Sommario DIGITAL TRANSMISSION OVER FADING CHANNELS. Sommario (2) Cos è il Fading? Cos è il Fading?

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1 Unverstà degl Stud d Caglar Corso d Laurea Magstrale n Ingegnera Elettronca e delle Telecomuncazon DIGITAL TRANSMISSION OVER FADING CHANNELS Cos è l Fadng? Sommaro Parametr de fadng channels: Delay spread Coherence bandwdth Doppler spread Coherence tme Classfcazone de fadng channels: Slow o fast Flat o frequency selectve Sommaro () Cos è l Fadng? F.d.t. d un fadng channel CSI: Pdf d Raylegh e d Rce Calcolo P( e) Nessun CSI E l termne usato per descrvere le fluttuazon n ampezza e rtard del segnale al rcevtore durante la trasmssone su canale rado. Cause: Multpath Movment relatv tra trasmetttore e rcevtore Dverstà: Tpologe Tecnche Effett Attenuazone e dstorsone al rcevtore 3 4

2 Scenaro Parametr de Fadng Channels Delay spread Coherence bandwdth Doppler spread Coherence tme 5 6 Delay Spread Delay Spread () Possamo msurare la potenza meda del segnale rcevuto n funzone del tempo d rtardo. Impulso trasmesso Potenza meda rcevuta La potenza meda rcevuta è chamata spettro d potenza del rtardo; l ntervallo d tempo n cu tale potenza è non nulla è chamato multpath spread del canale( n fgura). Consderando tutt possbl percors, l delay spread è l massmo tra quest rtard. T m Questo fenomeno provoca Dspersone Temporale. t Delay τ Tm 7 8

3 Coherence Bandwdth In un fadng channel segnal con dfferente contenuto n frequenza possono subre dvers lvell d fadng. B c La banda d coerenza è l ntervallo d frequenza oltre l quale due component n frequenza del segnale subscono fadng ndpendent. Coherence Bandwdth () La banda d coerenza è legata al delay spread attraverso la relazone: Questo fenomeno produce Selettvtà n Frequenza. B c = Tm 9 Doppler Spread Doppler Spread () Un segnale che s propaga può subre effetto Doppler (shft d frequenza) dovuto alla natura tempo varante del canale. La fgura mostra lo spettro d potenza del segnale rcevuto quando s trasmette una snusode. Potenza meda Rcevuta B d Il doppler spread è l range d frequenza n cu lo spettro d potenza doppler è dverso da zero e corrsponde al massmo valore dello shft d frequenza. Questo fenomeno provoca Dspersone n frequenza. Tono sngolo f doppler shft Bd

4 Coherence Tme T c Il tempo d coerenza, è una msura della durata temporale n cu la rsposta mpulsva del canale rmane nvarata. Qund se la durata d un smbolo è pù pccola d, l canale può essere consderato nvarante durante la rcezone del smbolo. Esste una relazone tra tempo d coerenza e doppler spread T c Classfcazone Fadng Channel B c Se la banda d coerenza è molto maggore della banda del segnale B ( ), l segnale trasmesso subsce Flat Fadng x Bc >> Bx altrment subrà Fadng selettvo n frequenza. Se l doppler spread del canale è molto pù pccolo della banda del segnale B ( ) questo subsce Slow Fadng. x Bx >> Bd Vceversa s parla d Fast Fadng. B d Questo fenomeno produce Selettvtà Temporale. T c = B d 3 4 F.D.T. d un Fadng Channel La rsposta d un canale con fadng può essere studata n termn d funzone d trasfermento ossa la trasformata d Fourer della rsposta mpulsva. In generale tale funzone d trasfermento è tempo-varante. ESEMPI DI FADING CHANNELS n n H ( f, t) = αn( t) e e n jθ ( t) j π fτ ( t) 5 6

5 Propagazone Su Paths Propagazone Su Paths () T x ed R x fssat. Due possbl percors d propagazone. I percors hanno caratterstche che non varano e possono essere dentfcat ndvdualmente: y( t) = x( t) + bx( t τ ) b e τ sono l attenuazone e l rtardo del segnale rflesso (l path dretto ha qund attenuazone e rtardo ) Rsposta mpulsva h( t) = δ ( t) + bδ ( t τ ) Funzone d trasfermento: H ( f ) = + be j π f τ 7 8 Propagazone Su Paths (3) Per alcun valor del prodotto due percors sono essenzalmente n allneamento d fase( H ( f ) massmo) f τ Propagazone su Path Sngolo EFFETTO DEL MOVIMENTO H ( f ) = + b + b cos( π fτ ) Per altr valor percors quas s cancellano a vcenda, producendo un mnmo d H ( f ) (notch). Il rcevtore è n moto relatvo rspetto al trasmetttore v= veloctà del vecolo(che assumamo costante) γ = angolo tra la drezone d propagazone dell onda pana elettromagnetca e la drezone del moto 9

6 Propagazone su Path Sngolo EFFETTO DEL MOVIMENTO () L effetto doppler causa che l segnale rcevuto sa un tono la cu frequenza è modfcata dalla quanttà Propagazone su Path Sngolo EFFETTO DEL MOVIMENTO (3) Questo canale può essere modellato come un sstema lneare tempo-varante con funzone d trasfermento v = f cosγ c Il segnale rcevuto sarà nella forma f D H ( f, t) = α( t) e e j πθ ( t) j π fτ ( t) y t Ae π D ( ) = j ( f f ) t Propagazone su Due Paths EFFETTO DEL MOVIMENTO () Propagazone su Due Paths EFFETTO DEL MOVIMENTO () Il segnale rcevuto, a causa dell effetto doppler, sarà: S suppone per semplctà che percors abbano lo stesso rtardo(nullo) e la stessa attenuazone. In generale: = + v v j π f t j π f cos γ t c c y( t) A e e e jπ f t j ( t ) j ft y( t) = R( t) e θ e π 3 4

7 Propagazone su Due Paths EFFETTO DEL MOVIMENTO (3) L ampezza del segnale rcevuto sarà Propagazone Multpath EFFETTO DEL MOVIMENTO v cosγ R( t) = Acos( π f ( ) t) c L nvluppo del segnale rcevuto esbsce una varazone snusodale nel tempo, con frequenza f v cosγ ( ) c Il segnale rcevuto conterrà una sere d contrbut d doppler shft: f v = f cosγ c 5 6 Propagazone Multpath EFFETTO DEL MOVIMENTO () Propagazone Multpath EFFETTO DEL MOVIMENTO (3) Il segnale rcevuto sarà: L nvluppo complesso del segnale rcevuto rsulta essere: γ N N j( π ( f f ) t+ θ ) j( π f t ) j f θ π = = y( t) = A e = A e e θ, e A sono l ampezza, la fase e l angolo d ncdenza del raggo dell -esmo percorso. = N jθ ( t ) j( π f t θ ) A e = R( t) e Per un numero grande Nd paths, possamo assumere che le attenuazon A e le fas π ft θ sano varabl aleatore Gaussane, che possono essere ragonevolmente assunte ndpendent. 7 8

8 Propagazone Multpath EFFETTO DEL MOVIMENTO (4) Propagazone Multpath CON UN PATH FISSATO R( t) e θ ( t) rsultano essere process ndpendent, con θ unformemente dstrbuta tra (, π ) e R( t) funzone d denstà d probabltà d Raylegh: ( t) Il mezzo d propagazone ha un path fsso pù resstente n aggunta agl altr N path debol: R( t) e = u( t) e + v( t) e jθ ( t ) jα ( t) jβ ( t) r r ( ) e r fr t = σ < σ r < u( t) è dstrbuta secondo Raylegh, α( t) è unforme n v( t) e β ( t) sono segnal determnstc (, π ) 9 3 Propagazone Multpath CON UN PATH FISSATO () Propagazone Multpath CON UN PATH FISSATO (3) Con questo modello R( t) ha la seguente pdf IlfattoredRce: r + v σ rv r fr ( r) = e I r σ σ v K = σ è l rapporto tra (potenza del percorso fsso) e (potenza della componente d Raylegh) dove rv I σ denota la funzone d Bessel d ordne zero 3 3

9 Raylegh Vs. Rce Raylegh Vs. Rce () Quando K, coè quando l percorso fsso rduce la sua potenza, (la funzone d Bessel vale ora I () = ) la pdf d Rce dventa la pdf d Raylegh. Invecese K, coè la potenza del percorso fsso è consderevolmente pù alta della potenza de percors casual, allora la pdf d Rce può essere approssmata molto bene con una pdf Gaussana. x e lm I( x)~ x π x Sosttuendo la funzone d Bessel con la sua espressone asntotca ( ) σ r v r fr ( r)~ e π x Raylegh Vs. Rce (3) Frequency Flat SLOWLY FADING CHANNELS Per sstem d trasmssone dgtale avere una banda stretta equvale ad assumere che la durata del smbolo modulato sa molto pù grande rspetto allo spread delay causato dalla propagazone multpath. Se questo avvene, allora tutte le component n frequenza del segnale trasmesso saranno affette da una stessa attenuazone eshftdfasecasual,elcanalesaràfrequencyflat

10 Frequency Flat SLOWLY FADING CHANNELS() Se noltre l canale vara molto lentamente rspetto alla durata del segnale (movmento relatvo lento tra trasmetttore e ( ) rcevtore) allora l fadng R( t) e jθ t sarà approssmatvamente costante durante la trasmssone d un smbolo. Frequency Flat SLOWLY FADING CHANNELS (3) L unca dfferenza rspetto ad un canale AWGN rsede nel fattore R che nvece d essere una costante d attenuazone è adesso una varable aleatora l cu valore ncde sull ampezza, e qund sulla potenza, del segnale rcevuto L nvluppo complesso del segnale rcevuto n uscta dal canale affetto da fadng slow e flat e da AWGN, può essere espresso nella forma: jθ r% ( t) = Re x% ( t) + n% ( t) R Se è noto descrvamo questa stuazone dcendo che abbamo una CSI(Channel State Informaton) perfetta. La CSI può essere ottenuta per esempo nserendo un tono plota nello spettro del segnale trasmesso e assumendo che l segnale subsca fadng esattamente allo stesso modo Perfect CSI Perfect CSI () La demodulazone con CSI perfetta avvene con lo stesso prncpo della demodulazone su canale AWGN, ovvero s tende a mnmzzare la dstanza geometrca tra r( t) e Rx( t) coè rdurre la dstanza tra l possble segnale trasmesso e quello rcevuto La probabltà d errore può essere valutata come P( e) = P( e R) f ( r) dr R T [ r( t) Rx( t) ] dt mnmzzare oppure r( t) Rx( t) Il calcolo d P( e R) s ottene consderando P( e) nel caso d canale AWGN, consderando però segnal ad energa R. 39 4

11 Rlevazone Coerente D Un Segnale Bnaro con Cs Perfetto Consderamo l caso d un segnale bnaro avente energa e coeffcente d correlazone ρ Rlevazone Coerente d un Segnale Bnaro con CSI Perfetto () d è la dstanza tra due smbol che può anche essere espressa n funzone dell energa de segnal e della loro correlazone Laprobabltàd erroredsegnalbnarèdatada d d P( e) = erfc = Q( ) N N d = + ρ = ( ρ) 4 4 Rlevazone Coerente d un Segnale Bnaro con CSI Perfetto (3) Consderando la trasmssone attraverso un canale affetto da fadng abbamo R Raylegh Fadng Se ha una pdf d Raylegh rsolvendo l ntegrale s ottene: qund R ( ρ) P( e R) = erfc N P( e) = P( e R) f ( r) dr R dove P( e) = ( ρ) N + ( ρ) N = E R = σ 43 44

12 Raylegh Fadng () Nel caso partcolare d segnal: Antpodal = (mnma energa) P( e) = N + N ρ Raylegh Fadng (3) Per confrontare le due relazon supponamo d avere un elevato rapporto segnale rumore e utlzzamo l approssmazone Ortogonal = ottengo P( e) = N + N ρ x lm ~ x + x x Raylegh Fadng (4) Rce Fadng Sottene P( e)~ ( ρ ) N Attraverso tecnche d ntegrazone numerca s può calcolare la probabltà d errore nel caso n cu l canale sa affetto da Rce fadng per segnal antpodal Per segnal ortogonal N P( e) = 4 N P( e) = 47 48

13 Raylegh Vs. Rce NO CSI Una CSI nfntamente accurata non è ma dsponble Per semplctà, ntendamo lmtarc all esamnare l caso lmte n cunonèdsponblepernullaunacsi Anchenquestocasosrcavala P( e R) esmedasututtalapdf d fadng Dfferental Detecton () Dfferental Detecton () In un canale per cu l processo d fadng non è lento abbastanza da permettere un accurata stma del suo shft d fase, un alternatva alla rlevazone coerente è la demodulazone dfferenzale D fatto, la seconda rchede solo che la fase rmanga stable durante due smbol adacent Consderando un Raylegh fadng Persegnalantpodalsha P( e) = + N rspetto al caso d demodulazone coerente la probabltà d errore è raddoppata Nelcasonvecedsegnalortogonalsha P( e) = + N è quattro volte maggore del caso antpodale con demodulazone coerente mentre è l doppo rspetto al caso d segnale ortogonale con demodulazone coerente. 5 5

14 Dverstà Tecnca che consente d rdurre gl effett del fadng. L dea ètrasmettere lo stesso segnale attraverso L canal separat con fadng, allo scopo d fornre al rcevtore L replche dello stesso segnale. Tal replche saranno affette da process d fadng possblmente ndpendent così da produrre SNR ndpendent. Dverstà () Se L è grande abbastanza, ad ogn stante d tempo c è un elevata probabltà che almeno uno de segnal rcevut dagl L dvers ram non sarà affetto da un profondo fade, e qund l suosnrsaràaldsopradellasoglacrtca. Combnando adeguatamente segnal rcevut, l effetto fadng sarà mtgato. Var metod sono not per combnare segnal ottenut alle loro uscte. I pù mportant sono elencat d seguto Dverstà Spazale Dverstà d Polarzzazone Consste nel rcevere l segnale trasmesso attraverso antenne separate. La spazatura delle antenne è larga abbastanza rspetto alla lunghezza d onda della portante n modo tale da ottenere una suffcente scorrelazone. L Se un canale rado mostra fadng scorrelato per segnal trasmess su polarzzazon ortogonal, allora la dverstà può essere ottenuta utlzzando una coppa d antenne crosspolarzzate al rcevtore. Vantagg: può essere faclmente mplementata non rchede occupazone extra dello spettro 55 56

15 Vantagg: Dverstà d Polarzzazone () antenne cross-polarzzate non rchedono la grande separazone fsca necessara per la dverstà spazale. Svantagg: sono dsponbl solo due ram d dverstà, mentre con la dverstà spazale può essere teorcamente ottenuto qualsas valored L Dverstà n Frequenza E ottenuta nvando lo stesso segnale su dverse frequenze d portante, la cu separazone deve essere pù larga rspetto alla banda d coerenza del canale. La dverstà n frequenza non è una soluzone effcente n termn d larghezza d banda Dverstà Temporale Tecnche Combnate d Dverstà S può ottenere trasmettendo lo stesso segnale su dvers slots d tempo separat da un ntervallo pù lungo del tempo d coerenza del canale. Selecton combnng Svantagg: dato che ne sstem rado mobl rcevtor hanno un grande tempo d coerenza, la dverstà temporale potrà essere ntrodotta solo al prezzo d elevat rtard. Maxmal rato combnng Equal gan combnng 59 6

16 Selecton Combnng Selecton Combnng () E concettualmente la tecnca pù semplce. Consste nel selezonare ad ogn stante, tra gl dverstà,quelloconlpùaltovaloredsnr. L ram d Ipotes: ogn ramo d dverstà è affetto dallo stesso rumore Gaussano tuttramhannolostessosnrmedo η = = E R N ( ) N 6 6 Selecton Combnng (3) Maxmal Rato Combnng η Denotamo con l SNR msurato nell -esmo ramo d dverstà durante la trasmssone d un dato smbolo: η = R N La tecnca selecton combnng selezona l η, ovvero l SNR massmo tra gl L SNR: I segnal all uscta degl L dvers ram sono combnat lnearmente I coeffcent della combnazone lneare sono selezonat allo scopo d massmzzare l rapporto tra l energa del segnale stantanea e la denstà spettrale della potenza d rumore. η = max( η... η ) L 63 64

17 Maxmal Rato Combnng () Maxmal Rato Combnng (3) Consderamo Denstà d potenza spettrale N La relazone precedente può essere vsta come combnazone lneare sugl L ram. R nota, ovvero perfetto CSI Energa del segnale Segnale complesso all uscta da ram d dverstà r = R x + n L L L r = G r = G R x + G n = = = Dove G sono coeffcent scelt per massmzzare l rapporto tra l energa stantanea del segnale e la denstà spettrale della potenza d rumore Maxmal Rato Combnng (4) Maxmal Rato Combnng (5) La denstà spettrale d potenza del rumore dopo la combnazone è data da: Voglamo massmzzare l rapporto tra le due precedent quanttà, coè: N = L energa stantanea del segnale è: L G η = N L = G R L = G L G R = 67 68

18 La Dsuguaglanza d Cauchy-Schwarz Maxmal Rato Combnng (6) Consderamo la relazone d Cauchy-Schwarz Il rapporto η dventa: L L L * a b a b = = = Affnché la dsuguaglanza d Cauchy-Schwarz dvent un uguaglanza deve essere a = c, dove c è una costante b η L L G R L = = = L N N = G = R 69 7 Maxmal Rato Combnng (7) Maxmal Rato Combnng (8) L uguaglanza s ottene ponendo G = R Ogn ramo d dverstà è pesato proporzonalmente rspetto all attenuazone da fadng che lo nteressa: ram pù faded saranno contat meno e vceversa. Qund la combnazone a massmo rapporto fornsce un SNR η L MR = R N = L ultma equazone mostra la combnazone a rapporto massmoη MR che è la somma degl SNR, e qund può essere grande anche quando sngol SNR sono pccol. 7 7

19 Maxmal Rato Combnng (9) Equal Gan Combnng Essendo la dervazone del CSI molto complessa, può essere utlzzata una versone semplfcata della combnazone a massmo rapporto, n cu tutt coeffcent nella G L L L r = G r = G R x + G n = = = sonosceltpara Vantagg e Svantagg Codfca per Raylegh Fadng Channel Selecton combnng: vantaggo: svantaggo: Maxmal rato combnng: vantaggo: svantaggo: semplce da mplementare non è una tecnca d combnazone ottma SNR massmo conoscenza perfetta della CSI La codfca può essere vsta come un modo per ntrodurre dverstà nel sstema d trasmssone. Tutta la codfca d canale può essere nterpretata come avente un grado d dverstà ntrnseco. Equal gan combnng vantagg: SNR alt nessuna conoscenza della CSI 75 76

20 Codfca per Raylegh Fadng Channel () Condzon: R k ndpendent Demodulazone coerente Perfect CSI Rumore banco Codfca per Raylegh Fadng Channel (3) Sotto queste condzon lo scopo è quello d mnmzzare la dstanza tra segnale trasmesso e segnale rcevuto: n k = r R k k s k Dervamo la parwse probablty error e qund la pdf della varable aleatora X Dstanza d Hammng Dstanza d Hammng () S può rcavare un lmte superore per l espressone probabltà d errore P( e) : Osservando la relazone, maggore è l valore della dstanza d Hammng mnore è la probabltà d errore n fase d rcezone P( e) A d d b R + c N d Introducendo la codfca s ntroduce dverstà che consente d avereuna P( e) non dpendente solo ed esclusvamente dal valoredsnrmaanchedalvalored d mn Dove d è la dstanza d Hammng, ovvero è l numero d component per cu dfferscono l segnale trasmessos e l segnale rcevuto ŝ. d è un parametro dpendente dalla codfca. Lo schema d codfca è basato sulla massmzzazone della dverstà del codce, ovvero, sulla massmzzazone della dstanza d Hammng 79 8

21 Bblografa Bgler, Benedetto - Prncples of dgtal transmsson Kluwer Smon, Alun-Dgtal Communcaton Over Fadng Channels Wley Patzold- Moble Fadng Channels Wley Meyr- Dgtal Communcaton Recevers - Wley Fadng F.A.Q Defnzone Cause Effett Cosa dfferenza l canale d Rce da quello d Raylegh In qual condzon un canale d Rce può convergere n quello d Raylegh e vceversa? Dato lo standard W-F, stablre quando l canale possa essere defnto d Rce e quando d Raylegh 8 8 F.A.Q Defnre e fare un esempo d dverstà Spazale Polarzzazone Frequenza Temporale Tecnche combnate d dverstà Selecton combnng Maxmal rato combnng Equal gan combnng 83