Stelle di neutroni: lezione introduttiva

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1 Stelle di neutroni: lezione introduttiva X. Roca-Maza 5 Dicembre Bilancio energia: toy model Assumendo che una stella di neutroni è fatta da solo neutroni interagenti, via l interazione forte e quella gravitazionale, e che questi possono essere descritti dalla formula semi-empirica delle masse, scriviamo l energia totale (E NS ) del sistema come E NS = E Nucl + E Grav (1) dove E Nucl è l energia della stella dovuta alla sua massa gravitazionale (M Grav = m n N dove m n ed N sono la massa e numero di neutroni nella stella) ridotta dall effetto dell interazione nucleare forte e E Grav corrisponde all energia d interazione gravitazionale. Quindi, possiamo scrivere che E Nucl = m n N a v N + a s N 2/3 + a a N (2) dove abbiamo trascurato l effetto del pairing nella forma piu comune della formula semi-empirica delle masse. Per quanto riguarda il contributo all energia gravitazionale, possiamo assumere simmetria sferica 1, E Grav = G = G R 0 R 0 = 3 GMGrav 2 5 R M Grav dm r = G 4 3 πr3 ρ 2 4πr2 dr r = 3 5 R πr3 ρ ρdv r = G R5 (4πρ)2 3 5 Gm 2 nn 2 r 0 N 1/3 = 3 5 Gm 2 n r 0 N 5/3 (3) 1 Notare che le stelle di neutroni sono oggetti molto sferici, se non lo fossero probabilmente si sarebbero rilevate onde gravitazionali Horowitz and Kadau [2009]. 1

2 dove abbiamo assunto che la densità di massa gravitazionale della stella è uniforme ρ = 3M Grav (r)/4πr 3 e che il raggio della stella cresce con il numero di particelle come lo farebbe il nucleo atomico 2. Ovvero abbiamo assunto che i neutroni nella stella vengono governati da una interazione a corto range anche se sapiamo che l interazione gravitazionale è a lungo range e non trascurabile. In questo caso, il parametro 2r 0 dà una idea della distanza media tra due neutroni nella stella. Questo vuole dire che è un r 0 diverso da quello nucleare (r0 nucleo 1.14 fm) mentre quello della stella non lo sapiamo con certezza. Ad esempio, se la densità media della stella fosse 2 volte la densità di saturazione nucleare n 0 questo implicherebbe r 0 = 0.9 fm. L energia totale in questo semplicissimo modello è E NS = m n N a v N + a s N 2/3 + a a N 3 Gm 2 n N 5/3 (4) Con questo semplice modello si può studiare i limiti dell esistenza di una stella di neutroni, intesa come un nucleo di solo neutroni dove l effetto della gravità lega ulteriormente i loro costituenti. Ovvero, possiamo definire l energia di legame B(N) della stella come, B(N) = a v N a s N 2/3 a a N + 3 Gm 2 n N 5/3 (5) ed imporre la condizione di sistema legato 0 B(N) = a v N a s N 2/3 a a N + 3 Gm 2 n N 5/3 (6) Trascurando il termine di superficie e assumendo valori per i parametri a v e a a compatibili con la fenomenologia delle masse nucleari, si ottiene N a a a v 3 5 Gm 2 n r (7) Quindi la minima massa gravitazionale (raggio) possibile per una stella di neutroni secondo questo modello è pari a 10 2 M Sun (R 10 0 km). 2 Questa è una assunzione sbagliata visto che il raggio della stella non cresce seguendo una legge R N 1/3 (vedere figura Massa-Raggio nelle note) 2

3 Alternativamente, si può trovare un limite superiore assumendo che l energia di legame non può superare la massa gravitazionale totale della stella, ovvero B(N) m n N a v a s N 1/3 a a + 3 Gm 2 n N 5/3 m n 3 Gm 2 n N 2/3 m n (8) dove nella seconda riga abbiamo trascurato prima a s perchè piccolo paragonato ai termini in a v e a a e successivamente a v e a a perche piccoli nei confronti degli altri due termini. Il limite superiore per N trovato dall ultima espressione sarebbe ( ) 3/2 N (9) 3 Gm n dove l espressione finale dipende solo dalla costante di gravitazione universale, dalla massa del neutrone e da r 0. Usando questo risultato per il numero di neutroni trovati, possiamo trovare la massa e il raggio della stella M Grav = m n N 10 1 M Sun e R = r 0 N 1/ m. Riassumendo, N M Sun M Grav 10 1 M Sun 10 0 m R 10 4 m La massa tipica di una stella di neutroni è attorno a 1.4 M Sun e il raggio attorno a 10 km. Quindi, in ogni caso, il modello si deve ritenere come molto qualitativo. 2 Modello semplice per una stella di neutroni I: massa e raggio Vedere tesi Selva [2015] per lo studio dettagliato della relazione massa-raggio di una stella di neutroni assumendo una equazione di stato sempice per la materia neutronica e risolvendo esattamente le equazioni di equilibrio idrostatico di Tolman-Oppenheimer-Vokoff (TOV). 3

4 Qui ci preoccuperemo solo di discutere un caso molto semplice (in approssimazione Newtoniana) e un dettaglio interessante delle equazioni di TOV. L equilibrio idrostatico, ovvero come la pressione gravitazionale varia con la densità di energia di un sistema di neutroni nel nostro caso, nel limite non relativistico si puo trovare come segue. La differnza di pressione in uno strato infinitessimale di stella assumnendo simmetria sferica si puo scrivere come p(r + dr) p(r) = df ds = GM(r) dm r 2 ds = G M(r) ρ(r)dv r 2 ds dp dr = G M(r)ρ(r) r 2 = G M(r)ρ(r) dr r 2 = G M(r)ε(r) c 2 r 2 (10) dove nel ultimo passaggio abbiamo usato la relazione tra massa e energia E = Mc 2 ε E = M V V c2 (notare che l equazione è E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 e che quindi il momento lineare dei neutroni è stato trascurato nei confronti della sua massa). Sapendo inoltre che la massa assumendo simmetria sferica deve soddisfare l equazione dm(r) = 4πr 2 ρ(r)dr = 4πr 2 ε(r) dr dm(r) dr c 2 = 4πr 2 ε(r) c 2 (11) abbiamo un set di due equazioni che si possono risolvere data una condizione al contorno 3 se si conosce l espressione per la densità di energia per i neutroni ε(r), ovvero, se si conosce l equazione di stato per materia neutronica. Notare che dal punto di vista termodinamico, l energia interna si scrive come de = T ds pdv + µ n dn che a T = 0 e numero di neutroni fissati diventa de = pdv e quindi ( ) p(r) = de dv = d N,T=0 ( E V V N d ( V N ) d ) = ( d 3 Solitamente s impone la pressione al centro della stella. ε ρ 1 ρ ) = ρ dε dρ ε (12) 4

5 e quindi ci fornisce una relazione tra pressione e densità di energia che deve essere verificata da qualsiasi modello per la descrizione della materia neutronica. Assumendo che la denistà di energia segue una legge politropica del tipo p(r) = κε γ dove κ e γ sono due parametri che caratterizzano il sistema si può vedere che, nel limite Newtoniano, la massa della stella va come M κ 1 2 γ R 4 3γ 2 γ (13) e quindi, possiamo studiare i seguenti casi dove γ è conosciuto. Per densità sotto la denistà di saturazione nucleare la pressione nella stella viene dominata dal gas di elettroni ultra-relativistici per cui γ può essere facilmente calcolato in modo analitico ed è uguale a 4/3. Se questo fosse accurato, vediamo che M κ 3/2 R 0 e quindi la massa della stella sarebbe indipendente del raggio della stella (R). Per densità superiori alla densità di saturazione (tutto il cuore della stella che si estende sicuramente per circa il 90% del suo raggio) si stima che γ 2 e quindi R κ 1/2 M 0 e quindi il raggio della stella sarebbe indipendente della massa. Sapiamo però che in oggetti come le stelle di neutroni con campi gravitazionali molto intensi l approssimazione Newtoniana non è più valida e bisogna tenere conto della Relatività Generale. Questo e stato fatto da Tolman [1939], Oppenheimer and Volkoff [1939] e si ottiene la seguente correzione all equazione in approssimazione Newtoniana ( dp dr = GMρ 1 + p r 2 ρc 2 ) (1 + 4πpr3 Mc 2 ) ( 1 2GM ) 1 (14) c 2 r questa equazione insieme a dm(r) = 4πr 2 ρ(r) costituiscono il set di due dr equazioni a risolvere nel caso Relativistico. A questo punto è interessante notare che l Eq.(14) è stata derivata assumendo che la costante cosmologica (Λ) nelle equazioni per la relatività generale è uguale a zero (come formulato da Einstein). Sapiamo però che l Universo si espande acceleratamente e questo sarebbe compatibile con una costante cosmologica diversa da zero. È quindi interessante vedere che, in linea di principio, l espansione accelerata dell Universo dovuta alla cosiddetta energia oscura può avere un effetto sulla massa e il raggio di una stella di neutroni. In particolare l equazione verrebbe modificata come segue: 5

6 ( dp dr = GMρ 1 + p ) ) ( (1 + 4πpr3 r 2 ρc 2 Mc Λr3 1 2GM ) 1 2 2GM c 2 r (15) 3 Modello semplice per una stella di neutroni II: crosta Vedere articolo Roca-Maza and Piekarewicz [2008] e tesi Basilico [2013] molto dettagliati per la crosta esterna e la tesi Craveia [2017] per crosta interna. References C. J. Horowitz and Kai Kadau. Breaking strain of neutron star crust and gravitational waves. Phys. Rev. Lett., 102: , May doi: /PhysRevLett URL Giovanni Selva. Effetti globali di un equazione di stato polinomiale sulle proprietà delle stelle di neutroni, URL jroca/doc/thesis/thesis-giovanni-selva.pdf. Richard C. Tolman. Static solutions of einstein s field equations for spheres of fluid. Phys. Rev., 55: , Feb doi: /PhysRev URL J. R. Oppenheimer and G. M. Volkoff. On massive neutron cores. Phys. Rev., 55: , Feb doi: /PhysRev URL X. Roca-Maza and J. Piekarewicz. Impact of the symmetry energy on the outer crust of nonaccreting neutron stars. Phys. Rev. C, 78:025807, Aug doi: /PhysRevC URL 6

7 Davide Basilico. Magnetic field effects on the composition of a neutron star outer crust, URL jroca/doc/thesis/thesis-davide-basilico.pdf. Valentina Craveia. Vibrational modes in the crust of neutron stars, URL jroca/doc/thesis/thesis-valentina-craveia.pdf. 7