XVII GARA NAZIONALE DI MATEMATICA Ceseatico, 4 maggio 2001 Soluzioi C 1) Siao a c e i lati ell'esagoo co a =5, =,c =6, =7. Si prolughio i lati a, c, e

Transcript

1 XVII GARA NAZIONALE DI MATEMATICA Ceseatico, 4 maggio ) U esagoo equiagolo ha quattro lati cosecutivi lughi ell'orie 5,, 6 e 7. Determiare le lughezze egli altri ue lati. 2) I u toreo i pallacaestro ogi squara arota esattamete ue volte tutte le altre square partecipati. Il toreo viee vito a ua squara sola i testa alla classica co 26 puti, metre esattamete ue square arrivao ultime co 20 puti. Quate square hao partecipato al toreo? (Ricoriamo che ella pallacaestro si assegao 2 puti alla squara vicete e 0 a quella scotta, metre o e possiile che ua partita isca i parita.) ) Si cosieri l'equazioe x 2001 = y x : (a) Determiare tutte le coppie (x y) i soluzioi i cui x e u umero primo e y e u itero positivo. () Determiare tutte le coppie (x y) i soluzioi i cui x e y soo iteri positivi. (Si ricori che 2001 = 2 29) 4) Chiamiamo umeri mootoi gli iteri positivi tali che { si scrivoo usao almeo ue cire { essua cira e zero { le cire compaioo i orie strettamete crescete o strettamete ecrescete. (A esempio 127 e 9742 soo umeri mootoi, metre 172, 1224 e 720 o lo soo.) (a) Calcolare la somma i tutti i umeri mootoi i cique cire. () Determiare co quati zeri termia il miimo comue multiplo i tutti i umeri mootoi (seza vicoli sul umero i cire). 5) Sia ABC u triagolo e sia la circoereza iscritta i ABC. La circoereza e tagete al lato AB el puto T. Sia D il puto i iametralmete opposto a T, e sia S il puto i itersezioe ella retta passate per C e D co il lato AB. Dimostrare che AT = SB. 6) U paello cotiee 100 lampaie, isposte i moo a ormare u quarato i 10 righe e 10 coloe. Alcue i esse soo accese, le altre soo spete. L'impiato elettrico e tale che quao si preme il pulsate corrispoete a ua qualuque elle lampaie, camiao i stato (cioe, si acceoo o si spegoo) tutte le lampaie che si trovao sulla sua coloa e tutte quelle che si trovao sulla sua riga (compresa la lampaia corrispoete all'iterruttore premuto). (a) Parteo a quali cogurazioi, operao opportuamete, e possiile are i moo che alla e tutte le lampaie risultio accese? () Qual e la risposta alla omaa preceete se le lampaie soo 81, isposte i moo a ormare u paello i 9 righe e 9 coloe?

2 XVII GARA NAZIONALE DI MATEMATICA Ceseatico, 4 maggio 2001 Soluzioi C 1) Siao a c e i lati ell'esagoo co a =5, =,c =6, =7. Si prolughio i lati a, c, e o a icotrarsi ei puti B, C, A (vei gura). Poiche gli agoli iteri ell'esagoo soo tutti i 120, il triagolo ABC e i tre triagolii etermiati a ciascuo ei lati e rispettivamete ai vertici A B C soo tutti equilateri, ato che tutti i loro agoli soo i 60. Aiamo pertato che + c + = + e + = + a + a cui, sostitueo i valori oti, si ricava acilmete che =8 e e =1. Secoa soluzioe Iicati i lati come ella soluzioe preceete, si maio le perpeicolari al lato a per i puti E e J siao A D e I F le itersezioi i tali perpeicolari co le rette ei lati a e rispettivamete (vei gura). Poiche gli agoli iteri ell'esagoo soo tutti i 120, tutti i triagoli i gura hao agoli i 60,0 e90 quii AI e DF soo perpeicolari ache a IF e segue che AD e parallelo a IF,eil quarilatero ADF I e u rettagolo come i gura. Co acili calcoli si ricava che A e IH G F J e c A B a C D a c E B AD = AB + BC + CD = 2 + a + 2 IF = IH + HG + GF = e c 2 p p AI = AJ + JI = 2 ( + e) FD = FE + ED = (c + ): 2 Sostitueo i valori oti i a,, c,, e impoeo le uguagliaze AD = IF, AI = FD, si ottiee che ; e =7, + e =9,acui =8ee =1. 2) Iichiamo co il umero elle square partecipati. Il umero i partite giocate urate tutto il toreo sara uguale a (;1), tate quate soo le coppie oriate i elemeti istiti i u isieme co elemeti. Iichiamo co M la meia aritmetica ei puteggi totalizzati alle square alla e el toreo. Siccome a ogi partita si assegao 2 puti, si ha M =2( ; 1)= =2( ; 1). Notiamo che, poiche ogi squara puo aver otteuto solo u umero pari i puti, tutte le square che o si soo classicate e al primo e all'ultimo posto hao coquistato al piu 24 puti. Si ha allora ( ; ) ( ; ) M 6 = = 24 ; 6 < 24 : D'altra parte M e pari e maggiore i 20, perche tutte le square hao almeo 20 puti e e esiste ua che e ha i piu. Pertato l'uico valore possiile per M e 22,a cui si ricava che il umero i square partecipati al toreo e uguale a 12. E ie acile vericare che esiste u toreo a 12 square che soisa le ipotesi el prolema. Se iatti la squara A atte le square B e C i tutti gli icotri, metre tutti gli altri scotri si cocluoo co ua vittoria per parte, alla e el toreo A avra totalizzato 26 puti, B e C e avrao totalizzati 20 e gli altri 9 partecipati cocluerao il toreo co 22 puti. 1

3 ) Parte (a). Le coppie richieste soo: ( 667 ), ( ), ( ). Sia iatti x = p u umero primo. Allora all'equazioe segue che ella attorizzazioe i y o ci possoo essere attori primi iversi a p, uque y = p per u qualche. Sostitueo ell'equazioe aiamo cos che p 2001 = p p, a cui 2001 = p. Ne segue che p eve essere u attore primo i 2001 e =2001=p. Otteiamo i questo moo le tre coppie elecate. Parte (). Le coppie richieste soo (1 1) ( 667 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ): Sia p u primo che compare co espoete ella attorizzazioe i x. Allora all'equazioe aiamo che p compare ache ella attorizzazioe i y, co u espoete che iichiamo co k. Possiamo pertato scrivere x = p a, y = p k, ove a e o soo ivisiili per p. Sostitueo ell'equazioe troviamo che p 2001 a 2001 = p kp a p a. Uguagliao gli espoeti relativi al primo p, si ha uque che 2001 = kap, e quii p ivie Aiamo ora ue casi. { Se p o ivie 2001, allora p eve iviere, il che e impossiile visto che p > (poiche p 2 =(1+1) =1 + 1 ;1 + :::>). { Se p e u attore i 2001, allora p ;1 eve iviere, il che e possiile solo per =1. Iatti per >1 si ha che p ;1 2 ;1 =(1+1) ;1 =1 +( ; 1) 1 ;1 + :::>. Aiamo cos imostrato che p puo essere solo, 2, o 29, e eve comparire co espoete 1 ella attorizzazioe i x. Pertato x e ecessariamete u ivisore i D'altra parte se e u qualuque ivisore i 2001, posto e = 2001= si ottiee immeiatamete 2001 = e =( e ) quii la coppia ( e ) e soluzioe ell'equazioe. Secoa Soluzioe Sia il M.C.D. tra x e 2001, e pogasi x = a 2001 = e cosicche a e soo primi ra loro. L'equazioe si semplica i x e = y a, e quii si ha x = z a, per u opportuo z, come si evice al coroto tra gli espoeti i ciascu attore primo i x ei ue memri ell'equazioe. Poiche x e z hao gli stessi attori primi e, come ivisore i 2001, e prootto i primi istiti, si ha ache z = e quii a =() a, ossia a = a a;1. Questo implica che x =, e quii x ivie Iatti se >1, allora a >a, metre se =1 e a > 1, allora a;1 a;1 > 2 a;1 a. (Si ricori che per ogi 2 e ogi itero a 0 si ha a =(1+(;1)) a =1+a(;1)+::: a+1): D'altra parte se e u qualuque ivisore i 2001, posto e = 2001= si ottiee immeiatamete 2001 = e =( e ) quii la coppia ( e ) e soluzioe ell'equazioe. 4) Parte (a). Chiamiamo cresceti i umeri mootoi le cui cire compaioo i orie crescete, e aalogamete chiamiamo ecresceti i umeri mootoi le cui cire compaioo i orie ecrescete. Chiamiamo ioltre gemello i u umero mootoo N, l'itero che si scrive sostitueo ogi cira i N co il suo complemetare a 10. Cos, a esempio, il gemello i e Si oti che ogi umero ecrescete e il gemello i u umero crescete, e viceversa. Ioltre, e acile veere che la somma i u umero mootoo i cique cire e el suo gemello e sempre uguale a Suppoiamo ora i aver scritto la somma S i tutti i umeri mootoi i cique cire. I tale somma possiamo raggruppare gli aei a ue a ue, i moo che a ogi umero crescete corrispoa il suo gemello ecrescete. Per l'osservazioe preceete, aceo le somme a ue a ue, aiamo che S iveta la somma i aei tutti uguali a Ioltre gli aei soo tati quati i umeri cresceti, i quali a loro volta soo tati quati i moi i scegliere cique cire iverse i u isieme i ove, e cioe 9 = 9! 5 5! 4! = 126 : 2

4 Seza utilizzare il sigicato comiatorio ei coecieti iomiali si puo ragioare el moo seguete. Scegliamo azitutto le 5 cire iverse che costituiscoo il umero: la prima si puo' scegliere i 9 moi iversi, la secoa i 8, :::, la quita i 5. Cos aceo o otteiamo sempre u umero crescete: iatti, per otteerlo, la prima cira eve essere la piu piccola elle 5 scelte, il che succee solo ua volta su 5, la secoa eve essere la piu piccola elle 4 rimaste, il che succee solo ua volta su 4, e cos via. Di cosegueza i umeri cresceti soo = 126: Pertato la somma i tutti iumeri mootoi i cique cire e = : Parte (). Iichiamo co M il miimo comue multiplo i tutti i umeri mootoi. Osserviamo prelimiarmete che l'isieme ei umeri mootoi e ito (perche essu umero mootoo puo avere piu i ove cire), uque M e e eito. Per sapere co quati zeri termia M, occorre cooscere la piu grae poteza i 10 che ivie M. A tale scopo cosieriamo separatamete le poteze i 2 ei5.icomiciamo a aalizzare il caso el 5. La piu grae poteza i 5 che ivie M e uguale alla piu grae poteza i 5 per cui e ivisiile u umero mootoo. Tale poteza e almeo, poiche 5 = 125 e u umero mootoo. Ioltre tutti gli iteri ivisiili per 125 termiao ecessariamete co 000, 125, 250, 75, 500, 625, 750, 875, e i cosegueza i multipli mootoi i 125 possoo termiare solo co 125 o 875. I soli umeri mootoi a avere tale termiazioe soo 125, 875, 9875, essuo ei quali e ivisiile per 5 4. Pertato la piu grae poteza i 5 che ivie M e 5. Poiche ovviamete M cotiee piu i tre attori 2 (a esempio 2 4 =16e u umero mootoo), e segue che M termia co esattamete zeri. 5) Co rierimeto alla gura a aco, tracciamo la retta r passate per D e parallela al lato AB. Siao L e M, rispettivamete, le itersezioi i r co i lati AC e BC. Deotiamo ioltre co H e K, rispettivamete, i puti i tageza i co i lati AC e BC. Poiche sulle tageti cootte a u puto estero a ua circoereza risultao uguali i segmeti compresi ra il ato puto estero e i rispettivi puti i cotatto (el seguito \teorema elle tageti") aiamo CH = CK, LH = LD e MK = MD. Scriveo CH = CL+LH, CK = CM+MK e, sruttao le uguagliaze preceeti, si ha CL + LD = CM + MD : C L M H D K A T S B I triagoli CLM e CAB soo simili, perche hao i lati paralleli. Moltiplicao l'uguagliaza preceete per il rapporto i similituie, otteiamo CA + AS = CB + BS, ossia CH + HA + AT + TS = CK + KB + BS. Utilizzao acora il teorema elle tageti, aiamo CH = CK, AH = AT e KB = TB = TS + SB. Ne segue che 2AT + TS = TS +2BS, e quii AT = BS. 6) (a) E acile vericare che se si preme il pulsate i tutte le lampaie i ua riga e i ua coloa tutte le lampaie el paello camiao i stato u umero pari i volte, co l'uica eccezioe proprio ella lampaia che si trova all'icrocio ella riga e ella coloa cosierata, che camia stato 19 volte. I eitiva queste \mosse" cosetoo i acceere ua lampaia alla volta. E uque possiile raggiugere la cogurazioe i cui tutte le lampaie soo accese parteo a qualsiasi cogurazioe. () I questo caso e acile vericare che premeo il pulsate i ua sigola lampaia il umero i lampaie che camiao i stato su ogi sigola riga e su ogi sigola coloa e comuque ispari (o 1 o 9). Cosegueza i questo atto e che coizioe ecessaria per raggiugere la cogurazioe r

5 i cui tutte le lampaie soo accese e che all'iizio il umero i lampaie accese sia pari per tutte le righe e per tutte le coloe o sia ispari per tutte le righe e tutte le coloe. Tale coizioe e 'altra parte ache suciete. Suppoiamo iatti i partire a ua cogurazioe i cui ci sia u umero ispari i lampaie spete i ogi riga e ogi coloa. Premiamo il pulsate i tutte le lampaie spete. I questo moo ogi lampaia accesa camia i stato tate volte quate soo le lampaie spete sulla sua stessa riga e sulla sua stessa coloa, quii u umero pari i volte (ispari + ispari), metre ogi lampaia speta camia i stato u umero ispari i volte (ispari + ispari ;1, ove il \;1" serve a o cotare ue volte la lampaia speta i questioe, ua volta come compoete ella sua riga e u'altra come compoete ella sua coloa): uque tutte le lampaie accese rimagoo accese, e tutte quelle spete si acceoo. La stessa mossa, cioe premere il pulsate i tutte le lampaie spete, uzioa ache se ella cogurazioe i parteza c'e u umero pari i lampaie spete i ogi riga e ogi coloa. Iatti ache i questo caso le lampaie accese camiao stato u umero pari i volte (pari + pari), metre quelle spete camiao stato u umero ispari i volte (pari + pari ;1). Osservazioe. L'uica iormazioe usata ella imostrazioe ella parte (a) e che il paello ha u umero pari i righe e coloe, cos come ella imostrazioe ella parte () si e usato solo che il paello ha u umero ispari i righe e coloe. 4