Stabilità dei sistemi di controllo in retroazione - Esercizi

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1 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi Esercizi 1 Sia dat il sistema LTI descritt dalla seguete fuzie di trasferimet: 00(s + 10) F(s) = 3 s + 45s 50s ctrllat mediate u ctrllre static di guadag K c (da defiire), chius i u aell di retrazie egativa uitaria, secd l schema riprtat i figura: r(s) + K c F(s) y(s) a) Determiare, c l ausili di Matlab, le siglarità della fuzie F(s), evideziade parte reale e parte immagiaria, ché pulsazie aturale e fattre di smrzamet per evetuali siglarità cmplesse ciugate. b) Dp aver tracciat qualitativamete a ma i diagrammi di Bde di F(jω), determiare l adamet esatt c l ausili di Matlab. c) Tracciare qualitativamete il diagramma di Nyquist di F(jω) e qutare i pricipali puti di iteresse (vver gli attraversameti dell asse reale) c l'ausili di Matlab. d) Studiare la stabilità del sistema ad aell chius al variare di K c mediate applicazie del criteri di Nyquist, verificade i particlare la stabilità per K c = 10 ache mediate calcl dirett dei pli della fuzie di trasferimet ad aell chius. e) Determiare i margii di stabilità di guadag e di fase per K c = 10. Svlgimet cmplet dell esercizi 1 a) La fuzie F(s) pssiede u zer i -10, u pl ell rigie, u i +5 ed u i -50. Per il lr calcl, si ricrda i cmadi Matlab: zer(f), ple(f), damp(f). b) Nella seguete figura s riprtati i diagrammi di Bde di F(jω) tteuti c il cmad bde(f): 007 Plitecic di Tri 1

2 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi c) Nella seguete figura è riprtat il diagramma di Nyquist di F(jω) tteut c il cmad yquist(f), cmpletat maualmete dal semicerchi di raggi ifiit. Direttamete dalla crrispdete fiestra grafica di Matlab, è pssibile leggere l ascissa del put di attraversamet del diagramma c il semiasse reale egativ, pari a d) Si sserva che F(s) preseta u pl a parte reale psitiva e quidi ia = 1. Al variare di K c, il put critic ( 1/K c,0) si spsta lug l asse reale; idicat c N il umer di giri cmpiuti i ses rari da F(jω) attr al put critic variabile, si idividua 3 regii di iteresse per l aalisi di stabilità: i. 1/ Kc < 0.6, c Kc > 0, crrispdete a 0 < Kc < 1.613, per cui si ha N = 1 e quidi ic = (il sistema ad aell chius preseta due pli istabili) ii. 1/Kc > 0.6, crrispdete a Kc > 1.613, per cui si ha N = -1 e quidi ic = 0 (il sistema ad aell chius è asitticamete stabile) iii. 1/Kc > 0, crrispdete a Kc < 0, per cui si ha N = 0 e quidi ic = 1 (il sistema ad aell chius preseta u pl istabile) I particlare, il valre K c = 10 appartiee alla secda regie, per cui il sistema ad aell chius risulta asitticamete stabile. È pssibile verificare c Matlab tale risultat, 007 Plitecic di Tri

3 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi determiad la fuzie di trasferimet ad aell chius W(s) per tale valre di K c e calclade esplicitamete i pli c i segueti cmadi: Kc=10; W=feedback(Kc*F,1); ple(w) I pli risultati s i: i, i, Essed tutti a parte reale egativa, è cfermata l effettiva stabilità del sistema. e) C il cmad margi(kc*f) si tteg i margii di stabilità, pari a m G = db (margie di massima atteuazie del guadag) e m ϕ = 31 (margie di massima perdita di fase). 007 Plitecic di Tri 3

4 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi Esercizi Sia dat il sistema LTI descritt dalla seguete fuzie di trasferimet: 3150(s + 4) F(s) = 3 (s + s )(s + 50) ctrllat mediate u ctrllre static di guadag K c (da defiire), chius i u aell di retrazie egativa uitaria, secd l schema riprtat i figura: r(s) + K c F(s) y(s) a) Determiare, c l ausili di Matlab, le siglarità della fuzie F(s), evideziade parte reale e parte immagiaria, ché pulsazie aturale e fattre di smrzamet per evetuali siglarità cmplesse ciugate. b) Dp aver tracciat qualitativamete a ma i diagrammi di Bde di F(jω), determiare l adamet esatt c l ausili di Matlab. c) Tracciare qualitativamete il diagramma di Nyquist di F(jω) e qutare i pricipali puti di iteresse (vver gli attraversameti dell asse reale) c l'ausili di Matlab. d) Studiare la stabilità del sistema ad aell chius al variare di K c mediate applicazie del criteri di Nyquist, verificade i particlare la stabilità per K c = ache mediate calcl dirett dei pli della fuzie di trasferimet ad aell chius. e) Determiare i margii di stabilità di guadag e di fase per K c =. Traccia dell svlgimet dell esercizi Per la risluzie dei puti a) e b), si faccia riferimet ai cmadi Matlab utilizzati per i medesimi puti dell esercizi precedete. Nel tracciamet del diagramma di Nyquist, è ecessari prestare attezie alla preseza di due puti di attraversamet del diagramma c il semiasse reale egativ (crrispdeti alle due pulsazii alle quali la fase di F(jω) vale -180, cme risulta dal crrispdete diagramma di Bde). Tali puti di attraversamet s rilevabili i Matlab sltat igraded pprtuamete l ultima przie del diagramma, cme riprtat ella figura sttstate. 007 Plitecic di Tri 4

5 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi Data la preseza di due pli ell rigie fra le siglarità di F(jω), il diagramma deve essere cmpletat da due semicerchi di raggi ifiit (equivaleti ad ua rtazie cmpleta) percrsi i ses rari dal put crrispdete a ω 0 a quell crrispdete a ω 0 +. Dall applicazie del criteri di Nyquist, sservad che ia = 0, risulta che: i. Per 0 < K c < 0.15 e per K c > il sistema ad aell chius preseta due pli istabili ii. Per 0.15 < K c < il sistema ad aell chius è asitticamete stabile iii. Per K c < 0 il sistema ad aell chius preseta u pl istabile. Per il calcl dirett dei pli del sistema ad aell chius per K c = e per la determiazie dei crrispdeti margii di stabilità è sufficiete applicare gli stessi cmadi Matlab csiderati ell esercizi precedete. 007 Plitecic di Tri 5

6 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi Esercizi 3 È dat il sistema descritt dalla fuzie di trasferimet: 10(s + 1) F(s) = s(s+ 4) Tale sistema viee chius i retrazie egativa uitaria, c l iserimet di u blcc di guadag variabile K c. Discutere la stabilità del sistema i catea chiusa al variare di K c, mediate applicazie del criteri di Nyquist. Determiare il valre di K c per cui il margie di fase è massim (specificad tale valre massim). Sluzie dell esercizi 3 Dall applicazie del criteri di Nyquist, il sistema ad aell chius risulta asitticamete stabile per qualuque valre psitiv di K c ; preseta u pl istabile per qualuque valre egativ di K c. Si ttiee il massim margie di fase sceglied K c i md che ω c risulti pari a rad/s, pulsazie alla quale la fase di F(jω) raggiuge il valre massim (cme si rileva dal crrispdete diagramma di Bde). I particlare, per K c = 1.6 si ttiee m ϕ = Plitecic di Tri 6

7 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi Esercizi 4 È dat il sistema descritt dalla fuzie di trasferimet: 5(s + 10) F(s) = s(s 50) Tale sistema viee chius i retrazie egativa uitaria, c l iserimet di u blcc di guadag variabile K c. Discutere la stabilità del sistema i catea chiusa al variare di K (determiad i particlare l itervall di valri di K c per cui si ha asittica stabilità), mediate applicazie del criteri di Nyquist; i cas di istabilità del sistema, specificare il umer di pli istabili per ciascu itervall di valri di K c. Sluzie dell esercizi 4 Dall applicazie del criteri di Nyquist, sservad che F(s) preseta due pli a parte reale psitiva, risulta che: i. Per 0 < K c < il sistema ad aell chius preseta due pli istabili ii. Per K c > il sistema ad aell chius è asitticamete stabile iii. Per K c < -5 il sistema ad aell chius preseta u pl istabile iv. Per -5 < K c < 0 il sistema ad aell chius preseta tre pli istabili. 007 Plitecic di Tri 7

8 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi Esercizi 5 È dat il sistema descritt dalla fuzie di trasferimet: 115(s + )(s + 4) F(s) = (s 1)(s + 30)(s + 50) Tale sistema viee chius i retrazie egativa uitaria, c l iserimet di u blcc di guadag variabile K c. Discutere la stabilità del sistema i catea chiusa al variare di K (determiad i particlare l itervall di valri di K c per cui si ha asittica stabilità), mediate applicazie del criteri di Nyquist; i cas di istabilità del sistema, specificare il umer di pli istabili per ciascu itervall di valri di K c. Sluzie dell esercizi 5 Dall applicazie del criteri di Nyquist, sservad che F(s) preseta u pl a parte reale psitiva, risulta che: v. Per < K c < e per K c < -0. il sistema ad aell chius preseta u pl istabile (N.B.: per K c = 0 il sistema diveta i catea aperta) vi. Per K c > il sistema ad aell chius è asitticamete stabile vii. Per -0. < K c < il sistema ad aell chius preseta tre pli istabili. 007 Plitecic di Tri 8

9 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi Esercizi 6 Sia dat u sistema diamic del secd rdie il cui mdell apprssimat è caratterizzat dalla fdt G(s): y(s) ω G(s) = =, c 0 < ζ < 1 (sistema stabile) u(s) s + ζωs + ω Si iptizzi di partire da cdizii iiziali ulle ( y (t = 0) = 0, y(t = 0) = 0) e di applicare u igress u siusidale di ampiezza uitaria e pulsazie ω : u(t) = si( ω t) u(s) = s ω + ω Calclare l espressie dei mdi prpri e dei mdi frzati dell uscita y del sistema. Svlgimet cmplet dell esercizi 6 È cveiete partire dall espressie di y(s) e dalla sua rappresetazie i frazii parziali ω ω as + b αs + β y(s) = G(s)u(s) = = + s + ζωs + ω s + ω s + ζωs + ω s + ω c a, b, α, β da determiare uguagliad gli ultimi due membri da cui, a + α = 0 b + β + ζω α = 0 ω a + ω α + ζω β = 0 ω b + ω β = ω ω ( as + b)( s + ω ) + ( αs + β)( s + ζωs + ω ) = ωω a b = α 4Ω ζ β + 1 ( Ω 1) ζω ω ω ( 4ζ + Ω 1) ( ) ζω Ω 1 dve Ω = ω ω A quest put, calclati a, b, α, β, c l ausili delle tabelle delle trasfrmate, si può riscrivere l espressie di y: 007 Plitecic di Tri 9

10 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi as + b αs + β y(s) = + = s + ζωs + ω s + ω c H = x x prp. 1 ζ prp. ζω t = He si x prp. 4 ζω t ( ω t) + e si( ω t) + α cs( ω t) + si( ω t) ( ω t + θ) + K si( ω t + ϕ) Ω ζ frz. s + ζω b ζaω ωx s ω β = a + + α + ( s + ζω ) + ω ω ( s + ζω ) + ω s + ω x s + ω ω ricrred alle tavle delle trasfrmate: ζω t b ζaω y(t) = ae cs x x ω Ω + x prp. frz. ( Ω 1) frz. β = ω frz. c ω x = ω 1 ζ ata ζ + Ω θ = ζ, 1 ζ 1 K = 4Ω ζ ϕ = ata + ( Ω 1) ( ζω, 1 Ω ) 1 Verifica sui mdi prpri: 1. è aturale che ampiezza e sfasamet dipeda ache da ω ;. la pulsazie di scillazie ω x cicide c la parte immagiaria dei pli cmplessi ciugati λ = ζω ± jω ζ 1 3. l evluzie dei mdi prpri tede asitticamete a zer i quat il sistema è asitticamete stabile (la parte reale dei pli, ζω, è egativa i quat ω è psitiva per defiizie e ζ è psitiv per iptesi); 4. a mtiv del put 3. si ha che i cdizii staziarie 1 π π t vver t >> max,, ζω ωx ω l uscita cicide c l evluzie frzata; 5. IMPORTANTE: si ricrdi che l ampiezza e l sfasamet dei mdi frzati (della rispsta frzata) a u igress siusidale (di ampiezza uitaria, di sfasamet ull e pulsazie ω ) cicid rispettivamete c il mdul e la fase della fdt i ω = ω, G(s = jω ). ωx 007 Plitecic di Tri 10

11 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi Verifica sui mdi frzati (i quest cas cicideti c la rispsta i regime staziari): 1. i BF, vver per ω << ω Ω 0, si ha i segueti risultati: K = 1, ϕ = 0; questi risultati si pss ritrvare dai DdB della G(s) i BF;. i AF, vver per ω >> ω Ω, si ha i segueti risultati: 1 K 0 cme (pedeza di 40 db/dec), Ω ( ζω,1 Ω ) ata( ζω, Ω ) = ata( ζ, Ω) = π rad ( 180 ) ϕ = ata questi risultati si pss ritrvare dai DdB della G(s) i AF; 3. per ω = ω Ω 1, si ha i segueti risultati: = 1 K = ; ζ π ( ζω,1 Ω ) = ata( ζ,0) = rad ( 90 ) ϕ = ata questi risultati si pss ritrvare dai DdB della G(s) i Ω = 1; ; Nte fiali 1. Le sluzii frite s valide ache per ζ < 0 (sistema istabile).. Per il cas limite ζ = 0 le sluzii frite s acra valide, trae che per il cas Ω = Per il cas ζ > 0 (due pli reali) è valida sl la sluzie dei mdi frzati. 007 Plitecic di Tri 11

12 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi 4. L studete può effettuare esperimeti umerici sul presete esercizi utilizzad l script Matlab Mdi se.m. % % I parametri liberi s evideziati da: <<<<<<<<<<<<<<<<<<< % clse all clear all w=10; % <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< z=0.05; % <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< w=3; % <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< tfi=41; % <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< s=tf('s'); wx=w*sqrt(1-z^); Om=w/w; Gs=w^/(s^+*z*w*s+w^); us=w/(s^+w^); t=0:0.0001:tfi; ut=si(w*t); ys=gs*us; yt=(lsim(gs,ut,t))'; H=Om/sqrt(4*Om^*z^+(Om^-1)^)/sqrt(1-z^); tet=ata((*z),((*z^+om^-1)/sqrt(1-z^))); K= 1/sqrt(4*Om^*z^+(Om^-1)^); fi=ata((-*z*om),(1-om^)); ytlib=h*exp(-z*w*t).*si(wx*t+tet); ytfrz=k*si(w*t+fi); figure plt(t,yt,'b','liewidth',) title('y(t) e y_p_r p_r(t)+y_f r_z(t)') hld grid plt(t,ytlib+ytfrz,'r--') % figure % plt(t,-yt+(ytlib+ytfrz),'g'), grid % title('differeza') figure plt(t,[ytlib' ytfrz'],'liewidth',), grid title('y_p_r p_r (i blu) e y_f r_z (i verde)') 5. Per facilitare l svlgimet è stat utilizzat u prgramma di calcl simblic. 007 Plitecic di Tri 1

13 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi Esercizi 7 Sia dat u sistema diamic del secd rdie il cui mdell apprssimat è caratterizzat dalla fdt G(s): y(s) ω G(s) = =, c 0 < ζ < 1 (sistema stabile) u(s) s + ζω s + ω Si iptizzi di partire da cdizii iiziali ulle e di applicare u igress u siusidale di ampiezza uitaria: u(t) = si( ω t) Calclare l uscita i cdizii staziarie. Impstazie dell esercizi 7 u(s) = s ω + ω Il sistema dat è quell dell esercizi precedete; l uscita i cdizii staziarie cicide perciò c l evluzie dei mdi frzati già calclati. Adttad il medesim frmalism: y(t) = K si c K = 4 Ω ζ ϕ = ata ( ω t + ϕ) 1 + ( Ω 1) ( ζω, 1 Ω ) Impstazie di u metd alterativ I quest cas il calcl dei mdi prpri può essere evitat. Dall espressie della fdt G(s) si può derivare il seguete mdell el dmii del temp: y(t) + ζωy(t) + ωy(t) = ωu(t) Essed il sistema lieare e stabile, la rispsta alla siuside i igress, u(t) = si( ωt), sarà acra ua siuside alla stessa frequeza, ma c ampiezza K e sfasamet ϕ da calclare: y ( ω + ϕ) (t) = K si t c K psitiv. Per calclare K e ϕ è sufficiete: 1. sstituire le espressii di u(t) e di y(t) ell equazie del mdell i t;. eguagliare i cefficieti delle fuzii si( t) ω e cs( t) ω ; 3. rislvere il sistema risultate (di due equazii) elle due icgite K e ϕ. Csigli: Ai fii di u più rapid svlgimet è cviete utilizzare u qualuque prgramma di calcl simblic. 007 Plitecic di Tri 13

14 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi Esercizi 8 Sia dat u sistema diamic del secd rdie il cui mdell apprssimat è caratterizzat dalla fdt G(s): y(s) ω G(s) = =, c ζ = 0 u(s) s + ζω s + ω Si iptizzi di partire da cdizii iiziali ulle e di applicare u igress u siusidale di ampiezza uitaria: u(t) = si( ω t) c ω = ω Calclare l espressie dell uscita y(t). Impstazie dell esercizi 8 u(s) = s ω + ω I quest cas la trasfrmata di Laplace dell uscita è: y(s) = G(s)u(s) = ω 3 ( s + ω ) I mdi prpri e i mdi frzati s idistiguibili. Dall espressie della fdt G(s) è immediat derivare il seguete mdell el dmii del temp: y(t) + ωy(t) = ωu(t) I casi cme quest l Aalisi Matematica prevede che la sluzie sia la smma tra ua siuside di pulsazie ω e u altra siuside di pari frequeza iviluppata i ua rampa: y(t) ( ω t + θ) + Bsi( ω + ϕ) = A si t c A e B psitivi. Per calclare A, B, θ e ϕ è sufficiete: 1. sstituire le espressii di u(t) e di y(t) ell equazie del mdell;. eguagliare i cefficieti delle fuzii si( t) ω (si ti che si riesc a calclare slamete ϕ e B); 3. calclare θ e A imped che le cdizii iiziali y (t = 0) e y(t = 0) sia ulle; ω e cs( t) 4. calclati ϕ e B, si ti che ache el cas geerale θ e A diped sl dalle cdizii iiziali. Risultati (i rdie di calcl): π ω ϕ =, B =, θ = 0, A = 0.5 Csigli: Ai fii di u più rapid svlgimet è cviete utilizzare u qualuque prgramma di calcl simblic. 007 Plitecic di Tri 14

15 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi Esercizi 9 C riferimet alla sluzie dell esercizi 6, verificare che le cdizii iiziali y (t = 0) e y(t = 0) sia ulle. 007 Plitecic di Tri 15

16 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi Esercizi 10 Sia dat il sistema diamic del secd rdie di cui all esercizi 6 y(s) ω G(s) = =, c ζ 0.05, 10 u(s) s + ζωs + ω = ω = rad/s (sistema stabile) Si iptizzi di partire da cdizii iiziali ulle ( y (t = 0) = 0, y(t = 0) = 0) e di applicare u igress u siusidale di ampiezza uitaria e pulsazie ω : u(t) = si( ωt) ω c ω = 3 rad/s u(s) = s + ω Verificare, c l ausili del DdB della fdt G(s), l esattezza della sluzie relativa alla rispsta i regime staziari calclata ell esercizi 6. Svlgimet cmplet dell esercizi 10 Viee richiamata qui di seguit la sluzie della rispsta elle cdizii date: y(t) = K si c Ω = 3 10 K = 4Ω ζ ϕ = ata ( ω t + ϕ) Verifica sulla rispsta i frequeza a 3 rad/s: 1 = 0.38 ( 1.66 db) + ( Ω 1) ( ζω, 1 Ω ) = rad ( ) 30 Bde Diagram 0 Magitude (db) System: g Frequecy (rad/sec): 3 Magitude (db): Phase (deg) System: g Frequecy (rad/sec): 3 Phase (deg): Frequecy (rad/sec) 007 Plitecic di Tri 16

17 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi Ulteriri verifiche: Magitude (db) System: g Frequecy (rad/sec): 1 Magitude (db): System: g Frequecy (rad/sec): 10 Magitude (db): 0-30 Phase (deg) System: g Frequecy (rad/sec): 1 Phase (deg): System: g Frequecy (rad/sec): 100 System: g Magitude (db): Frequecy (rad/sec): 10 Phase (deg): System: g Frequecy (rad/sec): 100 Phase (deg): Frequecy (rad/sec) 1. i BF, vver per ω << ω Ω 0, si ha i segueti risultati: K = 1, ϕ = 0; questi risultati, a me delle aturali apprssimazii umeriche, si ritrva ache ei DdB spra riprtati;. i AF, vver per ω >> ω Ω, si ha i segueti risultati: ϕ = ata 1 K 0 cme (pedeza di 40 db/dec), Ω ( ζω,1 Ω ) ata( ζω, Ω ) = ata( ζ, Ω) = π rad ( 180 ) questi risultati, a me delle aturali apprssimazii umeriche, si ritrva ache ei DdB spra riprtati;; 3. per ω = ω Ω 1, si ha i segueti risultati: = 1 K = = 10 (0 db); ζ π ( ζω,1 Ω ) = ata( ζ,0) = rad ( 90 ) ϕ = ata ; questi risultati, a me delle aturali apprssimazii umeriche, si ritrva ache ei DdB spra riprtati; 4. il rapprt fra le ampiezze di uscita e di igress e il lr sfasamet pss essere messi i evideza ache mediate simulazii i ambiete Simulik: ; 007 Plitecic di Tri 17

18 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi Esercizi 11 Sia data la fdt d aell G a (s) G (s) = K a s ( s + 50) ( s + 1)( s + s + 100) Per K = 1: tracciare i DdB, DdN e DdNic di G a e mettere i evideza i puti crrispdeti a pari valri della pulsazie. Per K = 1 verificare la rispsta i frequeza c le apprssimazii i BF e i AF. Ga Per K 1: aalizzare la stabilità della fdt i catea chiusa W(s) = al variare di K. 1+ G a Svlgimet cmplet dell esercizi 11 Per K=1, c l ausili di Matlab si traccia i tre tipi di diagrammi. Questi i puti tevli riprtati elle tre figure: A: BF; B: fase di 0 ; il mdul è circa uitari (0 db); C: mdul massim; la fase è di circa 67 ; D: mdul uitari (0 db); la fase è di circa 135 ; E: fase miima; F: AF. Per K=1, le fdt apprssimati i BF e i AF s le segueti: s Ga BF = (DdB c asitt a +0 db/dec che iterseca l asse ω i rad/s) 1 Ga AF = (DdB c asitt a 0 db/dec che iterseca l asse ω i 1 rad/s) s 007 Plitecic di Tri 18

19 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi 10 Bde Diagram 0-10 Magitude (db) A B C D E F 45 Phase (deg) Frequecy (rad/sec) 007 Plitecic di Tri 19

20 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi.5 Nyquist Diagram Imagiary Axis D E A,F B Real Axis C 007 Plitecic di Tri 0

21 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi 10 0 D C Nichls Chart B -10 E Ope-Lp Gai (db) A F Ope-Lp Phase (deg) per K 1, c riferimet al frmalism e alle defiizii utilizzate el crs delle lezii: = N i,c i, a + Nel presete esercizi i, a = 0 i quat G a pssiede pli a parte reale psitiva, per cui i, c = N. A quest put il prblema dat si trasfrma el seguete: determiare N al variare di K. Per rislvere quest ultim prblema è utile fare riferimet al DdN tracciat per K=1 e csiderare 1 cme put critic più il put s = 1+ j0, ma il put s = + j0. I tal md è facile K verificare che per 0 < K < + la fdt W della catea chiusa è stabile (il put critic è ester al DdN). Per K egativi si ha due situazii: ua quad il suddett put critic cade sul segmet del semiasse reale psitiv tra A e B; l altra quad cade a destra di dett segmet. Nella prima situazie, 0 > K > 1.06, N = quidi la catea chiusa è istabile, c due pli istabili sui tre cmplessivi. Nella secda situazie, K < 1.06, N = 0 quidi la catea chiusa è stabile. 1 NB: il valre di 1.06 è tteut da = dve è il mdul i crrispdeza del K put B (i cui la fase è di 0 ). 007 Plitecic di Tri 1

22 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi Ulteriri sservazii Dalla zmata del DdNic riprtata qui di seguit si può rilevare che la fdt W preseta ua risaza; si può ifatti stimare che il cerchi M tagete al DdNic è quell da circa + db i 1 rad/s circa. Tale risaza può essere verificata tracciad il DdB di W (da cui risulterà più precisamete M r = +.08 db i 1.0 rad/s). Si ti che el presete cas il guadag staziari della fdt W è ull; ciò a mtiv della preseza di u zer ell rigie, vver di u derivatre pur (si ricrdi che c la struttura di ctrll utilizzata gli zeri della catea aperta s ache zeri della catea chiusa). Nichls Chart 10 3 db db -3 db 5 6 db Ope-Lp Gai (db) 0 System: g Gai (db): Phase (deg): -133 Frequecy (rad/sec): 1-6 db db Ope-Lp Phase (deg) 007 Plitecic di Tri

23 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi Esercizi 1 Sia data la fdt d aell G a (s) G (s) = K a s ( s + 50) ( s + 1)( s + 100) Per K = 1: tracciare i DdB, DdN e DdNic di G a e mettere i evideza i puti crrispdeti a pari valri della pulsazie. Ga Per K 1: aalizzare la stabilità della fdt i catea chiusa W(s) = al variare di K. 1+ G a Impstazie dell esercizi 1 Seguire l impstazie dell esercizi 11. Si ti che la fdt del presete esercizi è idetica a quella dell esercizi 11 trae che per il valre del fattre di smrzamet dei pli cmplessi ciugati che qui è ull. I quest cas i pli cmplessi s i ± j10 ; per ω = ± 10 il mdul della fdt sarà perciò. Nel DdN è quidi prevista ua semicircfereza raria di raggi che uisce gli asitti da + aturalmete, per simmetria, da ω = 10 a ω = 10. ω = 10 a ω = + 10 (e, 007 Plitecic di Tri 3

24 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi Esercizi 13 Sia data la fdt d aell G a (s) Ga (s) = K s s ( s + 1)( s + 50) Per K = 1: tracciare i DdB, DdN e DdNic di G a e mettere i evideza i puti crrispdeti a pari valri della pulsazie. Ga Per K 1: aalizzare la stabilità della fdt i catea chiusa W(s) = al variare di K. 1+ G a Impstazie dell esercizi 13 Seguire l impstazie dell esercizi 11. Si ti la preseza di due zeri immagiari ciugati (cmplessi a smrzamet ull) i ± j10. Ciò implica u asitt verticale el DdB del mdul e el DdNic i ω = 10 e quidi u passaggi per l rigie da parte del DdN. Quest ultim, a mtiv del fattre s 1, preseterà due rami a per ω = 0 e per ω = + 0 (attezie quidi alla chiusura c semicircfereze rarie di raggi ). 007 Plitecic di Tri 4

25 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi Esercizi 14 Sia data la fdt d aell G a (s) G (s) = 0K a s + s ( 1 s)( s + 10)( s + 50) Per K = 1: tracciare i DdB, DdN e DdNic di G a e mettere i evideza i puti crrispdeti a pari valri della pulsazie. Ga Per K 1: aalizzare la stabilità della fdt i catea chiusa W(s) = al variare di K. 1+ G a Impstazie dell esercizi 14 Seguire l impstazie dell esercizi 11. Si ti che i quest cas, a mtiv della preseza di u pl istabile, i, a = Plitecic di Tri 5

26 Stabilità dei sistemi di ctrll i retrazie - Esercizi Esercizi 15 Sia data la fdt d aell G a (s) G (s) = 0K a s + s ( 1 s)( s + 10)( s + 50) G Per K = 1 e per K = 10, pst che W 1 + Ga guadag m G e i picchi di risaza M r metted i evideza le differeze fra i due casi. Impstazie dell esercizi 15 a = sia stabile, calclare i margii di fase m ϕ, i margii di a verificare (c il criteri di Nyquist) che la catea chiusa sia stabile; b el cas di stabilità della catea chiusa m ϕ e m G pss essere calclati c l ausili dei DdB e/ dei DdN; c el cas di stabilità della catea chiusa M r può essere rilevat c l ausili dei cerchi M sui DdN e/ sui DdNic ppure c il DdB del mdul della fdt W. 007 Plitecic di Tri 6