Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - Esercizi sulla Risposta in Frequenza

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1 Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza Prof. Michele Scarpiniti Dipartimento di Ingegneria dell Informazione, Elettronica e Telecomunicazioni Sapienza Università di Roma michele.scarpiniti@uniroma1.it Roma, 5 Novembre 2012 M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 1 / 32

2 1 I file audio in 2 M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 2 / 32

3 I file audio in M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 3 / 32

4 La risposta in frequenza in I file audio in La risposta in frequenza di un sistema caratterizzato dalla risposta impulsiva h[n] è data da H(e jω ) = x[k]e jωk k= In generale la risposta in frequenza è una funzione complessa di tipo razionale a coefficienti reali, ovvero può essere rappresentata come rapporto di polinomi H(e jω ) = B(ejω ) A(e jω ) = b 0 + b 1 e jω b M e jmω a 0 + a 1 e jω a N e jnω in cui i coefficienti b k e a k sono quelli dell equazione alle differenze finite che descrive il circuito: M N y[n] = b i x[n i] a j y[n j] i=0 j=1 M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 4 / 32

5 La risposta in frequenza in I file audio in In la risposta in frequenza si calcola con il comando >> H = freqz(b,a); >> freqz(b,a); dove i vettori a e b sono rispettivamente i vettori conteneti i coefficienti a k e b k : a = [a 0, a 1,..., a N ] b = [b 0, b 1,..., b M ] Tale funzione restituisce il vettore complesso H che contiene la risposta din frequenza. Senza parametri di uscita, la funzione freqz(b,a) disegna la risposta in ampiezza e in fase del circuito rappresentato dai vettori a e b. Il grafico del modulo è in scala logaritmica mentre l asse delle frequenze è compreso nell intervallo [0, π]. Se si desidera disegnare la risposta in frequenza tra [0, 2π], si utilizza il comando >> freqz(b,a, whole ); M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 5 / 32

6 La risposta in frequenza in I file audio in Nota la risposta in frequenza H ottenuta dalla funzione freqz(b,a) è possibile calcolare la risposta in ampiezza con il comando abs() e la risposta in fase con il comando angle() che restituiscono rispettivamente modulo e fase di un numero complesso: >> H = freqz(b,a); >> M = abs(h); >> F = angle(h); Si può quindi disegnare la risposta in ampiezza e in fase. Si noti però, che ora l asse delle ascisse non sarà l intervallo [0, π], ma semplicemente conterrà i valori da 1 alla lunghezza del vettore. Bisogna quindi costruire il vettore delle frequenza. A tale scopo si utilizza >> [H,w] = freqz(b,a); che restituisce in w il vettore delle frequenze. Si utilizza allora w (o w/π per la versione normalizzata) in plot(w,m) (o plot(w/pi,m)) per disegnare manualmente la risposta in ampiezza o in fase. M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 6 / 32

7 La risposta in frequenza in I file audio in La funzione freqz(b,a) utilizza 512 punti per approssimare la funzione continua H(e jω ). Se si desidera cambiare il numero di questi punti, per approssimara magari meglio la H(e jω ), si utilizza >> freqz(b,a,n); >> H = freqz(b,a,n); >> [H,w] = freqz(b,a,n); indicando in N il nuovo valore scelto. Se quindi N è omesso per default assume N = 512. Se la H(e jω ) deriva da un circuito campionato a frequenza F s, potrebbe essere utile disegnare la risposta in frequenza nell intervallo [0, F s /2]. In questo caso si utilizza >> freqz(b,a,n,fs); >> H = freqz(b,a,n,fs); >> [H,f] = freqz(b,a,n,fs); che restituisce in f il vettore delle frequenze tra [0, F s /2]. M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 7 / 32

8 I file audio in La risposta in frequenza in : alcuni esempi o 1 Valutiamo la risposta in frequenza del circuito ritardatore y[n] = x[n 2] La risposta impulsiva è evidentemente h[n] = δ[n 2] e quindi Magnitude (db) >> a = 1; >> b = [0 0 1]; >> freqz(b,a); Phase (degrees) Normalized Frequency ( π rad/sample) Normalized Frequency ( π rad/sample) M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 8 / 32

9 I file audio in La risposta in frequenza in : alcuni esempi o 2 Valutiamo la risposta in frequenza del circuito derivatore y[n] = x[n] x[n 1] La risposta impulsiva è evidentemente h[n] = δ[n] δ[n 1] e quindi 10 0 Magnitude (db) >> a = 1; >> b = [1-1]; >> freqz(b,a); Phase (degrees) Normalized Frequency ( π rad/sample) Normalized Frequency ( π rad/sample) M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 9 / 32

10 I file audio in La risposta in frequenza in : alcuni esempi Se volessimo disegnare manualmente la risposta in frequenza dell esempio precedente, si procede come >> a = 1; >> b = [1-1]; >> [H,w] = freqz(b,a); >> M = abs(h); >> F = angle(h); >> figure; plot(w,m); >> figure; plot(w,f); M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 10 / 32

11 I file audio in La risposta in frequenza in : alcuni esempi o 3 Valutiamo la risposta in frequenza del circuito TD a media mobile, con h[n] = 1 5, per 0 n 4 Si ha 0 10 Magnitude (db) >> L = 5; >> a = 1; >> b = 1/L*ones(1,L); >> freqz(b,a); Phase (degrees) Normalized Frequency ( π rad/sample) Normalized Frequency ( π rad/sample) M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 11 / 32

12 I file audio in La risposta in frequenza in : alcuni esempi o 4 Valutiamo la risposta in frequenza del circuito TD a media mobile, con h[n] = 1, per 0 n Si ha 0 10 Magnitude (db) >> L = 11; >> a = 1; >> b = 1/L*ones(1,L); >> freqz(b,a); Phase (degrees) Normalized Frequency ( π rad/sample) Normalized Frequency ( π rad/sample) M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 12 / 32

13 I file audio in La risposta in frequenza in : alcuni esempi o 5 Valutiamo la risposta in frequenza del circuito TD con risposta impulsiva h[n] = a n u[n] con a = E quindi si ha H(e jω ) = >> a = [1-0.8]; >> b = 1; >> freqz(b,a); 1 1 ae jω Magnitude (db) Phase (degrees) Normalized Frequency ( π rad/sample) Normalized Frequency ( π rad/sample) M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 13 / 32

14 : leggere un file audio I file audio in mette a disposizione alcune funzione per leggere o scrivere un file audio in formato *.wav (multicanale fino a 32 bps). Lettura di un file *.wav: si utilizza >> y=wavread(nome-file); legge il file Nome-file.wav e restituisce un vettore colonna y contenente i valori dei campioni del segnale letto. Se siamo interessati a conoscere la frequenza di campionamento F s o il numero N b di bit con cui è quantizzato il singolo campione, possiamo utilizzare il comando >> [y,fs,nb]=wavread(nome-file); Se invece siamo interessati a leggere solo parte del file, possiamo utilizzare: >> [...]=wavread(nome-file,n); >> [...]=wavread(nome-file,n1,n2); che restituiscono i primi N campioni oppure i campioni compresi tra N 1 e N 2, rispettivamente. M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 14 / 32

15 : leggere un file audio I file audio in Il comando >> dim=wavread(nome-file, size ); restituisce il numero di campioni e il numero di canali del file Nome-file.wav. Informazioni addizionali possono essere recuperate con >> [y,fs,nb,opt]=wavread(nome-file); Questa funzione restituisce in opt una struttura contenete tutte le informazioni sul file letto. Ad esempio: wformattag 1 nchannels 1 nsamplespersec 8000 navgbytespersec nblockalign 2 nbitspersample 16 M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 15 / 32

16 : scrivere un file audio I file audio in Scrittura di un file *.wav: si utilizza >> wavwrite(y,fs,nb,nome-file); scrive sul disco, nella directory di lavoro, il file Nome-file.wav usando una frequenza di campionamento pari a F s e N b bit per campione. E anche possibile utilizzare le funzioni: >> wavwrite(y,fs,nome-file); >> wavwrite(y,nome-file); In questi casi, viene fissato di default N b = 16 e F s = M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 16 / 32

17 : suonare un file audio I file audio in In è possibile ascoltare un vettore y di campioni audio, con frequenza di campionamento F s, tramite il comando: >> sound(y,fs); Se la quantizzazione non è di 16 bit, uso il comando: >> sound(y,fs,nb); Posso anche non esplicitare la frequenza di campionamento F s se vale 8 khz: >> sound(y); E anche utile il comando: >> soundsc(y,fs); che normalizza il segnale prima di suonarlo. Se interpreto y come vettore di campioni di un file *.wav, uso: >> wavplay(y,fs); Se non esplicito F s, di default assumo che F s = Hz. M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 17 / 32

18 I file *.wav I file audio in Il WAV (o WAVE), contrazione di WAVEform audio format è un formato audio sviluppato da Microsoft e IBM per PC. È una variante del formato RIFF di memorizzazione dei dati. I dati vengono salvati in blocchi ( chunk ). E simile anche al formato IFF o all AIFF utilizzato dai computer Apple Macintosh. Sia i file nel formato WAV che AIFF sono compatibili con i sistemi operativi Windows e Macintosh. La differenza principale per questo formato è che, essendo progettato per computer montanti processori Intel o compatibili, i dati vengono memorizzati con la notazione little endian, a differenza degli altri formati che, essendo sviluppati prevalentemente per computer con processori Motorola, utilizzano la notazione big endian. Ricordiamo che la differenza tra i due sistemi è data dall ordine con il quale i byte costituenti il dato da immagazzinare vengono memorizzati: 1 big-endian è la memorizzazione che inizia dal byte più significativo per finire col meno significativo; 2 little-endian è la memorizzazione che inizia dal byte meno significativo per finire col più significativo; 3 middle-endian è la memorizzazione in un ordine dei byte che non sia né crescente né decrescente. M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 18 / 32

19 I file *.wav I file audio in Essendo basato sullo standard RIFF il formato WAV supporta varie modalità di immagazzinamento dei dati, ma nella pratica il più diffuso è il metodo PCM. Il PCM provvede a salvare i dati audio senza nessun tipo di compressione, la forma d onda viene memorizzata direttamente. Quindi i file risultanti sono di elevate dimensioni, ma non richiedono elevata potenza di calcolo per essere riprodotti, ed essendo la codifica lossless, viene spesso utilizzata dagli utenti professionali per memorizzare l audio. La struttura di un file wave è comunque molto modulare e permette di incapsulare flussi audio codificati in diversi modi. E quindi possibile ridurre la dimensione di tali file con opportune codifiche. M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 19 / 32

20 I file *.wav I file audio in La figura seguente descrive la struttura canonica di un file wave. Struttura canonica di un file wave endian big little big big little little little little little little little big little little offset (byte) campo Chunk ID Chunk Size Format Subchunk1 ID Subchunk1 Size Audio Format Num channels Sample Rate Byte Rate Block Align BitsPerSample Subchunk2 ID Subchunk2 Size Data dimensione (byte) Subchunk2 Size Blocco descrittore RIFF Sottoblocco fmt Sottoblocco dati M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 20 / 32

21 I file *.wav I file audio in Le figure seguenti descrivono i primi 72 byte di un file wave di esempio d e f3 3c 13 3c f9 18 f9 34 e7 23 a6 3c f2 24 f2 11 ce 1a 0d Subchunk1 Size = 16 Num Channels = 2 Chunk Size = 2048 Audio Format = 1(PCM) Blocco descrittore Sottoblocco fmt d R I F F W A V E f m t Byte Rate = BitsPerSample = 16 Sample Rate = Block Align = 4 Subchunk2 Size = 2048 Sottoblocco dati d a t a campione 1 campioni del canale sinistro campioni del canale sinistro e f3 3c 13 3c f9 18 f9 34 e7 23 a6 3c f2 24 f2 11 ce 1a 0d campione 2 campione 3 campione 4 campione 5 campione 6 campione 7 campioni del canale destro campioni del canale destro M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 21 / 32

22 Esempi con i file *.wav I file audio in o 6 Si filtri un segnale audio con filtro rappresentato dall equazione alle differenze finite y[n] = x[n] x[n 1] Si tratta di un filtro passa-alto. Si ha >> [x,fs] = wavread( radio.wav ); >> soundsc(x,fs); >> a = 1; >> b = [1-1]; >> y = filter(b,a,x); >> soundsc(y,fs); M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 22 / 32

23 Esempi con i file *.wav I file audio in o 7 Si filtri un segnale audio con filtro rappresentato dall equazione alle differenze finite y[n] = x[n] + 2x[n 1] + x[n 2] Si tratta di un filtro passa-basso. Si ha >> [x,fs] = wavread( radio.wav ); >> soundsc(x,fs); >> a = 1; >> b = [1 2 1]; >> y = filter(b,a,x); >> soundsc(y,fs); M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 23 / 32

24 M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 24 / 32

25 DTFT o 8 Determinare la DTFT della seguente sequenza ( ) 3 n x[n] = u[n 4] 4 Utilizzando la definizione di DTFT, si ottiene direttamente X ( e jω) ( ) 3 k ( ) 3 k = x[k]e jωk = e jωk = 4 4 e jω = = = k= ( 3 k=0 ( e jω ) 4 e j4ω e jω ) k k=4 3 k=0 ( ) 3 k 4 e jω = k=4 ( 3 4 e jω) e jω e jω M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 25 / 32

26 DTFT inversa o 9 Determinare la DTFT inversa della funzione Si ha che X ( e jω) = cos(2ω) + j sin(2ω) X ( e jω) = cos(2ω) + j sin(2ω) = e j2ω A questo punto, per ispezione visiva è immediato affermare che x[n] = δ[n + 2] E comunque possibile applicare la deinizione di trasformazione inversa della trasformata di Fourier tempo-discreto. M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 26 / 32

27 DTFT inversa A questo punto, dalla definizione di DTFT inversa, si ottiene x[n] = 1 2π = 1 2π = π π π π X ( e jω) e jωn dω = 1 2π π π e jω(n+2) dω = 1 2π ejω(n+2) j (n + 2) 1 π (n + 2) ej(n+2)π e j(n+2)π 2j = sinc ((n + 2) π) = E quindi rimane confermato che e j2ω e jωn dω = π π = { 0, per n 2 1, per n = 2 x[n] = δ[n + 2] = sin ((n + 2) π) (n + 2) π = M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 27 / 32

28 DTFT e risposta in frequenza o 10 Determinare la risposta in frequenza del circuito TD caratterizzato dalla seguente equazione alle differenze finite y[n] 1 y[n 1] = x[n] + 2x[n 1] + x[n 2] 2 Si ricorda che la risposta in frequenza H ( e jω) (ovvero la DTFT della risposta impulsiva h[n]) coincide con la trasformata Z valutata sul cerchio unitario, cioè sostituendo z = e jω. Si ricorda inoltre, che la trasformata Z della risposta impulsiva del circuito TD rappresentato dell equazione alle differenze finite seguente y[n] = M N b i x[n i] a k y[n k] i=0 k=1 è data da H(z) = M i=0 b iz i 1 + N k=1 a kz k M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 28 / 32

29 DTFT e risposta in frequenza Dunque H ( e jω) = H(z) z=e jω = Quindi per l esercizio assegnato si ha M i=0 b ie jωi 1 + N k=1 a ke jωk H ( e jω) = 1 + 2e jω + e j2ω e jω M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 29 / 32

30 DTFT e risposta in frequenza o 11 Determinare l equazione alle differenze finite caratterizzante il circuito TD con risposta in frequenza data da H ( e jω) = e jω + e j3ω e jω e j2ω Per quanto detto all esercizio precedente, si ottiene immediatamente che y[n] = x[n] 1 2 x[n 1] + x[n 3] 1 2 y[n 1] 3 y[n 2] 4 M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 30 / 32

31 DTFT e risposta in frequenza o 12 Determinare la sequenza di uscita del circuito TD seguente xn j H e yn con e H ( e jω) = 1 e j2ω e j4ω x[n] = sin ( πn ) 4 Si ricorda che l uscita di un sistema LTI per un ingresso sinusoidale x[n] = A cos (ω 0 n + ϕ) è una sinusoide a stessa pulsazione ω 0 ma di diversa ampiezza e fase. M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 31 / 32

32 DTFT e risposta in frequenza L uscita in particolare sarà del tipo y[n] = B cos (ω 0 n + θ) on cui B = A ( ) H e jω 0 θ = ϕ + arg { H ( e jω )} 0 Dunque per il nostro esercizio si ha: H ( e jω ) 0 1 e j π 2 = e jπ = j = 2 2 e arg { H ( e jω 0 )} = arg {1 + j} = arctan 1 = π 4 Quindi y[n] = 2 ( π 2 sin 4 n + π ) = 2 ( 2 sin (n + 1) π ) 4 4 M. Scarpiniti Circuiti a Tempo Discreto Esercitazione 5 - sulla Risposta in Frequenza 32 / 32