe mostra che d divide r Dimostrazioe 2: se d divide b allora b = d b e se d divide r allora r = d r Sostituedo ella (*) si ottiee: a= d b q+d r = d (b q+r ) Questa relazioe mostra che d divide a 3

4 I base alla dimostrazioe appea fatta, per trovare il MCD tra a e b si procede el seguete modo: si divide a per b e se il resto della divisioe è zero, si prede b = (a, b) se il resto è diverso da zero, si cosidera (a, b) = (b, r) [i pratica (a, b) = (b, a mod b)] si divide ora b per r e se il resto r è zero, r è il umero cercato se r è diverso da zero, si cerca il MCD della coppia r, r cioè (b, r) = (r, r ) La ricerca termia quado si trova per la prima volta il resto della divisioe uguale a zero Questo procedimeto prede il ome di procedimeto di Euclide o delle divisioi successive Esempi: (72,22)=2 Ifatti: 72= = = =2 2+0 quidi (72,22)=2 (123,27)=1 (12,6)=6 Quado due umeri hao come MCD 1, si dicoo primi tra loro (oppure coprimi), cioè i umeri 123 e 27 soo primi tra loro Proprietà: si potrebbe dimostrare che (a, b) [a, b] = a b ( ) Osservazioe: se è ota la fattorizzazioe del umero i umeri primi, la ricerca del MCD e del mcm è semplice: per il mcm si moltiplicao tutti i fattori comui e o comui co il massimo espoete; per il MCD si moltiplicao tutti i fattori i comue co il più piccolo espoete (si cosideri uguale a zero l espoete dei fattori che o compaioo) Esempio: 72 = = 2 11 Quidi (72,22)=2 3 2 [72,22]= =792 Si osservi che (72,22) [72,22] = 184 = (cioè la proprietà ( )) Teorema: per ogi M>0 si possoo trovare M umeri cosecutivi essuo dei quali sia primo Dimostrazioe: è sufficiete cosiderare: M (M+1)+2 divisibile per M (M+1)+3 divisibile per M (M+1)+ (M+1) divisibile per (M+1) Osservazioe: Il umero M (M+1) = (M+1)! si chiama fattoriale del umero (M+1) ed è uguale al prodotto tra M+1 e tutti i umeri iteri positivi che lo precedoo (!=1 2 =120) Esempio: per scrivere 11 umeri cosecutivi tutti composti è possibile cosiderare: = 12!+2 = che è divisibile per = 12!+3 = che è divisibile per 3 4

5 = 12!+12 = che è divisibile per 12 Teorema di Bézout Dati due umeri a e b, sia d il loro MCD (idichiamo d = (a, b)); allora esistoo,m Ζ tali che: ma + b = d Esempio: sia a = 44 e b= 13, d (44,13) =1; come si calcolao m e? Metodo delle divisioi successive 44 = [ 13 ] 3+ [ ] 13 = [ ] 2 + [ 3] = [ 3 ] 1+ [ 2] [ 3 ] = [ 2] 1+ 1 Toro idietro co i resti partedo dall ultima uguagliaza: 1 = = 3- (-3 1) 1 = 3 2-1= 2 (13-2) - = (-)+2 13= ( ) (-)+2 13= 44 (-)+13 (17) =1 Quidi m= - =17 Ifatti = = 1 ESERCIZI DIVISIBILITA CON SOLUZIONE 1) Quati iteri si possoo scegliere al massimo fra 2 e 20 (estremi compresi) i modo che siao a due a due primi tra loro? Soluzioe: prediamo i umeri primi e precisamete 2, 3,, 7, 11, 13, 17, 19 quidi abbiamo 8 scelte possibili 2) Si cosiderio i umeri aturali di 3 cifre tali che verificao la seguete proprietà: le cifre di soo tre umeri cosecutivi i qualuque ordie (ad esempio 43 oppure 879) Quati di questi umeri soo primi? Soluzioe: essuo perché la somma di tre umeri cosecutivi è sempre multipla di 3 Ifatti, siao x-1, x, x+1 i tre umeri cosecutivi che soo le tre cifre di La somma sarà (x-1) + x + (x+1) = 3x cioè è u multiplo di 3 3) Qual è il più piccolo umero itero positivo che possiede esattamete 1 divisori? Soluzioe: il umero sarà =144 4) Trovare i due divisori di compresi tra 60 e 70 Soluzioe: usado i prodotti otevoli si ha: = (2 + 1)(2 1) = (2 + 1)(2 + 1)(2 1) = ( )( )(2 essedo = 6 e = 63 si ottegoo 63 e 6 come soluzioi 6 + 1)(2 ) Qual è il più grade itero positivo per il quale è divisibile per +10 Soluzioe: eseguedo la divisioe si ottiee come resto -900 e come quoziete Ifatti, 6 1)

6 Quidi si ha = ( ) (+10) 900 quidi il umero sarà divisibile per (+10) se 900 è multiplo di +10 Per avere il più grade positivo sarà proprio 900 = +10 cioè = 890 6) Trovare tutti i umeri a e b tali che a 2 4b 2 = 4 Soluzioe: a 2 4b 2 = (a 2b)(a + 2b) = 4 I divisori di 4 soo: d (4) = 6, cioè 4 ha 6 divisori Quidi il 4 si potrà otteere come prodotto di 1 per 4, di 3 per 1, di per 9, cioè si avrà a 2b = 1 a 2b = 3 a 2b = oppure oppure a + 2b = 4 a + 2b = 1 a + 2b = 9 che foriscoo le tre coppie di soluzioi: (23,11) (9,3) e (7,1) 7) Per quale valore di l espressioe è u umero primo? Soluzioe: fattorizzado il triomio si ottiee = ( 2)( 12) quidi per essere u umero primo uo dei due fattori deve essere 1 oppure 1 Nel primo caso si ha 2 = 1 quidi = 3 che dà come risultato 9 (o accettabile) e 12 = 1 quidi = 13 che dà come risultato 11 (umero primo) Nel secodo caso si ha 2 = 1 cioè = 1 che dà come risultato 11 e 12 = 1 cioè = 11 che dà come risultato 9 (o accettabile) Le soluzioi soo quidi = 1, 13 8) I umeri a e b soo iteri positivi Qual è il miimo valore di a + b affiché 21ab 2 e 1ab siao etrambi quadrati perfetti? Soluzioe: Se 21ab 2 è u quadrato, ache 21a deve essere u quadrato Poiché 21 a = 3 7a e i u quadrato tutti gli espoeti dei fattori primi devoo essere pari, a cotiee i fattori 3 e 7 quidi il valore miimo di a che rede 21a u quadrato è proprio 21 Per quato riguarda 1ab sostituedo a = 21 e fattorizzado si ha b quidi il miimo valore di b che lo rede u quadrato è b = 7 = 3 Allora a + b = ) Per quati valori dell itero positivo l espressioe è u itero positivo? Soluzioe: si ha = = + quidi l espressioe sarà u itero positivo per i valori di tali che + 7 divide 8 Essedo 8 = 2 29, poiamo: + 7 = 2, che restituisce la soluzioe o accettabile = ( deve essere positivo); + 7 = 29, cioè = 22; + 7 = 8, cioè = 1 Quidi le soluzioi soo due: 22 e 1 10) Determiare tutti gli iteri tali che sia u umero primo Soluzioe: = ( 2 + 2) = ( ) ( ) Il umero ( ) è 6

7 sicuramete maggiore di 1, quidi, affiché il umero sia primo, deve essere = 1 Questo si ha solo per = 1, che restituisce ifatti il umero =, cioè u umero primo 11) Siao a, b, c tre umeri positivi, dispari, distiti e miori di 100 Quato può essere al massimo il loro massimo comu divisore? Soluzioe: se d è il MCD di a, b, c, deve essere a = xd, b = yd e c = zd, co x, y, z tutti dispari e distiti I più piccoli valori di x, y, z, soo 1, 3, e poiché c = d < 100, d sarà 19 (cui corrispodoo a = 19, b = 7, c = 9) 12) U umero è composto da 77 cifre tutte uguale a 7 Qual è il resto della divisioe di questo umero per 101? Soluzioe: cosiderado che 77 (101) = 77 (100+1) = = 7777 si può cocludere che 7777 è multiplo di 101 Il umero di 77 cifre tutte uguali a 7 si può scrivere come somma: quidi il resto ella divisioe per 101 è 7 13) Dimostrare che (a, a+1) = 1, (2a, 2a+2) = 2, (a+b, b) = (a, b), (a+3b, 13a+8b) = (a, b) (dove al solito (x, y) idica il massimo comu divisore dei umeri x e y) Soluzioe: le prime tre uguagliaze si ottegoo baalmete dall algoritmo di Euclide (eseguedo la divisioe tra i due umeri e cosiderado il resto ) L ultima si ottiee sempre applicado l algoritmo di Euclide e cioè eseguedo le divisioi segueti: 13a+8b = (a+3b) 2 + (3a+2b) a+3b = (3a+2b) 1 + (2a+b) 3a+2b = (2a+b) 1 + (a+b) 2a+b = (a+b) 1 + a, dalla quale si deduce che il MCD cercato è (a+b, a) = (a, b) (come risulta dalla terza relazioe) Quidi (a+3b, 13a+8b)= (a, b) Equazioi diofatee 7

8 U equazioe diofatea è u equazioe algebrica a coefficieti iteri i ua o più icogite di cui si cercao soluzioi itere 1 Equazioi diofatee di primo grado a) I due icogite Cosideriamo l equazioe 123 x + 7 y = 8 (1) Il luogo dei puti del piao di coordiate x e y descritto dalla (1) è ua retta Cerchiamo, se esistoo, soluzioi x, y della (1) itere, cioè puti sulla retta che abbiao etrambe le coordiate itere I tale caso i coefficieti 123 e 7 soo etrambi divisibili per 3, quidi il membro di siistra dell equazioe è divisibile per 3, per ogi valore itero di x e y Ivece il membro di destra è 8, che o è divisibile per 3 Quidi o esistoo soluzioi itere della (1) Più i geerale, cosideriamo l equazioe diofatea ax + by = c, (2) co a, b, c umeri iteri U equazioe di questa forma si dice di primo grado Se questa equazioe possiede soluzioi, ogi umero d che divida [1] sia a che b, deve dividere ache c I particolare, questo deve valere per il più grade tra i divisori comui di a e b, cioè per il loro massimo comu divisore, idicato geeralmete co (a, b) Abbiamo quidi scoperto che, affiché l equazioe (2) abbia soluzioe, è ecessario che c sia u multiplo di (a, b) [1 Si dice che u umero d divide a se a è u multiplo itero di d; i formula a = qd, co q itero] Modifichiamo l equazioe (1) affiché possa avere soluzioi Cosideriamo ad esempio 123 x + 7 y = 9 (3) Dato che (123, 7) = 3 e 9 è u multiplo di 3, questa equazioe può avere soluzioi Per vedere se effettivamete e ha, è utile il seguete teorema: TEOREMA DI BEZOUT Se A, B soo iteri e (A, B) è il loro massimo comu divisore, allora esistoo due iteri h, k tali che ha + kb = (A, B) Il Teorema di Bezout garatisce che esistoo due iteri h, k tali che 123h + 7k = 3; moltiplicado questa equazioe per 3, troviamo che x = 3h e y = 3k soo ua soluzioe della (3) Il problema si riduce quidi a dimostrare il teorema di Bezout, co ua dimostrazioe che forisca u metodo per calcolare h e k, basata sul seguete algoritmo: L Algoritmo di Euclide Dati due iteri positivi a, b, l algoritmo di Euclide determia il loro massimo comu divisore (a, b) Si basa sulla divisioe co resto di umeri iteri Applichiamo l algoritmo el ostro caso, cioè agli iteri a = 123 e b = 7 Iiziamo co lo scrivere la divisioe co resto del più grade tra i due per il più piccolo: il 7 el 123 ci sta 2 volte e resta 9, i formula: 123 = Nel caso geerale (suppoedo a maggiore di b): a = q b + r, dove q è il quoziete della divisioe e r il resto, ossia u itero compreso tra 0 e b 1 L idetità appea scritta mostra che se u itero d divide sia a che b, deve dividere ache r (ifatti r = a q b) Aalogamete, se u itero d divide sia b che r, deve dividere ache a Quidi u umero è divisore comue di a e b se e solamete se è divisore comue di b e r Applicado questo ragioameto al più grade dei divisori comui, deduciamo che (a, b) = (b, r), quidi ci siamo ricodotti a trovare il massimo comu divisore tra b e r, operazioe più semplice, visto che si tratta di due umeri più piccoli dei precedeti Ioltre l argometo si può iterare, co b, r al posto di a, b 8

9 Nel ostro caso, abbiamo che (123, 7) = (7, 9), e ripetedo la divisioe co resto co questi uovi umeri troviamo: 7 = , e proseguedo allo stesso modo 9 = L algoritmo è cocluso quado ua divisioe o ha resto; ifatti, elle divisioi successive i resti dimiuiscoo, quidi prima o poi deve comparire il resto 0 Dalle cosiderazioi fatte sopra sappiamo che (123, 7) = (7, 9) = (9, 3) = (3, 0) = 3, quidi il MCD tra 123 e 7 è 3, cioè l ultimo resto o ullo geerato dall algoritmo di Euclide Ovviamete il MCD di due umeri si può trovare ache fattorizzadoli, ma i preseza di umeri molto gradi è molto difficile, metre l algoritmo di Euclide è piuttosto veloce L algoritmo di Euclide è iteressate o tato come metodo per determiare il MCD, ma perché riscrivedo i passaggi al cotrario è possibile risalire agli iteri h e k del Teorema di Bezout Riscriviamo di seguito i passaggi dell algoritmo, tralasciado l ultimo: (P1) 123 = (P2) 7 = Il ostro scopo è scrivere 3 come combiazioe itera di 123 e 7, cioè come somma dei umeri 123 e 7 moltiplicati per opportui coefficieti iteri Dalla secoda equazioe possiamo scrivere 3 come combiazioe itera di 7 e 9 Dalla prima possiamo ricavare 9 come combiazioe itera di 123 e 7 Mettedole isieme, troviamo 3 come combiazioe itera di 123 e 7 Vediamo i passaggi (vicio ad alcue delle uguagliaze è idicata la riga dell algoritmo di Euclide utilizzata): 3 = (P2) = (P1) 7 6 ( ) = I coclusioe, 3 = , (4) quidi el ostro caso i coefficieti di Bezout soo h = 6 e k = 13 Soluzioe geerale Moltiplicado per 3 l uguagliaza (4) forita dal Teorema di Bezout, troviamo che x* = 18, y* = 39 è ua soluzioe dell equazioe (3) Vediamo se ve e soo altre e, i caso affermativo, determiiamole Se facciamo la sostituzioe x = x* + x = 18 + x, y = y* + y = 39 + y, il primo membro dell equazioe (3) diveta 123x + 7y = 123(x* + x ) + 7(y* + y ) = 123x* + 7y* + 123x + 7y = x + 7y, dove abbiamo usato il fatto che x*, y* è ua soluzioe Questa espressioe deve essere uguale a 9, quidi troviamo che le uove icogite x, y devoo risolvere l equazioe 123 x + 7 y = 0 Poiché a secodo membro c è lo zero, è semplice determiare le soluzioi itere di questa equazioe Ifatti, ricaviamo la y i fuzioe della x : y' = x' = x' 7 19 dove abbiamo ridotto la frazioe i modo da avere umeratore e deomiatore primi tra loro Il fatto che 41 e 19 siao primi tra loro implica che y è u itero se e solamete se x è u multiplo di 19 (questo è l uico modo per semplificare il deomiatore) Quidi x = 19, dove è u itero arbitrario, da cui ricaviamo y = 41 Cocludiamo che le soluzioi di (3) soo esattamete le coppie x, y della forma x = , y = 39 41, al variare di fra tutti gli iteri Geometricamete, si tratta dei puti sulla retta di equazioe 123x + 7y = 9 otteuti partedo dal puto ( 18, 39) e facedo passi di lughezza 19 verso destra (rispettivamete, verso siistra) e passi di lughezza 41 verso il basso (rispettivamete, verso l alto) VERIFICA: 123( ) + 7(39 41 ) = = 9 Riassuto: L equazioe diofatea di primo grado ax + by = c, () 9

10 co a, b, c iteri, possiede soluzioi se e solamete se c è u multiplo di (a, b) I questo caso, posto c = (a, b) q, si usa l algoritmo di Euclide per trovare le soluzioi h, k di ha + kb = (a, b), e si ha che x* = qh, y* = qk è ua soluzioe particolare di () Tutte le soluzioi soo date dalla formula b a x= x* +, y= y*, ( ab, ) ( ab, ) al variare di tra tutti gli iteri Esercizio 1 Risolvere, se è possibile, le segueti equazioi diofatee: 3x + 6y = 22, 7x + 11y = 13, 3x 4y = 29, 11x + 12y = 8, 13x 34y = 1 b) I tre icogite Cosideriamo l equazioe diofatea lieare i tre icogite ax + by + cz = d (6) dove (a, b, c) divide d [Ricorda: (a, b, c) = MCD (a, b, c)] Sotto la codizioe scelta, la (6) è risolvibile; determiiamo le sue soluzioi associadole due equazioi diofatee lieari ciascua i due icogite: ax + (,) b c x = d, (6) by1+ cy2 = (,) b c (6) 2 Essedo (a, (b, c)) = (a, b, c), la (6) è risolvibile se e solo se la (6 1 ) lo è Ioltre, abbiamo già trovato * * che, se x1, x 2 è ua soluzioe di (6 1 ), allora tutte le sue soluzioi soo del tipo: * (,) bc * a x = 1 x + 1 t, x2 x2 t, ( abc,, ) = ( abc,, ) al variare di t i Z * * Ma ache (6 2 ) è sempre risolvibile; sia y1, y 2 ua sua soluzioe; allora si può dimostrare che tutte le soluzioi di (6) soo del tipo: * (,) bc x= x1 + t, ( abc,, ) * * * a c y = y1x2 y1 t+ s, al variare di t, s i Z ( abc,, ) ( bc, ) * * * a b z = y2x2 y2 t s, ( abc,, ) ( bc, ) Esempio Determiiamo tutte le soluzioi dell equazioe diofatea x + 2y + 3z = 4 Poiché (1, 2, 3) = 1 e 1 divide 4, l equazioe è risolvibile Cosideriamo le segueti due equazioi diofatee lieari i due idetermiate: x 1 + (2, 3) x 2 = 4, ovvero x 1 + x 2 = 4, e 2y 1 +3y 2 = 1 Notiamo istataeamete che (4, 0) è ua soluzioe della prima equazioe e ( 1, 1) ua soluzioe della secoda; pertato le soluzioi dell equazioe data soo: x= 4 + t, y = t+ 3, s al variare di t, s i Z z = t 2, s Ad esempio, per s = t = 0, abbiamo (4, 0, 0); per s = 0 e t = 1, (, 1, -1); per s = 1 e t = 0, (4, 3, -2) Esercizio 2 Risolvere, se è possibile, le equazioi diofatee 3x + 12y 9z = 1, 6x 4y +8z = 12 10

11 2 Equazioi diofatee di secodo grado Per quato riguarda le equazioi diofatee di secodo grado, e più i geerale di grado superiore al primo, purtroppo, a differeza del primo grado, o esistoo metodi geerali di risoluzioe; si può ricorrere a teciche e a trucchi per risolvere casi particolari Elimiazioe di u icogita Cosideriamo l equazioe diofatea 2x 2 xy 9x + y = 0 (7) È u equazioe di secodo grado i cui l icogita y compare solo al primo grado Quidi possiamo facilmete ricavare la y i fuzioe della x: ( x) y = 2x 2 + 9x 2001, da cui 2 x² 9x y = (8) x Facciamo ora la divisioe co resto del poliomio al umeratore co il poliomio al deomiatore, otteedo: 2x 2 9x = (2x + 1)(x ) Dalla (8) ricaviamo quidi 2 x² 9x (2x+ 1)( x ) y= = + = 2x+ 1 + x+ x x x (9) Poiché x è u itero, la (9) forisce u valore itero per y se e solo se x divide 2006 Determiiamo tutti i divisori di 2006 Dato che 2006 = , i divisori di 2006 soo ±1, ±2, ±17, ±34, ±9, ±118, ±1003, ±2006 Perciò x deve assumere uo dei 16 valori elecati sopra, da cui x deve assumere uo dei 16 valori segueti: 2001, 998, 113, 4, 29, 12, 3, 4, 6, 7, 22, 39, 64, 123, 1008, 2011 Ricaviamo ifie la y dalla (9) e cocludiamo che l equazioe (7) ha esattamete 16 soluzioi, ossia x y Esercizio 3 Trovare le soluzioi itere delle equazioi diofatee segueti: 3x 2 + xy 2x + y + 7 = 0, y 2 xy + x + 1 = 0, (x + 1)(y + 1) = 2xy Puti razioali su ua coica Si dice coica il luogo degli zeri di u poliomio di secodo grado elle variabili x, y Le coiche più famose soo l iperbole, la parabola e l ellisse (la circofereza è ua particolare ellisse) Vi soo però ache i casi degeeri, i cui la coica è vuota (ad esempio x 2 + y 2 = 1) o si riduce a u solo puto (ad esempio x 2 + y 2 = 0), o è ua retta (ad esempio x 2 = 0), o l uioe di due rette (ad esempio xy = 0) Cosideriamo la circofereza di cetro O (0, 0) e raggio 1, descritta dall equazioe x 2 + y 2 = 1 (10) Le soluzioi itere di questa equazioe soo ovviamete solo le coppie (1, 0), (0, 1), ( 1, 0), (0, 1) Vogliamo determiare tutte le soluzioi razioali di (10), ossia l isieme dei puti (x, y) aveti per ascissa x e per ordiata y due frazioi Procediamo così: fissiamo u puto razioale sul cerchio, ad esempio ( 1, 0), e tracciamo la retta passate per questo puto di coefficiete agolare t Questa retta itersecherà il cerchio i u secodo puto (x, y), oltre a ( 1, 0) Dimostriamo che se t è u umero razioale, allora (x, y) ha coordiate razioali Ifatti, l ascissa di questo secodo puto d itersezioe è soluzioe di u poliomio di secodo grado i cui coefficieti soo razioali (dipedoo dai coefficieti dell equazioe (10) e da t) 11

12 I geerale, u poliomio di secodo grado co coefficieti razioali o ha radici razioali, perché ella formula risolutiva compare ua radice quadrata Nel ostro caso però sappiamo che x = 1 è soluzioe (poiché ( 1, 0) è u itersezioe), quidi, per il Teorema di Ruffii, il poliomio i questioe è divisibile per x + 1 Effettuado la divisioe tra poliomi a coefficieti razioali si ottiee u poliomio a coefficieti razioali, che i questo caso è u poliomio di grado uo a coefficieti razioali, che pertato ha ua radice razioale D altra parte, tutti i puti razioali sul cerchio si trovao i questo modo Ifatti, se (x, y) è u puto razioale sul cerchio diverso da ( 1, 0), allora la retta y passate per ( 1, 0) e per (x, y) ha coefficiete agolare, che è u umero razioale x + 1 Questo ragioameto ha validità geerale: se C è ua coica, tutti puti razioali su C si trovao fissado u qualuque puto razioale P e idividuado le secode itersezioi di C co ua qualuque retta passate per P e avete coefficiete agolare razioale Vediamo di attuare quato detto el caso dell equazioe (10), avedo fissato il puto ( 1, 0) Si tratta x² + y² = 1 di trovare le soluzioi del sistema (11) y = t( x + 1) Sostituedo l espressioe per y dalla secoda equazioe ella prima otteiamo x 2 + t 2 (x + 1) 2 = 1, ossia (1 + t 2 )x 2 + 2t 2 x + t 2 1 = 0 (12) Sappiamo già che x = 1 è soluzioe di questa equazioe, quidi il poliomio sopra è divisibile per x + 1 Ifatti, (1 + t 2 ) x 2 + 2t 2 x + t 2 1 = (x + 1) ((1 + t 2 ) x + t 2 1) Perciò l altra soluzioe di (12) è soluzioe di (1 + t 2 ) x + t 2 1 = 0, cioè 1 t² x = 1 + t² Sostituedo questo valore di x ella secoda equazioe del sistema (11), troviamo 2t y = 1 + t² Cocludiamo che tutti i puti razioali sul cerchio soo quelli della forma (x, y) = 1 t ², 2 t 1 + t² 1 + t², (13) al variare di t tra tutti i umeri razioali Si osservi che questa è la parametrizzazioe del cerchio che si θ trova associado a u puto P sul cerchio il umero t = ta 2, dove θ è l agolo AOP, ˆ co A= (1, 0) Esercizio 4 Determiare i puti razioali sull iperbole di equazioe x 2 y 2 = 1, e sull ellisse di equazioe x² y² + = 1 a² b² dove a, b soo umeri razioali o ulli Tere pitagoriche 12

13 Ua delle equazioi diofatee più famose è: a 2 + b 2 = c 2, (14) come equazioe elle icogite a, b, c Per il Teorema di Pitagora, le soluzioi itere e positive di questa equazioe soo le tere (a, b, c) per cui esiste u triagolo rettagolo di cateti a, b e d ipoteusa c Per questo motivo, tali tere si dicoo tere pitagoriche: corrispodoo ai triagoli rettagoli co tutti i tre lati iteri Mostriamo come la coosceza dei puti razioali sul cerchio permetta di determiare tutte le possibili tere pitagoriche Iiziamo co l osservare che se (a, b, c) è ua tera pitagorica co u fattore comue d, allora la tera (a/d, b/d, c/d) è acora pitagorica Quidi è sufficiete determiare tutte le tere pitagoriche primitive, ossia quelle per cui il massimo comu divisore tra a, b, c è 1; tutte le altre si otterrao moltiplicado i tre umeri di ua tera primitiva per lo stesso itero positivo Se poiamo a b x=, y =, c c e dividiamo l equazioe (14) per c 2, troviamo l equazioe x 2 + y 2 = 1 Ci iteressao quidi le soluzioi razioali di questa equazioe, che per quato visto prima soo date dalla formula (13) Scrivedo il umero razioale t i (13) come t = m/, co m, iteri primi tra loro, otteiamo a ² ² 2 x= = m, y = b = m (1) c ² + m² c ² + m² Sia p u umero primo diverso da 2 che divide sia 2m che 2 + m 2 Dato che p 2 divide 2m, ecessariamete divide almeo uo tra m e Ma dovedo dividere ache 2 + m 2, divide ache il quadrato dell altro, e quidi l altro Questo cotraddice il fatto che m, fossero primi tra loro Quidi i umeri 2m e m hao al più il fattore 2 i comue, e questo avviee se e solamete se e m soo etrambi dispari (o possoo essere etrambi pari, essedo primi tra loro) Cosideriamo il caso i cui m e abbiao parità diversa Allora se (a, b, c) è ua tera di iteri positivi co MCD = 1 che verifica (14), ecessariamete a = 2 m 2, b = 2m, c = 2 + m 2 Se ivece e m soo etrambi dispari, (1) implica ² m² ² + m² a=, b= m, c= 2 2 Ma essedo umeri dispari, = 2k + 1 e m = 2h 1, da cui a = 2(k + h)(k h + 1), b = (k + h) 2 (k h + 1) 2, c = (k + h) 2 + (k h + 1) 2 Dato che k + h e k h + 1 hao parità diversa, questo caso si riduce al precedete, ma si è scambiato a co b Cocludiamo che le tere pitagoriche (a, b, c) co massimo comu divisore 1 soo tutte e sole le tere a = 2 m 2, b = 2m, c = 2 + m 2, co > m iteri positivi primi tra loro, di parità diversa, e le tere otteute scambiado a co b ESERCIZI EQUAZIONI DIOFANTEE CON SOLUZIONI 13

14 1 Determiare tutte le coppie (x, y) di umeri iteri che 7x y = 2 x= 4+ co it ero Risposta: y = SOLUZIONE Il problema cosiste el trovare tutte le soluzioi itere di 7x y = 2 (1) A tale scopo, se applichiamo l algoritmo di Euclide alla coppia (7, ), otteiamo: (I) 7 = quidi (I ) 2 = 7 1 (II) = quidi (II ) 1 = 2 2 (III) 2 = A questo puto riusciamo a esprimere 1 come combiazioe itera dei umeri 7 e el modo seguete: 1 = 2 2 = 2 (7 1) = Abbiamo quidi trovato che: 7 ( 2) + 3 = 1 e quidi, moltiplicado ambo i membri per 2, otteiamo 7 ( 4) + 6 = 2 cioè ( 4, 6) è ua soluzioe di (1) Per trovare tutte le soluzioi itere di (1), osserviamo che, prese due qualsiasi coppie di iteri (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) che la soddisfio, si avrà (ovviamete) che 7x 1 y 1 = 2 e 7x 2 y 2 = 2, quidi, sottraedo membro a membro, si otterrà: 7 (x 1 x 2 ) (y 1 y 2 ) = 0 Detto i altre parole, se (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) soo etrambe soluzioi di (1), allora la loro differeza è ua soluzioe itera dell equazioe diofatea 7x y = 0 (2) Ciò sigifica che per trovare tutte le soluzioi itere di (1) basterà trovare ua sola (x 0, y 0 ), dopodiché tutte le altre si troverao aggiugedo a (x 0, y 0 ) ua soluzioe di (2) Notiamo che se (x, y ) è ua soluzioe di (2), si avrà 7x = y, ed essedo 7 e primi tra loro, ecessariamete x sarà u multiplo di e y u multiplo di 7 Di cosegueza le soluzioi di (2) soo tutte e sole le coppie (x*, y*) del tipo: x* = (3), co itero y* = 7 Ifie, le soluzioi di (1) soo tutte e sole le coppie (x, y) tali che x = 4 + (4), co itero y = [VERIFICA: 7( 4+) ( 6+7) = = 2 (cvd)] 2 Quate soo le tere ordiate (a, b, c) di iteri positivi verificati l equazioe a 2 + b 2 + c 2 = 110? Risposta: 3 SOLUZIONE Notiamo iazitutto che a, b, c o possoo essere tutti pari, poiché la somma dei quadrati dei umeri pari compresi tra 1 e 10 o dà come risultato 110 Quidi si può avere solo il caso i cui u umero è pari e gli altri due soo dispari Sia c pari; allora a² + b² = 110 c², ma essedo il più grade quadrato di u umero pari, prossimo a 110, 100, si avrà: = 10 = = 1² + 3² I tera soluzioe (1, 3, 10) Ora procediamo utilizzado i quadrati dei pari più piccoli di 100: = 46, che però o è possibile esprimere come somma di due quadrati di umeri dispari; = 74 = = ² + 7² II tera soluzioe (, 6, 7); = 94, che però o è possibile esprimere come somma di due quadrati di umeri dispari; = 106 = = ² + 9² III tera soluzioe (2,, 9) 14

15 I totale le tere soo quidi 3 3 Determiare tutte le soluzioi dell equazioe 1x 21y + 9z = 3 Risposta: x= t; y= 1+ t+ 3 s; z = 2+ 10t+ 7 s SOLUZIONE Poiché (1, 21, 9) = 3 e 3 divide 3, l equazioe è risolvibile Cosideriamo le segueti due equazioi diofatee lieari i due idetermiate: 1x 1 + (21, 9) x 2 = 3, ovvero x 1 + x 2 = 1, e 21y 1 + 9y 2 = (21, 9), ovvero 7y 1 + 3y 2 =1 Notiamo istataeamete che (0, 1) è ua soluzioe della prima equazioe e (-1, -2) ua soluzioe della secoda; pertato le soluzioi dell equazioe data soo: x = t, y = 1+ t+ 3 s, z = 2+ 10t+ 7 s, al variare di t, s i Z Ad esempio, per s = t = 0, abbiamo (0, -1, -2); per s = 0 e t = 1, (1, 4, 8); per s=1 e t = 0, (0, 2, ) 4 Data l equazioe 4x² + 6x + 2xy y + 13 = 0, determiare il valore assoluto della somma dei prodotti dei valori soluzioe di x che hao uguali i corrispodeti valori di y Risposta: 14 SOLUZIONE Cosideriamo l equazioe data: -4x 2 + 2xy + 6x y + 13 = 0 Possiamo esplicitarla rispetto a y: 4 x² 6x 13 y = (2x 1) y = 4x 2 6x 13, da cui 2x 1 Facciamo ora la divisioe co resto del poliomio al umeratore co il poliomio al deomiatore, otteedo: 4x 2 6x 13 = (2x 2)(2x 1) 1 Ricaviamo quidi 4 x² 6x 13 (2x 1)(2x 2) 1 1 y= = = 2x 2 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 Poiché x è u itero, la fuzioe sopra forisce u valore itero per y se e solo se 2x 1 divide 1 Determiiamo tutti i divisori di 1 Dato che 1 = 3, i divisori di 1 soo ±1, ±3, ±, ±1 Perciò 2x 1 deve assumere uo degli 8 valori elecati sopra, cioè uo degli 8 valori segueti: 7, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 8 Ricaviamo ifie la y: x y ( 7 1) ( 2 2) ( 1 3) (0 8) La soluzioe al problema è data da: = = = Quate soo le coppie di iteri o egativi x e y che risolvoo 17x + 43y = 9999 Risposta: 14 SOLUZIONE Il problema cosiste el trovare tutte le soluzioi itere di (1) 17x + 43y = 9999 A tale scopo, se applichiamo l algoritmo di Euclide alla coppia (17, 43), otteiamo: (I) 43 = quidi (I ) 9 = (II) 17 = quidi (II ) 8 = (III) 9 = quidi (III ) 1 =

16 A questo puto riusciamo a esprimere 1 come combiazioe itera dei umeri 17 e 43 el modo seguete: 1 = (III ) = (II ) 9 1 (17 1 9) = = (I ) ( ) = Abbiamo quidi trovato che (, 2) è ua soluzioe di (1) e quidi, moltiplicado ambo i membri per 9999, otteiamo: 17 ( 4999) + 43 (19998) = 9999 A questo puto, scrivedo l equazioe omogeea associata alla (1): (2) 17x + 43y = 0, se (x, y ) è ua soluzioe di (2), avremo che 17x = 43y, ed essedo 17 e 43 primi tra loro, ecessariamete x sarà u multiplo di 43 e y u multiplo di 17 Di cosegueza le soluzioi di (2) soo tutte e sole le coppie (x*, y*) del tipo: x* = 43 (3), co itero y* = 17 Ifie, le soluzioi di (1) soo tutte e sole le coppie (x, y) tali che x= co it ero (4) y = [VERIFICA: 17( )+43( ) = = 9999 (cvd)] Per trovare le soluzioi itere o egative, dobbiamo risolvere il sistema: x y I defiitiva abbiamo 14 soluzioi, date dalle coppie segueti: x=14 x=7 x=100 x=143 x=186 x=229 x=272 x=31 x=38 x=401 x=444 x=487 x=30 x=73 y=227 y=210 y=193 y=176 y=19 y=142 y=12 y=108 y=91 y=74 y=7 y=40 y=23 y=6 6 U falegame ha bisogo di misurare ua lughezza di 30 cm, ma ha dimeticato il metro Ha co sé ua tavola che misura 70 cm 0 cm Qual è il umero miimo di misurazioi che deve fare? Risposta: 3 SOLUZIONE: il problema è estremamete semplice, basta ifatti cosiderare che sottraedo 0 cm da 70 cm, si ottiee 20 cm, sottraedo 20 cm da 0 cm si ottiee 30 cm; basta cofrotare la lughezza co quest ultima misura e il gioco è fatto! I alterativa basta risolvere l equazioe diofatea 0x + 70y = 30, che ha per soluzioi x = 2 e y = -1, quidi i totale le operazioi soo tre 7 Ua vecchia sigora ricama 3 tovaglioli al gioro e li cofezioa i scatole da 6 tovaglioli ciascua Qual è il umero miimo di giori che deve lavorare per avere alla fie della giorata esattamete uo i più? Risposta: SOLUZIONE Posto x = umero dei giori, y = umero delle scatole, il problema cosiste el trovare tutte le soluzioi itere di (1) 3x 6y = 1 A tale scopo, se applichiamo l algoritmo di Euclide alla coppia (3, 6), otteiamo: (I) 3 = 6 + quidi (I ) = 3 6 (II) 6 = quidi (II ) 1 = 6 1 A questo puto riusciamo a esprimere 1 come combiazioe itera dei umeri 3 e 6 el modo seguete: 16

17 1 = (II ) 6 1 = (I ) 6 1 (3 6) = Abbiamo quidi trovato che: 3 ( 1) = 1 A questo puto, scrivedo l equazioe omogeea associata alla (1): (2) 3x 6y = 0, se (x, y ) è ua soluzioe di (2), avremo che 3x = 6y, ed essedo 3 e 6 primi tra loro, ecessariamete x sarà u multiplo di 6 e y u multiplo di 3 Di cosegueza le soluzioi di (2) soo tutte e sole le coppie (x*, y*) del tipo: x* = 6 co it ero (3) y* = 3 Ifie, le soluzioi di (1) soo tutte e sole le coppie (x, y) tali che x= 1+ 6 co it ero (4) y = [VERIFICA: 3( 1+6) 6( 6+3) = = 1 (cvd)] x = Per = 1 abbiamo: y = 29, quidi il umero miimo di giori che la sigora deve lavorare è 8 U veditore acquista 40 rose alla volta per poi rivederle a mazzi di 7 Vorrebbe portare ua a sua moglie seza però fare avazare di più Quate e deve acquistare e quati mazzi deve riuscire a vedere etro la fie della giorata? Risposta: 120 rose e 17 mazzi SOLUZIONE Posto x = umero di rose, y = umero di mazzi, il problema cosiste el trovare tutte le soluzioi itere di (1) 40x 7y = 1 A tale scopo, se applichiamo l algoritmo di Euclide alla coppia (40, 7), otteiamo: (I) 40 = 7 + quidi (I ) = 40 7 (II) 7 = quidi (II ) 2 = 7 1 (III) = quidi (III ) 1 = 2 2 A questo puto riusciamo a esprimere 1 come combiazioe itera dei umeri 40 e 7 el modo seguete: 1 = (III ) 2 2 = (II ) 2(7 1 ) = = (I ) (40 7) = Abbiamo quidi trovato che: = 1 A questo puto, scrivedo l equazioe omogeea associata alla (1): (2) 40x 7y = 0, se (x, y ) è ua soluzioe di (2), avremo che 40x = 7y, ed essedo 40 e 7 primi tra loro, ecessariamete x sarà u multiplo di 7 e y u multiplo di 40 Di cosegueza le soluzioi di (2) soo tutte e sole le coppie (x*, y*) del tipo: x* = 7 (3) y* = 40 co it ero Ifie, le soluzioi di (1) soo tutte e sole le coppie (x, y) tali che x= 3+ 7 (4) y = co it ero [VERIFICA: 40(3+7) 7(17+40) = = 1 (cvd)] 17

18 x = 3 Per = 0 abbiamo: y = 17, quidi il umero di rose che il veditore deve acquistare è 120 e il umero di mazzi che deve vedere è 17 9 Marta ha bisogo di pesare 330 g di faria per fare u dolce, ma o ha ua bilacia a disposizioe Su iteret legge che u cucchiaio di faria corrispode circa a 2 g e u bicchiere di plastica e cotiee 90 g Qual è il umero miimo di operazioi che deve compiere per pesare 330 g di faria? Risposta: 8 SOLUZIONE Posto x = umero di cucchiai, y = umero di bicchieri, il problema cosiste el trovare tutte le soluzioi itere di (1) 2x + 90y = 330, da cui, dividedo tutto per : (1bis) x + 18y = 66 A tale scopo, se applichiamo l algoritmo di Euclide alla coppia (, 18), otteiamo: (I) 18 = quidi (I ) 3 = 18 3 (II) = quidi (II ) 2 = 1 3 (III) 3 = quidi (III ) 1 = A questo puto riusciamo a esprimere 1 come combiazioe itera dei umeri e 18 el modo seguete: 1 = (III ) = (II ) 3 1( 1 3) = = (I ) 1 + 2(18 3 ) = Abbiamo quidi trovato che: = 1 A questo puto, scrivedo l equazioe omogeea associata alla (1bis): (2) x + 18y = 0, se (x, y ) è ua soluzioe di (2), avremo che x = 18y, ed essedo e 18 primi tra loro, ecessariamete x sarà u multiplo di 18 e y u multiplo di Di cosegueza le soluzioi di (2) soo tutte e sole le coppie (x*, y*) del tipo: x* = 18 (3) y* = co it ero Moltiplicado = 1 per 66, otteiamo: = 66 Ifie, le soluzioi di (1) soo tutte e sole le coppie (x, y) tali che x= (4) y = 132 co it ero [VERIFICA: ( )+18(132 ) = = 66 (cvd)] Dobbiamo trovare le soluzioi itere o egative, quidi dobbiamo risolvere il sistema: x ,7 = 26 y ,4 x = 6 Per = 26 abbiamo: y = 2, quidi il umero miimo di operazioi che Marta deve compiere è = 8 18

19 10 Nel piao cartesiao ua pulce parte dall origie e può fare solo salti i orizzotale lughi 17 o 11 (i avati o idietro) e i verticale lughi 41 o 37 (i avati o idietro) Come può arrivare el puto di coordiate (10, 10)? Può farlo co u umero di salti i orizzotale che sia uguale al umero di salti i verticale? Risposta: 40; Sì SOLUZIONE Siao x O, y O i salti orizzotali; x V, y V i salti verticali Deve essere: (1) 17x O + 11y O = 10 e (2) 41x V + 37y V = 10 Risolviamo la (1): applichiamo l algoritmo di Euclide alla coppia (17, 11): (I) 17 = quidi (I ) 6 = (II) 11 = quidi (II ) = (III) 6 = quidi (III ) 1 = 6 1 A questo puto esprimiamo 1 come combiazioe itera dei umeri 11 e 17: 1 = (III ) 6 1 = (II ) 6 1(11 1 6) = = (I ) ( ) = = Moltiplicado l uguagliaza sopra per 10 si ha: = 10 A questo puto, scrivedo l equazioe omogeea associata alla (2): (3) 17x O + 11y O = 0, se (x, y ) è ua soluzioe di (2), avremo che 17x O = 11y O, ed essedo 17 e 11 primi tra loro, ecessariamete x sarà u multiplo di 11 e y u multiplo di 17 Di cosegueza le soluzioi di (2) soo tutte e sole le coppie (x*, y*) del tipo: x* = 11 co it ero (3) y* = 17 Ifie, le soluzioi di (1) soo tutte e sole le coppie (x, y) tali che xo = co it ero (4) Aalogamete, risolviamo la (2): y = applichiamo l algoritmo di Euclide alla coppia (37, 41): (I) 41 = quidi (I ) 4 = (II) 37 = quidi (II ) 1 = A questo puto esprimiamo 1 come combiazioe itera dei umeri 41 e 37: 1 = (II ) = (I ) 37 9( ) = = Moltiplicado l uguagliaza sopra per 10 si ha: = 10 A questo puto, scrivedo l equazioe omogeea associata alla (1): (2) 41x V + 37y V = 0, se (x, y ) è ua soluzioe di (2), avremo che 41x V = 37y V, ed essedo 37 e 41 primi tra loro, ecessariamete x sarà u multiplo di 37 e y u multiplo di 41 Di cosegueza le soluzioi di (2) soo tutte e sole le coppie (x*, y*) del tipo: x* = 37 k co k it ero (3) y* = 41 k Ifie, le soluzioi di (2) soo tutte e sole le coppie (x, y) tali che O 19

20 xv = k (4) yv = k co k it ero Ora costruiamo ua tabella per calcolare come variao le soluzioi al variare di e k: x O y O x + y O O k x V y V x + y V V La pulce arriva i P co 40 salti (6 + 34) corrispodeti a = 2, k=2 Per = 3, k=2, il umero dei salti orizzotali è uguale al umero di salti verticali 20

21 La Struttura Moltiplicativa del gruppo Aalizziamo qualche aspetto collegato alla struttura moltiplicativa degli isiemi Z delle classi di resto modulo Nel seguito idicheremo co le cogrueze modulo Cosideriamo iazitutto il caso i cui = p sia u umero primo; citiamo le defiizioi e i risultati fodametali Teorema di Fermat Siao p primo e a itero o divisibile per p allora a p 1 Corollario Siao p primo e a itero qualsiasi allora p 1 a p a Defiizioe Siao p primo e a itero o divisibile per p allora si defiisce l ordie moltiplicativo di a modulo p come il più piccolo itero positivo tale che a 1 e si scrive: p { 1 a 1} ord p ( a) : = mi p Teorema Siao p primo e a itero o divisibile per p allora ord p ( a) ( p 1) Corollario Siao p primo, a itero o divisibile per p e a 1 allora ord p ( a) Corollario Siao p primo, a itero o divisibile per p e ord p ( a) ( m) p p Z m a p a allora Corollario Siao p primo e a itero o divisibile per p allora esiste u itero tale che a 1 se e solo se ord p (a) è u umero pari Il più piccolo di tali positivi sarà ord p (a) / 2 e p tutti gli altri buoi sarao u multiplo dispari di tale miimo Defiizioe U itero a si dice u geeratore modulo p se ord p ( a) = p 1 Osservazioe Se a è u geeratore modulo p, allora cogrueza modulo p trae la classe ulla 1 2 p 1 a, a,, a rappresetao tutte le classi di Teorema Per ogi umero primo p esiste u geeratore modulo p Teorema Se a è u geeratore modulo p e se k e p 1 soo relativamete primi tra loro, allora soo tutti e soli i geeratori moduli p k a Itroduciamo ora ua fuzioe assai importate i teoria dei umeri: la Φ di Eulero Defiizioe Sia m u itero maggiore di 1, la fuzioe Φ di Eulero è quella mappa che associa a ogi m il umero degli iteri compresi tra 0 e m (estremi esclusi) che soo primi co m I formule: Φ( m ) : = card{ a N 0 < a < m e ( a, m) = 1} 21

22 Teorema Sia α m = p α p k 1 k 1 la fattorizzazioe i umeri primi di m Allora vale Φ ( m) = m p1 1 pk Esercizio 1 Determiare il resto della divisioe per 13 di Soluzioe: iazitutto osserviamo che a = =, quidi per il teorema di Fermat se ( 13 ) = 1 x, si ha x 13 1 e duque x = ( x ) ; el caso i questioe (essedo 2,, 7 e 11 relativamete primi co 13) si ha: a = i coclusioe il resto della divisioe di a per 13 è 4 Esercizio 2 Dimostrare che per ogi umero aturale il termie divisibile per è Soluzioe: se è u multiplo di siamo già arrivati Suppoiamo quidi che (, ) = 1 teorema di Fermat si ha quidi ( ) e ( ) allora per il da cui Esercizio 3 (Seior Camp 2007) Determiare tutte le cifre co cui può termiare i base dieci dove x è u qualsiasi umero aturale Soluzioe: sia k la cifra i questioe, cosideriamo le cogrueze modulo e suppoiamo iizialmete che o divida x Poiché Φ ( ) = 4, si può applicare il teorema di Fermat: x 4 1 da cui 4 02 ( x ) k x e quidi k = 1 oppure k = 6 Suppoiamo ora che (, x ) = allora k = 0 oppure k = I defiitiva le cifre possibili soo 1,6,0, e soo tutte effettivamete otteibili, basta osservare, ifatti, che 2 1, 2 6, 2 0 e 2 e quidi 1, 6, 0 e per ogi umero aturale, quidi ache per = 2008 Ritroviamo ora alcui dei risultati precedetemete visti el caso geerale di u umero itero m qualsiasi Teorema di Eulero Siao a e m iteri primi tra loro, allora x = p primo, ell ambito più Φ( m) a m 1 Defiizioe Siao a e m iteri primi tra loro allora si defiisce l ordie moltiplicativo di a modulo m come il più piccolo itero positivo tale che a 1 e si scrive: { 1 a 1} ord m ( a) : = mi m Teorema Siao a e m iteri primi tra loro allora ord m ( a) Φ ( m) Corollario Siao a e m iteri primi tra loro e a 1 allora ord m ( a) h Corollario Siao a e m iteri primi tra loro e a a allora m m m 22

23 ord m ( a) ( h) Defiizioe U itero a si dice u geeratore modulo m se ord m ( a) = Φ( m) 1 2 Φ( m) Osservazioe Se a è u geeratore modulo m, allora a, a,, a rappresetao tutte le classi di cogrueza modulo m che cotegoo u rappresetate relativamete primo co m Corollario Siao a e m iteri primi tra loro, se esiste u itero tale che a m 1 allora ord m (a) è u umero pari Se esiste u geeratore modulo m allora vale ache il viceversa e il più piccolo di tali positivi sarà ord m (a) / 2 e tutti gli altri buoi sarao u multiplo dispari di tale miimo Teorema Gli uici iteri m per cui esiste u geeratore modulo m soo 2, 4, ua qualsiasi poteza aturale di u primo dispari p e u qualsiasi umero del tipo 2 p co aturale e p primo dispari Esercizio 4 (Seior Camp 2007) Si determii il più piccolo itero positivo tale che Soluzioe: osserviamo che se 1 allora 1 ovvero 2 1 Ora le poteze di ,2,2 7 modulo soo cicliche di periodo 4, ifatti, 2,4, 3 rispettivamete metre 4 1; allora 4 = 4m per qualche aturale m Ora k o divisibile per poiché m 7 = 2 quidi 7 = ( 7 ) o è cogruo a 1 modulo 12 Ora dobbiamo avere ( 2 + 1) m 12 1 m allora 7 4 = 2k + 1 co k, m m m i sviluppado la poteza usado i coefficieti biomiali di Newto si ha 2 i cui uici addedi i= 0 i o multipli di 12 soo gli ultimi due: 2 km + 1 Affiché quest ultimo termie sia cogruo a 1 modulo 12, il miimo m deve essere, quidi il più piccolo itero positivo che stavamo cercado sarà = 4 = Esercizio Determiare il resto della divisioe per 2 di Soluzioe: voledo usare il teorema di Eulero adiamo a trovare Φ ( 2) = 2 1 = 20 e scompoiamo 919 e 9191 i: 919 = = e 9191 = = Sappiamo ioltre che e , quidi: [( 6) ] ( 6) + ( 9) [ ] ( 9) ( 6) + ( 9) = ( 9) ) Ora = = ( 4) = (essedo per il teorema di Eulero ( ) 20 ed ache = = = = ; quidi = 2 20 Quidi il resto della divisioe per 2 di è 20 23

24 CONGRUENZE I)Defiizioe: due umeri aturali a e b si dicoo cogrui modulo u umero aturale p se hao lo stesso resto ella divisioe itera per p Si scrive a b mod p oppure a b (p) Proprietà delle cogrueze: la cogrueza è ua relazioe di equivaleza; ioltre: a + c b + d ( I) a b mod p c d mod p allora a c b d ( II) Criteri di divisibilità U umero è cogruo modulo 2 alla sua cifra delle uità U umero è cogruo modulo 3 alla somma delle sue cifre U umero è cogruo modulo 4 al umero itero formato dalle sue due ultime cifre U umero è cogruo modulo alla sua cifra delle uità U umero è cogruo modulo 8 al umero itero formato dalle sue tre ultime cifre U umero è cogruo modulo 9 alla somma delle sue cifre U umero è cogruo modulo 10 alla sua cifra delle uità U umero è cogruo modulo 11 alla somma a sego altero delle sue cifre (i segi devoo essere messi i modo che la cifra delle uità abbia sego egativo) U umero è divisibile per 7 se e solo se è divisibile per 7 l itero costruito el seguete modo: si prede l itero iiziale privato della cifra delle uità e gli si sottrae due volte la cifra delle uità Esempio 1: quato è il resto ella divisioe per tre del umero ? Soluzioe: !### #" ##### $ 2008 volte (3) Quidi (mod 3) II) Co le cogrueze possiamo caratterizzare i quadrati perfetti: se u umero a è u quadrato perfetto allora a 0 oppure a 1 (4) Quidi: il quadrato di u itero pari è sempre cogruo a 0 modulo 4; il quadrato di u itero dispari è sempre cogruo a 1 modulo 4 Si può dare ua caratterizzazioe ache modulo 8 Se u umero a è u quadrato perfetto, allora a = 2 0 e pari a (8) dispari a 1 (8) 4 Si possoo caratterizzare ello stesso modo le quarte poteze: La quarta poteza di u itero pari è sempre cogrua a 0 modulo 16; La quarta poteza di u itero dispari è sempre cogrua a 1 modulo 16 Attezioe! No soo vere le proprietà iverse; ad esempio 8 0 mod 4 ma 8 o è u quadrato perfetto 24