Cap.2 Lezione 2. Mezzi Gassosi Multicomponenti Reattivi

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1 Cap.2 Lezne 2. Mezz Gasss Multcmpnent Reattv Antn Cavalere. DICMaPI Unverstà degl Stud d Napl, Federc II Intrduzne La defnzne frmale delle equazn che descrvn l evluzne de mezz gasss multcmpnent reattv, nnchè l elencazne delle ptes su cu tal equazn s reggn, è qu d segut presentata. Tal equazn sn quelle d blanc, quelle csttutve del mezz e quelle che descrvn la prduzne delle spece chmche. Tutte le equazn sn presentate senza nessuna trattazne gustfcatva che permetta d dervarle a partre da prncp d cnservazne da mdell cnetc-mleclar. Esse sn presentate al fne d frnre un quadr unfrme del smblsm adttat. Trattazn cmplete per tal dervazn sn reperbl n una vasta letteratura tra cu vengn segnalat alcun lbr nel paragraf test cnsglat. Tutte le equazn presentate sn valde nell ptes del cntnu, d equlbr termdnamc lcale e d mezz mgene gasss e vann rferte alle csddette varabl prmtve. La cnscenza puntuale d queste varabl descrve cmpletamente un prcess d cmbustne nel sens che tutte le altre grandezze d nteresse debbn pter essere dervate da esse. La defnzne dell nseme delle varabl prmtve è n una certa msura arbtrara, perché essa s basa sulla msurabltà e sulla mdellabltà delle varabl. Ad esemp sceglere la temperatura, nvece che la pressne, cme varable prmtva s basa sul fatt che alla temperatura è drettamente asscata l energa nterna l entalpa, per le qual è pssble scrvere faclmente un equazne del blanc. Le varable prmtve cn cu sarà pssble descrvere prcess d cmbustne n mezz mgene trattat n queste lezn sn la velctà eulerana... v le frazn d massa... Y la denstà... ρ la temperatura... T ad esse è facle asscare grandezze estensve per gnuna delle qual è pssble scrvere una equazne d blanc. Queste sn: la quanttà d mt... le masse delle sngle spece.. la massa ttale... l entalpa sensble... Mv M M H s E utle sttlneare che la frazne d massa, Y, è rferta ad una generca spece presente nel sstema e che le spece cnsderate n queste lezn, a men d altra esplcta rdefnzne, sarann sempre mlecle radcal. In altre parle nn s farà dstnzne tra dverse cnfgurazn elettrnche e dvers stat energetc n rferment ad una spece cn prefssata cmpszne chmca. In un sstema multcmpnente l entalpa sensble è la meda pesata

2 h s T = Y c p (T)dT (1.1) T dell entalpa sensble asscata alle sngle spece. E prpr questa la grandezza asscata alla varable prmtva temperatura e nn altre, perché generalmente, n gran parte de sstem d cmbustne nn v sn dsunfrmtà d pressne apprezzabl. I sstem, cè, sn quas sbarc, per cu la temperatura e l entalpa sensble sn legat n md semplce attravers l ntegrale qu spra rprtat. In ess cmpare sl l calre specfc delle sngle spece, che è relatvamente ben nt cme funzne della temperatura. Alle grandezze estensve s pssn ancra asscare le crrspndent denstà, vversa le grandezze per untà d vlume, che verrann da ra n p ndcate cn l smbl ϕ, quand nn s vgla specfcare a quale d queste s sta facend drett rferment. Esse sn rappresentabl cme un vettre d varabl ϕ { } del tp: { ϕ} = { ρv, ρy, ρ, ρh s } (1.2) cn n+5 cmpnent. Infatt n sn le spece chmche cnsderate, tre sn le cmpnent della velctà v e due sn le rmanent grandezze scalar ρ e ρh s. Equazn d blanc { } è pssble scrvere un equazne d blanc d Per gnuna delle cmpnent del vettre ϕ cnservazne. Segnatamente seguend l rdne del vettre { ϕ}, csì cme è stat defnt nel paragraf precedente, è pssble scrvere un equazne d cnservazne della quanttà d mt cnsderand un sstema su cu nn s eserct alcuna frza d camp ed n partclare, un sstema su cu nn s esplchn frze gravtaznal apprezzabl. Qund s può scrvere un blanc d massa della spece -ma cnsderand una prduzne, che vene scrtta nzalmente stt la frma smblca d ρ. Qund è ancra pssble scrvere un equazne per la cnservazne della massa ttale ed una per l blanc dell entalpa sensble n cu la prduzne sarà la smma delle sngle prduzn. Ognuna d queste è a sua vlta data dalla prduzne asscata alla spece -ma mltplcata per l entalpa d frmazne d quella spece. Pertant la prduzne d entalpa prende la frma d ρ h. La scelta d lmtare alle varazn d entalpa d frmazne la prduzne d entalpa sensble mplca che vengan trascurat cntrbut alla prduzne dervat da effett d cmpressbltà lcale, p + v p, ed effett relatv al rscaldament del mezz legat alla vscstà del mezz ν, espress dal termne 2ν v : v. Quest ultm cntrbut s ttengn quand l blanc d entalpa sensble è rcavat per dfferenza tra le equazn d cnservazne d energa ttale e cnetca del mezz. In sntes la generca equazne d blanc ϕ può essere specalzzata nelle seguent equazn + ( vϕ ) + J = ϕ ϕ (1.3) ρ + ( ρv) = 0 (1.4)

3 ρv ρy ρh s + ( ρvv) + J = p (1.5) v + ( ρvy ) + + ρvh s ( ) + s J = Y ρ h h (1.6) J = ρ (1.7) Dve l peratre sta per dvergenza e l peratre sta per gradente. Il termne J ϕ è l fluss dffusv della grandezza generca ϕ, e s rfersce, a secnda del smbl n pedce, ad una delle grandezze spra menznate. In base al prncp d cnservazne d massa J ϕ è null nell equazne d cnservazne della massa ttale. Va sttlneat che, per cme appare l fluss dffusv d entalpa sensble nella crrspndente equazne d blanc, s sn trascurat fluss radatv J ed fluss dffusv d entalpa asscat al r trasprt dffusv d massa delle sngle spece. Queste ptes s vann ad aggungere a quelle relatve alla prduzne prma ctate e sn, vvamente, sl quelle pù rlevant sprattutt per quant cncerne le trattazn d nteresse nel camp della cmbustne. Prpr n vrtù della lr mprtanza è pprtun elencarle d nuv e sapere pprtunamente rlassarle nel cas n cu la descrzne del prcess d cmbustne l rcheda. Queste ptes s pssn esprmere cme pssbltà d trascurare seguent termn ρg asscat alla gravtà g nell equaz. relatva alla quanttà d mt p + v p " " cmprmbltà " " all entalpa sensble J : v " " vscstà " " " " v J " " al fluss radatv " " " " r J s Y h " " alla df. d massa " " " " Altre equazn d blanc, che pssn essere scrtte stt le ptes qu rprtate, sn quelle dell'energa cnetca, dell'entalpa d frmazne, dell'entalpa e dell'entalpa ttale. L'energa cnetca, e c = 1 2 v v, s ttene dall'equazne d cnservazne della quanttà d mt mltplcand scalarmente tutta l'espressne per la velctà v. L'equazne ttenuta s presenta nella seguente frma ρe c ( ρv e ) + J + v = 0 + p c e c (1.8) dve l fluss dffusv d energa cnetca, J ec, è uguale al prdtt v J V.

4 Analgamente l'equazne d blanc dell'entalpa d frmazne, h = Y h s ttene mltplcand l'equazne d blanc della generca spece -ma per l entalpa d frmazne d quella spece e smmand membr a membr le equazn csì ttente su tutte le spece present nel sstema. L'equazne s presenta nella seguente frma ρh + ρvh ( ) + J h = ρ h (1.9) dve l fluss dffusv, J h, è uguale a ρ J Y. La smma membr a membr delle eqq. 1.7 e 1.9 frnsce l'equazne d cnservazne dell'entalpa h = h + h s ρh + h ( ρv h) + J = 0 (1.10) dve J è uguale alla smma de due fluss dffusv d entalpa sensble, J h s, e d frmazne, J h. Infne la cnservazne dell'entalpa ttale T tt s = h + ec = h + h + ec = Y cp ( T) dt + T 0 h Y h + e s ttene dalla smma dell'eqq. 1.8 e 1.10, n md tale da rsultare ( tt ρh ) ( tt + ρv h ) + J = 0 tt dve J h tt è dat dalla smma de fluss dffusv d energa cnetca, e c, ed entalpa,h. h c (1.11) (1.12) Fluss dffusv I fluss dffusv d quanttà d mt,d massa, d entalpa sn quanttà espresse nel paragraf precedente sl smblcamente. Hann le dmensn della grandezza a cu s rferscn per untà d superfce e d temp. Ess debbn essere relaznat alle grandezze prmtve nel cas s vgla ttenere un numer d equazn d blanc par al numer delle varabl prmtve. Infatt nelle equazn cmpan nuve ncgnte che sn appunt fluss dffusv, la pressne e le prduzn. In altre parle nn bsgna aggungere nuve ncgnte se s desdera rslvere le equazn stesse, per cu s debbn trvare delle relazn che clleghn fluss e le prduzn alle varabl prmtve. In quest paragraf sn rprtate tal relazn per quant rguarda fluss dffusv. Esse sn generalmente tratte da crrelazne emprche da trattazn statstc-mleclar da cnsderazn e legg d tp termdnamc. Per quant rguarda mezz gasss sn dspnbl trattazn d tutt e tre tp.

5 In questa sede le relazn sn date senza rferment partclare a nessuna d queste trattazn cn l unc breve accenn alla seguente legge termdnamca: I fluss dffusv s pssn ttenere dalla cmbnazne lneare de gradent delle grandezze specfche, asscate alle prmtve, dell stess rdne tensrale". Trascurand gl effett ncrcat, vversa la dpendenza d un fluss dffusv d una grandezza da un altr, tal relazn, dette anche equazn csttutve del mezz sn csì esprmbl J v = ρν ( v+ T v) (1.13) J Y = ρd m ( Y ) (1.14) J h s = ρα ( h s ) (1.15) ν, D m, e α sn rspettvamente la dffusvtà cnematca, d massa e termca; hann le dmensn d una lunghezza al quadrat per untà d temp, sn apprssmatvamente ugual tra d lr e valgn crca 10-5 m 2 s -1 per gas bmleclar e relatvamente pc dens (cme l ara a temperatura e pressne atmsferca). Pertant numer d Prandtl, Schmdt e Lews (rapprt d cppe d dffusvtà) sn all ncrca untar. La dffusvtà cnematca e termca d mezz multcmpnent gasss sn bene apprssmate da frmule basate su mede pesate del tp ν = 1 m 2 1 ( X ν ) ( m 2 X ) (1.16) ( m Xα ) ( m X ) α (1.17) = Al cntrar la dffusvtà d massa d un unca spece -ma n una mscela d dverse spece gassse dpende n md pù cmpless da effett legat alle sngle spece. In partclare l ptes prma ctata d ndpendenza del fluss da effett ncrcat rsulta anche essa nn valda per ragn d cerenza nterna all nseme d ptes fn qu fatte. Cmunque quand ceffcent d dffusne bnara D, j hann l stess rdne d grandezza, rsulta abbastanza realstca la seguente frmula basata sulla meda armnca pesata sulle frazn mlar delle sngle spece 1 D, m ( X D, ) = j (1.18) Prduzne d spece chmche La prduzne ρ è esprmble n termn d cncentrazn mlar cme rsulta dalla prma eguaglanza dell equazne seguente

6 ρ r = m C = m ν, j ω j (1.19) j " dve ν, j è la dfferenza tra ceffcent stechmetrc de prdtt (ν, j ' )e de reagent (ν, j ) relatva alla spece -ma asscata alla reazne j-ma ed ω j è la velctà d reazne relatva alla reazne j- ma. Generalmente la velctà d reazne può essere legata alla cncentrazne de reagent tramte la seguente relazne fenmenlgca s ω ' ν j = k j C jk k (1.20) reagent tramte la seguente relazne fenmenlgca Infne k j detta cstante specfca della velctà d reazne, è generalmente espressa n termn d legge del tp Arrhenus, cme ( k j = A j e E j RT ) k (1.21) Le cstant cnetche sn generalmente nte per mlte reazn elementar d nteresse ne prcess d cmbustne. In partclare fattr pre-espnzal e le energe d attvazne sn nte cn buna apprssmazne per le reazn bmleclar su cu s svlge gran parte del percrs cnetc relatv all ssdazne rspett alle reazn un e termleclar a cu sn asscate le reazn d prscssne e d rcmbnazne. Test cnsglat Thery f Lamnar Flames, J.D. Buckmaster e G.S. Ludfrd, Cambrdge Unversty Press, 1982 Transprt Prcesses n Chemcally Reactng Flw Systems, D.E. Rsner, Butterwrths, Bstn, 1986 Transprt Phenmena, R.B. Brd, W.E. Stewart e C. Lghtft, Jhn Wley, N.Y., 1960 Fundamental Mechancs f Fluds, I.G. Curre, McGraw-Hll, N.Y., 1974 Turbulent Cmbustn Mdelng, Tarek Echekk, E Mastraks. Sprnger, 2010