I metodi di valutazione degli interventi

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1 Corso di Trasporti Urbani e Metropolitani prof. ing. Pierluigi Coppola I metodi di valutazione degli interventi 1

2 Valutazione degli investimenti La Valutazione degli investimenti Esame e confronto di interventi (progetti) alternativi sulla base dei loro effetti in funzione degli obiettivi e dei vincoli del decisore. L obiettivo è quello di fornire un supporto per le decisioni La valutazione dipende dagli obiettivi che il decisore si prefigge con l intervento e dai vincoli cui è sottoposto: questi possono essere molteplici e talora contrastanti sia per lo stesso decisore che per la presenza di diversi decisori coinvolti nel processo decisionale ad esempio: differenza fra analisi finanziaria (ottica privata) ed economica (ottica pubblica) degli interventi. 2

3 Valutazione degli investimenti Ottica privata o privatistica L analisi finanziaria OBIETTIVO: MASSIMIZZAZIONE DEL PROFITTO VINCOLI: Budget finanziario; legislazione e normativa I benefici ed i costi sono esprimibili in termini monetari: i benefici sono composti dai ricavi conseguenti alla vendita del servizio di trasporto e dalle eventuali sovvenzioni e rimborsi; i costi sono i diversi costi finanziari connessi alla produzione del servizio quali il costo di costruzione, i costi per la manutenzione e l esercizio, le imposte, le tasse etc. 3

4 Analisi dei flussi di cassa Valutazione degli investimenti Individuazione delle entrate e delle uscite finanziarie per ogni anno di costruzione e di esercizio dell intervento La differenza tra entrate e uscite fornisce il Flusso di Cassa annuo (FdC) Rif Voce di bilancio Anni Totale fonti di finanziamento Vendite Totale entrate Totale costi di esercizio Costi totali di investimento Interessi Liquidazioni Rimborso prestiti Imposte Totale uscite Totale FdC Totale FdC cumulato

5 Sostenibilità finanziaria Valutazione degli interventi La sostenibilità finanziaria di un progetto è verificata se il flusso di cassa (entrate finanziarie - uscite finanziarie) cumulato è sempre positivo durante gli anni della vita utile del progetto. Rif Voce di bilancio Anni Totale fonti di finanziamento Vendite Totale entrate Totale costi di esercizio Costi totali di investimento Interessi Liquidazioni Rimborso prestiti Imposte Totale uscite Totale FdC Totale FdC cumulato

6 L attualizzazione Valutazione degli investimenti L attualizzazione si rende necessaria ogniqualvolta occorre confrontare dei flussi di cassa relativi ad anni diversi. Permette il calcolo degli indicatori finanziari di prestazione dell investimento Il valore M t, dopo t anni, di una somma M o disponibile oggi può essere calcolato come: M M 1 r t t o dalla quale consegue che il valore attuale M o di una somma M t spesa o incassata fra t anni è: M o M 1 t r t Tasso di attualizzazione o di sconto 6

7 Valutazione degli interventi Calcolo degli indicatori finanziari (1/2) 1. Valore Attuale Netto Finanziario (VANF) Attualizza (ovvero riporta all anno iniziale) e somma i flussi di cassa (FdC t ) agli anni t calcolati per un periodo di T anni: VANF( r) T T è il periodo di vita utile dell intervento; può essere fissato convenzionalmente (es: project financing) oppure determinato dalla tipologia di intervento (in base all obsolescenza tecnologica dell intervento in esame) L intervento è finanziariamente conveniente se il suo VANF è positivo; l intervento i è preferibile all intervento j se VANF i > VANF j. t 1 1 FdC r t t 7

8 Calcolo degli indicatori finanziari(2/2) Valutazione degli interventi Il VAN di un progetto decresce al crescere del tasso di attualizzazione VAN 2. Saggio di Rendimento Interno Finanziario (SRIF) Valore del tasso di sconto r o che annulla il VANF calcolato in un periodo di T anni: SRIF i = r o ; VANF i (r o ) = 0 L intervento i è preferibile all intervento j se SRI i > SRI j. r 8

9 Valutazione degli investimenti L analisi economica Ottica pubblica (collettività divisa in gruppi di utenti, operatori pubblici, non utenti) OBIETTIVI: molteplici e differenziati per i diversi gruppi min costo generalizzato di trasporto; min inquinamento; min disoccupazione; max accessibilità; min deficit di bilancio. VINCOLI: budget disponibile, legislazione, normative 9

10 Valutazione degli investimenti Fasi della valutazione economica La valutazione economica di un inervento avviene in generale in tre fasi : 1. INDIVIDUAZIONE degli effetti rilevanti per il decisore o i decisori rispetto agli obiettivi dell intervento; 2. IDENTIFICAZIONE delle variabili quantitative e qualitative (indicatori di prestazione) rappresentative degli impatti stessi e stima delle rispettive variazioni attribuibili all intervento; 3. CONFRONTO dei piani alternativi sulla base dei rispettivi impatti. 10

11 Valutazione degli investimenti Individuazione degli effetti rilevanti IMPATTI INTERNI PER GLI UTENTI DEL SISTEMA DI TRASPORTO: impatti per gli utenti del sistema, tipicamente si ottengono calcolando le variazioni dei costi generalizzati dello spostamento, percepiti e non: per i diversi modi di trasporto per le diverse classi di utenti (segmenti di mercato) PER GLI OPERATORI: costi di costruzione, manutenzione ed esercizio, calcolati a prezzi di mercato, vengono scomposti nelle risorse impiegate (non sempre il prezzo di mercato delle varie risorse riflette il loro effettivo valore per la collettività). 11

12 Valutazione degli investimenti Individuazione degli effetti rilevanti IMPATTI ESTERNI Effetti di diversa natura sui membri della collettività non direttamente interessati dal servizio di trasporto (non utenti): IMPATTI ECONOMICI: variazioni di stato del sistema economico introdotte dall intervento in esame (direttamente misurabili in termini monetari), ad es. Variazioni di PIL, occupazione, valori immobiliari, IMPATTI TERRITORIALI: impatti sull uso del territorio, ad es., la rilocalizzazione di residenze e attività economiche indotte dalle variazioni dei differenziali di accessibilità delle diverse zone dell area di studio. IMPATTI AMBIENTALI: impatti sull ambiente fisico e sull ecosistema; inquinamento acustico, atmosferico e visivo. 12

13 Valutazione degli investimenti Identificazione e previsione degli indicatori di prestazione Gli effetti di un progetto di sistema di trasporto vengono stimati/previsti attraverso gli indicatori di prestazione (Measures of Effectiveness, MoE s). Gli indicatori sono calcolati in termini differenziali, ovvero di variazioni degli indicatori tra lo stato di Progetto del sistema (P) e quello di riferimento (o Non Progetto, NP), che può essere variamente definito ad esempio: non includere nessuna nuovo intervento (Do-Nothing) includere gli interventi già decisi e non soggetti a valutazione (Business As Usual, BAU) includere altre ipotesi di sviluppo del sistema I diversi impatti di un intervento si verificano nel tempo in modo differenziato: gli indicatori di prestazione vanno calcolati per i diversi periodi in cui si modifica lo stato di funzionamento del sistema; Gli indicatori vanno calcolati anno per anno per un periodo che si estende convenzionalmente anni di vita economica del progetto 13

14 Metodi di confronto di progetti alternativi I metodi di confronto più utilizzati sono: Valutazione degli investimenti Analisi Benefici-Costi : fornisce l indicazione sulla convenienza economica del progetto sulla base di un indicatore sintetico di prestazione: il Valore Attuale Netto Economico (VANE); talvolta si utilizza anche il Saggio di Rendimento Interno Economico (SRIE) Analisi Multi-Criterio: fornisce una stima degli effetti (rilevanti) delle diverse ipotesi di intervento («matrice di decisione») 14

15 Analisi Benefici Costi Criteri generali Valutazione degli investimenti Le variabili sono calcolate utilizzando i prezzi di mercato, qualora questi esistano, depurati dei trasferimenti interni alla pubblica amministrazione (IVA, tasse, etc.). In alcune applicazioni ai prezzi di mercato sono sostituiti prezzi ombra, o costi opportunità, che riflettono il valore per la collettività di una risorsa, in assenza di un prezzo di mercato per quest ultima o in difformità da questo a seguito di obiettivi o vincoli di interesse sociale. Devono essere evitati i doppi conteggi, (contabilizzazione dello stesso effetto con lo stesso segno in più variabili), che introdurrebbero delle distorsioni nei risultati. Alcuni effetti possono essere presenti con segni diversi in due o più variabili: tali effetti si annullano reciprocamente nella somma algebrica delle diverse variabili e non comportano distorsioni (ad esempio gli introiti finanziari) 15

16 Analisi Benefici Costi Gli indicatori sintetici Valutazione degli investimenti 1. Valore Attuale Netto Economico (VANE) Riporta all anno iniziale i diversi effetti monetizzati calcolati per un periodo di T anni come: VANE( r) T Benefici i benefici e i costi sono calcolati in termini differenziali rispetto allo scenario di riferimento T è il periodo di vita economica dell intervento dipende dalla tipologia di intervento (in base all obsolescenza tecnologica dell intervento in esame) il Progetto i è economicamente conveniente se il suo VANE è positivo; il Progetto i è preferibile al Progetto j se VANE i > VANE j. i 1 1 t Costi r i t 16

17 Analisi Benefici Costi Gli indicatori sintetici Valutazione degli investimenti 2. Saggio di Rendimento Interno Economico (SRIE) Valore del tasso di sconto r o che annulla il VANE calcolato in un periodo di T anni: SRIE i = r o ; VANE i (r o ) = 0 Il Progetto i è preferibile rispetto al Non Progetto NP se il suo SRIE è superiore al valore del tasso di sconto sociale ; il Progetto i è preferibile al Progetto j se SRIE i > SRIE j. 17

18 ESEMPIO DI ANALISI BENEFICI COSTI Descrizione dell intervento Determinazione dei costi economici di investimento e dei costi economici di esercizio Calcolo dei benefici interni esterni Calcolo degli indicatori economici 18

19 Descrizione dell intervento Prolungamento di una linea di metropolitana esistente prolungamento +2 nuove stazioni +2.8 Km di linea 19 19

20 Costi d investimento Opere civili: scavi gallerie stazioni Opere tecnologiche: Impianti di linea Impianti di stazione Sistema di controllo circolazione treni Sistemi di sorveglianza veicoli Costi d'investimento (Euro*1000) Anno 1 Anno 2 Anno 3 Anno 4 Anno 5 Anno 6 Anno 7 Totale Opere civili Opere tecnologiche Totale costi di investimento (finanziari)

21 Costi d esercizio Costi per il movimento (personale, energia di trazione, ) Costo per le stazioni (personale, impianti, sicurezza,...) Costo per le manutenzioni ordinarie (personale, ricambi, ) Il costo di esercizio può essere calcolato in funzione della variazione dei treni-km per via parametrica (ad es. considerando un costo unitario di 24 Euro/treno-Km) Costi d'esercizio NonProgetto Progetto Diff. [NP] [P] [P-NP] Lunghezza in esercizio (Km) frequenza fascia di punta (treni /h) treni-km / ora di punta coeff. espansione al giorno 9 9 coeff. espansione anno TreniKm / anno Costo unitario per treno-km [euro/trenokm] Costi d'esercizio annui (Euro*1000/anno)

22 Determinazione dei costi economici I costi finanziari di investimento e di esercizio vano corretti per eliminare i trasferimenti ed eventuali distorsioni del mercato Fase 1: Correzioni fiscali Eliminazione degli interessi, delle imposte indirette, dei trasferimenti lordi e dei ricavi da vendite. Fase 2: Eliminazione delle distorsioni di prezzo Poiché il prezzo di mercato è ritenuto distante rispetto al prezzo di equilibrio di lungo periodo, si effettuano delle analisi che tendono ad isolare distorsioni dovute a situazioni di: monopolio o restrizioni di mercato risorse scarse Fase 3: 22 introduzione di prezzi ombra

23 Determinazione dei costi economici La determinazione dei costi economici avviene mediante coefficienti di conversione calcolati per macro-categorie di lavori (ad esempio: manodopera, materiali, noli e trasporti) costi economici d investimento Costi finanziari (Euro *1000) coeff. di conv. Costi economici (Euro *1000) Mano d'opera Materiali Noli e Trasporti costi economici d esercizio Costi finanziari (Euro *1000) coeff. di conv. Costi economici (Euro *1000)

24 ANALISI ECONOMICA Descrizione dell intervento Determinazione dei costi Economici di investimento e dei costi economici di esercizio Determinazione dei benefici impatti interni impatti esterni Calcolo degli indicatori economici 24

25 Benefici interni Riduzione dei tempi di viaggio per gli utenti del sistema di trasporto Delta pass-h (passeggeri-ora) passh od m m m d od Tod dove: - d m od è la domanda sul modo m sulla coppia origine-destinazione od - T m od è il tempo di spostamento (in ore) sul modo m dalla origine o alla destinazione d 25

26 riduzione dei consumi energetici riduzione dell inquinamento atmosferico riduzione dell incidentalità stradale 26 Benefici esterni Per stimare tali variazioni si può procedere per via parametrica attraverso il calcolo della variazione di veicoli-chilometro Delta veic-km veickm od Auto Auto d od Kmod dove: - d Auto od è il flusso di autovetture che si spostano sulla coppia originedestinazione od - km Auto od è la lunghezza (in Km) dello spostamento in auto sulla coppia origine-destinazione od

27 27 Analisi Trasportistica Per stimare la variazione di pass-h e veic-km occorre procedere ad un analisi trasportistica dell intervento che permette di stimare le variazione di domanda, di tempi e distanze dello spostamento sui vari modi di trasporto. Passi dell analisi trasportistica Definizione dell orizzonte temporale di analisi (2015) dello: scenario territoriale scenario di offerta trasporto collettivo rete stradale politiche di sosta Previsioni di domanda di mobilità Previsione di traffico (Assegnazione) e calcolo delle prestazioni delle reti di trasporto

28 Zonizzazione dell Area di Studio 429 zone interne 33 centroidi al cordone 28

29 Lo scenario territoriale al 2015 Ipotesi di sviluppo urbano coincidenti con quelle assunte per il PCT, in base alla variante di PRG ed alla variante della zona occidentale Per l aera di Bagnoli (ex Italsider) circa: 8000 nuovi addetti 9000 nuovi residenti 29

30 Lo scenario di riferimento al 2015 Trasporto privato Opere di raccordo tra viabilità autostradale urbana e viabilità di quartiere Collegamenti tra la rete extraurbana ed i principali nodi di interscambio con il trasporto collettivo Interventi di attenuazione / recupero di spazi viari esistenti Trasporto pubblico su gomma Riorganizzazione della rete su gomma in chiave di adduzione alla rete di trasporto metropolitano su ferro Trasporto pubblico su ferro Completamento dei progetti in corso e delle nuove opere previste dal Piano Comunale dei Trasporti Trasformazione dei servizi sulle tratte di penetrazione urbana di ferrovie esistenti in servizi metropolitani Potenziamenti dei nodi di interscambio 30

31 La rete stradale primaria al

32 32 Lo sviluppo della rete delle metropolitane

33 La riorganizzazione della tariffazione di sosta al Euro/h costo sosta Euro/h costo sosta Euro/h costo sosta

34 I risultati dello studio Previsioni di traffico sulla Linea completa Passeggeri trasportati nella sezione di massimo carico Passeggeri trasportati nei due versi, nel periodo 7:00 9:30 Passeggeri trasportati per giorno Passeggeri trasportati per anno pax/h/verso Milioni 34

35 Calcolo dei benefici (i) Benefici interni I benefici dovuti alla riduzione di tempo dello spostamento vengono calcolati monetizzando la variazione di pass-h attraverso il valore monetario del tempo (VOT - Value Of Time) per i diversi motivi dello spostamento (Lavoro, Studio Scuola Superiore, Studio Università, Altri motivi) Lavoro ScSup ScUni Altri Totale delta pass-h/anno v.o.t (Euro/h) euro*1000/anno Benefici esterni I benefici esterni dovuti alla riduzione di consumi energetici vengono calcolati in funzione della variazione di veic-km utilizzando un costo unitario per chilometro pari a 0,21 Euro/Km delta veickm anno costo Euro / Km 0.21 Benefici per riduzioni consumi (Euro*1000)

36 Calcolo dei benefici (ii) Benefici esterni I benefici dovuti alla riduzione di inquinamento atmosferico vengono calcolati in funzione della variazione di veic-km, calcolando prima la riduzioni di emissioni inquinanti e poi monetizzando tale riduzione. A tal fine è possibile procedere attraverso i seguenti parametri: emissioni emissioni unitarie (grammi/veic-km) emissioni totali (tonn) Coeff. monetizzazione (euro*1000/tonn) Benefici (Euro*1000) Idrocarburi (g/km-veic.) Ossidi d azoto (g/km-veic.) Ossidi di zolfo (g/km-veic.) Polveri (g/km-veic.) Anidride carbonica (g/km-veic.)

37 Calcolo dei benefici (iii) Benefici esterni I benefici dovuti alla riduzione di incidentalità stradale vengono calcolati in funzione della variazione di veic-km, calcolando prima la riduzioni di emissioni inquinanti e poi monetizzando tale riduzione. A tal fine è possibile procedere attraverso i seguenti parametri. tipologia d'incidente # incidenti per milione di incidenti totali Coeff. monetizzazione Benefici veic-km (#) (euro/incidente) (Euro*1000) Incidente con morti Incidente con Feriti gravi Incidente con Feriti leggeri Incidente con soli Danni materiali

38 Sintesi dei Benefici annui monetizzati valore annuo (migliaia di Euro) % sul totale Risparmi di tempo % Riduz.costo energetico % Riduz.emissioni inquinanti % Riduz.Incidenti stradali 896 3% % 38 38

39 Calcolo degli indicatori Economici: VANE e SRIE Valore attuale netto economico (VANE) VANE( r) B C n t t t t 1 (1 r) in cui: C t Costi economici al t-esimo anno B t Benefici al t-esimo anno r Tasso di attualizzazione (ad es. 6%) t Periodo temporale di riferimento (37 anni = 7 costruzione + 30 esercizio) 1/(1+r) t Fattore di attualizzazione 39 39

40 Calcolo degli indicatori Economici: VANE e SRIE ANNI Costi d'investimento a) Costi d'esercizio b) Costi totali (d=a+b) Risparmi di tempo Consumi energetici Emissioni inquinanti Incidentalità stradale Benefici totali e=(c+d) flusso di cassa netto (e-d) flusso di cassa attualizzato [r=6%] flusso di cassa att. cumulato VANE[6%] = 191,9 mil. Euro SRIE = 16,6% 40 40

41 Analisi Benefici Costi Valutazione degli investimenti CRITICHE RELATIVE ALLE MODALITÀ DI IMPIEGO Utilizzazione dei prezzi di mercato (o di prezzi ombra) talvolta arbitrari, nella valutazione dei costi economici Limitazione dell analisi ai soli effetti monetari ovvero monetizzazione inesatta degli altri effetti non direttamente monetizzabili CRITICHE STRUTTURALI Non sommabilità degli effetti per i soggetti o gruppi di soggetti, interessati in modo diverso dal progetto Non effettuazione delle compensazioni fra gli individui che subiscono effetti positivi e negativi dal progetto Tendenza a favorire interventi economicamente più efficienti ed impossibilità di valutare correttamente interventi con obiettivi sociali 41

42 Analisi Multi-Criterio Valutazione degli investimenti Si prefigge di fornire un supporto al decisore (o ai decisori) per realizzare un compromesso accettabile fra i diversi obiettivi perseguiti I diversi obiettivi che il decisore si pone con l intervento in esame vanno preliminarmente trasformati in criteri di valutazione o indicatori di prestazione (variabili quantitative o qualitative che misurano il grado di soddisfacimento del generico obiettivo) Il risultato dell analisi è sintetizzato nella matrice di decisione, ovvero una matrice con: - numero di righe pari ai criteri di valutazione; - numero di colonne pari ai progetti alternativi; - i cui elementi x mj (o x' mj ) rappresentano la stima (quantitativa o qualitativa) dell effetto m del generico progetto i 42

43 Valutazione degli investimenti Analisi Multi - Criterio La matrice di valutazione Matrice di valutazione di J progetti alternativi rispetto a M criteri Criterio di valutazione 1 2 m M Progetto j... J Pesi x 11 x 21 x m1 x M1 x 12 x 22 x m2 x M2 x 1j x 2j x mj x Mj x 1J x 2J x mj x MJ A ciascun criterio di valutazione m, è attribuito un peso w m 0 che ne misura l importanza relativa: la definizione dei pesi è una operazione politica nella quale il decisore, o i decisori, devono esprimere giudizi di valore. 43 w 1 w 2 w m w M

44 Analisi Multi - Criterio Valutazione degli investimenti Metodi di determinazione dei pesi incogniti METODO DELFI: Si fa dichiarare separatamente a ciascun decisore in modo esplicito il peso relativo di ciascun criterio; si ripetono le interviste, riportando a ciascuno il vettore dei pesi dichiarati dagli altri decisori, fino al raggiungimento di una convergenza di compromesso sui valori dei pesi. Nel caso in cui il decisore non possa, o non voglia, esprimere dei pesi si possono utilizzare delle procedure che li ricavino implicitamente (ad es., stimando i pesi che giustificherebbero le scelte effettuate in contesti analoghi a quello in esame, per interventi dello stesso tipo e dimensione). Altri metodi stimano il vettore dei pesi in modo implicito interagendo con il decisore: - chiedendo di scegliere fra la soluzione corrente e altre che migliorano la soddisfazione di alcuni obiettivi - chiedendo quanto sarebbe disposto a sacrificare di un obiettivo per migliorare un altro 44

45 Analisi Multi - Criterio La standardizzazione degli indicatori Valutazione degli interventi (1/2) In molte tecniche di MCDM gli indicatori di prestazione sono normalizzati allo scopo di renderli confrontabili e per evitare distorsioni dovute all utilizzazione di fattori di scala diversi nella misura della soddisfazione, i valori degli indicatori possono essere sostituiti con valori l mj normalizzati. Esempi di forme di normalizzazione: l mj k x mj max x min mk k k x mk min x mk l mj k x mj max x mk l mj x mj k x mk con: x mj = variabile che esprime il valore dell m-simo criterio per il j-esimo progetto (il valore cresce all aumentare del livello di soddisfazione). 45

46 Analisi Multi - Criterio La standardizzazione degli indicatori Valutazione degli interventi Se x mj misura un effetto negativo può essere invertita, ad es., sostituendola con il valore della riduzione rispetto al valore massimo assunto dall indicatore: x' mj = max k x mk -x mj (2/2) x' mj sarà pari a zero per il progetto peggiore (a valori di riduzione maggiori corrisponderà una maggiore soddisfazione). In alcune applicazioni gli indicatori x mj vengono standardizzati attraverso funzioni non lineari, monotone e crescenti (funzioni di utilità), che tengono conto dell andamento decrescente dell utilità marginale all aumentare del livello di soddisfacimento di un criterio. Esempio di andamento della funzione di utilità per un generico criterio u mj 1 Con: U mj = Indicatori di utilità 0 min k x mk max k x mk x mj 46

47 Analisi Multi - Criterio Progetti Pareto - ottimali Valutazione degli investimenti Un progetto j si dice dominato se esiste almeno un progetto h che soddisfi in modo migliore o al più uguale tutti gli obiettivi, ovvero: x mj x mh m= 1,..., M Con almeno una delle disuguaglianze soddisfatta in modo stretto. Un PROGETTO non dominato è detto efficiente o PARETO-OTTIMALE se non esiste alcun progetto che migliori il livello di soddisfazione di almeno un obiettivo senza peggiorarne nessuno. La frontiera di efficienza dell intervento è data dall insieme dei progetti non dominati che soddisfano i vincoli del problema (ad esempio vincoli di budget). Tutti i punti di tale frontiera sono potenzialmente delle soluzioni ottimali al problema decisionale per un opportuno sistema di pesi dei diversi obiettivi/criteri. 47

48 Analisi Multi - Criterio Metodi di confronto Valutazione degli investimenti METODO DELLA DISTANZA: la soluzione di miglior compromesso è l alternativa j di minima distanza dalla soluzione ideale (progetto che soddisfa nel grado massimo tutti gli obiettivi esplicitati e che non si trova fra i progetti disponibili). Il vettore x* = (x* 1, x* 2,..x* m ) T, rappresenta gli effetti del progetto ideale, con x* m = valore più elevato dell indicatore di prestazione della soddisfazione per il criterio m-esimo. 48

49 Valutazione degli investimenti Analisi Multi - Criterio METODO DELLA DISTANZA: La distanza viene misurata come la p-norma pesata del vettore differenza fra i vettori x j e x* (ovvero fra i vettori l j e l* ovvero u j ed u* a secondo dei casi): L p (x j, x*) = m w m (x* m - x mj ) p 1/p Al variare di p si ottengono diverse misure di distanza fra i vettori x j e x*: per p = 2, si ottiene la distanza pesata fra vettori nello spazio euclideo: L 2 (x j, x*) = m w m (x* m - x mj ) 2 1/2 Al tendere di p ad infinito, per ciascun progetto, la distanza viene definita esclusivamente dalla differenza, rispetto all ideale, dell indicatore che più se ne discosta: L (x j, x*) = max m w i (x* m - x m j ) 49

50 Analisi Multi - Criterio Valutazione degli investimenti ESEMPIO: Andamento della distanza Lp al variare della norma p Obiettivo Progetti Peso Ideale Lp P Lp1 Lp2 Lp3 50