CIRCUITO ELETTRICO FUNZIONE FONDAMENTALE

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1 CRCUTO ELETTRCO FUNZONE FONDMENTLE L oggetto di studio dell elettrotecnica è il circuito elettrico, che nella sua più semplice espressione è costituito da un generatore elettrico e da un utilizzatore elettrico collegati fra loro mediante una linea elettrica. G Linea U La funzione fondamentale del circuito elettrico è quella di trasmettere potenza elettrica dal generatore, dove viene prodotta a spese di altre potenze di natura diversa (chimica, meccanica, termica), all utilizzatore, dove viene trasformata in altre potenze di natura diversa (chimica, meccanica, termica). n un circuito elettrico funzionante, cioè chiuso e contenente almeno un generatore, la trasmissione di potenza è accompagnata da un insieme di fenomeni, che si riassumono brevemente dicendo che nel circuito circola corrente elettrica. noltre tra due punti distinti qualsiasi del circuito si manifesta uno stato fisico particolare, che si enuncia dicendo che tra i due punti considerati esiste una tensione elettrica, oppure una differenza di potenziale elettrico, oppure un voltaggio. La tensione è una grandezza algebrica, cioè rappresentabile con un numero affetto da un segno. Si conviene di indicare con e di chiamare tensione da a, o fra e, la tensione che viene misurata tra detti punti connettendo il cordone più al punto enunciato per primo. Se facendo ciò, il voltmetro fornisce indicazioni positive, la tensione verrà considerata positiva; in caso contrario essa verrà considerata negativa.

2 La corrente è una grandezza algebrica, più precisamente è una grandezza dotata di verso, per cui all indicazione del valore numerico della corrente si deve sempre associare l indicazione del senso o verso secondo il quale si suppone che essa circoli nel circuito. Si conviene di fissare ad arbitrio un verso di percorrenza della corrente nel circuito in esame indicandolo in genere con una freccia; si inserisce l amperometro in modo che, percorrendo il circuito nel senso segnato per la corrente quest ultima entri nell amperometro dal morsetto contrassegnato col segno più; se l amperometro fornisce indicazioni positive, la corrente verrà considerata positiva nel verso prefissato; in caso contrario verrà considerata negativa. Nella figura, sotto riportata, viene mostrato l inserimento degli strumenti voltmetro e amperometro al fine di MSURRE, rispettivamente, la tensione = 5 = 4 e la corrente 1 = MSUR di :il morsetto del voltmetro deve essere collegato al morsetto MSUR di 1 :in relazione al verso prefissato come positivo di 1, la corrente 1 deve entrare nell amperometro dal morsetto contrassegnato col simbolo.

3 nalizziamo le possibili convenzioni per attribuire un segno alle letture eseguite con gli strumenti inseriti come in figura 3a. (100) (10) (figura 3a) Supponiamo ad esempio di esaminare una particolare condizione di funzionamento in cui i valori della tensione e della corrente risultino quelli indicati nella figura 3a e siano letti inserendo gli strumenti come mostrato nella suddetta figura 3a. Le convenzioni possibili con le quali si può attribuire un segno alle indicazioni dei due strumenti ed i segni che per ciascuna convenzione si devono ad esse effettivamente attribuire sono specificati nelle quattro figure 3b), 3c), 3d) e 3e). Evidentemente il morsetto da contrassegnare con il più è arbitrario (nelle due figure 3b) e 3c) esso è il morsetto, mentre nelle figure 3d) e 3e) è il morsetto ), come pure è arbitraria la scelta del senso positivo della corrente in relazione a quello della tensione (nelle due figure 3b) e 3d) è adottata la convenzione degli utilizzatori, mentre nelle due figure 3c) e 3e) è adottata quella dei generatori). =10 =10 =100 (Figura 3b) =100 (Figura 3c) (Figura 3d) = 100 =10 Convenzione degli Utilizzatori = 100 =10 (Figura 3e) Convenzione dei Generatori

4 LEGGE D KRCHHOFF DELLE CORRENT (KRCHHOFF S CURRENT LW KCL) È basata sul principio di conservazione della carica La somma algebrica delle correnti convergenti in un nodo è nulla e ciò ad ogni istante t = 0 n ogni istante t la somma delle correnti convergenti in un nodo uguaglia la somma delle correnti divergenti dal nodo = S 4 S = Superficie Chiusa deale, di forma e di estensione qualsiasi S 5 2 M 4 N 6 Nodo M) = 0 Nodo N) = Sommando membro a membro, si ottiene: da cui = = 0 oiché una superficie, racchiudente un numero qualsiasi di nodi, racchiude in sostanza una porzione qualsiasi di rete, si può in definitiva affermare che È nulla la somma algebrica di tutte le correnti entranti in (o uscenti da) una qualsiasi superficie chiusa S, tracciata comunque in una rete elettrica

5 Esercizio 1.0: l circuito mostrato nella figura 1.0 è realizzato dal collegamento di sei dispositivi, ciascuno dei quali ha due terminali (bipolo). Le correnti sono state indicate, per ciascun dispositivo, sulla rete stessa. Si desidera calcolare il valore delle correnti i x, i y e i z. (figura 1.0) a) rimo Metodo a 2 1 b pplichiamo la legge di Kirchhoff delle correnti (KCL) rispettivamente ai nodi S a, b, g; si perviene così alle seguenti scritture: nodo a : 4 = 2 i i = 2 nodo b : nodo d : i = 3 i i = 3 5 = 2 x 2 3 i = 0 i = 1 y y nodo g: iz = 4 iy iz = 5 Si può, ora, procedere alla verifica dei risultati conseguiti scrivendo la KCL al nodo d ottenendo: x z x b) Secondo Metodo pplichiamo la legge di Kirchhoff delle correnti (KCL) al supernodo S, (unione dei nodi b, g), ottenendo direttamente il valore della corrente i Z ; risulta, infatti: 2 3 i = 4 i = = 5 z z er quanto concerne il calcolo delle correnti i X ed i Y si applica la KCL ai nodi a e b, così come fatto in precedenza; si perviene così alle seguenti scritture: nodo a : 4 = 2 ix ix = 2 nodo b : 2 3 i = 0 i = 1 y y Esercizio 1.0.1: ssegnato il circuito mostrato in figura 1.01 si calcoli il valore delle correnti X, Y, Z, Y pplichiamo la KCL al supernodo S ; si ottiene: i X d Z 2 (figura 1.01) i Z D 3 X 2 g i Y S C y 3 = 4 2 = 1 y l nodo la KCL fornisce: 4 2 = = 2 x x mentre per il nodo D si ottiene: 3 = 2 = 5 z z La verifica al nodo fornisce: = 5 1= 4 z y x

6 LEGGE D KRCHHOFF DELLE TENSON (KRCHHOFF S OLTGE LW KL) È basata sul principio della irrotazionalità delle tensioni La somma algebrica delle tensioni lungo un qualsiasi percorso chiuso, detto maglia, costituito dai lati appartenenti al circuito stesso è nulla e ciò ad ogni istante t. = C C = (figura 1) C Relativamente alla maglia C, la legge di Kirchhoff delle tensioni assume la forma equivalente: = 0 = Quanto asserito per la maglia C di figura 1 vale per tutti i percorsi chiusi ottenibili con i lati costituenti il circuito in esame; per la maglia DC di figura 2 la KL fornisce: D (figura 2) C

7 = D DC C = = = 0 Reiterando la procedura, consideriamo la maglia DC, mostrata in figura 3, e per essa scriviamo la legge di Kirchhoff delle tensioni; si ottiene: = D DC C = 0 = 0 = D (figura 3) C L applicazione della legge di Kirchhoff alla maglia DC consente di relazionare: = D D C C = 0 = Osserviamo che la KL alla maglia DC, già determinata, e le KL ottenute con le precedenti maglie DC e C, non sono fra loro linearmente indipendenti, bensì vale la seguente relazione: ( ) ( ) = 0 = KL maglia C KL maglia DC = KL maglia DC naloghe considerazioni possono essere fatte per tutte le maglie della rete che si possono ottenere come unione di quelle maglie che hanno dei lati in comune. n una rete lineare costituita da M nodi ed L lati, le equazioni indipendenti, che si possono associare alla rete, al fine di determinare la tensione e la corrente in ogni suo lato, sono rispettivamente: (M1) equazioni tipo KCL scritte agli (M1) degli M nodi della rete (L M 1) equazioni di tipo KL scritte alle maglie della rete Si hanno così L equazioni indipendenti, tante quanti sono i lati della rete.

8 Esercizio 1.02: l circuito mostrato in figura 1.02 è realizzato dal collegamento di più dispositivi, ciascuno dei quali ha due terminali (bipolo). Le grandezze tensione e corrente note sono state indicate, per ciascun dispositivo, sulla rete stessa. Si desidera calcolare le tensione X, Y e Z. Siano con,, C i nodi nei quali concorrono 1 tre lati e siano α, β, γ i nodi in cui concorrono a 1 solo due lati. l principio di irrotazionalità delle F tensioni consente di calcolare la tensione a tramite la relazione seguente: a = Z = a = 1 3 = 4 Z g 2 5 C Y (figura 1.02) l risultato può ottenersi agilmente tramite il ricorso alla maglia a e per essa scrivere la KL, usando come verso di percorrenza quello insito nella sua definizione; si ottiene: Z 1 3 = 0 Z = 1 3 = 4 Consideriamo la maglia gb C; si ottiene: Y (6) 2 4 = 0 Y = = 4 pplichiamo la KL alla maglia gb C; si ottiene la relazione seguente: 3 (6) 2 4 X = 0 X = 7 rocediamo alla verifica dell adeguatezza dei risultati ottenuti con le scritture seguenti: maglia C: X 3 Y = = 0 maglia a C: X 1 Z Y = (4) (4) = 8 8 = 0 OSSERZON l applicazione della KL alla maglia a fornisce la relazione: 3 Z 1 = 0 l applicazione della KL alla maglia C consente di scrivere: 3 Y X = 0 Sottraendo membro a membro le due equazioni sopra scritte; si ottiene: 3 Z 1 (3 Y X ) = 0 3 Z 1 (3 Y X ) = 0 da cui si ricava la scrittura seguente: Z 1 Y X = 0 (1) 3 6 b X 4 applicata la KL alla maglia Ca, si ottiene la relazione: Z 1 X X = 0. Essa coincide con la relazione (1) prima calcolata. Ne consegue, che le maglie realizzabili con i lati di un circuito comunque complesso NON SONO TUTTE LNERMENTE NDENDENT. applicata la KL alla maglia C, si ottiene la relazione: 3 Y X = 0 applicata la KL alla maglia g b C, si ottiene la relazione: Y = 0 Sommando membro a membro le due equazioni sopra scritte; si ottiene la relazione: 3 Y X Y = 0 X = 0 X = 7 (2) applicata la KL alla maglia g b C, si ottiene la relazione: X 3 (6) 2 4 = 0, ovvero X = 0 X = 7. Essa coincide con la relazione (2) ottenuta in precedenza. Si riconferma, così, che tutte le maglie realizzabili con i lati di un circuito comunque complesso NON SONO TUTTE LNERMENTE NDENDENT.

9 Esercizio 1.03: l circuito mostrato in figura 1.03 è realizzato dal collegamento di più dispositivi, ciascuno dei quali ha due terminali (bipolo). Le grandezze tensione e corrente note sono state indicate, per ciascun dispositivo, sulla rete stessa. Si desidera calcolare le tensione X, Y, Z. e le correnti X, Y e Z. a ndichiamo con,, C e D i nodi propri in cui concorrono almeno tre lati, mentre siano α e β i nodi impropri in cui sono collegano due bipoli. pplichiamo la KCL al nodo D; si ottiene: 3 = Z 4 Z = 1 pplichiamo la KCL al nodo C; si ottiene: 2 4 = Y Y = 6 pplichiamo la KCL al supernodo S ; si ha: X 2 4 = 3 ovvero: X = 3. rocediamo alla verifica dei risultati ottenuti, applicando la KCL rispettivamente ai nodi ed ; si ottiene: verifica al nodo : X Y = = 3 verifica al nodo : Z = X 2 1 = 3 2 Consideriamo la maglia Db C ed applichiamo ad essa la KL; si ottiene: = 0 = 5 10 = 5 x Consideriamo la maglia Db C ed applichiamo ad essa la KL; si ottiene: = 0 = 10 2 = 8 y Consideriamo la maglia Cb Da ed applichiamo ad essa la KL; si ottiene: 2 3 ( 6) 4 = 0 = = 5 z 2 X 2 X Z Z y x z Si desidera ora procedere alla verifica dei risultati ottenuti applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni alle maglie non utilizzate in precedenza. Si ottiene: verifica alla maglia (C): 3 = 0 = 3 (3) x y x y verifica alla maglia (a D): 2 2 = 0 = (4) x z x z verifica alla maglia (CDa ): y 2 z 2 3 = 0 z = 3 y D (figura 1.03) Y 6 Come si nota questa equazione si ottiene uguagliando membro a membro le due equazioni (3) e (4). Ciò significa che la KL alla maglia CDα è linearmente dipendente o combinazione lineare delle KL relative alle maglie C e a D. n particolare si osserva che delle sei maglie complessive che si possono estrarre dalla rete assegnata, solamente tre sono linearmente indipendenti fra loro e quindi utilizzabili per il calcolo di X, Y e Z. S Y 4 4 C b

10 OTENZ ELETTRC l senso positivo della potenza coincide con il senso positivo della corrente al morsetto contrassegnato con il segno più ; pertanto: adottando la convenzione degli utilizzatori, la potenza è positiva nel senso in cui entra nel dispositivo ; a mentre: (Convenzione degli Utilizzatori) adottando la convenzione dei generatori, la potenza è positiva nel senso in cui esce dal dispositivo. g (Convenzione dei Generatori) W W 1000W 1000W

11 LCZONE 1.0 Determinare la potenza erogata () o assorbita (absorbed) dai bipoli sotto evidenziati. 1 Metodo: Si attribuisce alla potenza il verso positivo coincidente col verso ritenuto come positivo per la corrente al morsetto del bipolo contrassegnato col segno = = 3 (2) = 6 W 2 = = 2 3 = 6 W 5 4 = = 4 5 = 20 W absorbed 2 3 = = 3 2 = 6 W absorbed = = 6 (3) = 18 W = = 5 (6) = 30 W absorbed 2 Metodo: Si utilizza per ciascun bipolo la convenzione degli utilizzatori. device passive sign convention

12 = = 3 [(2)] = 6W = = 2 3 = 6 W 6 3 = = 6 [(3)] = 18W 5 6 = = 5 [(6)] = 30 W absorbed LCZONE 1.1 Determinare la potenza erogata () o assorbita (absorbed) dai bipoli sotto evidenziati, adottando la convenzione degli utilizzatori. 10 = = 10 (2)] = 20W absorbed = = 3 (4) = 12 W

13 7 4 = = 7 [(4)] = 28W 2 3 = = 2 3 = 6W 5 3 = = 5 (4) = 15W 5 2 = = 5 2 = 10W DSS GENERTOR E UTLZZTORE TTO DS R RES SS R SS E E RES = E R SS = E RES = DSS = R 2 SS = RES DSS = E R SS = RES = E DSS = R 2

14 Esercizio 1.1: l circuito mostrato in figura è costituito dal collegamento di cinque dispositivi, ciascuno dei quali ha due terminali (bipolo). Le grandezze tensione e corrente sono state assegnate, per ciascun dispositivo, usando la convenzione degli utilizzatori passive sign convention valori delle grandezze elettriche del punto di lavoro, per ciascun bipolo, sono stati come di seguito rilevati: ariabili ipolo 1 ipolo 2 ipolo 3 ipolo 4 ipolo 5 100? ? 5 m 5 m? 5 m 1 W 0,5 W? 0,75 W? a) trovare il valore della grandezza elettrica mancante per ciascun dispositivo e stabilire se il dispositivo sta assorbendo o erogando potenza; b) controllare l esattezza dei risultati ottenuti, mostrando che la somma delle potenze Soluzione Esercizio 1.1 a) Utilizziamo la relazione = per calcolare la grandezza elettrica mancante, dal momento che, per ciascun dispositivo, sono fornite due delle tre grandezze richieste. Si ottiene quanto di seguito mostrato: Dispositivo 1: 1 = 1 / 1 =1/100 = 10 m < 0 delivering power Dispositivo 2: 2 = 2 / 2 = 0,5/0,005 = 100 > 0 absorbing power Dispositivo 3: 3 = 3 3 = 25 0,005 = 0,125 W > 0 absorbing power Dispositivo 4: 4 = 4 / 4 = 0,75/75 = 10 m > 0 absorbing power Dispositivo 5: 5 = 5 5 = 75 0,005 = 0,375 W < 0 delivering power b) la somma delle potenze dei dispositivi produce: = 1 0, 5 0, 125 0, 75 0, 375 = 1375, 1375, = 0 device passive sign convention

15 Esercizio 1.2: Le grandezze tensione e corrente di cinque dispositivi a due terminali sono state misurate con la convenzione degli utilizzatori fornendo i seguenti valori: ariabili ipolo 1 ipolo 2 ipolo 3 ipolo 4 ipolo 5 10? 15 5? m? 12 m? 40 W? 10 mw 120 mw a) trovare il valore della grandezza elettrica mancante per ciascun dispositivo e stabilire se il dispositivo sta assorbendo o erogando potenza; Dispositivo 1: 1 = 1 1 = 10 (3) = 30 W < 0 delivering power Dispositivo 2: 2 = 2 / 2 = 40/3 = 13,33 > 0 absorbing power Dispositivo 3: 3 = 3 3 = 15 0,01 = 150 mw < 0 delivering power Dispositivo 4: 4 = 4 / 4 = 0,01/5 = 2 m > 0 absorbing power Dispositivo 5: 5 = 5 / 5 = 120/(0,012) = 10 < 0 delivering power Esercizio 1.3: l circuito mostrato nella figura è realizzato dal collegamento di sei dispositivi, ciascuno dei quali ha due terminali (bipolo). Le grandezze tensione e corrente sono state assegnate, per ciascun dispositivo, usando la convenzione degli utilizzatori valori delle grandezze elettriche del punto di lavoro, per ciascun bipolo, sono stati come di seguito rilevati: ariabili ipolo 1 ipolo 2 ipolo 3 ipolo 4 ipolo 5 ipolo 6 7,5 5? 7,5? 12,5 3? 0,5 1,5 2,5 1? 10 W 1,25 W? 12,5 W? a) determinare il valore della grandezza elettrica mancante per ciascun dispositivo e stabilire se il dispositivo stesso sta assorbendo o erogando potenza; b) controllare l esattezza dei risultati ottenuti, mostrando che la somma delle potenze

16 Esercizio 1.4: l circuito mostrato nella figura è realizzato dal collegamento di otto dispositivi, ciascuno dei quali ha due terminali (bipolo). Le grandezze tensione e corrente note sono state indicate, per ciascun dispositivo, sulla rete stessa. Si desidera determinare la tensione e la corrente. Calcolare, inoltre, le tensioni C, F e D. D Si ridisegni la rete, evidenziando in grassetto tutti i lati di cui si conosce la tensione. Si ottiene così che la tensione incognita è relativa al lato di chiusura della maglia ebacde. La legge di Kirchhoff delle tensioni per tale maglia, figura 1.4a, porge la relazione: D a a D e D e E 4 3 H 2 3 E H 1 1 X 3 b F d F v = 0 v = 4 La legge di Kirchhoff al nodo c) porge: 1 c 2 = 0 c = 3 La legge di Kirchhoff al nodo a) porge: 1 4 = 0 = 5 La legge di Kirchhoff al nodo e) porge: 3 = x x = 2 La legge di Kirchhoff al nodo d) porge: 2 3 = = 5 1 C F X 3 b F d F C C C F C C F 2 2 G G F c c 4 (figura 1.4) 4 (figura 1.4a)

17 erifichiamo il valore calcolato della corrente X applicando la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo b); si ottiene la relazione: 4 = = 0 = 5 x F c x x Le restanti tensioni si calcolano applicando, rispettivamente, la legge di Kirchhoff delle tensioni: alla maglia abca): 2 C 1 = 0 C = 3 alla maglia abea): 2 D 3 = 0 D = 1 alla maglia bcdb): F C 4 = 0 F = C 4 = 3 4 = 1 Osserviamo che il calcolo della corrente X poteva essere effettuato immediatamente, applicando la legge di Kirchhoff delle correnti alla superficie Σ mostrata in figura 1.4b; si ottiene, infatti, la relazione: D (figura 1.4b) a D e H 1 E 1 X 3 b d F F C F = 0 = = 2 X X pplicando la convenzione degli utilizzatori (passive sign convention) si vuole determinare, per ogni bipolo, se esso assorbe od eroga potenza, verificando, inoltre, l esattezza del bilancio di potenza: S i i = 0. bipolo = 1 1 = 1W potenza assorbita bipolo = 4 2 = 8W potenza erogata bipolo C C = C C = 3 3 = 9W potenza erogata bipolo D D = D = 5 1 = 5W potenza erogata bipolo E E = 3 = 3 (4) = 12W potenza assorbita bipolo F F = F F = 5 (1) = 5W potenza erogata bipolo G G = 2 4 = 8W potenza assorbita bipolo H H = ( X ) 3 = [(2)] 3 = 6W potenza assorbita C C 2 G c 4 supernodo S