Le fasi di una indagine statistica

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1 Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda - - Le fas d una ndagne statstca La statstca studa metod per raccoglere, elaborare ed nterpretare dat relatv ad un fenomeno collettvo. S dce che un fenomeno è collettvo o d massa quando l ndagne su quel fatto rchede una molteplctà d osservazon su fenomen o fatt ndvdual avent tutt un carattere comune. Sono fenomen collettv la dstrbuzone del reddto de cttadn d una nazone, la dstrbuzone per età de medesm o quell della loro statura. S chama collettvtà statstca o popolazone statstca o unverso statstco un nseme d element consderat omogene rspetto ad uno o pù caratter. Ogn elemento appartenente alla popolazone statstca prende l nome d untà statstca. Nello svolgmento d una qualsas ndagne statstca dstnguamo le seguent fas: ) defnzone degl obettv ) formulazone delle potes, coè ndvduazone del fenomeno collettvo che s vuole sottoporre a verfca 3) rlevazone de dat 4) spoglo de dat 5) elaborazone de dat 6) nterpretazone de rsultat e dvulgazone. Quando non è possble o non convene effettuare ndagn sull ntera popolazone statstca, allora s procede per campone. Eseguta la scelta del campone, s prosegurà alla rlevazone statstca vera e propra, che consste nell annotare su apposte schede, opportunamente approntate e che rsultano dverse a seconda dell ndagne che s ntende compere, dat che s voglono raccoglere. La raccolta de dat deve essere l pù possble esatta e completa. (*) La mancanza d quest requst compromette l esto dell ndagne. Effettuata la rlevazone s esegue lo spoglo delle schede ed dat raccolt vengono evdenzat per mezzo d: a) tabulazon che consstono nel sstemare n tabelle rsultat dello spoglo b) tabulazon che consstono nel sstemare n tabelle rsultat dello spoglo c) rappresentazon grafche che vsualzzano l andamento d un dato fenomeno. Dopo lo spoglo vene effettuata l elaborazone de dat che consste nella scelta e nell applcazone de procedment matematc propr del metodo statstco. Infne abbamo (*) S chama rlevamento statstco l operazone d raccolta de dat statstc rguardant una determnata popolazone d ndvdu n possesso d un medesmo carattere, relatvo al fenomeno che s vuole studare. Un rlevamento statstco può essere saltuaro o contnuo, parzale o totale, pubblco o prvato. Per rlevament statstc sono necessar appost regstr, modul, questonar, schede...su cu rportare e ordnare tutte le nformazon raccolte sul carattere o caratter del fenomeno n esame, per potere, alla fne, costrure le cosddette tabelle statstche relatve - -

2 - - Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda l nterpretazone de rsultat, e questa parte del procedmento statstco è nteramente affdata alla perza, al senso crtco ed alla capactà nterpretatva del rcercatore. D ogn untà statstca s studano caratter, la cu scelta dpende dal partcolare problema che s vuole esamnare e dalle potes nzal. Ogn carattere s manfesta medante le sue modaltà coè medante dvers mod d apparre, cascuno de qual è chamato modaltà. I caratter possono essere qualtatv e quanttatv, secondo che le modaltà con cu s presentano sono espresse medante attrbut, aggettv, denomnazon, oppure sono espresse medante valor numerc. Sono caratter qualtatv, l ttolo d studo posseduto da cascuna untà statstca, l tpo d attvtà eserctato da lavorator d un azenda, la regone d resdenza degl talan. Sono caratter quanttatv l altezza delle persone d una provnca, l numero d student nscrtt ad un determnato tpo d scuola, la quanttà d pogga caduta n un determnato perodo dell anno, l reddto pro-capte per le dverse categore d lavorator. I caratter quanttatv possono essere dscret (quando possono assumere valor appartenent ad nsem fnt o nfnt ma numerabl) o contnu (quando hanno modaltà appartenent ad un ntervallo d numer real). I caratter d tpo quanttatvo sono chamat anche varabl statstche e vengono ndcate con lettere mauscole come X o Y mentre caratter qualtatv prendono l nome d mutabl statstche e, d solto, vengono ndcate con la lettera mauscola M. Il dato statstco esprme l numero totale d untà statstche che presentano la stessa modaltà. Il dato statstco concde con la frequenza o la ntenstà d una modaltà d un carattere, coè d una varable o d un a mutable statstca. La tabella mostra la dstrbuzone per class d età d 6 dpendent d un azenda. Ogn dpendente è una untà statstca. I 6 dpendent rappresentano la popolazone statstca. L età d cascun dpendente è l carattere della popolazone statstca; Poché tale carattere è espresso da un numero esso ndvdua una varable statstca. Le vare class d età sono le modaltà della varable statstca. Il numero d dpendent per cascuna classe d età rappresenta la frequenza assoluta della modaltà. La tabella mostra l mezzo d trasporto utlzzato da 50 student per andare a scuola. - -

3 Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda Ogn alunno è una untà statstca. I 50 alunn rappresentano la popolazone statstca. Il mezzo d trasporto utlzzato è l carattere della popolazone statstca. Poché tale carattere non è espresso da un numero esso ndvdua una mutable statstca. I var mezz d trasporto sono le modaltà della mutable statstca. Il numero d alunn per ogn mezzo d trasporto utlzzato rappresenta la frequenza assoluta della modaltà. La frequenza assoluta della modaltà d un carattere Quando dat sono molt, ogn sngola modaltà s presenta pù volte. In tal cas s costrusce una tabella con due colonne. Nella prma colonna s scrvono le dverse modaltà del carattere. Nella seconda colonna scrvamo le frequenze d que valor coè scrvamo l numero d volte n cu quel dato compare nella raccolta. Una tabella d questo tpo è la seguente e prende l nome d dstrbuzone d frequenze: modaltà frequenza x f x f x 3 f 3 x f rappresenta l numero delle modaltà del carattere consderato, f 3 rappresenta quante volte s è presentata la modaltà x 3 della varable statstca X. Defnzone: S chama frequenza assoluta o semplcemente frequenza d una modaltà l numero d volte che essa compare nel collettvo statstco osservato. La somma delle frequenze assolute è uguale al numero N d untà statstche consderate, coè: f f f3 f N La frequenza relatva Defnzone: S chama frequenza relatva d una modaltà l rapporto tra la sua frequenza assoluta e l numero N d untà statstche del collettvo osservato. f r N - 3 -

4 - 4 - Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda La somma delle frequenze relatve è uguale ad, coè: r r r r f f f 3 f f f f f N N N N N N N 3 3 f Se l valore vene rapportato a 00 s ha una frequenza relatva percentuale. pr N La somma d tutte le frequenze percentual è uguale a 00, coè: p p p p f f f f f f f f N N N N N N N In molt cas può essere utle conoscere quante sono le untà statstche che presentano un valore del carattere (varable o mutable statstca) mnore oppure uguale ad una certa modaltà x. Convene ntrodurre le frequenze cumulate che possono essere frequenze cumulate assolute, frequenze cumulate relatve, frequenze cumulate percentual. S defnscono frequenze cumulate che corrspondono alla modaltà x la somma d tutte le frequenze della modaltà x e d quelle che la precedono. Questo sgnfca che la frequenza cumulata rspetto ad una modaltà x concde col numero d untà statstche che presentano una modaltà mnore o uguale ad x. Possamo avere C f f f = frequenze cumulate assolute F r r r f f f = frequenze cumulate relatve N N N n n n P 00 F p p p = N N N = frequenze cumulate percentual Dalla defnzone d frequenza cumulata derva che l valore relatvo all ultma modaltà è uguale al totale complessvo N per le frequenze assolute, ad per le frequenze relatve, a 00 per quelle percentual

5 Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda S chama dstrbuzone d frequenze l nseme delle coppe ordnate l cu prmo elemento corrsponde alla modaltà del carattere ed l secondo elemento alla sua frequenza assoluta, relatva, percentuale o cumulata. Una dstrbuzone d frequenze è una dstrbuzone che ha una delle seguent strutture: x x x X dstrbuzone d frequenza assoluta f f f la prma rga rappresenta le modaltà del carattere, la seconda le frequenze assolute d ogn sngola modaltà. D solto tale struttura ha la forma d una tabella x x x X r r r dstrbuzone d frequenza relatva x x x X F F F x x x X P P P dstrbuzone d frequenza relatva cumulata dstrbuzone d frequenza percentuale cumulata Le tabelle che rportano nella prma colonna un carattere quanttatvo (varable statstca) vengono dette serazon statstche, quelle che rportano un carattere qualtatvo (mutable statstca) vengono dette sere statstche

6 - 6 - Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda In generale, ndcato con X l carattere (varable o mutable statstca) che s deve studare, con x le n modaltà con cu esso s può presentare, con f le frequenze assolute d tal modaltà, con p le frequenze relatve, la dstrbuzone d frequenza del carattere X s rappresenta una tabella del tpo ndcato a fanco. La seguente tabella rporta le frequenze assolute, le frequenze assolute cumulate, le frequenze relatve cumulate, le frequenze percentual cumulate de vot d talano rportat dagl alunn d un lceo. voto dello Student che hanno rportato tale voto n talano scrutno fnale modaltà x assolute f assolute cumulate C frequenze relatve r relatve cumulate F percentual p percentual cumulate x 3 f 0 C 0 r 0, 03 F 0, 03 p 3 P 3 x 4 f 5 C 35 r 0, 08 F 0, p 8 P x 3 5 f3 34 C 3 69 r 3 0, F 3 0, 3 p 3 P 3 3 x 4 6 f4 36 C 4 05 r 4 0, 46 F 4 0, 68 p 4 46 P 4 69 x 5 7 f5 68 C 5 73 r 5 0, 3 F 5 0, 9 p 4 3 P 5 9 x 6 8 f6 C 6 95 r 6 0, 07 F 6 0, 98 p 6 7 P 6 99 x 7 9 f N r 7 0, 0 F 7 p 7 P 7 00 N 98 C 7 Il numero degl student nsuffcent è 69 e tale numero corrsponde alla frequenza assoluta cumulata relatva alla modaltà 5. La varable statstca X consderata è: vot d talano rportat dagl alunn d P un lceo untà statstca = ogn alunno del lceo ; carattere untà statstca = voto d talano nello scrutno fnale ; modaltà del carattere = 3,4,5,6,7,8,9 (s tratta d un carattere quanttatvo) Il dato statstco rspetto alla modaltà 3 è 0, rspetto alla modaltà 8 è

7 Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda In una ndagne statstca s vuole analzzare l numero d persone d sesso maschle present nelle famgle talane. L ndagne vene svolta su un campone d 000 famgle ed rsultat sono rappresentat dalla tabella d frequenza della fgura. La varable X è l numero d masch present nelle famgle talane e, poché essa può assumere solo valor nter postv, s tratta d una varable statstca dscreta. In una azenda vengono raccolt dat relatv al numero d ore d lavoro mensl effettuate;tal dat sono faclmente reperbl da tabulat delle ore lavoratve d ogn dpendente. La dstrbuzone che ne rsulta è presente nella tabella. La varable X è lo mese ed è una varable d tpo qualtatvo; s tratta d una mutable statstca. Dstrbuzon d frequenza per class La suddvsone d una varable statstca n class d frequenza scatursce dallo spoglo d un carattere quanttatvo contnuo oppure dallo spoglo d un carattere quanttatvo dscreto con un gran numero d modaltà dstnte. Un carattere quanttatvo è contnuo quando può assumere tutt valor d un certo ntervallo ab,. Spesso s fa rcorso alla suddvsone dell ntervallo ab, n class d ampezza unforme, dvdendo l ntervallo ab, n n ntervall parzal avent tutt la stessa ampezza. Tal class s chamano class d ntenstà e le frequenze relatve class d frequenze. I prm n ntervall parzal s consderano chus a snstra ed apert a destra, mentre l ultmo ntervallo parzale è chuso sa a destra che a snstra. Nel caso d un carattere dscreto sarà opportuno non fare concdere gl estrem superor d cascuna classe con quell nferor delle class successve. Converrà che gl estrem nferor delle class sano d un untà n pù rspetto a quell superor delle class precedent. Ecco due esemp d varabl statstche suddvse n class d frequenze

8 - 8 - Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda Dstrbuzone n class d una Statura n cm frequenza popolazone d 0000 ndvdu secondo la statura (carattere contnuo), suddvsa n class d frequenza d ampezza 0cm 0 a partre da 0cm. La prma classe ndca valor compres tra 0cm ncluso e 30cm ; l ultma classe ndca valor compres tra 90cm ncluso e 00cm ncluso Totale 0000 Numero d post letto Clnche Fno a Dstrbuzone n class d un gruppo d clnche prvate secondo l numero d post letto Pù d 35 3 Totale 560 La rappresentazone grafca delle dstrbuzon d frequenza Gl stogramm Gl stogramm vengono utlzzat quando dobbamo rappresentare grafcamente una dstrbuzone statstca dove le modaltà del carattere sono rpartte n n class d vara ampezza

9 Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda Defnamo denstà d frequenza l rapporto tra la frequenza della classe e l ampezza della classe f stessa. d = denstà d frequenza della classe d ampezza Gl stogramm sono costtut da una sere d rettangol contgu che s svluppano lungo l asse orzzontale, ed hanno come bas le ampezze delle class e come altezze le rspettve denstà d frequenza. L area dell ntero stogramma c fornsce l totale complessvo N dell ntera popolazone statstca, mentre l area d cascun rettangolo c fornsce la frequenza assoluta d cascuna classe. E facle verfcare che, quando le bas sono ugual, l area della parte d pano delmtata dall asse orzzontale e dal polgono d frequenza è uguale alla somma delle aree de rettangol. Qund n ascssa rportamo le ampezze delle vare class ed n ordnata valor delle corrspondent denstà d frequenza. Se tutte le class hanno la stessa ampezza possamo rportare n ordnata le frequenze assolute convenendo d porre numercamente uguale ad uno l ampezza d cascuna classe. f S d f h S f h S f S h n Sn f n n denstà d frequenza f S d f Se d h d = denstà d frequenza f posso porre n h S f n e qund : h f d ampezza delle class - 9 -

10 - 0 - Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda Se n un stogramma s unscono punt med delle bas superor de rettangol s ottene una spezzata detta polgono d frequenza. Il polgono è esteso anche alle class estreme avent frequenza nulla. Rappresentazone cartesana S rfersce l pano ad un sstema d ass cartesan ortogonal. S rporta sull asse delle ascsse l carattere e sull asse delle ordnate la frequenza, coè l numero che ndca quante volte quel carattere s è presentato. La tabella mostra l rsultato d un ndagne sul numero delle abtazon esstent n una pccola cttà e sul relatvo numero d stanze. Per rappresentare n un sstema d rfermento cartesano la nostra tabella, rportamo n ascssa l numero d stanze d cascun appartamento ed n ordnata l numero degl appartament. Le untà d msura per le ascsse e le ordnate sono necessaramente dverse. Il sstema cartesano è dmetrco. Nel pano s ottengono de punt che, congunt con segment d retta, costtuscono una spezzata che è la rappresentazone cartesana del fenomeno

11 Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda - - Areogramma o dagramma crcolare o dagramma a torta Questo tpo d grafco è partcolarmente utle per rappresentare le frequenze percentual. Un cercho vene suddvso n tant settor crcolar, ognuno de qual corrsponde ad una classe. Gl angol al centro de dvers settor hanno ampezza proporzonale alla frequenza percentuale (o assoluta, o relatva). L angolo al centro d ogn settore va calcolato applcando la seguente proporzone: x:360 :00 x 360 = angolo al centro del prmo settore corrspondente alla prma 00 classe d ampezza. In manera smle s opera per le rmanent class. Areogramma d una dstrbuzone d frequenze ottenuta analzzando rsultat ottenut da un gruppo d student che, nell ora d educazone fsca, hanno eseguto una prova d salto n lungo da fermo. x :360 7 :00 7 x , 00 Glossaro d statstca Unverso statstco o popolazone statstca Untà statstca Carattere statstco modaltà d un carattere frequenze assolute frequenze relatve frequenze percentual frequenze cumulate dstrbuzone d frequenza class d frequenza varable statstca (l carattere è quanttatvo) mutable statstca (l carattere è qualtatvo) rlevazone spoglo elaborazone un carattere d una popolazone statstca è descrtto medante modaltà che possono essere d tpo qualtatvo o quanttatvo La meda artmetca La meda artmetca m d n numer x, x,, x n è l quozente fra la loro somma ed l x x... xn numero n. In smbol abbamo: m n Esempo: una famgla ha speso ne successv 7 gorn d una settmana le seguent cfre (n euro): 8; 3,50; 0,50; 30; 8; 50; 60. Quanto ha speso medamente ogn gorno? 0 3,50 0, m 8,

12 - - Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda Se n una dstrbuzone d frequenze l valore x compare f volte, l valore x compare f volte, e così d seguto, la meda artmetca va calcolata applcando la seguente formula: m f x f x... f x f x f x... f x f f... f N n n n n n La meda artmetca così calcolata prende l nome d meda artmetca ponderata. Essa è denomnata così n quanto ogn modaltà x ntervene nel calcolo con un peso par alla sua frequenza. Esempo: determnare l età meda de 30 alunn d una classe così rpartt: Età, n ann x 4 x 5 x3 6 x4 7 x5 8 x6 9 Numero d alunn f 4 f f3 8 f4 4 f5 f6 Samo n presenza d una meda artmetca ponderata, che calcolamo con la seguente formula: m 5, a m g Osservazone: Partcolare attenzone va posta quando dobbamo calcolare la meda artmetca ponderata d una dstrbuzone d frequenze suddvsa n class. Una scelta convenente è quella d sostture cascuna classe col suo termne centrale, coè con la semsomma del due estrem della classe consderata. Nella pratca s procede così: a) s calcola l termne centrale d cascuna classe b) termn central così ottenut vengono assunt come termn della dstrbuzone statstca c) s moltplcano termn central per le rspettve frequenze, s sommano quest prodott e po dvdamo la somma ottenuta per la somma totale delle frequenze ottenendo la meda artmetca ponderata rchesta. Esempo: Calcolare la statura meda d un gruppo d govan come ndcato nella seguente tabella: L età meda rchesta è la meda artmetca ponderata de valor: x 57,5 ; x 6,5 ; x3 67,5 ; x4 7,5 ; x5 77,5 ; x6 8,5 con pes rspettv: - -

13 Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda f 0 ; f 0 ; f3 5 ; f4 30 ; f5 ; f6 057,5 06,5 567,5 307,5 77,5 8,5 9447,5 m 69, cm Fnora abbamo calcolato mede artmetche d varabl statstche, coè d caratter che s esprmono medante numer. Adesso calcolamo la meda artmetca d una mutable statstca. Se le modaltà della mutable statstca sono e le untà statstche sono N, allora la meda artmetca va calcolata utlzzando la seguente formula: N m La tabella ndca la quanttà d merce che un azenda ha venduto ne prm 5 mes dell anno. Essendo 5 le modaltà del carattere, abbamo: 005 m 0 5 La medana Date n grandezze x, x,..., x n dsposte n ordne non decrescente (o non crescente), coè tal che x x... xn ( x x... xn ) defnamo medana M e l valore x che dvde la graduatora n due part tal che l numero de termn che la precedono sa uguale al numero de termn che la seguono. Se l numero de dat dsponbl è dspar la medana M e è rappresentata dal termne centrale, coè quello che occupa l posto n della successone esamnata. Se n è par non esste un termne medano, bensì una coppa d valor medan. In questo caso s ha un ntervallo medano o zona medana, mentre la medana rsulta ndetermnata, potendos assumere come tale un qualsas valore dell ntervallo medano. Nella pratca, tuttava, è consuetudne adottare come medana la semsomma de due termn central che occupano rspettvamente post n ed n. Esempo: calcolo della medana; dat non raggruppat; numero dspar d osservazon Le ntenstà della varable statstca (ad esempo vot rportat all esame d statstca) sano, 5, 7, 8, 30. Poché l numero delle untà osservate (student) è n 5, numero dspar, 5 l unco posto centrale è dato da P 3. S tratta del terzo posto centrale della sequenza crescente delle ntenstà. Ad esso corrsponde l ntenstà M e 7 che è la medana della - 3 -

14 - 4 - Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda successone. In effett, l ntenstà medana M e cascuno costtuto da due osservazon. 7 separa due grupp ugualmente numeros, Esempo: calcolo della medana; dat non raggruppat; numero par d osservazon Le ntenstà della varable statstca, ad esempo vot rportat all esame d Economa Poltca, sano 8, 9, 0,, 3, 6, 8, 30. Poché l numero delle untà osservate ( student ) è 8 8 n 8, numero par, due post central sono P 4 (quarto posto) e P 4 5 (qunto posto). Le ntenstà ad ess corrspondent sono, rspettvamente, e 3. Può qund assumers come medana un qualsas valore dell ntervallo [, 3 ] e n partcolare l suo valore centrale: M e 3,5 Detto valore sola e destra e a snstra due nsem ugualmente numeros, cascuno costtuto da quattro element (student). Determnazone della medana M e per dat raggruppat e caratter dscontnu La determnazone della medana presenta qualche dffcoltà quando termn non sono ndcat sngolarmente. In questo caso, nota la tabella de dat raggruppat s costrusce la tabella delle frequenze cumulate. Se f è dspar s ha un solo posto centrale, se N è par s hanno due post central qual molto spesso concdono, n tal caso la medana è l loro valore comune. Se non concdono, s può assumere come medana una qualunque ntenstà dell ntervallo medano da ess defnto o, pù semplcemente, la semsomma de due valor central. Sa data la seguente dstrbuzone d frequenza d una varable statstca dscreta: x f Per potere stablre qual è l dato centrale d questa dstrbuzone s procede come segue: a) S controlla che dat x sano tutt dspost n ordne crescente b) S sommano tutte le frequenze assolute f e s dvde l rsultato per due , 5 Indvduando, così, la poszone centrale (o le poszon central se dat sono n numero par). Nel nostro caso la poszone centrale è la 96-esma

15 Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda c) per trovare quale dato corrsponde alla poszone centrale s calcolano le frequenze cumulate fnché non s arrva ad una frequenza cumulata uguale o maggore della poszone centrale. x n frequenze cumulate Totale N 9 La medana è 6 perché corrsponde alla frequenza cumulata 96. La determnazone della medana s presenta ancora pù complcata quando c s trova n presenza d una dstrbuzone per class. Nella pratca la sere delle frequenze cumulate, analogamente a quanto s è vsto nel caso d una varable statstca per sngol valor, c consente d accertare che la medana s trova all nterno della prma classe per la quale la frequenza cumulata uguagla o supera l numero N n n... n n, ossa metà delle osservazon N. Come medana possamo sceglere, approssmatvamente, l valore centrale della classe medana. <<Pellcole cnematografche programmate n Itala nel 976 per class d ncasso (n mlon d lre)>> class d ncasso x Pellcole f frequenze cumulate C Totale N

16 - 6 - Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda La frequenza cumulata del posto centrale è 33 C P 6.La pellcola che fa regstrare l ncasso medano occupa l posto 6. Essa s trova nella sesta frequenza cumulata ( C6 94 ), er cu la classe medana è quella che va da 50 a 00 mlon (50 00 ). Come valore medano possamo sceglere l valore centrale, coè: M e mlon La moda S dce moda o valore modale d una dstrbuzone d frequenza la modaltà o l ntenstà del carattere, se esste, cu corrsponde la massma frequenza nella dstrbuzone. La moda può non esstere (quando tutt valor hanno la stessa frequenza ) e se esste può non essere unca. Se esste ed è unca s parla d dstrbuzone unmodale, se nvece non è unca la dstrbuzone è detta plurmodale. E possble, qund, mbatters n dstrbuzon zeromodal (coè prve d moda), unmodal (con una sola moda ), bmodal (con due valor modal) plurmodal. Se un collettvo è dstrbuto secondo modaltà (non raggruppate n class) d un carattere dscreto, l dentfcazone della moda è mmedata: basta scorrere la colonna delle frequenze e ndvduare la modaltà che presenta la massma frequenza. Se l carattere è presentato n class, occorre dstnguere due stuazon: ) le class hanno tutte la stessa ampezza: la moda cade nella classe d maggore frequenza ) le class hanno ampezze dverse: la classe modale concde con la classe avente la maggore denstà d frequenza, ntendendo per denstà d frequenza d una classe l rapporto fra la frequenza della classe e l ampezza della classe stessa. Qund nel caso d dstrbuzon d frequenza con class avent ampezze dverse, In prma approssmazone possamo dentfcare la moda con la poszone centrale (semsomma degl estrem) della classe modale

17 Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda Esemp Consderamo la dstrbuzone d frequenza che c propone dat relatv alle presenze de turst straner n Itala, espress n mglaa e rferto all anno 994. La modaltà che rcorre con frequenza maggore è quella relatva alla Germana; la modo della dstrbuzone consderata è la Germana. Un azenda produttrce d elettrodomestc effettua un ndagne sull affdabltà de propr prodott. Su un campone d 00 elettrodomestc. Il numero d rparazon che quest hanno subto è ndcato nella tabella. S nota che valor che presentano la maggore frequenza sono due, l 3 ed l 5. Questa dstrbuzone ha due valor modal e per questo motvo è detta bmodale. Se le class della dstrbuzone hanno tutte uguale ampezza, la classe modale è quella che presenta la frequenza maggore. Se le class hanno ampezze dverse, la classe modale è quella che presenta la maggore denstà d frequenza. Approssmatvamente la moda concde con l valore centrale della classe modale

18 - 8 - Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda La seguente tabella rappresenta l numero d dpendent d un azenda dvs per class d età. Determnare: ) l stogramma ) l areogramma 3) la meda artmetca 4) la moda 5) la medana Class d età Frequenze f Denstà d frequenza d f Modaltà del carattere x f x Frequenze cumulate ,6 7,5 5, ,7 5,5 688, , ,5 6, ,8 57, N = 7 53,5 Per dsegnare l stogramma della dstrbuzone d frequenza basta rportare sull asse delle d,7 denstà d frequenza ascsse l ampezza d cascuna classe e sull asse delle ordnate la denstà d frequenza 7 d cascuna classe. L area d ogn rettangolo c dà la frequenza d cascuna classe ; ; ; ,6 0,8 0, ampezza della classe Per dsegnare l areogramma debbo calcolare gl angol al centro de 5 settor crcolar, n quanto le modaltà del carattere sono 5. Utlzzo le seguent proporzon: 3:7 x :360 3 x 360 5, 7 6, 5, 0, 36,9 5,3 7:7 y :360 3:7 z :360 7 y ,9 7 3 z 360 6, 5:7 t : t 360 5,

19 Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda :7 v:360 v 360 0, 7 53,5 m 35,4 meda artmetca la denstà d frequenza massma è dmax,7 la 7 classe modale è: 0 30 ; come moda possamo prendere, approssmatvamente l suo valore centrale Questo c consente d affermare che 5 ann è l età che s presenta con una maggore frequenza. La medana s trova all nterno della prma classe per la quale la frequenza cumulata uguagla o supera l numero N 7 35,5, ossa metà delle osservazon N. La prma frequenza cumulata che supera l numero 35,5 è 6 ; ad essa corrsponde la classe medana Come medana possamo sceglere, approssmatvamente, l valore centrale della classe medana, coè: 40 ann. Calcolo delle probabltà La nozone d evento casuale o aleatoro è assunta come prmtva ed è snonmo d <<avvenmento l cu verfcars dpende dal caso>>. Probabltà è un numero assocato al presentars d un evento aleatoro e denota l attendbltà razonale che ha l evento stesso d verfcars. Consderamo un espermento (o schema probablstco) E (ad esempo l lanco d una moneta, l lanco d due dad, l estrazone d una pallna da un urna,...).col termne prova ntendamo una sngola esecuzone d un determnato espermento. Da questa prova s ottene un sngolo rsultato elementare detto evento aleatoro elementare. All evento assocamo, secondo regole da fssare, un numero che esprme la probabltà che s verfch l evento aleatoro. Qund con l espressone <<probabltà dell evento A>> ntendamo rferrc ad un partcolare numero che meglo d altr è n grado d sntetzzare la fduca che no rponamo nella sua realzzazone. Precsamo con alcune defnzon quanto fnora detto. s dce espermento aleatoro un avvenmento l cu esto non è certo s dce evento aleatoro uno de possbl esst d un espermento aleatoro s dce probabltà d un evento l numero che esprme una stma approssmata della possbltà che esso s verfch - 9 -

20 - 0 - Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda Sono esperment aleator l lanco d un dado, l estrazone d un numero n una lottera, l estrazone d una carta da goco da un mazzo. Sono event aleator: nel lanco d una moneta <<esce testa>>, oppure <<esce croce>>. nell estrazone d una carta da goco, <<esce l re>> oppure <<esce una carta d for>>. Consderamo l espermento casuale del lanco d un dado. Questo espermento fornsce l seguente nseme:,,3,4,5,6 che evdenza se event elementar e, e, e 3 3 e 4 4, e 5 5, e 6 6 e dvers event compless, come l evento A 4 6 comparsa d un numero par o l evento B, 3, 5 = comparsa d un numero dspar,,, = Defnzone classca d probabltà La defnzone classca d probabltà enuncata da Laplace afferma quanto segue: la probabltà pe d un evento aleatoro E concde col rapporto tra l numero f de cas favorevol all evento E ed l numero n de cas possbl nell potes che ess sano tutt ugualmente possbl. In formule abbamo: pe f 0 p A 0 l evento A è f con f n n pe 0 mpossble, coè non può verfcars ma f n p A l evento A è certo, n f p A l evento A s dce equprobable p A l evento A è detto mprobable, p A l evento A è detto probable. La defnzone classca d probabltà è applcable quando samo n grado d defnre l numero de cas possbl ed equprobabl. Esemp S consder l lanco smultaneo d due dad e s determn la probabltà dell evento complesso la somma de puntegg delle due facce è 5-0 -

21 Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda - - La tabella ndca tutt cas possbl che sono 36. Ognuno d quest cas rappresenta un evento elementare. L evento proposto, la somma de puntegg delle due facce è 5, è un evento complesso. I cas favorevol, ndcat n rosso, sono 4. 4 p E 36 9,4,3 3, 3, 4, 5, 6, 6,6,6 3,6 4,6 5,6 6,6 5,5,5 3,5 4,5 5,5 6,5 4,4 3,4 4,4 5,4 6,4 3,3 3,3 4,3 5,3 6,3,, 4, 5, 6,,, Da un urna, contenente 5 pallne numerate da a 5, s estraggono pallne, senza rensermento. Calcolare la probabltà dell evento E = uno de numer estratt è l. Dalla seguente tabella deducamo che cas possbl sono 0 ed cas favorevol sono 8: 8 p E 0 5 I cas ;, ;, 3;3, 4;4, 5,5 non sono possbl n quanto l estrazone avvene senza rensermento. ; ;3 ;4 ;5 ; ;3 ;4 ;5 3; 3; 3;4 3;5 4; 4; 4;3 4;5 5; 5; 5; 3 5;4 Defnzone: dato un evento E, s chama evento contraro d E (s ndca col smbolo E e s legge evento non E) l evento che s verfca quando non s verfca l evento E. L evento contraro è detto anche evento opposto o evento complementare dell evento E. Teorema della probabltà dell evento contraro La somma della probabltà d un evento A e d quella dell evento contraro A è uguale ad uno: p A p A << Un dado vene lancato due volte. Determnare la probabltà che esca l numero 6 n almeno una delle due facce >> Gl event elementar assocat allo schema probablstco del lanco d due dat sono 36 e sono ndcat n fgura. Gl event elementar favorevol all evento E sono. Gl event elementar possbl sono 36. 6,6,6 3,6 4,6 5,6 6,6 6,5 6,4 6,3 6, 5, 6, 5,5,5 3,5 4,5 5,5 4,4,4 3,4 4,4 5,4 3,3,3 3,3 4,3 5,3,, 3, 4, 5,,, 3, 4, A = esce l numero 6 n almeno una delle due facce p A

22 - - Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda p A A = l numero 6 non esce n nessuna delle due facce Qund: p A p A Defnzone: dat due event che dpendono da uno stesso fenomeno casuale (stesso schema probablstco), dcamo che ess sono: compatbl se possono verfcars contemporaneamente (questo s verfca se due event hanno n comune qualche evento elementare dello schema probablstco) ncompatbl se non possono verfcars contemporaneamente (questo s verfca se due event non hanno n comune qualche evento elementare dello schema probablstco). Concludendo possamo affermare che due event appartenent allo stesso schema probablstco sono ncompatbl se l verfcars d uno d ess esclude l verfcars dell altro. In caso contraro s dcono compatbl. Come esempo consderamo lo schema probablstco del lanco d un dado. Gl event elementar sono numer,, 3, 4, 5, 6. Prendamo n esame seguent event compless: E = esce un numero dspar E = esce un multplo d 3 E 3 = esce l numero 4. Gl event E ed E sono compatbl, n quanto se esce l evento elementare 3, s verfcano entramb. Gl event E ed E 3 sono ncompatbl perché nessuno de 6 event elementar sono contemporaneamente event favorevol agl event compless E ed E 3. Due event sono ndpendent se l verfcars d uno d ess non altera la probabltà d verfcars dell altro. Qund l evento A è ndpendente dall evento B se l verfcars dell evento B non modfca la probabltà d verfcars dell evento A e vceversa. L estrazone d successve pallne da un urna, dopo che s sa remmessa nell urna la precedente, è un modello d studo per event ndpendent. Due event sono dpendent se l verfcars d uno d ess modfca la probabltà d verfcars dell altro. L estrazone d successve pallne da un urna, senza remmssone nell urna della pallna estratta, è un modello d studo per event dpendent. Adesso voglamo consderare event compless che hanno una partcolare mportanza nel calcolo delle probabltà. Abbamo chamato complesso un qualsas evento che rsult

23 Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda combnazon d altre event pù semplc, n partcolare d event elementar nello schema probablstco consderato. Defnzone: dat gl event E ed E, s chama evento composto (o evento prodotto o evento ntersezone) l evento E che s realzza quando s verfcano contemporaneamente due event E ed E. Per ndcare che E è l evento composto de due event E ed E scrvamo: E Ee E Col smbolo p A/ B ndchamo la probabltà dell evento A quando l evento B s è verfcato. Rsulta: p A/ B favorevol all evento prodotto p Ae B na B dove na B rappresenta l numero d cas pb n B Ae B ed n B l numero d cas favorevol all evento B. Analogamente, la probabltà dell evento B rspetto quando l evento A s è verfcato è defnta dalla formula (s not che A e B B e A ) p B A p Ae B n p A n AB / Dove n A n dca l numero d cas favorevol all evento A. Esempo: << S lancno contemporaneamente due dad. Qual è la probabltà che la somma de numer delle due facce valga 8 (evento A) sapendo che l rsultato ottenuto è un numero par (evento B)?>> Evento A = la somma de numer present nelle facce de due dad vale 8 Evento B = la somma de numer present nelle facce de due dad è un numero par ,6,6 3,6 4,6 5,6 6,6,5,5 3,5 4,5 5,5 6,5,4,4 3,4 4,4 5,4 6,4,3,3 3,3 4,3 5,3 6,3,, 3, 4, 5, 6,,, 3, 4, 5, 6, A No sappamo che nel lanco d due dad esstono 36 rsultat possbl (36 event elementar). I cas favorevol all evento A sono 5:,6, 3,5, 4,4, 5,3, 6, A Qund la probabltà ncondzonata (coè senza la conoscenza dell evento B) dell evento A è: p A

24 - 4 - Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda Se s è verfcato l evento B cas possbl sono 8 e non 36 mentre cas favorevol sono ancora 5 e, d conseguenza, la probabltà dell evento A condzonata dall evento B vale: p A / B 5 8 p A/ B 5 p Ae B 36 5 pb Il teorema della probabltà composta per event compatbl ed ndpendent << La probabltà d verfcars d un evento C composto d due event A e B compatbl e ndpendent è uguale al prodotto delle probabltà de sngol event >> e p C p A B p A p B [*] Il teorema della probabltà composta per event compatbl e dpendent << La probabltà d verfcars d un evento composto C, formato da due event A e B compatbl e dpendent, è data dal prodotto della probabltà che ha l prmo evento d verfcars per la probabltà che ha l secondo nell potes che l prmo s sa verfcato. >> e / / p C p A B p A p B A p B p A B Esempo: Consderamo l estrazone senza rensermento d due pallne da un urna contenente una pallna verde, due rosse e due blu, come ndcato n fgura. Calcolare la probabltà che la prma pallna estratta sa verde e la seconda blu. L evento del quale dobbamo calcolare la probabltà è l evento E = la prma pallna estratta è verde e la seconda è blu. L evento E lo possamo mmagnare come l evento composto de due seguent event elementar: E = la prma pallna estratta è verde E = la seconda pallna estratta è blu. S tratta d due event dpendent. pe pe / E pe pe e E pe pe / E Per calcolare la probabltà precedente senza usare la formula della probabltà composta, bsogna consderare le due estrazon come un fenomeno unco e fare l seguente schema, dal quale deducamo che cas possbl sono 0, mentre cas favorevol sono, precsamente. pe e E p E e E?????? p E ;3, 5;4-4 -

25 Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda ; ; 3 ; 4 ; 5 ; ; 3 ; 4 ; 5 3; 3; 3; 4 3; 5 4; 4; 4; 3 4; 5 5; 5 ; ( 5; 3) ( 5;4) Esempo: Consderamo l estrazone con rensermento d due pallne da un urna contenente una pallna verde, due rosse e due blu, come ndcato n fgura. Calcolare la probabltà che la prma pallna estratta sa verde e la seconda blu. Questa volta gl event E ed E sono ndpendent, perché l estrazone avvene con rensermento. pe pe / E pe pe e E pe pe / E 5 Per calcolare la probabltà precedente senza usare la formula della probabltà composta, bsogna consderare le due estrazon come un fenomeno unco e fare l seguente schema, dal quale deducamo che cas possbl sono 0, mentre cas favorevol sono, precsamente ;3, 5;4. ; ; ; 3 ; 4 ; 5 ; ; ; 3 ; 4 ; 5 3; 3; 3; 3 3; 4 3; 5 4; 4; 4; 3 4; 4 4; 5 5; 5; ( 5; 3) ( 5; 4) 5;5 Defnzone: dat gl event E ed E, s chama evento totale (o evento somma o evento unone) l evento E che s realzza quando s verfcano almeno uno de due event E ed E, coè quando s verfca E oppure E. Per ndcare che E è l evento totale de due event E ed E scrvamo: E Eo E. Teorema della probabltà totale per event ncompatbl Dat due event A e B ncompatbl la probabltà dell evento somma Ao B è data dalla somma delle probabltà d cascun evento. p Ao Bp A pb p AoBoC p A pb pc Teorema della probabltà totale per event compatbl Dat due event A e B compatbl la probabltà dell evento somma Ao B è data dalla somma delle probabltà de sngol event dmnuta della probabltà dell evento prodotto: o e p A B p A p B p A B - 5 -

26 - 6 - Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda Esempo: Un urna contene 5 pallne numerate da a 5. Calcolare la probabltà che estraendo una pallna essa rech: ) un numero dspar o maggore d 0 ) un numero mnore d 6 o maggore d 0. Consderamo seguent event: A = esce un numero dspar B = esce un numero maggore d 0 C = esce un numero mnore d 6 Gl event de qual calcolare la probabltà sono: E = A o B D = C o B Gl event A e B sono compatbl e dpendent, mentre gl event C e D sono compatbl e ndpendent pe p AoB p A pb p AeB pd pc o B pc pb Defnzone frequentsta d probabltà Volendo utlzzare l calcolo delle probabltà nello studo della realtà che c crconda, l uso della probabltà classca s rvela assa lmtato. Ad esempo, la defnzone classca d probabltà non c consente d stablre quale probabltà ha una persona d 30 ann d essere n vta tra 0 ann. Occorre ntrodurre altr metod che c consentano d determnare la probabltà d pù vaste class d event aleator. La defnzone classca d probabltà è applcable soltanto quanto samo n grado d defnre l numero de cas possbl ed equprobabl. Quando questo non è possble può essere utle fare rcorso alla teora frequentsta d probabltà d un evento. Concetto base per frequentst è quello della frequenza relatva d un evento ntesa come l rapporto fra l numero h d volte n cu l evento E s è verfcato ed l numero n delle prove effettuate: h f E n Evdentemente la frequenza d un certo evento E vara al varare delle prove e, addrttura, pur mantenendo fsso l numero delle prove sullo stesso evento E e nelle stesse condzon le frequenze d ogn sngolo nseme d prove potranno rsultare tra loro dverse. Tuttava l esperenza dmostra che, se l numero n d prove è abbastanza grande, valor delle frequenze dfferscono d poco l uno dall altro. Da questa osservazone s evdenza che l rapporto h n assume un valore tendenzalmente costante quanto pù grande è n. LEGGE EMPIRICA DEL CASO o LEGGE DEI GRANDI NUMERI - 6 -

27 Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda In una sere d prove, rpetute un gran numero d volte e tutte nelle stesse condzon, un evento casuale E s verfca con una frequenza f che vara d poco al varare del numero delle prove e le varazon, n generale, sono tanto pù pccole quanto pù grande è l numero delle prove rpetute. Se n è grande allora: pe f E Questa probabltà è chamata probabltà emprca d un evento o probabltà a posteror o probabltà statstca n contrapposzone a quella classca detta probabltà teorca o probabltà a pror o probabltà matematca. In sntes possamo affermare quanto segue. In generale rsulta pe f E, anz l valore d E partà d prove effettuate, possamo trovare valor dvers d f dpende dal numero d prove effettuate ed, a f E. Tuttava, quando l numero delle prove effettuate è abbastanza grande (teorcamente nfnto), l valore d f E tende a stablzzars attorno ad un valore ben precso che s dscosta poco dalla probabltà matematca p(e) dell evento E. Osservazon rpetute hanno portato alla formulazone della seguente legge che, traendo orgne dall esperenza, non è dmostrable ed è detta, per questo motvo, legge emprca del caso o legge de grand numer: << su un numero molto grande d prove, effettuate tutte nelle medesme condzon, la frequenza f E con la quale s presenta un certo evento E assume generalmente valor molto prossm a quello della probabltà p(e) dello stesso evento e tale approssmazone è tanto mglore quanto pù elevato è l numero delle prove effettuate>> Questa defnzone d probabltà è dovuta a Rchard von Mses (99). Defnzone d probabltà secondo la teora soggettvsta Se voglamo conoscere la probabltà che una squadra d calco d sere A vnca l camponato n corso non possamo applcare né la probabltà classca né quella frequentsta. Potremmo ntrodurre la seguente nuova defnzone d probabltà: la probabltà p che la squadra vnca l camponato n corso (evento E) è uguale al rapporto P S che uno scommetttore coerente rtene equo pagare la somma P per rscuotere la somma S nel caso che la squadra d calco vnca l camponato. La probabltà soggettvsta d un evento rappresenta l grado d fduca che un ndvduo coerente attrbusce al presentars d un evento. E p P S - 7 -

28 - 8 - Statstca Calcolo delle probabltà Scuola Meda Un ndvduo s consdera coerente nella propra valutazone se è dsposto ad accettare ndfferentemente l ruolo d scommetttore o quello d controparte. La probabltà n senso soggettvo d un evento E è l rapporto p E fra l prezzo P che un ndvduo coerente è dsposto a pagare e la somma S che ha drtto a rscuotere se l evento E s verfca, perdendo nvece la somma P se l evento non s verfca. In smbol abbamo: Anche n questo caso abbamo pe E p 0. Infatt è logco supporre che, se un ndvduo stma che un evento non ha alcuna possbltà d realzzars, rtenga gusto pagare zero euro ndpendentemente dalla somma che rceverebbe n cambo. In questo caso avremmo: 0 p E 0. Per un evento che uno scommetttore rtene certo, la controparte non gl potrà dare S pù della somma che l gocatore ntende mettere a dsposzone. In questo caso abbamo: P P p E Osservazone: La teora soggettvsta s svluppa negl ann vent per opera del flosofo nglese Ramsey ( ) ma solo con De Fnett la concezone soggettvsta della probabltà dvene una vera e propra teora matematca. Goco equo e speranza matematca In un goco d azzardo l prodotto della vncta per la probabltà d consegurla dces speranza matematca. Se un gocatore ha la probabltà pe d vncere la somma V, allora la sua speranza matematca vale: S pe V. Un goco s dce equo quando la speranza matematca del gocatore è uguale alla speranza matematca della controparte. In smbol abbamo pe V pe R con pe Se s verfca l evento E l gocatore vnce la somma V, se s verfca l evento contraro E la controparte vnce la somma R. pe p E R = speranza matematca della controparte V = speranza matematca del gocatore R V P S - 8 -