LA TEORIA IN SINTESI LA TRIGONOMETRIA

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1 L TEORI IN SINTESI L TEORI IN SINTESI L TRIGONOMETRI I TRINGOLI RETTNGOLI L tignmeti è l studi delle elzini f i lti e gli ngli di un tingl Pim teem dei tingli ettngli In un tingl ettngl l misu di un tet è ugule ll misu dell iptenus mltiplit pe il sen dell ngl ppst l tet stess; ll misu dell iptenus mltiplit pe il sen dell ngl ut diente l tet stess Send teem dei tingli ettngli In un tingl ettngl l misu di un tet è ugule ll misu dell lt tet mltiplit pe l tngente dell ngl ppst l pim tet; ll misu dell lt tet pe l tngente dell ngl diente l pim tet Rislvee un tingl ettngl signifi detemine le misue dei sui lti e dei sui ngli nsend lmen un lt e un lt dei sui elementi sen s tg tg tg 0 sen 0 0 tg 0 sen + Sn nti i due teti Sn nti l iptenus e un tet + Sn nti un tet e l ngl ppst sen d Sn nti l iptenus e un ngl diente PPLIZIONI EI TEOREMI SUI TRINGOLI RETTNGOLI e di un tingl L misu dell e di un tingl è ugule l semipdtt delle misue di due lti e del sen dell ngl mpes f essi sen O Teem dell d In un infeenz l misu di un d è ugule l pdtt dell misu del dimet pe il sen di un degli ngli ll infeenz he insistn sull d Il ggi dell infeenz isitt un tingl, nti un lt del tingl e l ngl ppst ess, si ll n sen S S sen 0_0_E_indd -0-00

2 PITOLO L TRIGONOMETRI PRGRFO I TRINGOLI RETTNGOLI I TRINGOLI QULUNQUE Teem dei seni In un tingl le misue dei lti sn ppzinli i seni degli ngli ppsti Teem del sen In un tingl il qudt dell misu di un lt è ugule ll smm dei qudti delle misue degli lti due lti diminuit del dppi pdtt dell misu di questi due lti pe il sen dell ngl mpes f essi I TRINGOLI RETTNGOLI Tei pg 0 VERO O FLSO? OMPLET ssevnd l figu sen sen sen + s + s + s Nel tingl ettngl dell figu si h ) s V F ) s V F ) tg V F d) sen V F e) tg V F f) s V F ) s ff sen ff f ) sen tg ff f ) ff $ ff d) ff sen ff Rislvee un tingl qulunque signifi detemine le misue dei sui lti e dei sui ngli nsend lmen un lt e lti due sui elementi Sn nti un lt e due ngli dienti Pe esempi,, nti 0 -( + ), sen sen &, sen sen & Sn nti due lti e l ngl mpes f essi Pe esempi,, nti + - s, + - s &, 0 -( + ) Sn nti due lti e un ngl ppst un di essi Pe esempi,, nti & sen sen sen, 0 un sluzine " 0 0 plem impssiile sen ut $ 0 sl ettile " ttus e sl ettile 0 e e ettili Sn nti i te lti,, + - s + - s 0 -( + ) & &,, L isluzine dei tingli ettngli O GUI Rislvim un tingl ettngl in, spend he ) un tet è lung 0 m e l iptenus m; ) i due teti sn lunghi 0 m e 0 m ) Tvim gli elementi ingniti del tingl Pe ive, pplihim il pim teem dei tingli ettngli s 0 s " s " s Rivim - - s Essend sen + s, ivim sen sen! - s " sen - ; im selt il vle psitiv pehé è un ngl ut Pe il pim teem dei tingli ettngli si h sen " $ L lunghezz di è m 0 0_0_E_indd

3 PITOLO L TRIGONOMETRI PRGRFO I TRINGOLI RETTNGOLI Rislvi il tingl, ettngl in, nti gli elementi inditi 0 0 ) Pe il send teem dei tingli ettngli, ; 0 [ 0 ; ; 0 ] ; 0 [ ; ; 0 ] ; [ ; 0 ; 0 ] ; [ ; 0 ; 0 ] 0; ; ; 0 ; [ ; ; ] ; 0 [ ; ; 0 ] ; [ ; 0 ; 0 ] ; [ ; ; ] ; [ -, ; -, ; ] ; ; sen ; sen ; [ ; ] ; tg ; -, ; tg ; 0-0,; -,; ; 0; sen ; sen ; ; ;,; [,; s 0,; sen 0,] 0; 0 [ 0; 0 ; 0 ] ; tg " 0 0tg " tg tg, d ui - - tg n il teem di Pitg llim L iptenus h lunghezz 0 m s ; -, ; sen ; 0 [ 0 ; -,; -,] 0; 0 0; sen ; sen 0; 0 ; sen ; sen ; [ ; -,; -,] ; ; ; ; ; sen ; sen ; sen s ; ; 0; [ ; -,; -,] ; ; ; ; 0; ; 0; s ; ; sen ; ; tg 0; ; sen sen 0 0 ; ; sen Rislvi i seguenti tingli ettngli, nti gli elementi inditi in figu 0 [ -,; -,0; ] [ ; -,; 0 ] 0 ; - 0, ; tg 0 π -0, ; -sen 0, ; sen ; 0; 0 ; 0; sen 0 0 tg 0 sen 0_0_E_indd

4 PITOLO L TRIGONOMETRI PRGRFO I TRINGOLI RETTNGOLI,s, tg s 0 ; ; sen 0 ; sen ; sen ; ; ; sen E sen sen 0 ; s ; VERO O FLSO? Nti gli elementi del tingl ettngl inditi in figu, ll ) l e del tingl misu tg V F ) l iptenus misu sen V F ) l ltezz eltiv ll iptenus misu sen V F s + sen + d) il peimet del tingl misu m s V F e) sen le piezini dei teti sull iptenus misun s e s V F Le elzini f gli elementi di un tingl ettngl Veifi he t gli elementi di un tingl, ettngl in, vlgn le seguenti elzini - sen tg $ tg + + s + + sen s s 0 sen s s $ s tg + tg + tg sen tg sen Nei seguenti eseizi, dt un tingl me quell dell figu e nti gli elementi inditi, detemin i lti e gli ngli ingniti 0 0,, H [; ; ] + g; 0 ] 0, H, s ; ; ; ] + g + ; sen E, ; tg ] + g ; + ; ; sen E 0 H H, H, 0 ; + ( + ); ; 0; sen ; sen E 0 In un tingl ettngl un tet è lung 0 m e l ngl ppst ess è di 0 Tv il peimet del tingl [, m] In un tingl ettngl il ppt t un tet e l iptenus è, e l lt tet è lung m etemin l e del tingl e le misue degli ngli [ 0 m ; l ; l] Nel tingl, ettngl in, un tet è lung 0 m e il sen dell ngl ut ess diente è 0, etemin l e e il peimet del tingl [0 m ;, m] 0 Nel tingl ettngl l lunghezz dell iptenus è m e l tngente dell ngl V è etemin il peimet e l e del tingl [0 m; 0 m ] Nel tingl ettngl le piezini dei teti sull iptenus sn H m e H m etemin i teti e gli ngli uti m; m; V tg ; W tg I plemi n i tingli ettngli Utilizznd i dti dell figu, dedui iò he è indit fin in ss 0,,sen s 0 In un tingl ettngl l lunghezz dell ltezz H eltiv ll iptenus è m e l mpiezz dell ngl ut è Rislvi il tingl [ -,0 m; -, m; -, m] Nel tingl ettngl l ltezz H eltiv ll iptenus misu m, l piezine H del tet sull iptenus misu m ll il peimet e l e del tingl ; 0 + mm; m E L e di un tingl ettngl è m e l tngente di un degli ngli uti misu ll il peimet del tingl [ m] ll l e di un tingl ettngl, spend he il su peimet è m e l mpiezz di un ngl ut è [, m ] [0 ; ] ; etemin l e di un ettngl, spend he l su dignle è lung m e he ess fm n l se un ngl di 0 [, m ] 0_0_E_indd

5 PITOLO L TRIGONOMETRI PRGRFO I TRINGOLI RETTNGOLI In un tingl issele gli ngli ll se sn di 0 etemin l e, spend he l se del tingl è 0 m [,0 m ] Un infeenz h dimet 0 L d misu 0 e il su plungment innt in T l tngente ll infeenz ndtt pe il punt ll T [0 ] etemin i teti di un tingl ettngl, spend he l ltezz eltiv ll iptenus è 0 m e he un degli ngli del tingl è [, m;, m] 0 In un tingl ettngl l iptenus è lung 0 m e f gli ngli uti e vle l elzine sen sen Tv l e del tingl [0 m ] In un tpezi issele l ngl ll se, l ltezz e l se mggie sn ispettivmente 0, 0 m e, m ll il peimet del tpezi [, m] ll l e di un m he h l dignle mggie di m e un ngl di 0 ; m E Nel tpezi ettngl il lt liqu fm un ngl di 0 n l se mggie e l dignle è pependile ll il peimet e l e del tpezi, spend he l su ltezz è 0 m ; mm; m E L diffeenz t i teti di un tingl ettngl è m, mente il sen di un degli ngli uti è etemin il peimet del tingl [0 m] In un tpezi ettngl l ngl W è di 0 e il lt liqu, he misu l, è pependile ll dignle mine etemin il peimet e l e del tpezi ; peimet ] + gl; e l E Tv gli ngli di un tingl issele spend he il peimet è m e l se m [, ; 0, ] 0 L e di un tpezi issele di se è m, il su peimet è m e l su ltezz è h m etemin gli ngli del tpezi W V sen ; W W -sen Le ltezze di un pllelgmm sn m e m e il peimet 0 m etemin gli ngli del pl le lgmm sen ; - sen In un tingl ettngl un tet è lung m e il sen del su ngl ppst è etemin il peimet del tingl e l ltezz eltiv ll iptenus [00 m; h -, m] In un tingl ettngl un tet è i dell lt e l e è m etemin i teti e gli ngli uti [ m, m;, ;, ] In un tingl ettngl un tet è lung m ed è i dell iptenus Rislvi il tingl [ m; 0 m;, ;, ] In un tingl ettngl l iptenus è lung 0 dm e un ngl ut h mpiezz ll le piezini dei teti sull iptenus [, dm;, dm] Il tpezi slen è isitt un infeenz; gli ngli ll se mggie sn W, V e l e è S ll il ggi dell infeenz [] In un tingl ettngl un tet è i dell lt e l l smm è m Rislvi il tingl ; m; m; m ; V sen E Un tpezi ettngl isitt un infeenz h gli ngli etti in e in e l ngl ut in è di Spend he il peimet è 0, ll l e e l lunghezz del lt liqu [ S 0 ; 0( -)] In un tingl issele l se è lung m e il sen dell ngl l vetie è etemin le ltezze del tingl [ m;, m] etemin il peimet e l e di un ttgn egle insitt in un infeenz di ggi + [ ;] + g] Il lt liqu di un tingl issele è lung m e il sen dell ngl ll se è Tv il peimet e l e del tingl [, m; 0, m ] Nel tpezi issele di se è m e tg W etemin peimet e e del 0 tpezi [ m; m ] Tv il peimet di un tingl issele, di se m, in ui il sen dell ngl l vetie è ugu le - [0 m] In un tingl, W 0 e V Essend 0 m e 0 m, ll l lunghezz del lt [(0 + 0) m] Tv i lti del tingl in ui s W, V e l ltezz eltiv d è lung m [ m; 0 m; m] Nel tingl nsi gli ngli W, V 0 e l ltezz H 0 m etemin i lti del tingl [ -, m; -, m; -, m] un punt P esten un infeenz di ent si mndn le tngenti P e P Spend he s P W - e he P m, detemin i vli delle funzini gnimetihe degli ngli PW e PW e il ggi dell infeenz sen PW ; sen PW ; m In un tingl ettngl l diffeenz dei teti è m e l tngente dell ngl ppst l tet mggie è 0 ll il peimet e l e del tingl [0 m; 0 m ] Nel tingl l ltezz H divide in due pti, un tipl dell lt Spend he e H, ll l tngente di isun ngl del tingl, il su peimet e l ltezz eltiv nel tingl H ; 0 tg W ; tg V ; tg W - ; ] + 0+ g; E Il tpezi è ettngl in e Spend he m, m e 0 tg V, ll il peimet e l e del tpezi e detemin il vle di s W m; 00 m ; - 0 0_0_E_indd

6 PITOLO L TRIGONOMETRI PRGRFO I TRINGOLI RETTNGOLI 0 0 etemin i lti di un tingl ettngl, spend he il peimet è 0 m e l tngente di un degli ngli uti è [0 m; m; m] Gli ngli V e W del tingl sn uti e sen W Spend he l lunghezz del lt è m e quell dell ltezz H è m, detemin l lunghezz degli lti due lti e il vle di sen W ; 0 m; ] + gm;sen W + E 0 Nel tingl l ngl V è ttus e H è l ltezz eltiv l lt Spend he H m, H m e tg W, detemin i lti e gli ngli del tingl 0 m; 0 m; m; V sen ; W sen L iptenus di un tingl ettngl è lung 0 m e il peimet m etemin le tngenti degli ngli uti ; Nel tpezi ettngl l se mine è m e il lt liqu 0 m Inlte s 0 W - etemin peimet e e del tpezi [peimet 0 m; e m ] Nel tingl issele il lt misu l e il sen dell ngl l vetie è 0 - Tv il peimet e le ltezze del tingl [peimet 00l ; 0l ;,l] 0 Le mpiezze degli ngli di un tingl sn,, Spend he s e s, ll s, speifind se il tingl è ettngl, utngl ttusngl [0; tingl ettngl] imst he in gni tingl ettngl l tngente di un ngl ut è ugule, dve e sn le misue delle piezini dei teti sull iptenus etemin le misue dei lti del tingl qund m e m m, m, m@ imst he t l ngl l vetie di un tingl issele e un su ngl ll se sussiste l elzine s - s Se sen e il lt misu 0 m, tv l se e l ltezz del tingl 0 00 m; m Tingli ettngli nell eltà Un funivi lleg due llità, e, distnti 00 m ed è inlint di sul pin izzntle he ltezz, ispett d, si tv l stzine? [0, m] L sivl di un phett pe mini è lt, m Pe ive te un im sivl pe, m he ngl fm l sivl n il teen? [ ] L mp di un pheggi sttene è lung, m e fm un ngl di n il pin izzntle he pfndità si tv il pheggi? [,0 m] In un tell stdle si legge «Pendenz del %» Peend un ttt di 0 m, qunt si sle in ltezz? he ngl fm l std n il pin izzntle? [, m;,0 ] 0 TEST L m di un mpnile è lung l metà dell su ltezz ett l misu dell ngl fmt dl sle sull izznte in quel mment, si può die he # 0 0 # 0 è ntte E 0 # TEST L lunghezz dell equte è di i km L lunghezz del pllel he si tvi 0 di ltitudine Nd (si ved l figu lt), tndt lle entini di km è 00 km 00 km E nessun dei peedenti 00 km km (Olimpidi di Mtemti, Gihi di himede, ) (ISI, Fltà di Ingegnei, Test di ingess, 00) TEST In un gin di sle un sfe è pst su un teen izzntle In un et istnte l m dell sfe ggiunge l distnz di 0 meti dl punt in ui l sfe t il teen Nell stess istnte un st di lunghezz met pst vetilmente l teen gett un m lung meti Qul è il ggi dell sfe in meti? E - Plemi n equzini, disequzini, funzini (Olimpidi di Mtemti, G di livell, 00) Insivi un tingl in un semiinfeenz di ent O e dimet, in md he l ngl in isulti mggie dell ngl in O ndui l pependile l dimet he innt in H etemin l ngl V in md he il ettngl di se OH e ltezz i e [0 ] In un ettngl, di e, l dignle misu Tv l ngl V [ ] È dt il tpezi, di se mggie, tle he l ngl W è di 0, il tingl H (n H piede dell pependile tit d su ) è ettngl e l ltezz H è lung m Indi n x l ngl W 0 e detemin l e del tpezi Tv pi pe qule vle di x l e vle m e + tg xlm ; x 0 nside sull semiinfeenz di ent O e dimet m un punt P e, pst P V x, tv pe quli vli di x si h P + PO x Un semiinfeenz h dimet 0 m e t è l su tngente in nside un punt P sull semiinfeenz e indi n il punt piezine di P su t Pst PV x, tv pe qule psizine di P si h P + P x È dt il tingl insitt in un semiinfeenz il ui dimet misu Indit n x l ngl W, detemin l e del tingl l vie di sull semiinfeenz e il vle di x pe ui l e isult ugule ; e sen x; x 0 x E 0 0_0_E_indd

7 PITOLO L TRIGONOMETRI PRGRFO I TRINGOLI RETTNGOLI Nel tingl, ettngl in, il tet misu 0 e l ngl W h il sen ugule isegn l semiinfeenz di dimet esten l tingl e su di ess tv un punt P in md he P $ P ( Pni P V x) [ x 0 x ] Nel tingl ettngl, di iptenus, il tet mine è Ti l pependile ll iptenus nel su punt medi M, fin innte il tet in P etemin l mpiezz dell ngl W in md he M [0 PM ] Insivi un tingl in un semiinfeenz di ent O e dimet in md he l ngl in isulti mggie dell ngl in Plung fin intesee in T l tngente in ll infeenz e tv pe quli vli di x V si h T + [0 ] Il qudilte è insitt in un infeenz e si nsn, s W sw 0 ) Pst W x, espimi, in funzine di x, l e del qudilte ) ll pe quli vli di x l e è + ) In ispndenz di tli ngli detemin l misu dell dignle )( sen x + ); ), ; ) + Nel tpezi ettngl si hnn 0 W W e 0 è l se mine Ti d e le pependili ll ett, he l intesehin ispettivmente in Q e in P etemin Q, P e PQ in funzine dell misu x di V e ll x in md he Q P + PQ Q 0( sen x + s x); P 0 sen x; PQ 0 sen x; x Il tingl ettngl h l iptenus lung m e l ngl V 0 Tv un punt Q sull ltezz H eltiv ll iptenus in md he si Q + Q ( Pni Q V x) [ x ] È dt il m isitt un infeenz di ent O e ggi Indi n x l ngl O W e detemin, l vie di x, l e (x) del m Tv pe quli vli di x si h x ( ) Rppesent pi il gfi dell funzine y (x) evidenzind il ttt he si ifeise l plem ; x ( ) ; x 0 x E sen x Nel tpezi ettngl, di se mggie e se mine, è E e F sn le piezini sull ett, ispettivmente, di e Indi n x l ngl V e detemin l funzine fx ( ) F+ E+ E ) ll pe quli vli di x si h fx ( ) ) Rppesent gfimente fx ( ) nell intevll in ui può vie x gemetimente (Suggeiment Tsfm l espessine di fx ( ) n il metd dell ngl ggiunt) fx ( ) ( sen x+ s x); ) x 0 x t il qudt di lt, si un ett pssnte pe e nn intesente lti punti del qudt le l sn le piezini su, ispettivmente, di e ) etemin l ngl lv x in md he l e del tpezi l l si ) Studi l funzine he ppesent l e senz tene nt dei limiti del plem Pe disegne il gfi, pni ) x 0 x P è un punt viile su un semiinfeenz di ggi e H l su piezine sul dimet ) Studi l funzine fx ( ) PH+ Hl vie dell ngl x PH W e ppesent il ttt di gfi he si ifeise l plem ) Tv pe quli vli di x il vle dell funzine è mine dell misu del ggi ) fx ( ) senx- l+ ; )0# x t l infeenz di ent O e dimet, nside un d pependile d e in ti l tngente ll infeenz fin innte in E il plungment del dimet Indit O V n x, studi l vie di x l funzine E y + EO e disegnne il gfi evidenzind il ttt he si ifeise l plem y sen x;0# x# / x! Nel tingl, ettngl in, l e misu e nside un punt P viile sull semiinfeenz di dimet esten l tingl Si l su piezine su ed E l piezine di su Pst P V x, tv pe quli vli di x si h + P + E x 0 x Nel qudt, di lt lung m, ti l di infeenz % di ent Su di ess nside il punt P individut dll ngl P V x Si H l piezine di P su ) Ti il gfi dell funzine y $ $ H+ P ) Tv pe quli vli di x si h P - (Suggeiment ll H e HPf) [ ) y - s x; ) x 0 x ] 0 Nell semiinfeenz di dimet ti il punt tle he V 0 nside P sull % e H piezine di P su etemin pe qule psizine di P si h H + PH (Pni P W x) x? t il segment di lunghezz uniti, nside l semiett P he fm n un ngl ut P W x Si Q l piezine di su P stuisi il tingl Q ettngl e issele di iptenus Q, nel semipin genet d P nn ntenente ) etemin i vli di x pe ui l e del qudilte Q isult mine di ) nside l funzine f(x) he ppesent l e del tingl Q, tine il gfi limittmente ll intevll del plem gemeti e individu il su vle mssim ) tg x ; ) f( x) sen x; t l semiinfeenz di dimet, ti l tngente t in e nside l semiett di igine he intese l semiinfeenz in P e l ett t in Indi n H l piezine di P su t, pni P W x e tv pe quli psizini di P si h PH + H x 0_0_E_indd

8 PITOLO L TRIGONOMETRI PRGRFO PPLIZIONI EI TEOREMI SUI TRINGOLI RETTNGOLI È dt il tingl ettngl in W, vente e s W ) etemin, ) nside sul plungment di dll pte di un punt tle he W W Rislvi il tingl ettngl ) Ti l semiinfeenz di dimet esten i tingli e su di ess nside un punt P tle he l e del qudilte P si, pnend P V x ), ; ) s W,, ; ) x 0 x t il sette ile O di mpiezz e ggi, nside il punt P sull e n ess stuisi il ettngl insitt PS tle he ppteng l ggi O etemin l e del ettngl PS in funzine dell ngl OP W x ll pe qule vle di x l e vle Pe qule vle di x il ettngl divent un qudt? ; - e s x sen x- sen x; x ; x tg E t l semiinfeenz di dimet, sin P un punt su di ess e H l piezine di P sul dimet etemin fx ( ) in funzine dell ngl PV x e ll pe qule vle di x H + PH H si h fx ( ) fx ( ) tg x+ tg xx ; ll l e di un tingl spend he due sui lti sn lunghi 0 m e m e l ngl mpes t essi è di [ 0, m ] In un tingl due lti sn lunghi m e m L ngl mpes t essi h il sen ugule etemin l e del tingl [, m ] ll l e di un pllelgmm in ui due lti nseutivi misun e e l ngl mpes f essi h mpiezz [ ] In un tingl, e Spend he l e è, tv l ngl W Un tingl issele h e e l ngl ll se misu 0 sen etemin il peimet [] l vetie del tingl equilte di lt l ti un semiett sente il tingl e fiss su di ess il punt P tle he P l ll le mpiezze degli ngli del tingl P, spend he è vlid l seguente elzine f le ee dei due tingli S S P ; ; Un m h l e di 0, m e un ngl misu Tv il lt e le due dignli [;,;,] È dt il qudt di lt m l su inten ti l di infeenz % n ent nel punt nside un punt T dell e l tngente in ess he innt i lti del qudt nei punti P e Q ) Sivi PQ in funzine dell ngl T W x ) Tv pe quli vli di x si h PQ ] -g ) Rislvi l disequzine - PQ ] - g + tg x ) PQ ; ) x ; )0 x 0 x G + tg x PPLIZIONI EI TEOREMI Tei pg SUI TRINGOLI RETTNGOLI L e di un tingl etemin l e di un tingl, nti gli elementi inditi [],, 0 [0] 0 0,, 0 [0], 0,, 0, sen [0] tg [0] Nei seguenti eseizi detemin gli elementi ihiesti utilizznd i dti fniti nelle figue 0 π E 0 e E? 0 e? + [( + )] sen ; Il teem dell d O GUI 0 sen e 0?? In un infeenz il ggi è 0 m llim l lunghezz di un su d, spend he l ngl l ent he insiste su di ess h mpiezz di 0 Se l ngl l ent he insiste sull d è 0, ll il ispndente ngl ll infeenz è 0 0_0_E_indd

9 PITOLO L TRIGONOMETRI PRGRFO PPLIZIONI EI TEOREMI SUI TRINGOLI RETTNGOLI Pe il teem dell d è sen $ 0 $ sen L d è lung 0 m O 0 Utilizznd il teem dell d, tv le misue dei lti del tingl equilte, del qudt e dell esgn egle insitti in un infeenz di ggi [ ; ; ] In un infeenz di ggi m, un d sttende un ngl ll infeenz di 0 etemin l lunghezz dell d [ m] In un infeenz di ggi m, l ngl l ent di insiste su un d etemin l lunghezz di [, m] etemin il ggi dell infeenz isitt l tingl, spend he 0 m e he s W [ m] Negli eseizi he segun tv l element indit ifeendti ll figu?,, 0 []?,, [ ] O?,, s []?, 0, 0 [0 ]?, 0, 0 0?,?,?,, [ ; 0 ; ] Nei seguenti eseizi detemin gli elementi ihiesti utilizznd i dti fniti nelle figue 0 O 0 π π ggi 0?? 00 O? Ossevzine Sull d insistn ngli ll infeenz di 0 e ngli ll infeenz di 0 L lunghezz dell d he llim nn dipende dll ngl selt, pehé sen 0 sen 0 O 0? sen 0 O? ggi s? [0; 0 ; ; 0] O 0 ggi? [; ; ] 0 Il qudilte è insitt in un infeenz di ggi e ll sen, sen e tngente degli ngli V e W suppnend he il vetie si tvi sul mggie dei due hi di estemi e sen V ; s V ; tg V ; sen W ; s W - ; tg W - Nel tingl issele il ppt f il ggi dell infeenz isitt e l se è l mpiezz dell ngl l vetie W In un infeenz di ggi, l d misu, detemin il peimet del tingl Tv 0 Pes sull mggie % in md he 0 Si un tingl insitt in un infeenz etemin l misu del ggi, spend he l d misu l e gli ngli V e W misun ispettivmente e 0 Tv pi il peimet del tingl l; l] + + g@ In un infeenz di ggi, te de nseutive,, misun ispettivmente, e Qunt misu l d? [ ] Nel qudilte insitt in un infeenz di ggi ll e l mpiezz dei qutt ngli, spend he,, ; W ; V W ; W nside un infeenz di ggi e un su d Sul mggie dei due hi % pendi un punt P e pni PV x etemin P in funzine di x e tv pe quli vli di x si h P P sen -xl; 0 x 0 x Su un semiinfeenz di dimet nside l d e sull $ un punt P viile, n P W x ll x in md he il peimet di P si Tv pi l e del qudilte ispndente l vle di x detemint ; In un semiinfeenz di dimet, l d misu Il punt P, pes sull %, h piezine H sul segment e h piezine K sull tngente in P ett x l ngl P W, detemin l funzine y K+ PH+ PK e ppesent il su gfi tenend nt dei limiti del plem y sen x; 0 # x # In un infeenz di ggi ti il dimet e il dimet ess pependile Sull mine % nside un punt P e, pst P W x, tv pe quli vli di x si h P P + 0_0_E_indd

10 PITOLO L TRIGONOMETRI PRGRFO I TRINGOLI QULUNQUE TEST Nell figu fin, lle spend he O, V, W E (Olimpidi di Mtemti, Gihi di himede, 00) O Nel tingl LMN il lt LM è lung 0 m e l ngl MLN V h mpiezz 0 Spend he s LNX M, detemin gli lti lti del tingl MN 0 m; LN 0] + gm@ Nel tingl utngl l medin M è lung 0 m e fm, l lt, un ngl di 0 L lunghezz del lt è 0 m ll l e del tingl [00] + gm ] I TRINGOLI QULUNQUE Tei pg Il teem dei seni el tingl sn nti luni elementi etemin iò he è ihiest 0 O GUI Utilizzim gli elementi inditi nell figu pe tve l ngl e i lti e del tingl 0 -( ) 0 pplihim il teem dei seni pe detemine e " $ sen 0 -, sen 0 sen 00 sen 00 " $ sen 0 -, sen 0 sen 00 sen 00,, 0 sen? 0,, 0 sen? ; E 0,, sen? s? [impssiile], 0,?? [ ; ( + )], 0,?? [ ( -); ( -)] 0,,?? [ ; ( + )],,?? 0, ;,?, 0,??, ;,? Nel tingl sn nti 0, tg W e W etemin l misu degli lti due lti [ ; ( + )] etemin il peimet del pllelgmm di se, spend he, W, V [ ( + )] Nel tingl si nsn 0 m, sen W e s W etemin i lti e [ ( - ) m; m] 00 L isettie NP del tingl LMN misu 0 etemin NM e LP, nti LNM X s e MY 0 00 ; NM ] + g; LP E + 0 Il tingl LMN è ttusngl in L V; spend he LM m, LN m e he l ltezz eltiv l lt LM è NH m, ll il peimet del tingl e l mpiezz di LNM X ;] + gm; LNX M sen E Nel tingl i lti e sn lunghi ispettivmente 0 m e 0 m L tngente di W è - etemin il peimet e l e 0] + gm;00] Nel tingl l isettie misu e fm n l se l ngl W 0 etemin W spend he + nside il tingl equilte e l infeenz ess isitt di ggi Sull % he nn ntiene pendi il punt P ll P V in md he l e del qudilte P si i dell e del tingl equilte Si un tingl equilte insitt in un infeenz di ggi nside un d inten ll ngl W e su un punt E tle he, E p ve dimstt he il tingl E è equilte, espimi in funzine di x W il peimet del tingl E etemin pi pe qule vle di x il peimet misu ] + g peimet ] sen x+ s x+ g; x Sn dti i tingli e, pptenenti ll stess semipin ispett l segment, tli he l ngl W è l metà dell ngl W,, e V Indi n P il punt di intesezine t e e, pst W x, detemin l funzine P - P fx ( ) P ll pi in quli intevlli di [ 0 ; ] si h fx ( ) $ 0 ( - sen x) fx ( ), 0 x ; x x x s x sen x 0 ; n # # 0 # 0 # E - nside il segment e nei due semipini ppsti disegn il tingl n V x e e il tingl n W x I due tingli sn tli he V Indi n P il punt di intesezine dei segmenti e Spend he P W, detemin l misu di in funzine di x e l - l pe quli vli di x è s x ; ;0 x E sen x 0 0_0_E_indd

11 PITOLO L TRIGONOMETRI PRGRFO I TRINGOLI QULUNQUE Il teem del sen O GUI eteminim l misu del lt utilizznd gli elementi inditi nell figu pplihim il teem del sen + - s Si h + - $ s W + - $ $ s $ $ $ " -, el tingl sn nti luni elementi etemin iò he è ihiest,,, 0,? [ ]? [ ],, 0? [,],,? [0 ], 0, s?, 0, tg? [ ],, s? [ ] 0,, 0? tg? [ ] L se mggie del tpezi ettngl misu, il lt liqu misu e V sen etemin e l e 00 ; e Veifi he il tingl he h i lti lunghi m, m e m è ttusngl In un tpezi issele l se mggie e il lt liqu sn lunghi ispettivmente 0 m e m L ngl V è di ll le lunghezze delle dignli e del peimet del tpezi [, m; peimet, m] Nel tingl LMN l lunghezz del lt LM è m, quell del lt MN è 0 m e il sen dell ngl mpes f essi è etemin il ggi dell infeenz isitt e l e del tingl [ m, m; S S 0 m ] I lti e del tingl sn lunghi ispettivmente m e 0 m; il sen dell ngl m pes f essi è - etemin il peimet, l e e l medin M [peimet ( + ) m; e 0 m ; M m] Nel tingl il lt supe di m il lt Inlte, W 0 e m Tv le lunghezze dei lti e [ m; 0 m] etemin l ngl W nel qudilte dell figu 0? 0 [- 0 ] Nel tingl,, x, x + e s W tutti i pssiili vli di x x + etemin x + (N ndin Open Mthemtis hllenge, 00) [ x ] 0 TEST Un tingl h lti di lunghezz, e L misu in dinti dell ngl ppst l lt di lunghezz è E (US Univesity f Suth lin, High Shl Mth ntest, ) Nel tingl utngl si h sen W, m e m Tv, m? Un m h i lti lunghi 0 m e un ngl di etemin le lunghezze delle dignli [, m;, m] 0 Nel tingl sn nti il lt, l isettie T dell ngl W e il segment T stt d tle isettie sul lt ; le l lunghezze sn m, T ] -g m e T ] -g m ll il peimet e l e del tingl [( - + ) m;( - ) m ] È dt il tpezi issele di ui nsi l se mggie m, i lti liqui m e l dignle m etemin gli ngli e il peimet del tpezi [ W 0 ; W 0 ; m] L d di un infeenz di ent O e ggi è lung qunt il lt di un tingl equilte insitt nell infeenz Ti d l tngente ll infeenz e pendi su di ess un punt P pptenente l semipin individut d e ntenente O Pni P x Espimi f( x) P -, ppesent l funzine nel pin tesin e detemin pe qule vle di x è fx ( ) fx ( ) x+ x, x $ 0; x ] - g Nel tingl l misu di è e il sen dell ngl W è Il punt divide nei segmenti e Tv, e l misu di M, medin eltiv d ; ; ; M E In un pllelgmm due lti nseutivi misun e 0 e l ngl f essi mpes è sen ll le misue dell e e delle dignli [ e ; ; ] Si un qudt di lt Ti l infeenz di dimet e nside un punt P pptenente ll semiinfeenz inten l qudt, pnend P W x Si Pl il simmeti di P ispett d etemin l funzine fx ( ) Pl -P, ppesentl gfimente ed evidenzi l pte del gfi eltiv l plem In tle ttt indi il mssim e il minim vle dell funzine Tv pe qule vle di x l funzine ssume vle mssim fx ( ) ( + sen x); mssim ; minim ; x 0_0_E_indd

12 PITOLO L TRIGONOMETRI PRGRFO I TRINGOLI QULUNQUE L isluzine dei tingli qulunque Sn nti un lt e due ngli O GUI Rislvim il tingl, spend he,, 0 pplind il teem del sen, ivim + -s ; + - $ $ s -, ; - 0, Rivim, pplind n il teem del sen Rivim pe diffeenz 0 -( + 0 ) pplihim il teem dei seni pe lle e sen " sen sen sen ; s " s + - 0, + - s - - 0, " - $ 0, $ Rivim pe diffeenz - 0 -( + ) ; sen 0 $ sen ; Rislvi il tingl, nti gli elementi inditi,, [ -,; - ; - 0 ] sen " ; sen sen sen $ sen sen - ] - g$ -,,,, [ -,; - ; - ],, 0 [ -,; - ; - 0 ], 0, [ -,; - ; - ],, 0 [ - 0 ; - 0 ; -,] Rislvi il tingl, nti gli elementi inditi 0,, ; ; ( + ) +,, 0 ; + ; 0, ; - ; ; -; -, 0, s - l ; ; ] + g, 0,,, Sn nti due lti e l ngl f essi mpes O GUI Rislvim il tingl, spend he,, ; ; ] -g ; 0 ; ] + g Sn nti due lti e l ngl ppst un di essi O GUI Rislvim un tingl, spend he ),, ; ),, 0 ) Rivim n il teem dei seni, sen sen 0 " sen sen 0 È ettile sl il vle 0, in qunt pe 0 si vee Inlte nn see ve he d ngl mggie st ppst lt mggie, he è mine di, see ppst 0, he è mggie di eteminim pe diffeenz 0 -(0 + ) 0 0_0_E_indd

13 PITOLO L TRIGONOMETRI PRGRFO I TRINGOLI QULUNQUE Tvim n il teem dei seni ", sen sen " - sen 0 ) pplihim il teem dei seni, sen sen sen " sen Entme le sluzini sn ettili Se 0 " 0, 0 0 " sen 0 sen 0 Se 0 " 0, il tingl è issele, quindi Rislvi il tingl, nti gli elementi inditi 0,, 0 [ ; ; + ],, 0 ; ; +, +, [ 0,, 0 0, 0, ],, 0 [ 0 ; 0 ; ],,,, ] + g, +, ; ;,, ] + g0,, ] - g ; ; +,, sen ( ut) [ 0 ; - ; ] Rislvi il tingl, nti gli elementi inditi 0 pplihim più vlte il teem del sen 0 s $ $ 0 0 s $ $ 0 0 s $ $,, [ - ; - ; - 0 ] 0,, [ - ; - ; - ],, [ - ; - ; - ],, 0 [ - 0 ; - ; - ],, + [ ; 0 ; ],, [ - ; - ; - 0 ],, + ; ; I plemi n i tingli qulunque VERO O FLSO? Nel tingl dell figu si h ) ) ) V F sen H V F sen(0 - ) V F sen In un tingl un lt misu Un ngl ess diente è di e l lt h tngente ugule - etemin le misue degli lti elementi del tingl ; ngl s ; lti, E 0 In un tingl l e misu lti elementi del tingl - 0,0 " -, ; - 0, " -, ; - 0, 0 " -, 0 ] + g e due ngli hnn mpiezze e ll le misue degli ngl ; lti,, + H 0 Sn nti i te lti O GUI Rislvim un tingl, spend he,, 0 In un tingl le misue dell e e di due lti sn ispettivmente ] - g, 0 e ] - g Tv gli lti elementi del tingl [0,,,, 0 0,,, ] In un tingl issele il sen degli ngli ll se è ugule ll il peimet e l e spend he l se misu l, 0_0_E_indd

14 PITOLO L TRIGONOMETRI PRGRFO I TRINGOLI QULUNQUE 0 ll l e di un m di lt m, spend he il sen dell ngl ut è [ m ] etemin il peimet e l dignle mine di un pllelgmm, spend he l dignle mggie è lung 0 m e fm n un lt un ngl di 0, mente l ngl ess ppst è di [0( + -) m, 0 - m] In un tingl issele il ppt i f i ggi dell infeenz insitt e isitt è detemin gli ngli del tingl [tingl equilte] Il tingl utngl MNP è insitt in un infeenz di ggi ; l misu del lt MN è e l e dell supefiie è ] + g etemin gli ngli del tingl [due sl 0,, ; 0,, ] 0 ll il peimet e l e di un tpezi issele, spend he l se mggie è 0 m, il lt liqu 0 m e l ngl ll se h il sen ugule [0 m; m ] In un pllelgmm l dignle mine misu m e fm n un lt un ngl di 0 Spend he l ngl ppst tle dignle è di, ll il peimet del pllelgmm [( + + ) m] Nel pllelgmm si hnn m, m, W etemin le dignli del pllelgmm [, m;, m] In un pllelgmm un ngl misu, un lt e l e ll l misu dell lt lt [ - ] Il tingl utngl è insitt in un infeenz di ggi ; l misu del lt è e quell del lt è ll l e del tingl [( + )] Nel qudt è insitt il qudt RSTV (R, S, T, V ) Il peimet di è, quell di RSTV è etemin gli ngli SRW e RSU [ ; ] Nel tingl LMN l isettie NP è lung m, l mpiezz dell ngl LMY N è e quell dell ngl LNM X è Rislvi il tingl [ LV 0 ; MN -, 0 m; ML -, m; NL -, m] Nel tingl l isettie dell ngl in innt il lt nel punt P tle he P 0 m Spend he V 0 e W 0, ll l e del tingl [0, m ] In un tingl nsi il lt m, l ngl V e l medin M m ll l e e il peimet del tingl [ sluzine S -, m ; p -, m; sluzine S -, m ; p -, m] Nel tingl i lti e sn lunghi ispettivmente m e m; l tngente dell ngl W è - etemin gli ngli, il tez lt del tingl e l medin N [-, ;-, ;-, ;, m;, m] Sull semiinfeenz di dimet è ssegnt un punt Q tle he Q + Q Qunt misu l ngl Q W? [due sluzini simmetihe ; ] Nell semiinfeenz di dimet è dt l d Sul ggi O è fisst il punt tle he O ll l misu del segment ; E L mpiezz dell ngl l vetie di un tingl issele è 0 ll il ppt f il ggi dell infeenz isitt e il ggi di quell insitt ] + g ; E Un tingl è insitt in un infeenz; le misue dei lti e sn ispettivmente e e l e è etemin il ggi dell infeenz isitt due sluzini ; 0 Il tingl RST h il lt RS lung m e l medin RM lung m Spend he l mpiezz dell ngl SRM W è s, detemin i lti RT e ST e l ngl RST U ; RT m; ST m; sen E Si he nel tingl il lt è lung 0 m, l medin M è lung 0 m e l ngl M Y è di 0 etemin l e e il peimet del tingl [00 m ; ( ) m] Nel tingl PQR nsi il lt PQ, il lt QR e l medin RM - ll l e e il peimet del tingl [ e - ; peimet + + ] L se mggie del tpezi ettngl è m; l dignle mggie è lung m ed è isettie dell ngl V etemin gli ngli, il peimet e l e del tpezi [ V 0; W 0;( + ) m;0 m ] Nel tingl sn dti il lt m, il lt m e tg V etemin gli elementi ingniti del tingl W 0; V sen ; W -V ; m Il ettngl h i lti 0 m e m; il pllelgmm ll h i vetii le l pptenenti ll ett Il peimet di ll è i del peimet di ll gli ngli del pllelgmm ll W l sen Le misue dei lti del tpezi slen sn se mggie 0, se mine 0, lti liqui 0 e 0 etemin gli ngli del tpezi, l su e e l misu delle sue dignli [ W 0, V 0, W 0, W 0 ; 00 ; 0, 0 ] In un m di lt l è insitt un infeenz; in tle infeenz è insitt il ettngl he h i vetii nei punti di tngenz f m e infeenz Spend he l mpiezz degli ngli uti è, tv l e del ettngl l sen L e di un tingl issele è 0 m ; l ltezz eltiv ll se è H 0 m etemin gli ngli del tingl e le ltezze eltive i lti liqui ; 0 0 tg ; tg ;h me The mesue f the vetex ngle f isseles tingle is j nd the sides f the tingle e sin j, sin j, nd sin j mpute the e f (US mein Regins Mth Legue, RML, ntest, Smple Plem) Nel tingl l lunghezz del lt è m, quell dell piezine del lt su è m Gli ngli V e W sn uti e sen W ; ll i lti e gli ngli del tingl ; 0 m; ] + gm; V - s ; W s E 0_0_E_indd

15 PITOLO L TRIGONOMETRI PRGRFO I TRINGOLI QULUNQUE Il tingl è ttusngl in W; le lunghezze dei lti e e dell ltezz H sn m, m, H m etemin gli ngli e il tez lt del tingl ; W s - m ; V s ; W s + ; ] - g me Nel tingl l lunghezz dell piezine H del lt su è 0 m; si inlte he s 00 W, sen H W e l ngl V è ut ll le lunghezze dei lti del tingl e le mpiezze degli lti due ngli ; m; 0 m; + 0lm; V s ; W - s E etemin gli ngli, il ggi dell infeenz insitt e di quell isitt l tingl, spend he m, m e ] + g m ; W 0, V, W ; i + - m; me Tw sides nd n ngle e given etemine whethe the given infmtin esults in ne tingle, tw tingles n tingle t ll Slve ny tingle(s) tht esult,, 0 (US Suthen Illinis Univesity ndle, Finl Exm, 00) [ st t -, -, - 0 ; nd t -, -, - ] Nel tingl PQR sn nti il lt PQ ] + g m, l isettie PT m e l ngl PQR W etemin il peimet e l e del tingl [ ( + ) m; m ] Nel tingl l isettie di W 0 intese in P Spend he P, V tg e W s, ll l e del tingl 0 0 Il tingl h V e L medin M misu ll l e [ ] In tingle, 0,, nd W 0 degees Find the sum f ll pssile lengths f (US y e Mth Meet, wl Smple, ) [ 0] 0 Nel tingl l ngl V è ttus e H è l ltezz eltiv l lt Spend he H m, H m e tg W, detemin i lti e gli ngli del tingl 0 m; 0 m; m; sen V ; sen W Il tingl PQR h l ngl in Q di 0 e l lunghezz del lt PQ è 0 m L medin RM innt PQ in M in md he RMQ Y 0 Tv i lti e gli ngli ingniti [un sluzine ettile QR -, m; PR -, m; PRQ W - 0 ] 0 Nel tingl i lti e sn lunghi ispettivmente m e m; l tngente dell ngl W è etemin il tez lt e l e del tingl [un sluzine ettile -, m; e - 00, m ] Il pllelgmm h l ngl 0 V e l su isettie innt l dignle nel punt P in md he P e P etemin i lti del pllelgmm [; ] In un tpezi slen le si misun + e Spend he l ngl in è di 0 e he s W -, ll l lunghezz dei lti liqui [; ] Gli ngli del pllelgmm hnn il sen ugule e le distnze del su ent O di lti sn OM e OP ll le lunghezze delle dignli e l e del pllelgmm , ; 0 In un tingl issele l ltezz H eltiv l lt liqu l divide in due pti, H e H, n H H etemin gli ngli del tingl isuti pi il plem nel s più genele in ui H H p q, n p e q numei intei psitivi q p < W V s, W s ; W s, W V s F p+ q ( p+ q) Plemi n equzini, disequzini, funzini nside il tingl ettngl he h gli ngli uti V 0 e W 0 e l iptenus Pe il vetie ndui un ett s esten l tingl e indi n le l le piezini tgnli di e su di ess Tv l ngl l W, spend he il peimet del tpezi ll + + è [ ] In un infeenz di ent O e dimet l d MN è pependile l dimet e l divide in due pti he stnn nel ppt etemin l mpiezz dell ngl l ent MON W x ; sen E Nel ettngl è insitt il tingl P, n il vetie P sul lt Le misue dei lti del ettngl sn e ] - g etemin l ngl P W, spend he è vlid l elzine P + P [0 ] Un tingl LMN è insitt in un infeenz di ggi ; l lunghezz del lt LM è etemin l mpiezz dell ngl MLN V in md he isulti vlid l elzine LN - MN [due sluzini ; ] I lti liqui di un tpezi issele hnn misu l e sn nguenti ll se mine etemin gli ngli ll se mggie, spend he l smm dell se mggie n il dppi dell ltezz è ugule ] + g l [ ] In un sette ile O di ggi e di mpiezz ugule 0 ti un ggi OP nside l piezine tgnle di P sul ggi O e il punt medi del ggi O etemin l ngl OP W, spend he è vlid l elzine P + P ; 0 due sluzini s OP W! E 0 0 nside il tingl ettngl insitt in un infeenz di dimet sul lt stuisi il qudt PQ estenmente l tingl Si he il tpezi PQ h e S + qunt misu l ngl W?, tg( + ) etemin gli ngli di un tpezi issele, spend he l se mggie è, l se mine è e il ppt f il qudt dell dignle e il qudt del lt liqu è ; Nel tingl il lt h misu l, il lt h misu l etemin gli ngli del tingl spend he f i due lti nti e l ngl W intee l seguente elzine sen W - tg W 0 [te sluzini W 0, V 0 ; W 0, V -, ; W 0, V -, ] 0 0_0_E_indd

16 PITOLO L TRIGONOMETRI PRGRFO I TRINGOLI QULUNQUE 0 Ti l tngente t nel punt ll semiinfeenz di dimet nside un punt P sull semiinfeenz e indi n Q e R le sue piezini ispettivmente su e su t; detemin P W in md he PQ + PR Q ; + sen E ue semiinfeenze di dimeti sn tngenti estenmente in Pesi i punti P sull pim e Q sull send in md he PQ V, ll x PV in md he Q + P etemin i lti e nel tingl in ui sn nti 0 m, W, V 0 nside un punt P pptenente l lt e, pst PV x, islvi l seguente equzine P + P ] + g 0 Espimi pi l funzine fx ( ) e ppesentl su un peid mplet, indipendentemente dl P plem gemeti [ ( - ) m, 0( - ) m; x ; f( x) tg x + ] t l semiinfeenz di dimet, si il punt medi dell % nside sull $ un punt P, ti l tngente in P he innt l ett nel punt Q e, pst P W x, detemin PQ e Q in funzine di x Rislvi, nei limiti impsti dl plem, l equzine Q + PQ ] + g PQ Rppesent pi l funzine f( x) su un peid mplet ed evidenzi l pte eltiv l OQ plem PQ tg x; Q - ; l x ; f( x) sen x, n 0# x s x t il qudt di lt l, stuisi un semiinfeenz di dimet esten l qudt nsidet sull semiinfeenz un punt P, n P V x, detemin l espessine dell funzine f( x) P + P Rppesent l funzine su un peid mplet ed evidenzi l pte eltiv l plem Individu l situzine gemeti ispndente l vle mssim dell funzine fx ( ) + sen x;0 # x # ;m ssim ; l È dt il tingl tle he il lt e l medin ess eltiv M etemin, in funzine dell ngl W x, il peimet del tingl Rppesent l funzine ttenut ed evidenzi l pte eltiv l plem esivi l situzine gemeti ispndente l vle mssim del peimet [ fx ( ) sen( x+ ) + n0 x 0 ; m ssim ( ; ( + )), tingl ettngl issele] t l semiinfeenz di ent O e ggi uniti, plung il dimet di un segment e ngiungi il punt n i punti P e Q dell semiinfeenz tli he OQ W $ OP W Indit n x l ngl OP W, detemin l espessine dell funzine Q - P fx ( ) $ QP Rppesent il gfi di fx ( ) ed evidenzi il ttt eltiv l plem Indipendentemente dl plem gemeti, islvi l disequzine fx ( ) # 0 fx ( ) s x+, 0 x# ; + k # x# + k Sn dti il qudt di lt l e in ess l di infeenz %, di ent nside un punt P pptenente ll % e pni P W x etemin l espessine nliti dell funzine y P - P Veifi he l funzine può essee espess me y - s x+ e ppesentl gfimente nei limiti impsti dl plem Si un qudilte insitt in un infeenz di ggi, n e de nseutive di lunghezz ugule l ggi Pst W x, ll l e x ( ) del qudilte e detemin pi pe qule vle di x si h x ( ) + ; x ( ) + sen xs x+ sen xl; x 0 x E È dt il qudilte insitt in un infeenz di ggi L ngl in è di, quell in è tle he V è dppi di V etemin l espessine nliti dell funzine fx ( ) +, dp ve pst V x Tv pe quli vli di x si h fx ( ) ; fx ( ) ( tg x+ tg x), n 0 x ; x E È dt un semiinfeenz di dimet Insivi in ess il tingl e ti l isettie dell ngl W he intese l infeenz in e il lt in T Indit n x l ngl W, detemin, l vie di x, il ppt y e ll pe qule vle di x tle ppt è T T ; y - 0 ; x # ; x sen E sen x Sn dti il tingl equilte di lt l e l semiett di igine he innt il lt nel punt P Su tle semiett, nside il punt S piezine di e il punt T piezine di Indit n x l ngl P W, detemin l funzine fx ( ) imst he l ndizine fx ( ) S + T # è sempe veifit nei limiti impsti dl plem gemeti ; s x sen x fx ( ) - -, 0 # x # E È dt l semiinfeenz di dimet e ent O Sul ggi pependile d nside un punt tle he P, O, n P punt pptenente ll semiinfeenz Indi n H l piezine di P su P + OH ) Espimi l funzine fx ( ), n x PO W PH ) etemin le limitzini pe x e tv pe quli vli di x si h fx ( ) ) ll f l d) etemin il peimet del qudilte PHO qund x ; + sen x ) fx ( ) ; )0 # x #, x # + ; ) ; d) ] + ge + s x nside il qudt di lt e stuisi, intenmente ess, un semiinfeenz di dimet nside un punt P viile sull semiinfeenz ) Indi n x l ngl P W e n K e Q le piezini di P ispettivmente su e su etemin le PK sluzini dell equzine PQ ) Espimi l funzine fx ( ) PK+ PQl vie di P sull semiinfeenz e, pst, ppesentl in un peid evidenzind l pte eltiv l plem ) Pe qule psizine di P l funzine ggiunge il minim vle e pe qule il mssim? ) x tg ; ) y - senx+ l; ) min pe x, mx pe x 0_0_E_indd

17 PITOLO L TRIGONOMETRI PRGRFO I TRINGOLI QULUNQUE 0 È dt il segment l l su punt medi M ndui un semiett in md he fmi n M un ngl ut viile di mpiezz x Si K l piezine tgnle di sull semiett ) Rislvi, nei limiti impsti dl plem, l equzine K + K l ) Veifi he l funzine fx ( ) K + K può essee espess n y l + l s x ) Pni l e ppesent l funzine gx ( ) ttenut d f ( x) n un tslzine di vette v - ;-l ) x ; ) y -sx In un infeenz di ent O e ggi, è dt l d nguente l lt del tingl equilte insitt ndui l tngente in e nside su di ess un punt pptenente ll stess semipin di O ispett ll ett ) Indit n x l ngl W, ll il vle di x pe ui l e del tingl vle ) Rppesent in un peid l funzine fx ( ), evidenzind il ttt eltiv l plem ; ) x 0 ; ) f( x) sen x, n0 # x 0 E È dt l semiinfeenz di dimet e ent O Nel tingl in ess insitt pni W x Sull semiett O nside il punt P tle he O P Veifi he P + P 0 Rislvi pi, nei limiti gemetii impsti dl plem, l disequzine P P $ etemin il vle del ppt P P pe x 0 # x # s ; t l semiinfeenz di ent O e dimet, nside su di ess il punt tle he, indit n l ngl O W, si s nside su un punt P Pst OP W x, detemin l funzine fx ( ) he ppesent il peimet del tingl OP e islvi, nei limiti impsti dl plem, l equ- zine fx ( ) s x sen x fx ( ) + + l, n 0 # x #, x s x+ sen x È dt il tingl issele di se e lti liqui ll le funzini gnimetihe sen, sen e tngente degli ngli dienti ll se Ti l semiinfeenz di dimet esten l tingl e nside su di ess un punt P, n P W x Veifi he l funzine P + P y può essee sitt nell fm y + sen ( x- ) In qule elzine sn gli ngli e? ll pe qule vle di x l funzine h vle mssim (tv pe x un vle ppssimt) [ e ngli mplementi; x 0, ] In un infeenz di ggi ti l d lung me il lt del tingl equilte insitt e l tngente ll infeenz nel punt Sul mine degli hi, nside il punt P e indi n il punt H l intesezine dell semiett P n l tngente in Pst P W x, detemin, nei limiti gemetii del plem, pe quli vli di x è islt l equzine ( P + P ) $ H Rislvi in R l disequzine H $ H e veifi he i vli di x mmessi dl plem fnn pte delle sluzini [x 0 ; k0 x # 0 + k0 ] È dt il tpezi issele tle he le dignli sn pependili i lti liqui, l se mggie e W 0 Sull se mggie nside il punt P e pni P W x nside l funzine f(x) he espime il peimet del tingl P e tv, tenend nt dei limiti del plem, pe quli vli di x si h fx ( ) $ [ 0 # x # 0 ] 0 È dt il tingl tle he, W 0, V x Ti l isettie dell ngl V he innt il lt nel punt P, nside l funzine fx ( ) e, nei limiti impsti dl plem, P islvi l disequzine fx ( ) # + [ 0 x # ] Il tingl è insitt nell infeenz di ggi e h l ngl W tle he s Pst V x e indit n M il punt medi di, ll pe quli vli di x si h M - x t l infeenz di dimet, nside su il punt H e stuisi il tingl equilte EF he h H me ltezz l punt E ndui l pllel d he innt in L l infeenz (L è d pte ppst di ispett l segment EF) In funzine di L W x, detemin EF, EL ll pi l ngl x tle he EF EL EF sen x, EL -sen( x - 0 ), n 0 # x # 0 ; x È dt il tingl tle he V W e nsidet l ngl in W me viile x, detemin l espessine di e Veifi he, nei limiti impsti dl plem gemeti, vle l uguglinz + s x e detemin il vle di x pe ui, ( s x- ); x s x s x nsidet il tingl vente i lti e, si stuis d pte ppst, ispett ll ett, il tingl ettngl il ui tet si ugule ll metà del tet Si studi me vi l e del qudngl l vie dell ngl W e si lli il peimet di dett qudngl qund l su e è mssim (Esme di mtuità sientifi, Sessine dini,, quesit ) Sx ( ) sen x- s x+ l, n 0 x, Sx ( ) mssim pe x ; # # me Si ndu intenmente un ngl ett O un semiett O he fm n O un ngl O W x; pesi ispettivmente su O e O due punti M ed N, tli he OM, ON, sin Ml ed Nl le ispettive piezini di M ed N su O ett P il punt medi di MlN l, si detemini x in md he isulti mssim l e del tingl NOP (Esme di mtuità sientifi, Sessine dini,, quesit ) ; Sx ( ) ( s x sen xs x), n 0 x, Sx ( ) mssim pe x + # # E ) È dt l semiinfeenz di ent O e dimet e l d, n più viin stuisi il qudilte e detemin l e f(x) in funzine dell ngl O W x ) etemin il dmini e il dmini di f(x) e i punti di intesezine n gli ssi tesini, indipendentemente dl plem gemeti ) Rppesent gfimente f(x) evidenzind il ttt eltiv l plem e indi il mssim e il minim ; ) fx ( ) senx+ l +, n0 # x# ; ) R, ; - + ; E,( + k; 0), k ; 0,( 0; ); ) mx ;, min( ; ), ; + l + m 0 le In un tpezi issele l se mine e i lti liqui hnn lunghezz l, gli ngli uti hnn mpiezz Si P un punt del lt liqu, H l su piezine su Pst P W x P ) espimi l funzine fx ( ) ; PH ) ll pe qule vle di x isult P PH ; ) indipendentemente dl plem gemeti studi il dmini e il segn dell funzine f(x) ) fx ( ) ( tg x- ), n0 x# ; ) ; ) x! k, fx ( ) $ 0 pe k x# + k 0_0_E_indd

18 PITOLO L TRIGONOMETRI PRGRFO I TRINGOLI QULUNQUE In un infeenz di ggi è ssegnt l d n distnz dl ent O Sul mggie dei due hi % nside un punt P e pni P W x Tv l espessine nliti dell funzine f(x) peimet del tingl P e indipendentemente dl plem gemeti islvi l disequzine fx ( ) 0 ) fx ( ) [( + ) sen x+ s x+ ], n0 # x# ;- + k x + k Il qudilte è insitt in un infeenz di ggi e, V Pst W x ) dimst he + ; ) espimi l funzine fx ( ) e tv pe quli vli di x isult fx ( ) ; ) indipendentemente dlle limitzini del plem, tv il dmini di f(x) e islvi l disequzine fx ( ) - - tg x ) fx ( ), n 0 x ; x ; + tg x ) x! k / x! k; k x + k 0 + k x + k In un tingl equilte di lt l, l ett s è pependile l lt in un su punt H Si P il punt di s, nel semipin nn ntenente il tingl, tle he P l; pst P V x ) detemin l funzine f(x) he espime l smm dell e del tingl PH n il dppi di quell del tingl equilte di lt H e disegn il gfi ispndente; ) tv il mssim di f(x) e islvi l disequzine fx ( ) $ l ; l l ) fx ( ) ( sen x+ s x+ ), n0 # x # ; ) mx ; ( ), x + l 0 # # E In un infeenz di ent O e ggi ndui un d PQ nguente l lt del qudt insitt Ti un dimet n estemi, pptenenti l mggie dei due hi PQ % ( più viin Q) e pni OQ W x ) Sivi l espessine nliti dell funzine fx ( ) P- Q ) isegn il gfi e detemin eventuli mssimi e minimi ) Senz tene nt delle limitzini impste dl plem, islvi l disequzine fx ( ) $ < ) fx ( ) sen x, 0 x ; ) min ;, mx( ; ); ) k x k l n # # l + # # + F Nell semiinfeenz di dimet l d fm un ngl ssegnt W nside un punt dell $, indind n E l su piezine sull d, n F quell sul plung- ment di ) Pni V E + F x e detemin l funzine fx ( ) ) Sivi l espessine s(x) dell e del ettngl EF Pe qule x isult mssim? Qunte sluzini h l equzine sx ( ) -? ) y sen x, n0 # x# ; ) s( x) ( s x- s x), x, È dt un tingl in ui l ngl W h il sen ugule e l isettie misu ) Pni W x e dimst he, nell mit delle limitzini del plem, l e di può essee espess dll funzine fx ( ) tg ; detemin pi il tingl n e minim - x fx ( ) ) Sivi l espessine nliti dell funzine gx ( ) $, disegn il gfi e detemin il mssim ) issele n e ; ) g( x) -s x, mx ; l 0 È dt un semiinfeenz di dimet l; ndui l tngente in e fiss su di ess il punt, pptenente l semipin dell semiinfeenz, tle he l Sull semiinfeenz nside un punt P e pni P W x ) etemin le funzini f( x) P + P e g( x) P + ) Ti i gfii di f(x) e g(x) evidenzind l pte eltiv l dmini del plem ) Rislvi l disequzine fx ( ) $ g( x) senz tene nt dei limiti del plem ) fx ( ) l( - sen x), gx ( ) l( + s x), n0 # x# ; ) + k # x# + k Nell semiinfeenz di dimet e ent O è insitt il qudilte nel qule il lt è nguente l ggi Pst l ngl O W x ) detemin x in md he il peimet del qudilte vlg ( + ); peimet ) ppesent l funzine fx ( ) su un inte peid e indi l di uv eltiv l plem; ) desivi l situzine gemeti nell qule il peimet ggiunge il su vle mssim; d) islvi l disequzine fx ( ) # senz tene nt delle limitzini del plem ) x 0 e x ( situzini limite); ) y senx+ l + ; ) tpezi issele; d ) + k# x# + k Sui due lti di un ngl ett di vetie O, si nsiden due segmenti OM e ON tli he OM e ON p ve tit un semiett inten ll ngl, indi n Ml e n Nl le piezini ispettivmente di M e di N su Si P il punt medi di MlNl e S il punt di intesezine t e l pllel OM pssnte pe N ) Indi n l e del tingl PNS e n quell del tingl ONS e detemin, l vie dell ngl MON W l x, l funzine fx ( ) Rppesent f(x) in un peid ed evidenzi l pte eltiv l plem ) Individu l situzine gemeti ispndente l vle minim dell funzine ; ) fx ( ) - senx- l,0 x ; ) min - ; me Nell semiinfeenz di dimet e ent O, è ndtt l semiett ntenente il ggi OQ pependile d nsidet il genei punt P dell semiinfeenz indi n H l su piezine su e n L il punt dell semiett OQ tle he l ngl HPW L si divis in due pti nguenti dl ggi OP ) Espimi l misu di OL in funzine dell ngl x OPL W, indind nhe il ispndente dmini ) etemin pe quli vli di x l misu di OL è mggie del ggi ) Pst x, detemin gli ngli fmti dlle dignli del qudilte OHPL ; ) OL,0 x ; ) x ; ) sen m, -sen me s x Un tingl h l ngl V dppi dell ngl W e il lt è lung ) etemin e in funzine dell mpiezz x dell ngl W ) Rislvi, limittmente l plem, l disequzine $ ( ) ) Tv il vle di W pe ui ; s x- ), ; ) # x ; ) E s x s x È dt il tpezi ettngl l ui se mine misu l, l ngl V e l dignle $ l Sull ltezz H nside il punt P tle he P W x In funzine di x detemin P - P fx ( ) l e veifi he fx ( ) 0 nei limiti impsti dl plem Indipendentemente dl plem gemeti, islvi l disequzine fx ( ) $ ; fx ( ) tg x+,0# x# ; + k # x + ke 0_0_E_indd

19 PITOLO L TRIGONOMETRI PRGRFO I TRINGOLI QULUNQUE I plemi n disussine I plemi n i pmeti O GUI t il qudt di lt, sull dignle deteminim un punt P tle he P + P k isutim il nume delle sluzini l vie di k in R + Pst P W x, ssevnd l figu, ttenim le limitzini 0 # x # pplihim il teem dei seni l tingl P, P " P, sen sen - + xl sen + xl e l tingl P, P s x " P sen + xl sen - xl sen + xl Sstituend nell elzine del plem, im sen s x + + xl sen + xl k, he, pihé pe 0 # x # si h sen + x l! 0, equivle + s x ksen + xl pplind le fmule di isezine e di ddizine ttenim + s x + k s x+ sen xm " + s x k( + sen x) Pihé 0 # x #, si h 0 # x # e quindi si ttiene il sistem + s x k( + sen x) ' 0 # x # Pnim s x X, sen x Y n l elzine s x + sen x ttenim il sistem + X k( + Y) * X + Y - # X # / 0 # Y # isutim il sistem gfimente L pim equzine ppesent un fsi di ette, l send un infeenz Il fsi di ette + X- k( + Y) 0 h ent (- ; - ) e le ette he dnn i psldi sn k0 X π +x x Y O P π ( +x) π k k Y π k X k ett tngente ll infeenz + 0- k( + 0) " ( - k) + k " - k+ " k ; + k ett pssnte pe (-0 ; ) -- k 0 " k ; ett pssnte pe ( 0 ; ) + - k 0 " k Ossevnd l figu, nludim he si hnn sluzini pe # k #, sluzine pe k # t l semiinfeenz di dimet, nside il punt P pptenente ess e tle he P V x; ti l tngente in P e si H l piezine del punt sull tngente ) etemin l funzine fx ( ) PH+ H, ti il su gfi ed evidenzi l pte eltiv l plem ) isuti nei limiti del plem il nume delle intesezini dei gfii di f (x) e di y k, n k! R ) fx ( ) senx+ l+ ; )0# k un sl,# k# + duesl t l semiinfeenz di dimet, nside le de e nseutive e nguenti Pst V x, disuti, l vie di k! R, il nume di sluzini dell equzine k [ # k + un sl; + # k # due sl] Il tingl equilte è insitt in un infeenz di ggi nside sull mine il punt P, n P W x Espimi l funzine fx ( ) ep, e ppesentl ed evidenzi il ttt eltiv l plem isuti il nume delle intesezini del gfi di f(x) n l ett di equzine y m, l vie di m in R, nei limiti impsti dl plem Rislvi, indipendentemente dl plem, l disequzine fx ( ) $ fx ( ) senx- l+ ; 0 # m# un sl; + k # x# + k In un semiinfeenz di dimet detemin un punt P in md he, dett Q l su piezine su, isulti veifit l elzine Q + QP kq, n k pmet ele n P W x,( + k) s x + sen x + - k 0n 0 x # ; k $ 0 un sl Il tpezi h gli ngli W e W etti, l se mggie e l dignle fm n il lt liqu un ngl il ui sen è etemin l ngl W x in md he si i + k, n k pmet ele s x- sen xs x- + k 0, n - x -; + 0 k # un sl, k # due sl E 0_0_E_indd

20 PITOLO L TRIGONOMETRI PRGRFO I TRINGOLI QULUNQUE 0 Nel tpezi ettngl l se mggie h misu e il lt liqu misu etemin l ngl ll se V, spend he il peimet misu + k isuti l vie di k in R sen x-s x- k 0, n x ; - k un sl È dt il tingl tle he l e W V nside un punt P sul lt tle he P P Pst P V x, espimi e ppesent in un peid l funzine fx ( ) P Evidenzi l pte del gfi he si ifeise l plem gemeti e disuti pe ess il nume di intesezini n le ette y k, n k! R l punt di vist gemeti me ptesti giustifie i due si limite? fx ( ) s x, n 0 x ;0 k un sl In un infeenz di ggi, nside l d e il punt P, pptenente l mggie dei due hi, n P W x stuisi l funzine fx ( ) peimet P Sn dte un infeenz di dimet e l d di lunghezz ugule l lt dell esgn egle insitt nell infeenz nside sull semiinfeenz nn ntenente il punt, n V x etemin in funzine di x il peimet del tingl, ppesent il gfi eltiv e disuti gfimente il nume delle sue intesezini n l ett di equzine y k Studi l situzine gemeti ispndente l mssim del peimet fx ( ) + senx+ l, n 0 # x # ;# k+ un intesez,+ # k# due intesez ; mx ; ltingl equilte In un infeenz di ent O e ggi, sn dte due de e tli he O W O W x p ve individut i limiti gemetii del plem impnend he, detemin pe qule vle di x si h isuti, nei limiti impsti dl plem, pe quli vli di k! R h sluzine l seguente equzine k nside l funzine fx ( ) + Qul è il su peid? 0 x ; x ; k ; T un sl p vel ppesentt, disuti le intesezini n l ett di equzine y k l vie di k in R e nei limiti impsti dl plem etemin pe qule vle di x si h il peimet mssim e ll il vle ispndente esivi le tteistihe gemetihe del tingl P ; fx ( ) + senx+ l+, n 0 x ;# k# + + due sl; mx ; + + l, il tingl è issele P P E È dt il tingl equilte di lt l e l semiinfeenz di dimet esten l tingl Si P un punt viile sull semiinfeenz, n P W x Espimi e ppesent l funzine fx ( ) P + P Individu l situzine gemeti ispndente l vle mssim dell funzine isuti gfimente le sluzini dell equzine f (x) k $ l nei limiti gemetii impsti dl plem (k! R) fx ( ) l + senx- l, n 0 x ; mx ; ll;# k un sl,# k# due sl ti l infeenz di dimet uniti e il qudt in ess insitt, nside il punt P sull %, n P W x Rppesent l funzine f( x) P + P + P + P in un peid ed evidenzi l pte eltiv l plem etemin il vle mssim di tle funzine, indind pe qule vle di x si ttiene tle vle isuti il nume delle sluzini dell equzine f(x) m, l vie di m in R Rislvi pi in R l disequzine fx ( ) $ fx ( ) + senx+ l, n 0 # x# ; mx ; + l; + # m # + due sl ;- + k # x # + k te l semiinfeenz di dimet e l d, nside l d he intese in P Pst P V x, disuti, l vie di k in R, l equzine pmeti P + k ; + + # k un sl ; # k # due sl E P t un semiinfeenz di dimet, si nsidei su di ess il punt T individut dll ngl T W x, l tngente in T e, sull tngente, TN TM (N dll pte di ) Veifi he il qudilte MN isult nvess sl se # x # etemin l funzine fx ( ) + M + MN + N nel s in ui il qudilte si nvess e, dp vel ppesentt in un peid, detemin il nume di sluzini dell equzine fx ( ) k, n k! R, nei limiti gemetii impsti dl plem [ fx ( ) - sen x; 0 # k# - due sl] 0 Un semiinfeenz h dimet e l d Si P un punt dell % in md he, dette l su piezine sull tngente in ed E quell su, si i P + PE ( k - ), n k! R Pni P W x e disuti il nume delle sluzini dell equzine l vie di k in R ; # k + un sl; + # k # due sl E Pesi i punti e ispettivmente sulle tngenti in e un semiinfeenz di dimet, si i Si P un punt sull semiinfeenz Pst P W x, disuti l equzine P + P + P k, n k! R [ - # k # due sl; k # un sl] _0_E_indd

21 PITOLO L TRIGONOMETRI LE PPLIZIONI ELL TRIGONOMETRI nside il punt P sull semiinfeenz di dimet e pni P V x Si un semiett di igine, n he si tv nel semipin di igine ntenente l semiinfeenz e tle he V e isuti l equzine P + P k, n k! R ; k # + un sl; + # k # due sl E Il tpezi ettngl n se mggie è isitt un semiinfeenz di dimet ) Pst V x, tv l e Sx ( ) del tpezi e ll pe quli vli di x si h Sx ( ) ) Indi n P(x) il peimet di e disuti l equzine P(x) k l vie di k in R he figu si ttiene pe k? ) Sx ( ) ; 0 ; sen x x ) un sl pe k Sull semiinfeenz di dimet nside il punt tle he V 0 e sull $ un punt, n V x Si T il punt di intesezine di e Espimi l funzine T fx ( ), T ppesent il su gfi indind il ttt eltiv l plem e ll pe qule vle di x si h fx ( ) Studi pi le intesezini del gfi dell funzine n l ett di equzine y k -, l vie di k in R fx ( ) sen - xl, n 0 x # ; ;# k + un sl nside i punti e pptenenti lle semiinfeenze ppste ispett l dimet di un infeenz di ggi, tli he V V ) Pst V x, espimi l funzine fx ( ) ) ll f(x) qund il vle di x è il mssim nsentit dlle limitzini gemetihe ) etemin il peid di f(x), ppesent il su gfi senz tenee nt dei limiti del plem e tv i punti di intesezine n l sse x d) isuti le intesezini del gfi di f(x) n l ett y k -, n k R!, qund x! 0; ) fx ( ) s x, n0 x# - ; ); ) T, x! + k; d) due sl pe # k #, un sl pe k # In un infeenz di ggi, l d è nguente l lt del qudt insitt Si un punt viile sul mine degli hi % e si x l ngl V ) etemin in funzine di x e fx ( ) equdt insitt ) Rppesent f(x) eltivmente l plem gemeti nsidet ) isuti l equzine f(x) k nell intevll in ui può vie x ; ) fx ( ) sx- l-, n 0 # x# ; ) due sl pe 0 # k# - E È dt l semiinfeenz di dimet ll esten dell semiinfeenz stuisi il tingl ettngl tle he W etgv nsidet il punt P dell semiinfeenz tle he P V x, espimi l funzine P fx ( ) Rppesent gfimente l funzine ttenut e detemin il nume dei punti di intesezine n l ett di equzine y k, l vie di k! R ll pe qule vle di x l espessine P ssume il vle mssim fx ( ) senx- l+, n 0 # x# ;# k un sl;# k# + due sl; mx ;( ) + l LE PPLIZIONI ELL TRIGONOMETRI 0 Le pplizini ll fisi O GUI llim il lv he mpie un fz stnte di intensità pi N, inlint di 0 ispett un pin izzntle, gente su un p he viene spstt dll fz su tle pin di m ti l fz F e l spstment s, il lv L mpiut dll fz è dt d L Fl $ s, dve Fl è l intensità dell piezine dell fz lung l diezine dell spstment Flè l misu di un tet del tingl ettngl O, quindi Fl O O$ s F$ s, d ui L F$ s$ s pplihim l fmul peedente L F$ s$ s $ $, Il lv è di, J ll l intensità e l diezine dell isultnte delle due fze di intensità Fl N, Fm 0 N pplite nel punt e he fmn t l un ngl di 0 [, N; l m isp Fl] Genelizz il plem peedente, deteminnd l intensità e l diezine dell isultnte R di due fze Fl e Fmhe sn pplite un stess punt e le ui diezini fmn un ngl Fm R Fl + Fm + FlFms ; sen sen R Un mss puntifme di 0, kg è ppes un fil vetile di mss tsuile Un fz F izzntle di mdul pi N è pplit ll mss e l tiene in equilii in un psizine in ui il fil fm un ngl n l vetile Tv l mpiezz di [ l m] ll il lv he svlge un fz stnte di intensità pi N, inlint di 0 ispett un pin izzntle, gente su un p he si spst su tle pin di m [, J] Qul è il lv eltiv un fz pependile un spstment? Giustifi l ispst [0] Un ell di mss m, kg, vinlt muvesi su un ti ettiline senz ttit, è spint d un fz F he fm un ngl di ispett ll diezine di mviment Se l intensità dell fz F è, N, qul è l elezine del ell? [, m/s ] O " F 0 " F' " s 0 0 0_0_E_indd

22 PITOLO L TRIGONOMETRI LE PPLIZIONI ELL TRIGONOMETRI Un gzz st gind in un gist sedili; l ten del su sedile è inlint di ispett ll vetile Se l mss mplessiv del sedile e del gzz è di 0 kg, qunt è l tensine dell ten? (nside tsuile l mss dell ten) [, N] Un ggi di lue pveniente dll i inide pependilmente sull fi di un pism di vet sezine tingle vente indie di ifzine n, Qule deve essee il vle minim dell ngl ifngente del pism pehé il ggi suis l iflessine ttle? [ l m] Un ltlen ilni misu m e il su ful si tv 0 m d te Qul è l mssim ltezz ggiungiile d isun sedile? (I sedili si tvn lle due estemità) [0 m] ue se, e, sn septe d un fiume Un te T è pst dll stess pte di, un distnz d di m L ngl TW è di 0 ; l ngl T V è di ll l distnz f le due se [, m] Ti tvi su un spiggi e vui lle l ltezz di un isltt sglis Segli due punti e llineti n l isltt e distnti f l 0 m Misui gli ngli W e V 0 ( è un punt ll se dell isltt, è un punt sull su smmità) Qunt isult lt? [,0 m] In un teen pinegginte vui lle l distnz f due punti inessiili e Segli due psizini P e Q, distnti 0 m f l e misui gli ngli QP W 0, QP W 0, PQW 0, PQ W 0 Qunt sn distnti e? [, m] 00 Un l vente l mss di 0 kg è spint su un pin izzntle s d un fz inlint ves il ss he fm un ngl di n l izzntle Se l intensità dell fz è 00 N e il effiiente di ttit è k 0,, qul è l elezine impess l l? [0, m/s ] Un lst tspente fe pine e pllele h un spesse di 0 m Un ggi lumins inide su di ess n un ngl di inidenz di qule spstment suise nell ttvesl se l ngl di ifzine è di? Pe spstment intendim l distnz f l diezine del ggi entnte e quell del ggi usente [, m] Un ggi lumins pveniente dll i inide sull supefiie pin di un mezz tspente n un ngl di inidenz di 0 ; il ispndente ngl di ifzine è di 0 Tv l mpiezz dell ngl limite nel pssggi inves, dl mezz tspente ll i [ 0l m] Te fze, F, F, F, i ui mduli sn N, N e 0 N, sn pplite su un stess mss puntifme etemin gli ngli he Fe F fmn n F, spend he le te fze si equilin [ 0l 0m; 0 l 0m] Un hies si tv in im un llin e l ell mpni del su mpnile è m dl sul Pe lle l ltezz del lle segli me ifeiment un s situt nell pinu sttstnte; misui, ispett ll vetile, l ngl W 0l, stt ui vedi l s dll se del mpnile, e l ngl V 0l, stt ui l vedi dll ell mpni Qunt è lt il lle ispett ll pinu? [, m] Ti tvi su un llinett e vui lle l su ltezz me ifeimenti segli, sull est, due psizini, e, distnti 0 m e un s i piedi del lle, dpdihé misui gli ngli W le V l Misund l ngl he l diezine fm n l vetile in, tvi l Qunt è lt l llin ispett ll qut dell s? [, m] ll l ltezz di un mpnile, spend he d un distnte 0 meti d ess si vede l su im send un ngl di [- m] 0 m R 0 0 Un p pes 0 N ed è ppggit su un pin inlint senz ttit Pe tenel in equilii è neessi un fz F 0 N pllel l pin etemin l inlinzine del pin [ - 0 l m] Un pendl è fmt d un sfeett di pile dimensini ppes un fil lung 0 m Nell psizine di ips l ltezz dell sfe dl sul è 0 m; dunte l sillzine ess ggiunge l ltezz mssim dl sul di m Qul è l mpiezz di sillzine? [ l m] 0 Un gemet deve misue l lghezz di un nle p ve individut un punt di ifeiment sull spnd ppst ll su, pint due pletti un, sull gine, nell psizine e l lt nell psizine H in md he l ett H isulti pependile lle spnde (figu lt) ll psizine P, tle he PHX 0, misu gli ngli HPW, HPW e l distnz PH 0 lte pplizini ll eltà O GUI llim l distnz f due lghi septi d un llin Seglim me punt di ifeiment un mnste he dist di due lghi ispettivmente 0 m e 0 m Inlte, le diezini in ui dl mnste si vedn i due lghi fmn un ngl di HP W ; HPW ; PH 0 m Qul è l lghezz del nle? [, m] Un te h l sezine qudt di e s m ed è inlint su un lt di l m ispett ll vetile Il su ient si tv, m d te l ent dell sezine dell te L vetile pssnte pe il ient de dent l se dell te? [sì,, m dl ent] H P Indihim i due lghi n e e il mnste n pplihim il teem del sen l tingl e ttenim + - $ s $ 0 $ 0 $ s - 0 m - - 0, 0 m L distnz f i lghi è di i 0, m Sul pendi di un mntgn di inlinzine 0 i sn due lei he indihim n e, lti ispettivmente m e m e pintti distnz m Qul è l distnz t le l ime? [-, m] Un pizz h l fm di un qudilte nvess i ui ngli misun W 0, V 0, W 0, W 0 Se il lt è lung 0 m e 0 m, qunt misu l supefiie dell pizz? [, m ] 0 0 0_0_E_indd

23 PITOLO L TRIGONOMETRI LE PPLIZIONI ELL TRIGONOMETRI Un ssevte è sull iv di un lg in un pstzine m di ltezz dll su supefiie ll lt pte del lg vede l im di un mntgn in un diezine he fm, l pin izzntle, un ngl l ves l lt e l su immgine ifless sull qu stt un ngl l ves il ss Qunt è lt l im dell mntgn? (Rid he pe le leggi dell iflessine l ngl di inidenz e quell di iflessine sn nguenti) [ m] vetil flgple stnds n hizntl gund The ngle f elevtin f the tp f the ple fm etin pint n the gund is j Fm pint n the gund 0 metes lse t the ple the ngle f elevtin is 0 sin j sin Shw tht the height f the ple is sin( - j) (IR Leving etifite Exmintin, Highe Level, ) Pe lle l e di un ppezzment di teen fm di qudilte nvess un gnm ne misu i lti tvnd m, m, 0 m e m Misu pi l ngl W l Qul è l e del teen? [, m ] In un zn mntus un tpgf deve lle l ltezz di un im V ispett ll su pstzine P Pe se pende l distnz PQ m dl punt nt Q situt sull im di un lt mntgn Misu gli ngli PQV W l, QPV W 0 l e l ngl l he l diezine PV fm l pin izzntle Qunt è il dislivell f P e V? [ m] ue edifii sn psti un di fnte ll lt ll distnz di 0 m Un ssevte st sul niine (figu lt) dell edifii più ss e vede il niine di quell più lt stt l ngl 0 ispett l pin izzntle L ngl stt ui vede l se dell stess edifii è Tv le ltezze dei due plzzi [ m;, m] 0 0 m H Un u di spigl l è insitt in un pimide egle se qudt in md he qutt dei sui vetii si tvn sugli spigli lteli dell pimide, mente gli lti stnn sull su se etemin il vlume dell pimide, spend he l tngente dell ngl he le sue fe lteli fmn n l se è l Un pism ett he h pe se un tingl ettngl è insitt in un sfe di ggi Gli ngli uti delle si e l l ldel pism sn V V l e W W l etemin l ngl x V l in md he l e ltele del pism si + [0 ] Un pimide egle se qudt h gli spigli lteli lunghi m e l e di se ugule m etemin gli ngli delle fe lteli e l ngl v he isun di esse fm n l se ; s ; s ; v s E L dignle di un pllelepiped ettngl, misut ispett un unità pefisst, è d ; gli spigli dell se misun e etemin l mpiezz dell ngl he l dignle d fm n l dignle di se [ 0 ] Un n ile ett è isitt un semisfe di ggi nt il ui ehi di se gie sull se del n Espimi il vlume del n in funzine dell ngl x he il su ptem fm l pin di se; in ptile, ll tle vlume nel s in ui l e ltele del n si dppi di quell dell se ; V ; x e V E sen x s x Un tpezi issele è isitt un semiinfeenz di dimet etemin l ngl ut, spend he il ppt f il vlume del slid genet dll tzine mplet del tpezi ttn ll se mggie e quell dell sfe di ggi è ; 0 0 tg E 0 Le pplizini ll gemeti slid L ptem di un pimide egle se qudt fm, n il pin dell se, un ngl tle he tg etemin l tngente dell ngl he l spigl ltele fm n il pin dell se ; tg E ll spigl del u EFGH (F, G, H e E sn gli spigli lteli) ndui un pin LM he intesehi l fi HG se tle pin divide il u in due pti, un dppi dell lt, qunt è l mpiezz del died he ess fm n l fi? [ ] 0 Un pimide ett vente pe se un ettngl è insitt in un n ile ett L ltezz mune i due slidi è VO ; nelle fe lteli gli ngli l vetie V W e VW sn tli he sen e sen etemin il sen dell ngl x di petu del n (x VO W ) e il vlume del n sen x ; V 00 Nell pimide V l se è il tingl ettngl in ; l spigl V è pependile ll se e l fi V h un ngl ett in Spend he V, V W 0 e V V, tv l mpiezz dell ngl W e il vlume dell pimide tg W ; vlume L pimide V h pe se il tingl equilte, di lt, e l spigl V è pependile ll se Si he il vlume misu ; detemin l ngl he l spigl V fm n l spigl e l ngl z dell fi V n l se [ 0 ; z tg ] In un pimide egle se esgnle l spigl ltele è lung 0 m e fm un ngl di 0 l pin di se ll il vlume dell pimide e l ngl v he isun fi ltele fm l pin di se [vlume -, m ; v - 0l] L spigl ltele di un pimide egle se qudt misu ] + g l (l è un lunghezz nt) e fm un ngl di n l dignle dell se ll l ngl z dell fi ltele l pin di se e il vlume V del n ile ett insitt nell pimide ; z tg ] + g; V + l E Nel ettngl l dignle misu l ette S l e dell supefiie ttle del ilind ttenut n un tzine mplet del ettngl intn d e S l e del ehi di ggi l, pni W x nside l funzine S fx ( ) S e tv pe quli vli di x si h fx ( ) $ fx ( ) sen x- s x+ ; # x Un pism ett h pe se il ettngl insitt in un infeenz di dimet e ent O Pst O W x e suppst $, espimi, in funzine di x, il vlume del pism spend he l e S dell supefiie ltele vle S ll quindi pe qule vle di x il vlume h misu S sen x s x Vx ( ) ; s x+ sen x 0 0 0_0_E_indd

24 PITOLO L TRIGONOMETRI LE PPLIZIONI ELL TRIGONOMETRI 0 Nell semiinfeenz di ent O e dimet è ndtt l d ett H l piezine di sul dimet, indi n V il vlume del n genet dl tingl H in un tzine mplet ttn ll ett, n V quell del n genet dl tingl OH Espimi, in funzine dell ngl W V x, il ppt fx ( ) V nside pi, indipendentemente dlle ndizini di esistenz del plem gemeti, l funzine f(x) nell intevll - ; e dimst he ssume il su vle mssim pe x 0 Suggeiment Veifi he in - ; si h fx ( ) - l ; s x fx ( ), n 0x E + s x + s x Le pplizini ll gemeti nliti Tv i vetii e gli ngli di un tingl, spend he le equzini dei sui lti sn x-y- 0, x+ y- 0 0 e x+ y 0 ( ; ); ( ; -); (-; );, ;, ; ll gli ngli del tingl di vetii (; ), (; ), (; ) [ ; ; ] etemin gli ngli del tingl di vetii (; ), (; ), ; - l [, ;, ; 0 ] etemin l equzine dell infeenz di ent ( 0 ; ) e pssnte pe ( 0 ; ) Sivi l equzine dell tngente nel su punt di siss di dint psitiv e tv l ngl he ess fm n l diezine psitiv dell sse x [( x- ) + y ; x+ y ; 0 ] Sivi le equzini delle ette tngenti ll pl di equzine y - x + x nei sui punti di intesezine n l sse x e detemin l ngl d esse fmt [ y x; y - x+ ;, ] isegn l ipele di equzine x y - e tv gli ngli fmti dgli sintti [, ;, ] etemin le ette pptenenti l fsi di equzine ( - k) x + (k + ) y - 0 e he fmn un ngl di 0 n l ett x + y ; k ; k E Nel tingl di vetii ( - ; - ), ( ; ) e ( 0 ; ) ll l tngente gnimeti dell ngl in e veifi il teem del sen eltivmente l lt [- ] Un ipele n i fuhi sull sse y e ent nell igine degli ssi h un sintt inlint di 0 ispett l semisse psitiv delle x Spend he l ipele pss pe il punt M( - ; ), detemin ) l su equzine; ) l tngente gnimeti dell ngl MY ( e sn i vetii eli dell ipele); ) il dimet dell infeenz pssnte pe, M e (utilizz il teem dell d) ; x ) - y -; ) ; ) E ti i punti (; 0) e (; ), detemin il lug gemeti dei punti P tli he tg P W! [l unine delle due infeenze di equzini x + y - x + 0 e x + y - x - y + 0, eslusi i punti e ] Sivi l equzine dell ellisse ifeit gli ssi e n i fuhi sull sse x, vente due vetii nei punti ^- ; 0h e ( 0; ) Indit n F il fu n siss negtiv, ll il sen dell ngl FW Veifi il teem di nt eltivmente l lt del tingl F e detemin il ggi dell infeenz isitt ess x + y ; s FW - ; te l infeenz, n ent in ( - ; ) e ggi, e l infeenz, n ent in ( ; ) e ggi, tv i punti di intesezine delle due infeenze ett quell n dint mggie detemin gli ngli del tingl e il effiiente ngle dell isettie dell ngl W ; ( 0 ; ), ( 0 ; ); s W - ; sen W ; W ; m + 0E 0 Sin e i punti di intesezine f l ett x - y - 0 e l pl y x - x, V il vetie etemin il sen dell ngl W V, utilizznd il teem di nt nel tingl V, e nfntl n il vle dell su tngente dedtt dlle equzini delle ette V e V ; s V W ; tg V W E I punti ( - ; ) e ( - ; - ) sn vetii di un tingl in ui il lt h equzine x - y - 0 e etemin l ngl W e l equzine del lt ; sen W ; due sluzini x+ y- 0, x- y+ 0E Le equzini pmetihe di un uv O GUI Sivim l equzine tesin dell uv definit dlle seguenti equzini pmetihe x * sent y tgt Pe elimine il pmet t, ehim di utilizze l elzine sen t+ s t Nell pim equzine ivim sen t x " sen t sen t x Pe ive s t, dividim mem mem le due equzini x x y $ " " s t y sen t s t y s t x sen t Sstituim le espessini di sen t es t insen t+ s t y y + " + y x " x - y " x - x x L equzine ttenut è quell di un ipele Sivi le equzini tesine delle uve definite dlle seguenti equzini pmetihe 0 x s t ( [ x + y ] y sen t 0 0 0_0_E_indd

25 PITOLO L TRIGONOMETRI RELTÀ E MOELLI * x s t y tgt ; x y - E x - + s t ( [ x + y + x- y+ 0] y + sen t x - + s t * [ x + y + x-y- 0] y + sen t * x sen t y tgt ; x - y E x sen t ) [ y x-x ] y sen t x - * s t ; ( y ) ( x + ) - - E y tgt+ RELTÀ E MOELLI Il stellite gestzini I stelliti pe le munizini pe le infmzini mete sn gestzini, iè pen un it fiss sp l equte ll ltezz di i 0 km dl sul teeste n un peid di ivluzine ugule quell dell Te e quindi si tvn sempe sp l stess punt dell supefiie teeste Spend he il ggi equtile medi dell Te è di km e he le nde elettmgnetihe emesse dl stellite viggin in line ett, ispndi lle seguenti dmnde Un pesn he si tv l Pl Nd può ievee le infmzini dl stellite? Fin qule ltitudine si pssn ievee i segnli del stellite? Suppnim he un pesn he si tv l Pl Nd pss pinte vetilmente un ntenn; qunt deve essee lt pe ievee i segnli dl stellite? Le nde elettmgnetihe viggin ll velità dell lue (, $ 0 m/s); n qunt itd iv un segnle un ievente he si tv l pllel sull stess lngitudine del stellite? etemin il lug gemeti desitt dlle seguenti equzini e ppesentl gfimente 0 x s (, 0 # # y sen x y ; + E x sen *, 0 # # [x + y - y 0] y s + x s + *, 0 # # [ x + y -x- y+ 0] y sen + Z + s ] x - [, 0 # # ] - s y + \ [ dell infeenz x + y + x- y+ 0, n - # x # 0 # y # ] nside il lug dei punti del pin ppesentt dl sistem di equzini pmetihe x tg (,! k y se ) Veifi he è un ipele, deteminndne l equzine ) ll l tngente dell ngl ut fmt dgli sintti x ) Tv l fmul he, dt un ngl x, espime tg in funzine di tg x e ll tg x! tg x ) x - y - ; ) ; ) tg - + ; G tg x L gl di mntgn Un gupp di sut deide di fe il mp estiv in un zn di mntgn Pe ggiungee il pst, il gupp deve ttvese un pntiell sp un impnente gl le n ipide peti svte dlle que di un impetus tente p ve pintt le tende, un dei mpiti he il gupp deide di dsi è quell di misue l distnz (in line d i) f due punti e lntni dl pntiell e d pti ppste ispett ll gl me fnn tve l distnz f i due punti? (e un sttegi pe islvee il plem Suppni he dl punt i gzzi pssn vedee si il punt si un e ess istnte) L ltezz del mnte Un gupp di mii ffitt un s in un vlle di mntgn in estte pe fe un tekking un delle fineste si vede l im dell mntgn d ggiungee e, nn vend dispsizine un tin, inizin d vnze lune iptesi sull su ltezz Nn tvnd un d, mill ppne un teni di ll ) misue l ngl n il qule è pssiile vedee l im dll se dell s (pin te); ) misue l ngl n il qule è pssiile vedee l im dll se dell vvi Spend he l distnz f l s e l vvi è di 000 m e he l ngl misut dll s è di i mente quell misut dll stzine dell vvi è di 0 i, qunt è lt l mntgn ispett l livell dell s? (Suppni he s e vvi si tvin ll stess ltitudine) Un plem nuti ue he vel, Lu e M, lsin il ml nell stess istnte in un ell gint vents Lu può nvige peend migli nutihe in un ( nmi m), M invee può fe migli nutihe in un l mment del dist dl ml, le l diezini di nvigzine fmn un ngl di i p te e di nvigzine, Lu lni un segnle di iut he viene lt d M Qunt sn lntne le due he qund viene lnit il segnle? Se Lu si fem e M e di ggiungel, qunt temp impieg? 0 0_0_E_indd