Sistemi Intelligenti Fondamenti di elaborazione dei segnali

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1 Sistemi Itelligeti Fdameti di elabrazie dei segali Albert Brghese Uiversità degli Studi di Mila Labratri di Mti Aalysis ad Virtual Reality (MAVR) Dipartimet di Scieze dell Ifrmazie /56 Riassut della lezie Spazi matematici. Spazi vettriali e di Hilbert. Ccett di base. Prdtt iter. Spazi fuziali. Base trigmetrica. Rappresetazie i Serie di Furier. I fasri. Trasfrmata di Furier ctiua. Filtraggi di u segale el temp e prdtt di cvluzie. Segali campiati. Filtraggi di u segale el dmii delle frequeze. Filtr passa bass e filtr passa alt. /56

2 Gli spazi matematici Spazi vettriali. Spazi metrici. Spazi vettriali rmati e metrici (Spazi di Baach). Spazi vettriali rmati, metrici, dtati di prdtt iter (Spazi di Hilbert). 3/56 Spazi vettriali Crrispdeza tra -ple di umeri reali [,,... N ] e puti ell spazi -dimesiale. Vettre è il segmet rietat che uisce l rigie c il put P(,,... N ). y P X è spazi di elemeti {}. Λ è u camp (e.g. Numeri reali). X è u spazi vettriale rispett a Λ se: ) E defiita la smma tra gli elemeti {}. ) E defiita l perazie di mltiplicazie di u elemet di X per u scalare di Λ. θ Spazi Euclide 4/56

3 Prprietà degli peratri sui vettri ) Smma: ad gi cppia di elemeti,y X, deve crrispdere u elemet smma, z X. Dev valere: Prprietà cmmutativa. Prprietà assciativa. Esisteza dell elemet eutr ( ull), demiat. Esisteza dell elemet ppst. ) Mltiplicazie: ad gi elemet X e λ Λ, deve crrispdere u elemet z X. Dev valere: Prprietà cmmutativa. Prprietà assciativa. Prprietà distributiva. Esisteza dell elemet eutr, demiat. 5/56 Descrizie di u elemet dell spazi vettriale Pss idividuare u qualsiasi put dell spazi, cme smma pprtua di vettri. D = B + C D = C + ½ *E E NB Qui è implicita la defiizie di rma di u vettre Si dimstra che è pssibile scegliere u vettre per gi dimesie dell spazi ed tteere u qualsiasi altr vettre cme smma pesata dei vettri di base (cmbiazie lieare). NB N abbiam acra parlat esplicitamete di distaza. 6/56

4 Base di u spazi vettriale N vettri liearmete idipedeti cstituisc ua base, B, dell spazi vettriale -dimesiale, X. B = [b, b,..., b N ] Liearmete idipedeti: λ b +λ b +...+λ N b N =, Iff λ =λ =...= λ N =. Qualsiasi vettre X, può essere rappresetat cme cmbiazie lieare della base. = λ b +λ b +...+λ N b N 7/56 Spazi metrici Per gi cppia di elemeti di u geeric spazi S: [, y], viee defiit u fuziale: d(,y), dett distaza, tale che: ) d(,y) = (d(,y) = sse = y). ) d(,y) = d(y,) (prprietà di simmetria). 3) d(,y) = d(,z) + d(z, ) (prprietà triaglare). Gli spazi S, sui quali è defiita ua metrica, s chiamati spazi metrici. Questi spazi pss ache essere vettriali. 8/56

5 d : d(,y) = k k y Esempi di metrica d : d(,y) = = PH + HO k k y k Nrma utilizzata egli spazi Euclidei. N è acra il mmet... k = PH + HO O θ H P Altre metriche pssibili: d(,y) = P P y 9/56 Spazi vettriali rmati Viee defiita ua rma,., assciata all spazi vettriale X. Per gi elemeti di X:, ed gi elemet λ di Λ, valg:. = ( = sse = ).. λ = λ λ, 3. + y = + y (disuguagliaza triaglare). U spazi vettriale rmat, può essere res metric sceglied cme misura della distaza tra due vettri, la rma della differeza: d(,y) = y Che differeza c è tra rma e distaza? Gli spazi vettriali rmati (e cmpleti) s detti spazi di Baach (93). /56

6 Spazi di Hilbert Partiam da u spazi vettriale, H, ecessariamete rmat. Itrduciam il prdtt scalare, tra due elemeti, idicat c (,y) y. Il prdtt scalare è u fuziale lieare del prim fattre, ciè: ( +, y) = (, y) + (, y) (λ, y) = λ(, y). Vale la prprietà pseud-cmmutativa: (, y) = (y, ) 3. (, ) = (, ) = sse =. Defiisc cme rma ell spazi vettriale H: = d(, y) = y (, ) Gli spazi di Hilbert s spazi di Baach per i quali la rma (e quidi la misura della distaza) è derivata dalla defiizie di prdtt scalare. /56 Esempi di prdtt iter (priezie rtgale) y = y cs(θ) = y y Prprietà cmmutativa: y = y Aullamet del prdtt: = sse = Fuzie lieare del prim fattre: (λ) y = λ( y) ( + ) y = y + y L scalare λ può essere ites cme crdiata lug u asse y (versre). Cdizie di rtgalità: y = /56

7 L spazi Euclide E u esempi di spazi Hilbertia. C la defiizie di rma e prdtt scalare si pss ricavare tutte le prprietà be te dell spazi gemetric Euclide. La psizie di gi put è defiita da u vettre rispett all rigie e valg tutte le prprietà di u spazi vettriale. La rma di u vettre è defiita cme il mdul, quest può essere espress cme prdtt iter del vettre per sè stess. Cme base dell spazi vettriale -dimesiale, Hilbertia Euclide pss essere presi vettri liearmete idipedeti. Slitamete si csidera vettri tutti rtgali tra lr (i versri degli assi). 3/56 Espressie di u put fuzie della base dell spazi Euclide v = (P O)., y base dell spazi y v P θ λ, λ y crdiate. Otteg le crdiate per priezie rtgale: λ = (v ) λ y = (v y) Ricstruisc cme cmbiazie lieare degli elmeti di base: v = λ + λ y y. 4/56

8 Iptesi implicita Ortgalità della base: ^ y Vale il terema di Pitagra. = (, ) d(,y) = y = y y v θ P H v = v = ( P O),( P O) = ( λ + λ y),( λ + λ y) = ( λ ), ( λ ) + ( λ ),( λ y) + ( λ y),( λ ) + ( λ y, λ y y y y y y y y) = ( λ ) + λ yy = ( P H ) + ( H O = λ + λ y 5/56 Base rtgale Ortgalità della base: ^ y λ = (v ) λ y = (v y) y v P θ v? λ + λ y y. Sl c basi rtgali si tteg i cefficieti per priezie sulla base e la ricstruzie cme cmbiazie lieare dei cefficieti per la base. 6/56

9 Riassut della lezie Spazi matematici. Spazi vettriali e di Hilbert. Ccett di base. Prdtt iter. Spazi fuziali. Base trigmetrica. Rappresetazie i Serie di Furier. I fasri. Trasfrmata di Furier ctiua. Filtraggi di u segale el temp e prdtt di cvluzie. Segali campiati. Filtraggi di u segale el dmii delle frequeze. Filtr passa bass e filtr passa alt. 7/56 Spazi vettriale e fuzii ctiue Sia f() ua fuzie ctiua tra a e b. X = {ξ, ξ, ξ 3, ξ 4, ξ 5, ξ 6,... ξ Ν } = ξ κ = N Guardad ad gi valre della fuzie: (ξ), a = ξ = b, pssiam csiderare il cas ctiu cme u passaggi al limite, k ->, del cas discret: X = (ξ) a = ξ = b Le fuzii ctiue (C ), apparteg ad u spazi vettriale, s cmplete e rmate i metrica d. Le fuzii che apparteg ad L s cmplete ella metrica d. 8/56

10 Spazi vettriale e fuzii ctiue Sia f() ua fuzie ctiua tra a e b, (f() C ). ) Smma: ad gi cppia di elemeti,y C, deve crrispdere u elemet smma, z C. Dev valere: Prprietà cmmutativa. Prprietà assciativa. Esisteza dell elemet eutr ( ull), demiat, [f() = ],. Esisteza dell elemet ppst. ) Mltiplicazie: ad gi elemet X e λ Λ, deve crrispdere u elemet z X. Dev valere: Prprietà cmmutativa. Prprietà assciativa. Prprietà distributiva. Esisteza dell elemet eutr, demiat, [λ = ],. 9/56 Fuzii ctiue e base spazi vettriale E pssibile defiire ua base per rappresetare le fuzii i C. Passaggi dal discret, dimesii, al ctiu dimesii. Smma sulle dimesii -> Serie di fuzii (svilupp di Taylr delle fuzii ctiue). Pss quidi esprimere la mia fuzie cme cmbiazie lieare di u umer ifiit di basi (el cas dell svilupp i serie di Taylr, cme umer ifiit di fuzii pteza). Le fuzii pteza cstituisc la base del mi spazi. Perchè C? /56

11 Pssibili rme per u spazi fuziale rmat ( ecessariamete vettriale): Metrica del massim ( Lagragiaa, spazi L ): d(,y) = ma y Metrica itegrale di rdie (spazi L ): è d(, y) = ( t) b a y( t) dt assciat alla teria della misura i u isieme. Metrica itegrale di rdie (spazi L ): Metrica itegrale di rdie p (spazi L p ): /56 d (, y) = ( t) y( t) b a d p (, y) = ( t) y( t) b a dt p dt Spazi fuziali vettriali e metrici (spazi di Baach) (P) y(p) = rma. Metrica del massim ( Lagragiaa, spazi L ): d(,y) = ma y = (P) y(p) Metrica itegrale di rdie (spazi L ): è b a d (, y) = ( t) y( t) dt = (P)-y(P) assciat alla teria della misura i u isieme. b a d (, y) = ( t) y( t) dt = (P)-y(P) /56

12 Spazi fuziali di Hilbert = T ( P) ( P) dp y = y cs(θ) = y y y = T Il prdtt iter è massim quad le due fuzii s uguali, è miim quad s simmetriche rispett ad y. Quad è =? ( P) y( P) dp 3/56 Basi fuziali rtgali Ortgalità della base: ^ y (,y) = (e.g. Assi rtgali) p q Le basi della serie di pteze s rtgali: ( ) y ( ) d Se le basi s rtgali, si pss calclare i cefficieti per priezie. T Fuzii trigmetriche: π cs( p)cs( q) d p e q iteri π π cs( q)cs( p) d = {cs(( p q) ) + cs(( p + q) )} d = /( p q)[ si[( p q) ] + π π + /( p + q)[ si[( p q) ] q = p = π q = p > π q? p 4/56

13 Base circlare trigmetrica y = cs() y=cs() T=π f = /π y=cs(*) T=π/ = π f = /π. < T > Due peridi al prezz di u : Se è iter, le frequeze s multiple, tutte le csiusidi iizia dall stess put. y=cs(-) T=p f = /(p) Sfasamet (φ).8.6 Fase j = -.4. La frma più geerale è: y = cs( + ϕ) 5/ Riassut della lezie Spazi matematici. Spazi vettriali e di Hilbert. Ccett di base. Prdtt iter. Spazi fuziali. Base trigmetrica. Rappresetazie i Serie di Furier. I fasri. Trasfrmata di Furier ctiua. Filtraggi di u segale el temp e prdtt di cvluzie. Segali campiati. Filtraggi di u segale el dmii delle frequeze. Filtr passa bass e filtr passa alt.. 6/56

14 Rappresetazie i serie di Furier Rappreset ua fuzie peridica di perid T, cme serie di fuzii trigmetriche: f() = [ a cs( ) + b si( )] Perid π /. + Mti circlari, dulatri... Cdizii di Dirichelet. La fuzie deve avere al massim u umer fiit di puti di disctiuità (ei quali può ache essere defiita), e appartiee all spazi L. Se la fuzie è defiita su u geeric perid T. f() = + [ a T = perid π cs( ) + b T π si( )] = T + [ a cs( w ) + b π/t = ω = armica fdametale si( w )] 7/56 Calcl dei cefficieti della Serie di Furier f() = + [ a cs( ω ) + b si( ω )] (f(),cs(w k)) = (( [ a cs( w) + b si( w) ]),(cs( wk)) Calcl di a (k = ) (f(),) = + T / T / + T / f ( ) d = a d => a = /T T / + T / T / f ( ) d Valre medi el perid 8/56

15 Part da: f() = + T / T / f ( )cs( ω Calcl di a k (b k ) per k? + Priett su: cs( ω k) k) d = [ a cs( ω + T / a T / ) + b cs( w k) d+ si( ω )] = per k? + T / [ a cs( ω) + b si( ω) ](cs( ωk) d+, k T / = per rtgalità + T / [ ak cs( ωk) + bk si( ωk) ](cs( ωk) d T / a k = / T + T / T / f ( )cs( ω 9/56 k) d = T/ * a k Rappresetazie della serie di Furier mediate mdul e fase f() = + A cs( ω + φ ) Difficile da trattare aaliticamete Frmule di prstaferesi sulla -esima armica A *cs(φ )*cs(w ) + A *si(φ )*si(w ) = a cs(w ) + b si(w ). a = A *cs(φ ) b = A *si(φ ) a + b = A b / a = ta(φ ) 3/56

16 [a k, b k ] [A k, f k ] cmmeti Pssiam quidi islare l armica c cteut i frequeza k, semplicemete priettad sulla base cse (se). a k + b k = A k rappreseta il cteut di eergia del str segale di parteza assciata all armica k. b k / a k = ta(φ k ) rappreseta la fase (sfasamet rispett all rigie) dell armica k. 3/56 Riassut della lezie Spazi matematici. Spazi vettriali e di Hilbert. Ccett di base. Prdtt iter. Spazi fuziali. Base trigmetrica. Rappresetazie i Serie di Furier. I fasri. Trasfrmata di Furier ctiua. Filtraggi di u segale el temp e prdtt di cvluzie. Segali campiati. Filtraggi di u segale el dmii delle frequeze. Filtr passa bass e filtr passa alt. 3/56

17 Rappresetazie i serie di pteze e z = + z! = + z + z! + z 3 3! 4 z + 4! +... e iz = + i z z z z z = + iz i + i!! 3! 4! 5! e z = + = ( z)! 3 4 z z z = z ! 3! 4! e iz ( iz) = +! z z z z = iz + i + i! 3! 4! 5! si( z) = + ( ) (+ ) 3 5 z z z = z + ( + )! 3! 5! 7 z... 7! iy θ P cs( z) = + ( ) () 4 z z z = + ()!! 4! 33/56 6 z... 6! e si( z) = e cs( z) = iz iz e i + e iz iz Frma trigmetrica cmbiata della serie di Furier Pssiam scrivere l espeziale cmplessa i fuzie di si(z) e cs(z): e iz = cs(z) + isi(z). i Se z = w, reale, risulta: e ω = cs(w ) + isi(w ). f ) + jw ( = c e = 34/56 + [ a cs( w ) + b Dimstriam che: ak cs( + = Ped: ) ( c + c jkw jkw kw ) b si( kw ) cke + c ke k a = c + c b = i( c c iw iw iw iw e + e e e iw ) + i( c c ) = ce + Pss determiare i cefficieti cme: i c = / T + T / T / si( w )] c f ( ) e e jw iw d

18 Serie di Furier - riassut ) Ua fuzie c supprt fiit peridica, apparteete agli spazi L (asslutamete itegrabile, c u umer fiit di disctiuità), può essere rappresetata cme cmbiazie lieare di fuzii di base circlari (Serie di Furier). + f() = a + [ a cs( w) + bsi( w)] ) Per via dell rtgalità delle basi, i cefficieti delle basi pss essere calclati priettad la fuzie sulle basi stesse. a = /T + T / T / f ( ) cs( w ) d 35/56 b = /T + T / T / f ( ) si( w ) d 3) I cefficieti rappreseta l ampiezza e l sfasamet delle csiusidi che cstituisc la fuzie. La Serie di Furier fa l aalisi i frequeza della fuzie. f() = c + + A cs( w + φ ) 4) Utilizzad le fuzii espeziali cmplesse (fasri) si può scrivere la serie di Furier i md cmpatt cme: f ) + c jw ( = e c = / T f ( ) e + T / T / jw d Riassut della lezie Spazi matematici. Spazi vettriali e di Hilbert. Ccett di base. Prdtt iter. Spazi fuziali. Base trigmetrica. Rappresetazie i Serie di Furier. I fasri. Trasfrmata di Furier ctiua. Filtraggi di u segale el temp e prdtt di cvluzie. Segali campiati. Filtraggi di u segale el dmii delle frequeze. Filtr passa bass e filtr passa alt. 36/56

19 Trasfrmata di Furier + + T / jw f ( ) = ce c = / T f ( ) e T / jw d w = π/t f() defiita tra e +, asslutamete itegrabile (T + ). + jw f ( ) = / π F( jw) e dw jw F( jw) = f ( ) e d Le frequeze da umerabili, diveta ifiite. + 37/ F( jw) Esempi di rappresetazie grafica + jw = f ( ) e d E ua fuzie cmplessa: mdul + fase 7 Mdul Fase Amplitude [mm] Amplitude (mdule) 4 3 Phase Agle [deg] Time [s] 5 Frequecy [Hz] 7 Addig Gaussia ise, zer mea, std = Frequecy [Hz] Amplitude [mm] -.5 Amplitude (mdule) 4 3 Phase Agle [deg] Time [s] 38/56 5 Frequecy [Hz] - 5 Frequecy [Hz]

20 Riassut della lezie Spazi matematici. Spazi vettriali e di Hilbert. Ccett di base. Prdtt iter. Spazi fuziali. Base trigmetrica. Rappresetazie i Serie di Furier. I fasri. Trasfrmata di Furier ctiua. Filtraggi di u segale el temp e prdtt di cvluzie. Segali campiati Filtraggi di u segale el dmii delle frequeze. Filtr passa bass e filtr passa alt. 39/56 Segali campiati e DFT Perchè si utilizza i segali campiati? Terema di Whittaker-Sha del campiamet. Cdizie sulla frequeza: ν ma < ν S /. Si itrduce la Trasfrmata Discreta di Furier (DFT): f ) + jw ( = ce f ( = + m k ) ce m jw k m quat vale? + m m π + m π j k j T N = ce m f ( k ) = ce T = t k 4/56

21 Defiizie di filtr Ogi sistema fisic può vedersi cme u filtr Csidererem filtri lieari e temp- ivariati. Defiisc u sistema S(f(t)) Lieare e Temp-Ivariate, u sistema descritt dall peratre S(.) che trasfrma f(t) i md tale che valga queste prprietà: Lieare: S(f(t)+g(t)) = S(f(t))+S(g(t)) e S(a*f(t)) = a*s(f(t)) Temp ivariate: S(f(t))=g(t) implica S(f(t-t ))=g(t-t ) (ivariate alla traslazie). Il rapprt igress/uscita di gi filtr (vver il su cmprtamet ) è uivcamete determiat dalla sua rispsta all impuls. 4/56 Defiizie di impuls Viee rappresetat dalla δ di Dirac (δ(t)). Rappreseta ua fuzie che vale zer vuque, trae che i t =. δ(.) è ua distribuzie, vale ciè che: δ (t)dt =. E ua fuzie impulsiva, el ses che la fuzie è ccetrata i t =. La trasfrmata di Furier di δ(t) è F(δ(t)) = + - iωt δ (t) e dt. =. Ifatti δ(t) è? sl per t =, put el quale e iωt =. NB δ(t) sddisfa le iptesi di liearità: δ(t-a) = sse t = a. 4/56

22 Fuziamet dell impuls Csideriam u geeric segale f(t), ctiu. + Aalizziam csa succede se elabr f(t) i quest md: f(a)d(t - a) da Dimstriam che: f(a)d(t a) da = f(a) d(t a) da = f(t) + - Per t? a, d(t-a) =, pss quidi sstituire f(a) c f(t). f(t)d(t a) da = f(t) 43/ f(t) è idipedete dalla variabile di itegrazie. d(t a) da = f(t) c.v.d. Rappreset quidi il mi segale cme itegrale del prdtt di f(t) per la traslazie dell impuls lug l asse dei tempi. Prdtt di cvluzie Iput (Liear) System = Filter h() Output ut( k M ) = / M h( ) iput( ) = h( ) iput( ) ut ( ) = ( ~ ) ( ~ ) ~ h iput d = h( ) * iput( ) k Cas discret Cas ctiu Csa succede se h cme mdell del filtr u impuls: (h( k ) = δ( k ) = sse = k, h( k ) = altrve)? 44/56

23 Prdtt di cvluzie c impuls Iput = f(t) (Liear) System Output =? = Filter h(t) La rispsta del filtr all impuls del sistema (lieare) è: S(δ(t)) = h(t). S(f(t)) = S f(a) δ (t-a)da = f(a)s( δ (t - a))da f(t)h(t -a)da Per la liearità del sistema S(.) = Per la tempivariaza del sistema S(.) 45/56 Prdtt di cvluzie (visualizzazie grafica) Iput (Liear) System = Filter h() Output ut( k M ) = / M h( ) iput( ) = h( ) iput( ) Il segale scrre vers destra e siistra rispett al filtr al variare del valre di. k Filtr media mbile, perchè?.5 I gi psizie viee effettuata la smma dei prdtti dei campii del segale e del fitr. Il prim valre di uscita si ha per = 5 pari all ampiezza del filtr /56

24 Rappresetazie el dmii delle trasfrmate Iput (Liear) System = Filter H(w) Output La cvluzie el dmii dell spazi equivale ad u prdtt el dmii delle frequeze ut ( ) = h( ~ ) iput( ~ ) d ~ OUT( w) = H ( w) * IN ( w) OUT(w) 5 4 H(w) 6 5 IN(w) Frequecy Frequecy Frequecy L ampiezza di ciascua armica, ω, del segale IN(ω ), viee mdificata selettivamete a secda dell ampiezza di H(ω ). 47/56 Terema di Parseval La Trasfrmata di Furier matiee la rma L di u segale vversia l eergia. ( P) ( P) dp = X ( w) X ( w) dw X(ω) = F((P)) 48/56

25 Riassut della lezie Spazi matematici. Spazi vettriali e di Hilbert. Ccett di base. Prdtt iter. Spazi fuziali. Base trigmetrica. Rappresetazie i Serie di Furier. I fasri. Trasfrmata di Furier ctiua. Filtraggi di u segale el temp e Prdtt di cvluzie. Segali campiati. Filtraggi di u segale el dmii delle frequeze. Filtr passa bass e filtr passa alt. 49/56 Amplitude [mm] Filtraggi el dmii delle frequeze (E.g. Separazie delle armiche di segale da quelle di rumre) Segale rigiari s(t) Amplitude (mdule) Filtri ideali Lw-pass (bassa bass) Isla le basse frequeze. - 5 Frequecy [Hz] Time [s] 6 6 Amplitude (mdule) Mdul della trasfrmata di Furier di s(t) Amplitude (mdule) High-pass (passa alt) Isla le alte frequeze. 5 Frequecy [Hz] 5 Frequecy [Hz] A.A. I 3-4 filtri ideali s implemetabili 5/56 i temp fiit su u segale -peridic.

26 Filtraggi reale passa-bass Gaussia Amplitude [mm] Amplitude (mdule) Lw-pass (Gaussia) σ? σ= σ = 4 σ = Amplitude [mm] Time [s] 5 Frequecy [Hz] ( σ ( c c = e Csideriam il filtr Gaussia: h ; ) = g( ; σ ) Time [s] La psizie della Gaussiaa è defiita da c, la sua ampiezza da σ. - c ) La sua Trasfrmata di Furier è acra ua Gaussiaa: H( w) = e /4σ w πjv e c H( w) /4σ w = e A parità di ω, l ampiezza cresce c il decresce di σ. σ regla l ampiezza della bada passate del filtr. 5/56 Rle f the scale s Liear filter (lw-pass) S ( P) Small scale (high frequecy) M = S G k k ( P P σ ) σ Scale f the filter (badwidth) k Large scale (lw frequecy) Furier trasfrm f the Gaussia is a Gaussia: I π w G P k ; σ = e Settig s, we set the spatial frequecy f the recstructi. 5/56 ( ( )) σ ν

27 Caratteristiche spaziali temprali di u filtr Per aalizzare il cmprtamet di u filtr si utilizza due particlari iput: Impuls: defiit matematicamete cme ua distribuzie c dmii ifiitesim, cdmii ifiit ed area fiita. Csete di aalizzare quat rapidamete u sistema tra al su stat iiziale. Scali: defiit matematicamete cme ua disctiuita del prim rdie. Csete di aalizzare quat rapidamete u sistema segue delle variazii brusche i igress. 53/56 Rispsta all impuls Iput (Liear) System = Filter Output Impuls (apprssimat) σ = Filtr Gaussia Uscita = Filtr σ = L uscita di u sistema lieare, sllecitat da u impuls, è equivalete al filtr stess. Maggire è la capacità filtrate, maggire è la dispersie ell spazi, e la velcità di ritr a zer, mire è l ampiezza della rispsta (l area è la 54/56 stessa).

28 Scali Iput Rispsta ad u scali (Liear) System = Filter α e t Output α = α = L uscita di u sistema lieare, sllecitat da u scali, è tat più velce e segue tat più fedelmete l scali, tat mire è la cstate di temp (/α). Tat mire è la cstate di temp, tat maggire la bada passate 55/56 del filtr. I ccetti pricipali Ogi sistema che riceve u iput e prduce u utput può essere rappresetat cme u filtr. L perazie di filtraggi, ei sistemi lieari, si esprime cme prdtt di cvluzie el dmii dell spazi (temp) e cme prdtt el dmii delle frequeze. La bada passate di u filtr, determia quali frequeze veg riprdtte i uscita. Maggire è la bada passate, maggire la fedeltà al segale di parteza e la rapidita di rispsta, ma mire e la capacita di filtrare rumre. 56/56