Funzione Potenziale e Campi Conservativi
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- Anna Bonfanti
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1 S unone Poenle e mp onservv ( ( ( ( ( un mpo veorle d lsse ( Ω dove Ω deno un pero onnesso (domno. Defnone. Se per qulhe funone ( defn n Ω rsul llor s de he è un mpo veorle onservvo n Ω e l funone è de poenle slre d. S osserv he è onservvo n un domno Ω se e solo ( ( ( Ω l poenle non può vere nenhe un puno sngolre n Ω. S un osne rrr osservo he [ ] [ ( Ψ( ] per ogn ( Ω (pero onnesso mpl ( Ψ( su Ω ; s evne quno segue: due funon poenl d un mpo veorle onservvo defno su un pero onnesso dffersono per un osne. In lre prole le funon poenl non sono deermne n modo unvoo: s può sempre ggungere un osne. Un ondone neessr he deve essere soddsf ffnhé un mpo veorle nr (oppure nr s onservvo è he s rroonle. In lre prole: se llor ro Per dmosrrlo s osserv he l equone ovvero ( ( (
2 mpl le re equon slr ; ; d u dovendo essere ugul le derve prl mse d n quno è d lsse ( s oene In seguo dmosreremo he l ondone preedene è nhe suffene nel so n u è defno n un pero semplemene onnesso. Prolr domn semplemene onness sono domn sell rspeo d un puno: un domno s de sello rspeo d un suo puno P se per ogn puno P del domno l segmeno d esrem P e P s uo nel domno. In queso sussse l eorem suessvo. Per non onfondere le oordne ( del puno P on gl ss oordn ndhmo ques on (uvw. Premesso ò rordmo he l'equone veorle d esrem P ( e P ( è r P ( P P u v ( w dove u ( ν ( w ( In prolre se P onde on l'orgne rsul r ( ( P [ ] ( d u le equon prmerhe del segmeno u esrem sono l'orgne e P( sono u v w [ ] (
3 Teorem. Se è un mpo onservvo rroonle lso n un domno Ω sello rspeo d un puno è onservvo. P Ω llor per qulhe funone poenle defn n Ω ovvero Dmosrone. Sen perdere d generlà possmo supporre he P s l'orgne. onsdermo l funone ( defn dll'ugugln seguene dr ( ( ( Ω d dove è l segmeno d esrem l'orgne e P le u equon prmerhe sono de dll (. Perno Dmosrmo he ( [ ( u v w ( u v w ( u v w ] d ( ( ( ( ( 4 A le sopo dervmo l ( rspeo d oenendo: Anlogmene s h ( [ u ( u u u u u d ] d d [ ( u v ] d ( d ( e ( l he omple l dmosrone. (
4 Esemp:. Il mpo veorle ( ( ( (defno n un pero onnesso è rroonle n quno perno poree essere onservvo. Per slre se l mpo veorle do è onservvo ponmo ;. Inegrndo l rspeo oenmo ( ln( (. S osserv he l osne d negrone è un osne rspeo ovvero è un funone dell sol vrle he mo ndo on (. Se dervmo mo memr dell equone preedene rspeo oenmo ( onfronndo l equone preedene on l rovmo he ( d u ( Qund meno d un osne ddv l funone (osne. ( ln( è un funone poenle del mpo veorle.
5 . Il mpo veorle ( ( ( l u domno è un pero onnesso è rroonle n quno. Se esse un funone poenle he gener l mpo deve neessrmene essere ;. Inegrndo rspeo oenmo ( rn ( d u dervndo mo memr rspeo oenmo ( onfronndo l espressone preedene on l rovmo ( d u ( Qund meno d un osne ddvl funone ( rn non è un funone poenle d n quno l suo domno non onde on quello del mpo. Il mpo veorle onsdero è onservvo nel sempno > e nel sempno <. 4
6 . S Essendo ( sn sn ( os ro e do he l domno d è uo lo spo rdmensonle he è semplemene onnesso ne onsegue he è onservvo. Se è un funone poenle per deve neessrmene essere sn ; sn ; os. Inegrndo per esempo l rspeo s oene dove ( ( sn ( è un osne rspeo. Dervndo l rspeo d s h sn e per onfrono on l s dedue he ( non dpende d. Se ponmo ( g( ( sn g( Infne dervndo l rspeo e per onfrono on l s oene g ( e qund ( meno d un osne ddv è ( sn. 4. S > e ( ( os( ( os( ( ln Pohé l domno è semplemene onnesso e è rroonle ne onsegue he è onservvo. Per deermnre un funone poenle proedmo ome nell esempo preedene.amo os( ; os( ; ln 5
7 6 Inegrndo l rspeo oenmo ( ( Dervndo l rspeo e per onfrono on l s h os( d u. ( sn( ( g Sosuendo ( nell oenmo (. ( sn ( g Infne dervndo l rspeo d e per onfrono on l oenmo g(- (osne e qund meno d un osne ddv sn(. ( 5. Il mpo veorle ( è onservvo n quno ( ( dove ( ln pù presmene è ln( ln( ( < >
8 6. Slre se l mpo veorle ( sn sn os è onservvo. In so ffermvo deermnre un funone poenle. Svolgmeno. Essendo l domno d semplemene onnesso (n quno è defno nr ed essendo ro segue he è onservvo (oè esse un funone he soddsf l equone. Per deermnre un funone poenle ( proedendo ome negl esemp preeden s h sn sn ( sn sn os ( ( D e segue he sn ( ( ( d os os Per rsolvere l negrle preedene s osserv he ovvero os os os sn os sn. os os os sn n Allor sosuendo n s oene d d os os n rn rn n d 7
9 Qund meno d un osne ddv è ( rn n sn Teorem. S un mpo slre d lsse ( ( Ω dove Ω è un pero onnesso dello spo rdmensonle. Per ogn opp d pun A e B onness d un urv γ onenu n Ω regolre r é spef dll equone veorle r( r s h γ dr [ r( ] [ r( ] ( B ( A Dmosrone. Sno A e B due pun qulss n Ω e ongungmol rme un urv γ onenu n Ω regolre r e d equone r r( γ s regolre n [ ]. Allor l negrle urvlneo del. Supponmo nlmene he d A B lungo γ è do d Se ponmo g( [ r( ] [ r( ] r ( d γ r d. per l regol d dervone delle funon ompose s h ( [ ( ] r ( g r Essendo onnuo su Ω eγ regolre segue he ( g è onnu n (. Però ( d g( g( [ r( ] [ r( ] ( B ( A dr g ò dmosr l eorem m nel so n u γ è regolre. Se γ è regolre r dvdmo l nervllo [ ] n un numero fno n d soo - nervll: I [ ]... n ; n 8
10 n ognuno de qul γ ( l resrone d γ I s regolre. Se pplhmo l rsulo ppen dmosro d ogn γ oenmo dr dr γ [ g( g( ] [ g( g( ] [ g( g( ]... [ g( g( ] g ( g( g( g( ( B ( A n n γ n n n D quno preede s evnono le ondon neessre e suffen ffnhé un mpo veorle s un grdene. S un mpo veorle ( onnuo su un pero onnesso Ω onenuo n ffermon sono equvlen: R. Le seguen è l grdene d qulhe funone poenle defn n Ω ( n Ω. L negrle urvlneo d è ndpendene dll reor n Ω. L negrle urvlneo d lungo ogn urv hus regolre r è ugule ero dr per qulunque urv hus ls e onnu pe onenu n D. Perno se l negrle urvlneo d lungo un sol urv hus è dverso d ero ermene non è un grdene. Se l mpo veorle è onservvo n un pero onnesso D se è un urv regolre r onenu n D u esrem sono un puno A ( fsso n D e un puno rrro P ( llor l vlore dell'negrle d lne dr non dpende dll urv D m dl puno P e s dmosr he l funone ( dr è un poenle per ovvero he Perno qundo è possle s può osrure un funone poenle negrndo lungo l 9
11 4 spe osu d segmen u esrem sono ( ( ( ( P A A A ; ; ; dove: Il segmeno AA' è prllelo ll'sse e può essere spefo dll equone ( [ ] u u u r Il segmeno A'A'' è prllelo ll'sse e può essere spefo dll equone ( [ ] v v v r Il segmeno A''P è prllelo ll'sse e può essere spefo dll'equone ( [ ] w w w r In lre prole è ( ( ( ( ( ( ( d d d w dw dv v du u
12 Invrn d un negrle d lne rspeo l deformone dell reor Sno P e Q due funon d lsse ovunque n Ω s P Q ( n un pero onnesso Ω del pno -. Supponmo he Sno e urve sempl huse e regolr r onenue n Ω he soddsfno le seguen ondon: s nell nerno d ; pun he sono nern ed esern snno n Ω. Allor s h P d Q d P d dove le due urve sono perorse enrme nello sesso verso. Q d Ω 4
13 orme dfferenl S ( ( ( ( ( un mpo veorle defno su un pero onnesso ( ( un mpo slre d lsse ( A. Se rsul ( grd A ( ( le seguen proposon sono equvlen: A R e s è un mpo veorle onservvo e è un funone poenle per ; L form dfferenle w ( ( d d ( d ( d è es e è un prmv d w ovvero w d d d d ( d ( d ( d Se per ogn A rsul: d lsse ( ( A e s de he l form dfferenle w è hus. In R l form dfferenle w d ( d ( d è hus se e solo se dove ( ( ( ( Non è dffle verfre he se ( ( A w llor l proposone: un form dfferenle w es è hus orrsponde ll proposone: un mpo veorle onservvo è rroonle Sussse l seguene. Teorem: S A un pero semplemene onnesso e s w un form dfferenle d lsse ( ( A.Allor w è es se e solo se w è hus. Ovvero: è onservvo se e solo se è rroonle se e solo se 4
14 4 Esemp vr Esempo. Verfre he l mpo veorle do è onservvo e deermnre l orrspondene funone poenle. ( ln os sn os ( Essendo segue onservvo: : ( > osservon: ( ( ( ln sn ln sn ( ( os ln sn ln os ln os ( ( ( sn os ( ( ( ( ( ln os ln os Perno ( os.(6.4 lolre l lvoro del mpo d for ( ( ( 4 sn os qundo un prell s muove lungo l urv [ ] ; ; rn. ( ( ( [ ] ( [ ]( ( [ ] d rsn 4 rsn os I Essendo ϑ sn ( rsn os os ϑ ϑ
15 d ( os( rsn 9 ( rsn d 4π ( 8 d Segue he I 8 ( 4 4π 6 8 4π 6 5 4π. ( sn 4 π L ( 9 4π ( 6 5 4π.(6.4 [ ] {[ sn( π ( ] π os( π ( } sn 5 4 ( π d ( 4 5 d sn( π sn( π d d 8. Deermnre l lvoro fo dl mpo d for ( ( ( qundo un orpo s muove d A ( ( ls r lungo l re he pss per A e B L r ( A ( B A [ ] 4 [ ( ( 5 4( 6 ] d ( 7 9 B lungo un qulss urv ls o d A 44
16 lungo un spe Essendo lungo AO AO OB segue he e è un prmerone he perorre l segmeno AO d A ll'orgne. Essendo lungo OB segue he [ ] L d è un prmerone he perorre l segmeno OB dll'orgne B. L d L 9 B - dr dr dr dr dr d 4; 9 dr 4 dr ( d ; dr ( d 9. S ( ( ro 45
17 lolre dove : r d d r d perors nel verso norro un sol vol. è un rengolo d ver ( ( ( (. è l rengolo d ver ( ( ( ( on e posv. v è l froner del domno: 4. Svolgmeno. Un rppresenone prmer d è: Allor d d π os sn on [ π ]. ( sn( sn ( os( os d π d d dr d d d d d 8 4 π : : : 4 : 46
18 47 : : : : 4 rn rn rn rn rn rn rn rn π π d d d d d d d rn α nα rn β n β π π d d d d d d onfronre on ( ro : dr β α 4 -
19 . ( ( è onservvo se e solo se ro ovvero se e solo se e. Inf se Perno è se se. ( ( ( ( ( ( perno ( ( ( ( ( ( ( ( 9 8. lolre ( ; ( ; ( d ( I d. Svolgmeno. L negrle do è ndpendene dl onorno d negrone n quno 48
20 P Q ( ; ( e qund P Q ( sull nero pno XY. ome perorso d negrone seglmo l lne polgonle nell qule segmen sono prllel gl ss oordn. Sul prmo segmeno mo d sul seondo d onseguenemene I ( d ( 6 d Trovre l prmv U dell form dfferenle du [ ln( ] d ( e d Q Q Svolgmeno. Amo P ln( ; Q e ;. Assumendo e he l onorno K è un lne polgonle OMN ( g.. U ( ln( d ( e d g. [ ln ( ln( ] [ e ] ( ln( e 49
21 . ( sn sn ( os Svolgmeno. Essendo nr le he sn sn ( sn sn ( ( D e sn ( os sn ( ( Qund Oppure se P ( llor ( sn ( ( u du ( v dv ( wdw pohé prm due negrl sono ugul s h ( ( os w dw ( sn w w sn 4. ( [ ] os( [ os( ] ln ; > Svolgmeno. D n R le he dove ( ( u du ( v dv ( w dw ( vos( dv w os u du ln( dw sn sn( sn ( sn( 5
22 Alune propreà dell dvergen Un mpo veorle ( ( ( è deo solenodle n un domno D se dv. Pohé l dvergen del roore d un mpo veorle è null ne onsegue he: l roore d qulunque mpo veorle è solenodle. Esemp Se e Ψ llor Ψ Ψ è solenodle Inf Ψ Ψ Ψ ( Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ ψ Oppure d ( Ψ Ψ Ψ ( Ψ Ψ Ψ Perno ( Ψ Ψ ( Ψ Ψ ( Ψ Ψ Se e sono onservv ( e Ψ llor Inf ( ( ( ( ( Ψ n quno è sempre vero sono solenodl. 5
23 5 Esemp. ( Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ. ( Ψ Ψ Ψ Ψ
24 5 Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ. ( ( ( ( [ ] ( (
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