Esercizi 3. Calcolo di integrali. Alcuni esercizi risolti

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1 I seguenti quesiti ed il relativo svolgimento sono coperti dal diritto d autore, pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale senza autorizzazione esplicita e scritta dell autore. Ogni abuso sarà perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. Esercizi 3 Calcolo di integrali Alcuni esercizi risolti () Calcolare ( + ) dd con {(, ) : }. Il dominio è rappresentato in figura Osserviamo che ogni sezione verticale è costituita da un segmento i cui estremi dipendono in modo continuo dall ascissa di taglio, per cui possiamo calcolare l integrale utilizzando la formula di integrazione iterata, con primo integrale (quello interno), nella variabile ; abbiamo quindi ( + ) dd g () g () ] ( + ) d d dove g e g sono le funzioni (continue) che forniscono l estremo inferiore e l estremo superiore, rispettivamente, del segmento di sezione, e quindi g (), g (), così ] ( + ) d d ] d ] d d 4 3 d 6. () Calcolare cos( ) dd con {(, ) : }. Il dominio di integrazione è

2 di conseguenza cos( ] ) dd cos( ) d d cos ] + sin( ) ] d cos d (sin cos ). sin d (3) Calcolare I d] e/ d. Anzitutto osserviamo che l integrale più interno non può essere calcolato esplicitamente poiché non esiste alcuna primitiva elementare della funzione e / (e quindi non esiste neanche alcuna primitiva elementare della funzione e / (considerata come funzione di )). Osserviamo poi che al variare di in, ] ed in, ] il punto di coordinate (, ) descrive l insieme rappresentato di seguito L integrale I proposto è di fatto quanto avremmo ottenuto dall integrazione della funzione e / sul dominio attraverso la formula di integrazione iterata quando si sezioni rispetto all asse delle ordinate. Anche le sezioni orizzontali di, però, sono facilmente descrivibili ed il teorema di Tonelli garantisce che così facendo si ottiene lo stesso valore, quindi I e / dd (e ) d (e ) ] e / d d d e. e / ] d Il calcolo di molti integrali (in realtà più numerosi negli esercizi e nei temi d esame che nella pratica) può essere notevolmente semplificato se si tiene presente il concetto geometrico di simmetria. Anzitutto una definizione: una simmetria del piano è un applicazione lineare S : R R per la quale (S S)() S(S()), R. Osserviamo che la proprietà (S S)() di fatto è equivalente a chiedere che l applicazione lineare S S sia l applicazione identica ovvero che l applicazione S sia invertibile con inversa data dalla S stessa. ata la proprietà di Binet del determinante secondo cui det AB det A det B, dalla relazione S S id segue che (det(s)) e quindi det(s) ±. La nozione di simmetria qui assunta non è quella più generale tuttavia è sufficiente per i nostri scopi; osserviamo che comunque vi sono infinite simmetrie: di fatto, ogni retta r passante per l origine genera una simmetria assiale S r costruita come riflessione attraverso r.

3 S() α Sia α l angolo che la retta forma con l asse delle ascisse, allora la matrice che rappresenta S r rispetto alla base canonica è ( ) cos(α) sin(α). sin(α) cos(α) Le tre simmetrie seguenti sono quelle con cui più facilmente si avrà a che fare: S() S() π/4 S() S(, ) (, ) S(, ) (, ) S(, ) (, ) ata una simmetria S del piano ed una funzione f : R R, allora: f è pari rispetto a S se f è dispari rispetto a S se f(s()) f(), f(s()) f(). La funzione f(, ) è pari rispetto alla simmetria (, ) (, ) e dispari rispetto alla simmetria (, ) (, ); è dunque possibile che funzioni non identicamente nulle siano contemporaneamente pari rispetto ad una data simmetria e dispari rispetto ad un altra. Una regione Ω R è simmetrica rispetto ad una simmetria S quando è S-invariante, ovvero S(Ω) Ω. Quando un dominio presenta una simmetria S, esiste sempre una sotto-regione tale che S( ) e con S( ) Ω S dove Ω S è l insieme dei punti fissati da S (una retta per le simmetrie assiali). S S Supponiamo dunque di dover calcolare f(, )dd e che presenti una data simmetria S, allora possiamo pensare a come all unione dei due sottoinsiemi e S( ); l unione non sempre è disgiunta, tuttavia la sovrapposizione di tali insiemi è sempre contenuta nell insieme Ω S dei 3

4 punti fissati da S e dunque sono al più una retta; di conseguenza costituiscono un insieme di area nulla che quindi non modifica il valore degli integrali così f(, )dd f(, )dd + f(, )dd. Supponiamo poi che f sia pari rispetto a tale simmetria, allora i valori che f assume nel secondo dominio sono uguali a quelli assunti nel primo dominio, di conseguenza anche il valore del secondo integrale è uguale a quello del primo e quindi simmetrico e f(, ) pari f(, )dd f(, )dd. Supponiamo invece che f sia dispari rispetto a tale simmetria, allora i valori che f assume nel secondo dominio sono opposti a quelli assunti nel primo dominio, di conseguenza anche il valore del secondo integrale è opposto a quello del primo così che simmetrico e f(, ) dispari f(, )dd. () Calcolare ( + ) sin( )dd dove {(, ) :, }. L insieme è il triangolo rappresentato di seguito S( ) e quindi è simmetrico rispetto alla bisettrice del primo/terzo quadrante, ovvero rispetto alla trasformazione S(, ) (, ). Posto f(, ) ( + ) sin( ) abbiamo: f(s(, )) f(, ) ( + ) sin( ) ( + ) sin( ) f(, ) e quindi f è dispari rispetto a tale simmetria così ( + ) sin( )dd. () Calcolare ( ln )dd dove {(, ) : ( ) + }. Il dominio è il disco di centro (, ) e raggio di seguito rappresentato La funzione f(, ) ln non ha un comportamento definito (pari o dispari) rispetto ad alcuna delle molte simmetrie del dominio, ma sfruttando l additività dell integrale possiamo decomporre l integrale proposto in ( ln )dd dd ln dd. La funzione ln è dispari rispetto allo scambio che è una simmetria del dominio di conseguenza il valore del secondo integrale è sicuramente zero, quindi ( ln )dd dd. 4

5 Se calcoliamo questo integrale come integrale iterato abbiamo dd 3 () ] d d () 3 ( ) d (u + ) u du e riconduce quindi il problema originario a quello del calcolo di un integrale con radice. Il calcolo risulta decisamente più semplice se si utilizzano le coordinate polari, ma diventa addirittura banale utilizzando nuovamente le simmetrie, infatti: dd ( ) dd + dd dd Area() π, infatti ( ) dd in quanto la funzione è dispari rispetto alla simmetria generata dall asse verticale passante per l origine del dominio, e l area di una regione è proprio definita come integrale su quella regione della funzione costante. (3) Calcolare ( + ln ) dd dove {(, ) :, > }. Il dominio è la regione del piano dove con > ovvero l insieme qui rappresentato L insieme di integrazione è quindi simmetrico rispetto all asse delle ascisse e poiché la funzione è dispari rispetto a questa simmetria abbiamo ( + ln ) dd ln dd inoltre rispetto a questa stessa simmetria la funzione ln è pari, quindi ln dd ln ] d ] ln d d ( ) ln( ) ( ) d u ln u u d u ln u u u ] 3. (4) Calcolare ( + 3 ) dd dove il dominio è quello rappresentato in figura 5

6 Esso è simmetrico rispetto all asse delle ordinate e poiché la funzione è dispari rispetto a questa simmetria abbiamo ( + 3 ) dd 3 dd 3 Area() 3 (π π ( ) ) π. (5) Calcolare dd con {(, ) : ( ) + ( ) 4}. Il dominio di integrazione è una circonferenza di centro (, ) e raggio e quindi è sicuramente una buona idea cambiare coordinate e passare alle coordinate polari riferite al centro del dominio: + r cos θ, + r sin θ, dd r drdθ. Nelle coordinate (r, θ) il dominio diventa il rettangolo, ], π] e quindi abbiamo dd,],π],],π] ( + r cos θ) ( + r sin θ) rdrdθ (r + r cos θ + r 3 cos θ + r sin θ + r 3 sin θ cos θ + r 4 sin θ cos θ) drdθ π ] (r + r cos θ + r 3 cos θ + r sin θ + r 3 sin θ cos θ + r 4 sin θ cos θ) dθ dr (πr + πr 3 ) dr ] πr + π r4 4 8π. (Nota: Ricordiamo che l integrale su un periodo (ad esempio, π]) delle potenze dispari di sin θ e cos θ è sempre nullo.) (6) Calcolare dd dove {(, ) : ( + ) 3/ }. Anzitutto dobbiamo riuscire a descrivere il dominio ; dato che a sinistra della disuguaglianza ( + ) 3/ compare il termine + potrebbe essere una buona idea descrivere tale insieme tramite le coordinate polari. Posto dunque r cos θ, r sin θ, scopriamo che la disuguaglianza diventa r 3 r cos θ, r cos θ; il dominio è dunque quello rappresentato in figura (a sinistra in coordinate cartesiane, a destra in polari). Φ 6 r

7 Utilizzando quindi questo cambiamento di coordinate abbiamo dd r sin θ cos θ rdrdθ r 3 sin θ cos θ drdθ π cos θ ] π ] r 3 sin θ cos θ dr dθ r 4 4 sin θ cos θ cos θ dθ (7) Calcolare π π cos 8 θ π cos θ 4 sin θ cos θ dθ ] π/. π/ π cos 9 θ sin θdθ e dd dove è il dominio rappresentato in figura / Il calcolo dell integrale potrebbe essere condotto direttamente come integrale iterato, tuttavia sarebbe lungo e complesso. Migliore pare l idea di cercare un sistema di coordinate che semplifichi la descrizione del dominio e date le equazioni delle curve che delimitano, pare proprio una buona idea porre { U V /; in termini delle variabili U e V il dominio diventa così il rettangolo, ], ] (e quindi le coordinate scelte sono quelle giuste ). Abbiamo { U V UV, quindi (, ) (U, V ) UV V U V da cui dd (, ) det dudv (U, V ) V dudv. i conseguenza abbiamo e dd,],] V eu dudv V e U dudv,],] V / (e e) ] e U du dv V V ] / / 3 4 (e e). U V U V e U] V dv (e e) dv V / 7

8 (8) Calcolare il volume della regione T prismatica delimitata dal piano z e da quella parte della superficie z f(, ) che si proietta nel piano z nella regione {(, ) :, }. Come tutte le regioni di R 3, il volume di T è fornito dall integrale Vol(T ) dddz. T Il calcolo di questo integrale risulta facile quando si osservi che le sezioni di T ad ed fissati sono dei segmenti la cui lunghezza è f(, ) ; per tali domini quindi la formula generale del volume diventa Vol(T ) f(, ) dddz dddz. Per proseguire nel calcolo osserviamo che il dominio è di fatto il quadrato, ], ] e che nella parte indicata con A la funzione è positiva mentre è negativa nella regione B A B così che Vol(T ) dddz A ] ( ) d d + ] d + dddz d + B ] ( ) d d ] d d dddz + 4 d 5. (9) Il baricentro di una regione R è quel punto b tale che ( b ) dd, ovvero b dd dd. eterminare le coordinate del baricentro della regione {(, ) :, 4}. La regione è quella rappresentata in figura 4 8

9 Le coordinate del baricentro b ( b, b ) sono date dagli integrali b dd dd, b dd dd. alla simmetria del dominio segue che dd (integrale di una funzione dispari) e quindi b ; per trovare b calcoliamo 4 ] ] dd d d (4 ) d , dd 4 ] d d così b e quindi b (, /5). () Individuare il baricentro di un quarto di disco. (8 4 ) d 8 5 ] 8 5, Sia R il raggio del disco che orientiamo nel piano nel modo rappresentato in figura. Le coordinate del baricentro b ( b, b ) sono date dagli integrali b dd dd, b dd dd. alla simmetria del dominio segue che dd (integrale di una funzione dispari) e quindi b ; per trovare b calcoliamo dd Area() πr 4, dd ρ sin θ ρdρdθ,r] 3π 4, π 4 ] R3 3 π cos θ] 4 3π 4 3 R3, R ρ dρ così b R πr 3π R e quindi b (, 4 3π R). π 4 3π 4 sin θ dθ () Non è necessario che la regione sia planare perché ad essa si possa associare un baricentro, ad esempio se è un dominio solido di R 3 (ovvero un dominio con un volume non nullo) il suo baricentro è definito come ( b ) dddz, ovvero b dddz dddz, dove ora ed b sono vettori di R 3. In modo analogo (ma con qualche difficoltà tecnica dovuta alla definizione degli integrali coinvolti) si può associare un baricentro a curve e superfici di R 3. () ato un solido, il suo moto può essere sempre decomposto (teorema di Eulero) nella sovrapposizione di due moti: uno di traslazione del suo baricentro ed uno di rotazione attorno ad un asse r passante per il baricentro. Corrispondentemente, l energia cinetica 9

10 di risulta data dalla somma di due contributi, il primo legato alla massa M di ed alla velocità del baricentro, il secondo legato invece al momento d inerzia I di rispetto ad una retta r ed alla velocità angolare ω di rotazione attorno ad r, secondo la relazione: T Mv + Iω, dove il momento d inerzia è definito da I d (, r) δ() dddz in cui δ() indica la densità di massa del corpo (noi assumeremo sempre che il corpo sia omogeneo e che quindi la densità δ sia costante) e d(, r) indica la distanza del punto (appartenente al corpo ) dalla retta r. r (3) Calcolare il momento d inerzia di un cilindro omogeneo, pieno, retto, a base circolare di raggio R ed altezza L, rispetto al suo asse di simmetria. Scegliamo un sistema di coordinate in modo che l asse di simmetria del cilindro coincida con l asse z, come in figura z R L La densità δ è costante quindi il momento d inerzia cercato è I δ ( + ) dddz. ata la simmetria del dominio conviene utilizzare le coordinate cilindriche, ovvero le coordinate polari planari nel piano,, cioè ρ cos θ, ρ sin θ, z z così che l integrale diventa δ,r],π],l] dove M è la massa del cilindro. ρ ρdρdθdz δ π L R4 4 π LR4 δ R (πr Lδ) MR

11 (4) Calcolare il momento d inerzia di un cilindro omogeneo, pieno, retto, a base circolare di raggio R ed altezza L rispetto ad un asse uscente dal suo baricentro e perpendicolare alla sua superficie laterale. In figura è rappresentato il cilindro orientato in modo che l origine degli assi coincide col baricentro del cilindro l asse z con l asse di simmetria e l asse rispetto al quale calcolare il momento d inerzia è l asse. z R L Il momento d inerzia cercato è I δ ( + z ) dddz. δ δ Per calcolarlo utilizziamo le coordinate cilindriche, ovvero poniamo ρ cos θ, ρ sin θ, z z così che,r],π] L/,L/] R π (ρ cos θ + z ) ρdρdθdz δ (Lρ 3 cos θ + ρl3 ) dθdρ δ ( R 4 + L) (πr Lδ) M ( 4 R + L) dove M è la massa del cilindro. R π L/ R L/ (ρ 3 cos θ + ρz ) dz dρdθ (Lπρ 3 + π 6 ρl3 ) dρ δ(lπ R4 4 + π R L 3 ) (5) Come si vede, il momento d inerzia non è, a differenza della massa, una proprietà intrinseca di un corpo, ma dipende anche dall asse rispetto al quale lo si vuole calcolare. Scegliamo come centro di riferimento di un sistema di assi ortogonali il baricentro del corpo. Sia t(α, β, γ) con t R l equazione parametrica della retta r passante per l origine e rispetto alla quale vogliamo calcolare il momento di inerzia (α, β e γ sono detti coseni direttori e sono riscalati in modo che α + β + γ ), allora il quadrato della distanza del punto dalla retta è data da d (, r) quadrato della lunghezza di meno il quadrato della lunghezza della proiezione di lungo la retta t(α, β, γ) <, > <, (α, β, γ) > ( α ) + ( β ) + z ( γ ) αβ αγz βγz (β + γ ) + (α + γ ) + z (α + β ) αβ αγz βγz che può essere riscritta nel modo seguente d (, r) (α, β, γ) + z z + z z α β z z + γ che risulta particolarmente significativo, visto che nella sua dipendenza dal vettore (α, β, γ) esso ha la forma di un prodotto scalare.

12 Sostituendo l espressione precedente nell integrale I α,β,γ d (, r)δ dddz che definisce il momento d inerzia rispetto alla retta r, si trova che esso può essere scritto come: () I α,β,γ (α, β, γ) I (α, β, γ) T dove I rappresenta la matrice di integrali ( + z )δ dddz δ dddz zδ dddz I δ dddz ( + z )δ dddz zδ dddz zδ dddz zδ dddz ( + )δ dddz La matrice I è associata al corpo e non contiene alcun riferimento alla retta attorno alla quale esso ruota; tale matrice è nota col nome di matrice (tensore) d inerzia. La sua conoscenza consente di calcolare il momento d inerzia rispetto alla retta t(α, β, γ) tramite il prodotto scalare (). (6) Ad esempio, i calcoli precedenti mostrano che la matrice d inerzia associata ad un cilindro omogeneo, pieno, retto, a base circolare di raggio R ed altezza L e con asse parallelo all asse z è la matrice I M( R 4 + L ) M( R 4 + L ) M R E quindi il momento d inerzia di tale cilindro attorno ad un asse passante per il baricentro e per un punto del suo bordo (vd, figura seguente) z R L L è quindi: direzione dell asse: (α, β, γ) ( ) R, R +L /4, L/ R +L /4

13 I (α, β, γ) I (α, β, γ) T ( ) R,, L/ R +L /4 R +L /4 M( R 4 + L ) M( R 4 + L ) M R M( R 4 + L ) R R + L /4 + M L /4 R R + L /4 M R 6R + 5L 6 4R + L. R R +L /4 L/ R +L /4 (7) Il calcolo del momento d inerzia di un solido di massa M rispetto ad un asse non passante per il baricentro è ricondotto al caso di un asse passante per il baricentro tramite il teorema di Steiner: date due rette r ed r parallele tra loro ed a distanza R e supposto che r passi per il baricentro di, allora il momento d inerzia I r rispetto alla retta r ed il momento d inerzia I r rispetto a r sono legati dalla relazione Sapreste darne una dimostrazione? I r I r + MR. r d r d 3

14 Esercizi senza soluzione () Calcolare dd dove {(, ) : }. () Calcolare e dd dove {(, ) :,, }. (3) Calcolare dd, dd, dd dove {(, ) :, + }. (4) Calcolare dd dove {(, ) : 3, + }. (Suggerimento: dividere il dominio di integrazione in due parti opportune, e su una utilizzare le coordinate cartesiane, sull altra le polari.) (5) Calcolare dd dove {(, ) : + }. (6) Calcolare cos( + ) dd dove {(, ) : + π/}. (Suggerimento: il calcolo è più semplice se si introducono le nuove coordinate U + ed V.) (7) Calcolare + dd dove {(, ) : ( ) + }. (Suggerimento: usare le coordinate polari centrate in (, ).) (8) Calcolare { z dddz, dove z dddz, { {(,, z) :,, z } {(,, z) :,, z, + + z }. (9) Calcolare il volume del prisma retto delimitato dal piano z e da quella parte del grafico di f(, ) che si proietta sul piano z in {(, ) : + }. (Suggerimento: anzitutto determinare esattamente.) () Calcolare le coordinate del baricentro della regione {(, ) : 3 64}. () Calcolare il momento di inerzia del cubo di lato L rispetto all asse passante per il baricentro di due sue facce opposte. 4

15 () Calcolare il momento di inerzia del cubo di lato L rispetto all asse passante per due vertici opposti. (Suggerimento: scegliere un sistema di assi con origine nel baricentro in modo che il cubo sia l insieme L/, L/] L/, L/] L/, L/]. Osservare che l asse prescelto è quello con direzione ( 3, 3, 3 ). Calcolare la matrice d inerzia che risulta diagonale ed utilizzare questa matrice per calcolare il momento cercato). (3) Un commento sui due esercizi precedenti: la matrice d inerzia del cubo è una matrice diagonale con ML /6 sulla diagonale, quindi il momento d inerzia del cubo rispetto ad un qualsiasi asse passante per il suo baricentro è sempre uguale a ML /6, così che l energia del cubo che ruota attorno ad un asse passante per il suo baricentro e velocità angolare ω non dipende dall asse prescelto, proprio come per la sfera. Ci sono altri domini semplici con la medesima proprietà? (Risposta: sì, ad esempio tutte le regioni con baricentro in (,, ), simmetriche rispetto a ciascuno dei tre piani cartesiani e per le quali dddz dddz z dddz). (4) Calcolare le coordinate del baricentro della regione {(, ) : posto ρ cos θ, ρ sin θ si ha ρ θ(π θ)}. (5) Calcolare le coordinate del baricentro della regione {(, ) : π, sin }. (6) Calcolare ln dd dove {(, ) : min(, )}. (7) Calcolare dd dove {(, ) :, }. (Suggerimento: integrare prima in e poi in oppure usare il cambiamento di coordinate ρ cosh u, ρ sinh u, dove sinh u : (e u e u )/ e cosh u : (e u + e u )/). 5