Diario delle Lezioni

Transcript

1 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn Anno Ad. 6/7 II nno :oo d ure n Ing. Inform Nuoo Ordnmeno oo d Inroduzone ru prof.g.upò Dro delle ezon Merle ddo d rfermeno dsponble sul so G. upò Tre esese delle lezon Noe Eserz A. Mffu Eserz d Eleroen Gonn Mno Inroduzone ru Tes d onsulzone ed no ezone del 6/9/6 h Inroduzone l oo, ollegmen on le lre dsplne Fenomenolog e modell dell'eleromgnesmo Forz d orenz Equzon d Mxwell rhm mpo elero e mpo mgneo Modello generle dell eleromgnesmo Il oo s ollo lle delle formzone bse derne d o d Anls Mem e d Fs d u reepse negrlmene onenu. S onsgl l pprendmeno gudo de o d lolo Numero e Meod mem sol n prllelo. S frà prolre rfermeno one p dell Algebr nere, de mp eorl e slr, dell Geomer Anl, delle Funzon d pù rbl, dell Inegrzone d equzon dfferenzl; s onsgl, per quno rgurd o n prllelo, d segure on prolre enzone gl pprofondmen sulle funzon d rble ompless e sulle funzon sngolr, sull negrzone numer. S frà onnuo rfermeno prnp fondmenl dell men lss, dell ermodnm, on prolre rgurdo one d poenz ed energ. S onsderernno prelmnr prnp d elerolog e mgnesmo, s per quno rgurd l formulzone d modell mem he l loro ldzone spermenl. S dorà rordre nor he l mssm snes dell Eleromgnesmo rsede nelle equzon d Mxwell he, n form negrle, s rollegno nhe legg spermenl ben no per le noeol rdue enologhe ed ndusrl dell seond meà dell Ooeno:. DE MENNA Eleroen ed. Pron, Npol 998 S. BOBBIO, E. GATTI, Eleromgnesmo e O, ed. Borngher, Torno, 99.O. HUA,. DESOE, E. KUH, ru lner e non lner, ed. Json, Mlno, 99 F. BAOZZI, F. GASPAINI, Fondmen d Eleroen - Eleromgnesmo, ed. UTET, Torno, 989 S. BOBBIO, Eserz d Eleroen, ed. UEN, Npol, 995 Dro delle ezon

2 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn d E dl B n ds γ Σ Σ Q E n dσ ε 3 n dσ o S γ legge d Guss B legge d onserzone del flusso E 4 dl μo J ε o n ds S γ γ legge dell nduzone eleromgne d Frdy-Neumnn B γ legge d Ampère-Mxwell γ doe Ē e B sono mp eorl onenzonlmene nd ome elero e mgneo, γ è un ur hus, S γ è un superfe orl d γ e Σ un superfe hus. nd he l ruzone del mpo elero è pr ll der emporle del flusso del mpo mgneo reo un qulss superfe orl d γ l suerfe può essere gener per l propreà 3 d onserzone del flusso. nd he l flusso reo un superfe hus luo on l normle oren eo l eserno del mpo elero è pr ll r eler n ess onenu. 4 nd he l ruzone del mpo mgneo è pr l flusso del mpo eorle omposo dll densà d orrene d onduzone J 3 e dll densà d orrene d sposmeno 4, lego ll rzone emporle del mpo elero 5. Forz d orenz Su ogn r q do d eloà, n presenz d mpo eleromgneo, gse un forz 5 F q E B Se l r è ferm, l mpo mgneo non h effe, per u possmo defnre l mpo elero ome un forz spef newon/oulomb su un r ferm. In so d moo, l mpo mgneo produe un effeo orogonle ll eloà, per u l prell neessrmene de ed d esempo le pplzon nelle grnd mhne qul l lorone. Tensone eler r due puno A e B lungo un ur γ: è l negrle del mpo elero 6 r A e B lungo l lne γ e s nd on V AB γ ; se le negrle non dpende dll prolre ur, l mpo è onsero, desrble on un funzone slre d r Q [] può essere punforme oeros mmgn onenr n un puno nerno ll superfe, oppure dsrbu nel olume nerno ll superfe on densà olumer ρ [/m 3 ], oppure dsrbu su un superfe nern d esempo un elerodo on densà superfle σ [/m ], oppure su un lne nern on densà lnere λ[/m]. 3 l mpo densà d orrene è do dl mpo d eloà d mgrzone ed n delle rhe molplo per l lore dell densà olumer dell r sess JqNρ. nur d l rhe è del uo generle, nendendos omprese nhe quelle nole gl om. 4 l densà d orrene d sposmeno è sgnf solo n presenz d mp rbl. In ogn puno dello spzo nhe uoo Dε o E prende l nome d sposmeno elero ed è dremene orrelble ll densà d r superfle sugl elerod e omunque lle rhe lbere. Nel so d presenz d mezz merl, l mpo d sposmeno DεE è ollegble lle dsrbuzone d rhe lbere d es. sugl elerod e non lle rhe nole pprenen l mezzo merle. 5 Anhe nel so mgneo ene nrodoo un mpo uslro H BμH ronduble, n so szonro, lle sole orren lbere. 6 Pohe l ensone eler s msur orrenemene n ol [V],unà der, l mpo elero s msur orrenemene n [V/m]. Dro delle ezon

3 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn 3 puno poenzle VP; n l so l ensone V AB γ V AB onde on l dfferenz d poenzle V A -V B. Forz eleromore f.e.m. on le ermne s dee nendere sempre l ruzone del mpo elero lungo un lne d neresse. forz eleromore dpende qund dll ur sel slo he l mpo non s onsero, n l so è null; ess è un qunà slre e s msur n ol. Tensone mgne r due puno A e B lungo un ur γ: è l negrle del mpo mgneo r A e B lungo l lne γ e s nd on T AB γ. Forz mgneomore f.m.m. on le ermne s dee nendere l ruzone del mpo mgneo lungo un lne d neresse. forz eleromore dpende qund n genere dll ur, ess è un qunà slre e s msur n Tesl per mero 7. Volmero dele: è lo srumeno he relzz l lolo dell ensone eler; l ndzone dello srumeno dpende n generle dll ur γ su u esso s mmgn dseso 8. Tensomero mgneo dele: è lo srumeno he relzz l lolo dell ensone mgne; l ndzone dello srumeno dpende n generle dll ur γ su u esso s mmgn dseso. orrene Eler : fenomeno d mgrzone der, drf d rhe elerhe; le moo medo he ene eloà dell ordne d. mm/s nemene dsno dl moo d gzone erm on lor snne dell eloà nhe d m/s; deo moo medo ene ndo ome orrene eler d onduzone n lr s possono e orren d onezone o orren d sposmeno; l fenomeno possmo qund ssore l mpo eorle d eloà d mgrzone delle prelle 9. onduor : merl n u possono er luogo sgnf fenomen d mgrzone d r; onduor pù dffus sono mell; possono u mnfes rlen fenomen d onduzon n lr merl sold, n lqud ed n prolr ondzon nhe ne gs. Isoln : merl he non onsenono sgnf fenomen d mgrzone d r; gl soln possono essere sold, lqud e gssos; l solne dele è l uoo ssoluo. 7 f.m.m. ene frequenemene lu prre dl eore H, l u ruzone è sremene pr l flusso d J; n l so, le sue dmenson sono mpere per mero [Am]. 8 un relzzzone d olmero dele porebbe essere oenu dsendendo un fbr o r A e B lungo l ur ssegn: l rershe d un lue polrzz enrne n A sono modfe dll presenz del mpo elero lungo l peroo; l lue usene d B onene qund un nformzone orrel ll negrle del mpo elero lungo l peroo. I olmer rel sono molo meno sofs e relzz su pù sempl prnp legge d Ohm,... 9 s defnse l mpo eorle densà d orrene d un fso d rhe q d densà olumer n qund on densà olumer ρ doe d eloà ome Jqnρ [A/m ].. Dro delle ezon 3

4 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn 4 ezone del 8/9/6 3h Tro d ruo flforme: onduore l u lunghezz è molo mggore dell dmensone med rsele; nel so d ro sezone osne, s può mmeere he l mpo d eloà s prllelo ll sse del onduore. Inensà dell orrene eler ne ru flform: s onsder un sezone re ΔS del onduore flforme, per l u normle s fss un orenmeno rbrro n; s onsder l r ole Δq he re ΔS n un genero nerllo d empo Δ ; l lme per Δ he ende zero del rpporo Δq /Δ, se esse, è per defnzone l nensà I dell orrene eler reo l sezone onsder seondo l rfermeno n. A le defnzone s perene omene nhe reo l mpo densà d orrene ome flusso d J reo ΔS. Msur dell orrene eler ne ru flforme: l mperomero dele Il lolo dell nensà dell orrene eler può essere penso effeuo d uno srumeno dele mperomero dele doo d due moe -, nser delmene nell sezone S ed ordn n modo he segu nel eo d n. Moo szonro d rhe n mgrzone n onduore flforme: ndpendenz dell nensà dell orrene dll sezone onsder, fss rfermen ongruen. Se l so non è szonro, oorrerà onsderre, per ogn sezone, l lore snneo dell nensà dell orrene ΔS lm Δ Δq/Δ ΔS. Se l so è szonro, non è rzone med dell r n moo n ogn olume; n ogn puno è osne l eloà d mgrzone non onsderndo l moo d gzone erm e l moo ro nell nerllo r due nerzon. S può qund renere he s null, n med, l rsulne delle forze he gsono sull r q n momeno, nel nosro so l forz qe nel senso del moo ed un forz d ro equlene dre n senso opposo ll prm. Effeo Joule: l nerzone r le rhe n moo on le lre prelle ompor rnne nel so de superonduor un essone d energ. Il ro d onduore s rsld; l qunà d energ edu e rsform n lore nell nerllo d empo Δ dpende dll r rspor e dll nur e geomer del ro. Se Δq è l r he h reo ogn sezone S del ro A-B l loro ompuo dlle forze del mpo è Δ Δq E l AB [ Δq V AB se l mpo è onsero]. Poenz dssp: l poenz mess n goo dlle forze del mpo e rsform n queso so n lore s oene dl rpporo r loro solo e l empo d osserzone : P Δ /Δ Δq V AB /Δ V A -V B I. omene l r Δq s nende le e pes seondo l rfermeno n: s luno on un oeffene le rhe he s muoono reo S nel eo d n, on un oeffene le rhe he s muoono nel eo opposo; ogn r h e mnene omene un propro segno. Se essmo onsdero un rfermeno n -n remmo omene lolo un nensà dell orrene eler seondo l rfermeno n, per u l nensà dell orrene srebbe s I -I. per l rme le empo è dell ordne d -4 s Dro delle ezon 4

5 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn 5 Bpolo : modello d omponene elero o d regone d spzo neress d orrene eler essble d due pun A-B prmo e seondo moeo o ermnle e per u poss essere fsso un rfermeno per l luzone dell'nensà d orrene I [ I AB oppure I BA ] e un rfermeno per l ensone V [V AB oppure V BA ]. onenzon: per un bpolo qulss A-B è possble bbnre n quro mod rfermen I e V; defnmo onenzone dell'ulzzore l'bbnmeno V AB -I AB o l'bbnmeno V BA -I BA e onenzone del generore l'bbnmeno V AB -I BA o l'bbnmeno V BA -I AB. rers d un bpolo: legme VfI oppure IgV, fss gl bbnmen d u sopr. Tle legme può essere nhe non nlo. Equlenz d bpol Un bpolo A-B è equlene d un lro bpolo A -B se, fsse due onenzon omologhe V-I e V -I d esempo s onsderno rfermen V AB -I AB per l prmo bpolo e V A B -I A B per l seondo bpolo, due bpol hnno rershe ugul. egge d Ohm : per un ro A-B d onduore mello flforme operne emperur osne s erf spermenlmene on buon pprossmzone l relzone V AB I AB on numero poso l lme nullo e osne n un mpo nerllo d lor d I AB. Il ro A-B ene lssfo ome ressore; n ermn ommerl per ressore s nende un omponene per le pplzon rul ed ndusrl sufe, forn, sldbgn,... onsderndo sempre l prmero, l legge d Ohm s sre nhe ne seguen mod: V AB - I BA V BA - I AB V BA I BA essore dele: Bpolo dele A-B d rers V I oppure I G V se ene do l onenzone dell'ulzzore o d rers V - I o I -GV se ene do l onenzone del generore sul bpolo A-B. e osn pose e G engono hme ressenz e ondunz del bpolo e s msurno n ohm [Ω] e semens [S] rspemene. Per l ensone è null, qulunque s I: smo nel so del bpolo ororuo dele. Per G nensà d orrene null per ogn V defnmo l bpolo pero dele. Generore dele d ensone E' un bpolo dele rerzzo d un ensone moe A-B ndpendene dll orrene I, qulunque onenzone s s do. rers è qund un re prllel ll'sse delle I. Il smbolo omunemene dopero è un pllno on un onrssegno *,,, e. su un moeo rs qund d bpolo ordno on ndzone numer E, he nd l lore dell ensone lu r l moeo onrssegno prmo moeo e l'lro seondo moeo. Il lore E può essere poso, nego o nullo; l proposo s pone n edenz he un generore d ensone null è equlene d un bpolo orouo l rers è l sess. Dro delle ezon 5

6 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn 6 Generore dele d orrene Trs d bpolo fondmenle, dule del generore d ensone dele, on rers II* osne qulunque s l ensone moe. Il generore d orrene è un bpolo normle non lnere e non smmero. S rppresen n genere on un erheo on brr rse e moe "ordn". Un bpolo pero è equlene d un generore d orrene null. Generore rele d ensone Nel ro generore d un ruo semple s hnno nerzon r le rhe n mgrzone e le lre prelle; s rà qund omunque un dsspzone nlog quno ene ne ressor. Se non 'è mgrzone e l f.e.m. è de d zero, uol dre he l ro ulzzore è non onduore equlene d un pero; n queso so l ensone V AB onde numermene on l f.e.m. Abbmo qund he un generore rele d ensone può essere rerzzo dll ensone uoo, orrspondene ll f.e.m. e dll dsspzone, he n prm pprossmzone può essere shemzz reo un ressenz g ressenz nern del generore. In relà le shemzzzone h un ldà bbsnz lm. Nel nosro oo, l generore rele d ensone è un bpolo osuo dll "sere" d un generore dele d ensone e d un ressenz g. Un puno noeole dell rers d un generore rele d ensone luble nhe spermenlmene su un generore ommerle s oene ollegndo l bpolo generore d ensone rele d un bpolo oro-ruo nell relà, d un onduore d ressenz molo pù pol d g. S oene qund l lore dell nensà d orrene d oro-ruo. E' edene he non s può " ollegre" un bpolo generore dele d ensone d un bpolo oro-ruo dele, rondos n onrddzone le defnzon de due bpol. Sere e prllelo d bpol Due o pù bpol s dono n sere dre o semplemene n sere se è possble sblre per ess rfermen ongruen per l nensà d orrene I e rporbl l'uno ll'lro per onnuà; n l so lor dell nensà d orrene sono ugul; se sono rporbl per onnuà rfermen oppos, lor sono oppos e l sere s drà onrppos. Se due o pù bpol n sere sono ongu, porà essere lu l ensone V* p dell sere e s porà onsderre un bpolo equlene d rers V*-I. Se onsdermo un bpolo AB ed un bpolo A B onness n sere dll ondenz A B, ssun per due bpol rfermen ongruen per l nensà d orrene, d esempo l he I AB II I A B, l bpolo A-B equlene ll sere AB-A B l sere s nd nhe on l smbolo AB A B rà l rers I[I AB I I A B ],V[V AB V A B ] Due o pù bpol s dono n prllelo dreo o semplemene n prllelo se è possble sblre per ess rfermen ongruen per l ensone V; n l so lor dell ensone sono ugul; se rfermen sono oppos, lor dell ensone sono oppos e l prllelo s drà onrpposo. Dro delle ezon 6

7 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn 7 Se due o pù bpol n prllelo sono ongu, porà essere lu l nensà d orrene I* moe d ngresso del prllelo e s porà onsderre un bpolo equlene d rers V-I*. Se onsdermo un bpolo A B ed un bpolo A B onness n prllelo dll ondenz A A e B B, ssun per due bpol rfermen ongruen per l ensone, d esempo l he V A B V A B, l bpolo A-B equlene l prllelo A B - A B l prllelo s nd nhe on l smbolo AB//A B rà l rers I[I A B I A B ],V[V A B V A B ]. Prore d ensone Se onsdermo due ressor A -B e A B d ressenz ed n sere B'A", l bpolo equlene moe A -B h ressenz pr ressenz equlene ll sere. De V l ensone r A e B, l ensone V r A e B è pr [V /], l ensone V r A e B è pr [V /]. In generle, l ensone V s rprse r ressor n sere seondo l relzone de del prore d ensone [V f V V] essendo V l ensone sul ressore -mo; f V en deo fore d przone e le ± / doe è l somm delle ressenze; l segno dpende dll sel del rfermeno V rspeo V. lssfzone de bpol: - bpol plo n ensone : nell rers IgV d ogn lore dell ensone orrsponde un solo lore dell'nensà d orrene; - bpol plo n orrene : nell rers VfI d ogn lore dell'nensà d orrene orrsponde un solo lore dell ensone; - bpol plo n ensone ed n orrene: rers nerble. - bpol smmer: rers smmer gv-g-v oero fi-f-i; - bpol ner: l rers pss per l'orgne: g oero f; - bpol lner : se d esempo V'fI' e V"fI", s oene VV'V"fI'fI"; Bpol norml Vengono defn norml bpol rers relne nel pno V-I. Esemp d bpol del: - bpolo ressore dele : rers lnere, nere, smmer, nerble. - bpolo oro-ruo dele: per ogn lore d I, qulunque s l onenzone do, l ensone è null rers ondene on l'sse delle I; le rers lnere, nere, smmer, non nerble bpolo ploo n orrene; - bpolo pero o ruo pero dele: per ogn lore d V, qulunque s l onenzone do, l'nensà d orrene è null rers ondene on l'sse delle V; le rers lnere, nere, smmer, non nerble bpolo ploo n Tensone. Il generore rele d orrene è rerzzo dl prllelo d un generore dele d orrene d lore pr ll orrene d oro ruo I, e del ressore d ressenz g V Abo /I ressenz nern del generore. Dro delle ezon 7

8 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn 8 E hro qund he ogn generore rele d ensone può essere rppreseno on un generore rele d orrene e ee. I due shem sono equlen moe A- B. Un generore rele d orrene può essere ororuo osì ome un generore rele d ensone può essere pero. Prore d orrene Se onsdermo due ressor A -B e A B d ondunz G / e G / n prllelo A A A,B B B, l bpolo equlene moe A-B h ondunz equlene pr GG G ressenz equlene pr /[ ]. De I l nensà dell orrene n ngresso l prllelo A-B, l nensà dell orrene I r A e B è pr I I G /GI /, l nensà I r A e B è pr I I G /G I /. In generle, l nensà d orrene I s rprse r ressor n prllelo seondo l relzone de del prore d orrene [I f I I] essendo I l orrene nel ressore - mo; f I en deo fore d przone e le ±G /G,, doe G è l somm delle ondunze; l segno dpende dll sel del rfermeno I rspeo I. Puno d loro onsdermo un ollegmeno elemenre r due bpol A-B e A -B fendo d esempo ondere A on A e B on B. onsdermo rfermen ongru onsdermo d esempo le grndezze V AB,I BA nel prmo bpolo e V A B V AB, I A B I BA nel seondo bpolo. Possono osì essere onfrone le rershe de due bpol per erfre l possblà d uno o pù pun n omune. Ques engono de pun d loro ed ndno lor d enson e orren ompbl on l ollegmeno. Se pun d lor sono pù d uno, oorrernno uleror ndgn per onosere l effeo funzonmeno del ollegmeno d esempo porebbe essere ule onosere l sor del ollegmeno oppure erfre l sblà del puno d loro n relzone pole rzon o perurbzon norno lor d ensone e orren. Possono presen s esrem o polog : le due rershe porebbero non ere pun n omune d esempo l ollegmeno r due generor del d ensone d lore deo; n queso so l ollegmeno r bpol è mpossble e non orrsponde nessun suzone fsmene relzzble; b le due rershe porebbero ere nfn pun n omune s pens l ollegmeno r due generor del d ensone d pr lore; n queso so l ollegmeno è ndeermno bene qulss nensà d orrene. Ne s polog non h qund senso proedere l ollegmeno sro d bpol. D nore he bpol rel sono sempre ollegbl e qund l uso d bpol del per l smulzone d ru rel sempre onsder ome un pprossmzone, molo spesso effene, m pplble sempre on le doue enzon. ezone del 3//6 h Dro delle ezon 8

9 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn 9 Prnpo d sosuzone Se l puno d loro P dell onnessone r un bpolo B ed un bpolo B è uno, esso può essere denfo nhe sosuendo bpol sudde due bpol B* e B* le u rershe omprendno l puno P e ques rppresen nor l uno puno d loro. Ad esempo, n un onnessone generore dele d ensonee-ressore dele he h ome puno d loro l puno P d oordne E, E/, s può sosure l ressore un generore d orrene dele I*E/; l puno d loro P* dell nuo onnessone h le sesse oordne del puno P. e sosuzon sono sempre mmesse se l puno d loro è uno prm e dopo l sosuzone. Aenzone qund s polog. e elerhe onnessone sgnf d bpol eler. Topolog delle re o: osuo d un bpolo o, olendo, dl bpolo equlene ll sere o l prllelo d pù bpol Nodo: puno d onnessone d pù d due bpol s prl d nodo degenere se s onsder l onnessone d due bpol Mgl: defn dll onnessone d bpol lungo un peroo huso Grfo non oreno: mpp dell onnessone de bpol; l grfo s drà rdoo se non sono onnesson n sere o n prllelo o s sono onsder bpol equlen; un grfo s drà ompleo se è pres l onnessone r u nod un grfo porà essere sempre ompleo onsderndo bpol per n luogo delle onnesson mnn. Un grfo rdoo e ompleo poggne su n nod h un numero d l pr [n n- /] Albero: sruur fondmenle dell ree, he olleg u gl n nod dell ree, senz dr luogo mgle; l lbero h qund n- rm. olbero: pre dell ree omplemenre ll lbero; l olbero h qund -n- l. Grfo oreno: su ogn lo è fsso un rfermeno r-s dl nodo r l nodo s; s segle su u l l sess onenzone d esempo V,I ; opporuno per gl lgorm d lolo. Ssem fondmenle onsder un ree d l su ognuno de qul s un bpolo per ognuno de qul è fss l rers V-I, rsolere l ree sgnf rore lor delle nogne enson e nensà d orrene. Oorre qund defnre un ssem fondmenle rsolene; è neessro he queso ssem s osuo d relzon ndpenden. Un pheo d relzon ndpenden è do dlle sesse relzon rershe. e lre relzon srnno ollege d elemen opolog dell ree nod e mgle; srnno qund hme equzon opologhe. Equzon nod ndpenden I prnpo d Krhhoff A sngol nod s può esprmere un blno d r: n ondzon szonre non può essere umulo d r n ogn olume he omprende l nodo. Fendo rfermeno d un fsso nerllo d osserzone, poremo esprmere qund un blno d nensà d orrene: l somm ponder delle nensà d orren he Dro delle ezon 9

10 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn neressno l nodo dee essere null, doe per ponderre le nensà bserà molplre per un oeffene [ oppure -] l nensà I se l rfermeno è usene dl nodo e per un oeffene - [] se l rfermeno è enrne, per se quel rfermeno non neress l nodo. Se s onsder l lbero, è mmedo onsre he le prme n- equzon nod he s srono sono ndpenden, menre l ulm è ombnzone delle lre. Equzone lle mgle ndpenden II prnpo d Krhhoff Per le sngole mgle s può esprmere l rrozonlà del mpo elero n ondzon szonre. Poremo esprmere qund un blno d enson onsderndo l nnull dell ruzone del mpo elero lungo un mgl pero n senso orro [norro]: l somm ponder delle enson nogne he neressno l mgl dee essere null, doe per ponderre le enson bserà molplre per un oeffene l ensone V se l rfermeno ssuno per l ensone è ongruene on l ruzone he s s eseguendo e per un oeffene - nel so onrro. Se s onsderno le mgle oenue ppoggndo ll lbero sngolo l del olbero, s oengono [-n-] equzon lle mgle ndpenden; s può osre he ogn lr equzone oenu onsderndo lre mgle è ombnzone delle equzon suddee. Ssem fondmenle ompleo: soluzone Un ol sre le equzon rershe e le equzon opologhe, s hede se l ssem fondmenle mmee soluzon. Aeso he le equzon opologhe sono semplssme equzon lner, poremo ffermre he, se le rershe sono norml, l ssem mmee un ed un sol soluzone. Se sono bpol non lner, oorrerà esmnre so per so le non lnerà. In mol s l ssem mmee un ed un sol soluzone e d ess porà peren nlmene on de meod, d esempo per sosuzone, n lre s oorrerà proedere per numer esempo: meodo d Newon-phson o on lr meod er. In lr s possono presen soluzon dpenden dll reor nel pno V-I. ezone del 5//6 3h Prnpo d sosuzone ed sopr Il prnpo d sosuzone è ldo se l ree mmee un sol soluzone surmene qund nel so d bpol norml. e sosuzon sono sempre mmesse se l puno d loro è uno prm e dopo l sosuzone. Aenzone qund s polog. Eserzone sull srur del ssem fondmenle Teorem d somposzone Sorpposzone degl effe onsdermo un ree sosu d bpol norml oss rers relne nel pno V-I. In l so l ssem fondmenle è un modello lgebro lnere. Se l ssem è lnere, può essere onsderre un qulss somposzone del eoreolonn de ermn no e somporre l soluzone X n ne soluzon X. Un ule Dro delle ezon

11 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn somposzone onsse nel onsderre uno ll ol ermn no rel sngol generor, n quno è molo pù semple rsolere un ree lnere lmen d un solo generore. Ques ulmo proedmeno prende omunemene l nome d sorpposzone degl effe. Applzone del meodo d sorpposzone degl effe Generore equlene d orrene Teorem d Noron onsdermo d nuoo un ree osu d bpol e pss lmeno uno o essble moe A-B bpolo o A-B. Supponmo s d neresse l oosenz d un sol grndezz nogn o omunque d un numero molo lmo. In l so non srà neessro lolre ue le nogne, m possmo fr roo bpol equlen. Al fne d lure l rers dell ree sudde moe A-B oss lure l legme ensone orrene V-I, nel so he l ree s osu d bpol norml, sppmo he l soluzone esse ed è un. Possmo qund pplre l prnpo d sosuzone; l bpolo d u neress onosere l grndezz d neresse ensone o nensà dell orrene può essere sosuo on un generore d ensone d lore pr ll ensone d lo V. Applndo l sorpposzone degl effe ll ree osì modf, remo un onrbuo de generor ll nerno dell ree qundo l generore d ensone nerenuo ò speno oss l rmo n esme è equlene d un ororuro ed un onrbuo lego l generore V qundo generor dell ree sono spen mmedmene ollegble ll ressenz equlene s dl generore V oss dell ree res pss, s d moe A-B. ree d moe A-B può qund essere onsder equlene d un bpolo elemenre osuo d un generore rele d orrene oss dl prllelo d un generore dele d orrene I e d un ressenz eq bpolo equlene d Noron doe I è l nensà dell orrene d ororuo nel ro A-B ed eq è l ressenz equlene dell ree s moe A-B qundo nell sess ree sono s spen u generor. Il puno d loro effeo è sblo dl onfrono dell rers del bpolo equlene d Noron on l rers del bpolo eserno he può essere un bpolo elemenre [nhe non lnere] o un lro bpolo equlene [omene lnere]. ezone dell //6 h Meodo de Poenzl Nodl - Srur per spezone del ssem poenzl nodl - ondunze propre e muue Se n un ree eler s ssumono ome nogne uslre poenzl degl n nod dell ree onsdero un nodo d rfermeno, remo n- nuoe nogne, l ensone del lo poso r l nodo r ed l nodo s srà V V r -V s e l nensà d orrene, se l bpol sono norml, srà sel po I V r -V s E /, doe E è l lore dell ensone del generore on l prmo moeo rolo d r ed è l ressenz del lo. e n- equzon ndpenden per onosere poenzl nodl s pornno dedurre dl blno delle orren l nodo, sro n funzone dell dfferenz fr poenzl nodl. Se l ree h due sol nod A-B ed l, bserà srere, poso V B Dro delle ezon

12 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn V AB V A ± E ' ± ' " " ' ' J formul d Mllmnn doe l segno ene nsero nel so d generore E on l prmo moeo rolo eo B e generore d orrene rolo eo A. Nel so d bpol norml, l mre del oeffen A nell equzone A V B doe V è l eore delle nogne poenzl nodl, d dmenson n- è osu d ermn d ondunz propr sull dgonle prnple G rr, pr ll somm delle ondunze de l nden nel nodo r, res pss. I ermn fuor dgonle r-s engono hm ondunze muue e rppresen l ondunz del lo onsdero, mb d segno. In l modo l ssem fondmenle può essere mposo per spezone. e orren d mgl In un ree eler le mgle ndpenden fondmenl s oengono onsderndo uno ll ol l del o-lbero d unre ll lbero. A ques pero hus ssomo un rfermeno J preso per onnuà dl rfermeno per l nensà d orrene I fsso nel lo del olbero e prolungo ll ner mgl. e nensà d orrene ne rm dell lbero s oengono ome sempl ombnzon delle orren d mgl J. I pero J enrno ed esono d ogn nodo per u bln d orrene nod, sr n ermn d J, s rsolono n denà: I I I b I d J J b J b J Id J I I I J J J J 3 I I d e I e f J f J b f J b J f J J f 3.. Ib 4 Jb I Ie 3 Jf If Se onsdermo un ree lnere osu d bpol norml, poremo srere, per un lo r-s onenene un generore rele o dele d ensone V I E ± J E 3. I ermn dell sommor sono molpl per un oeffene - se l rfermeno dell orrene d mgl è dsorde d quello d I. Nel so rs d un lo del olbero, l sommor s rdue d un solo ermne. Il meodo delle orren d mgl onsder ome nogne fondmenl le orren d mgl, n numero d -N-, poendos rre n modo molo semple le enson e le orren nell ree. Dro delle ezon

13 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn 3 onsdere le 3. e 3., le equzon rsolen srnno le equzon lle mgle, sre n ermn d orren d mgl. Se s selgono orren d mgl ome sopr ndo, esse drnno dremene lor delle orren ne rm del olbero. Anhe n queso so le equzon possono essere sre per spezone. mre de oeffen srà osu sull dgonle prnple dll ressenz d mgl oenu sommndo le ressenze he s nonrno ne l dell mgl, ermn fuor dgonle j j rppresenno l somm de lor delle ressenze de l omun lle mgle e j, ermn no sono olleg lle enson uoo d mgl, l uo n modo perfemene dule l meodo de poenzl nodl. presenz d un generore d orrene dele n un lo rende non mmedmene prble l meodo per spezone. Il lo he lo onene però può essere selo ome lo del olbero e dr luogo d un orrene d mgl d lore noo, per u s rdue l ordne del ssem. Il meodo delle orren d mgl s rro prolrmene ule qundo l numero delle mgle è bsso rspeo l numero de l e/o qundo sno mol generor d orrene. Ad esempo l fgur polgonle soo nd on numero d l permerl del polgono qulss, lmen d generor d orrene, dà luogo d un sol equzone nell orrene d mgl J*, rndos po rpdmene ue le grndezze nlogo del eorem d Mllmnn: ± J ± E J doe l segno - dopero nel so d dsordnz r l rfermeno d J e l eo r- s 3 r J s J Non mplfzone delle enson onsder un ree d bpol d u uno solo o, s può dmosrre he l ensone p del bpolo o h, n lore ssoluo, l lore pù eleo. Inf, onsdero un genero nodo r nerno ll ree non ollego on l generore, l somm delle 3 S può onrollren dulà ll preedene espressone d Mllmnn he l numerore ompono le enson uoo oè per J per ogn lo e l somm delle ressenze d u l dell mgl neress. Dro delle ezon 3

14 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn 4 orren usen dl nodo I è null; qund lun ermn sono pos ed lr neg. Pohé l r-s nden sul nodo r onengono bpol pss V I, remo ermn pos e neg nhe r le enson V. srà qund lmeno un nodo s poenzle mggore d r e un nodo s poenzle mnore. Poremmo qund osrure un sle d poenzl he rà un mssmo ed un mnmo he orrspondernno moe del generore: per queso lo non poremo rpeere l rgonmeno suesposo essendo neessrmene nhe per l eorem d onserzone delle poenze ed pù n V I. Non mplfzone delle orren onsder un ree d bpol d u uno solo o, s può dmosrre he l'nensà d orrene erog dl bpolo o ssume, n lore ssoluo, l lore pù grnde rspeo lle nensà d orrene negl lr l. Inf se onsdermo un genero ollegmeno r-s r due grdn ongu dell sle de poenzl, poremo seprre un nseme d nod poenzle mggore d r ed un nseme d nod poenzle mnore d s. I ollegmen r*-s* r due nsem sono neress, per osruzone, d nensà d orrene I r*s* non nege per u l fuorhè per quello neessrmene presene orrspondene l generore, per u srà I r*s* <. Qund remo un solo lore nego, he srà neessrmene n modulo mggore degl lr. Il rgonmeno può esende qulss lo dell ree. onserzone dell poenz nelle re elerhe onsdero he n regme szonro l ensone su un lo poso r l r ed s può essere espress ome dfferenz d poenzle V V r - V s e he le l legge d Krhhoff nod r ed s, s può flmene dmosrre he è null l somm - eses u l - delle poenze lue on l sess onenzone. Qund è null l somm delle poenze ssorbe d u l ed è null l somm delle poenze genere d u l. Se non s è doo per u bpol l sess onenzone, l somm delle poenze ssorbe - eses u l per u s è f l onenzone dell'ulzzore - è pr ll somm delle poenze eroge - eses u l per u s è f l onenzone del generore -. Poenze rul - Teorem d Tellegen Se s onsderno due re on ugul grfo n sosnz on lo sesso numero d nod e on le sesse onenzon su l omologh r-s,r'-s', possmo ugulmene dmosrre he l somm delle poenze rul V I r's' eses u le possbl onnesson è null I eorem d Tellegen. ezone del //6 3h Teorem d reproà Dro delle ezon 4

15 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn 5 ome pplzone del eorem d Tellegen onsdermo d un lo un ree ress lmen d un generore d ensone E per semplà, dele suo nel lo e l nensà d orrene I b n un rmo b per semplà: un ororuo e dll lro l ree modf rspeo ll preedene solo nell poszone del generore E b, he ros nel lo b omologo d b ed n u s prende n onsderzone l nensà d orrene I nel lo omologo d. onenzone r E e I s ongru on l onenzone r E b e I d es. dell ulzzore. Applndo l eorem d Tellegen lle due re remo: ' ' ' ' ' V I E I V I I l l V ' I I ' V ' I E ' b I b b doe l sommor on pe è eses u l delle re meno l e b e b ; per ques l, osu dgl sess ressor; srà VI I I I IV I e qund E I E b I b In prolre se due generor erogno lo sesso lore dell ensone, le due nensà d orrene sono ugul. Posso qund lolre l orrene n un rmo d un ree lmen d un solo generore sposndo l generore propro n quel rmo e lolndo l nensà d orrene nel rmo doe s ro orgnrmene l generore. S può rsrere l eorem rmuoendo le poes semplfe nzdee ed nhe onsderndo l lmenzone on un generore d orrene. rershe degl N-pol Un ree essble d N moe pol,..,n prende genermene l nome d N-polo; un ree essble d N oppe pore d moe ordn -,-,...,N-N prende l nome d N-bpolo; un ree essble d N m-ple d moe m,..., N-N -N -...-N m prende l nome N-m-polo. Nel so d un sol opp d moe ordn s rro l noo bpolo. rerzzzone degl N-bpol può essere effeu prre dll sel dell onenzone sulle sngole pore d esempo può essere sel per ue le pore l onenzone dell ulzzore. e sngole pore possono po essere lmene on generor d ensone o d orrene. rerzzzone dell N-polo ene n genere effeu fssndo per l nensà dell orrene eler un rfermeno ongruene su ue le pore d esempo un rfermeno enrne; pohè l ree rppresen un sruur lm, le nensà d orrene, supposo un funzonmeno szonro, sono r loro dpenden. Per l prnpo d onserzone dell r srà nf N I Nell sel dell rerzzzone dell N-polo su bse orrene o su bse ensone s dorà ener ono s dell he dell onserzone del mpo elero szonro. Sono prese per generor due onfgurzon fondmenl: nell onfgurzone onen moe de generor sono olleg n sequenz r pol _,_3, 3_4,N-_N,N_, nell onfgurzone sell un moeo del generore è Dro delle ezon 5

16 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn 6 ollego l polo e l lro d un moeo eserno O enro sell n omune on gl lr generor. lmenzone n orrene non porà preedere qund N generor sell d orrene d lore rbrro I,I,,I N : l N-mo è dpendene dgl lr N-. Possono ee essere pres N generor rbrr d orrene onen J,J 3,,J N. lmenzone n ensone non porà preedere N generor onen d ensone V,V 3,,V N d lore rbrro, essendo null l somm de loro lor. Possono ee essere pres N generor d ensone sell E,E,,E N d lore rbrro, olleg d un enro sell eserno omune. lmeremo n ques sede ll rerzzzon d N-pol lner pss lmen d generor d ensone sell. rerzzzone d N-pol lner pss lmen d generor d orrene onen rsul esendble per dulà. e nensà delle orren I,I,,I N dee nhe orren d lne possono essere oenue ome somm de onrbu de sngol generor E,E,,E N d lore rbrro; l onrbu, rndos d ree lnere, sono proporzonl lor E,E,,E N ; oeffen d proporzonlà sono omogene ondunze e srnno nd on G j, doe l nde j s rferse ll lne l polo e l generore d ensone sell; per j le oeffene h l sgnfo ordnro d ondunz equlene moe del generore qundo gl lr generor sono spen e, perno, prende l nome d ondunz propr o uoondunz del polo j; ne s n u j è deo d, s prlerà d ondunz muu r pol j e. e relzon r orren d lne e enson selle I G E G E G N E N I G E G E G N E N. I N G N E G N E G NN E N può essere rsr n form mrle I G E 3 doe I rppresen l rry delle orren d lne ed E l rry olonn delle enson selle. 3 rord l legge d Ohm per l bpolo. mre delle ondunze G G G.. G N 4 N G G.. G N G G.. G N NN gode delle seguen propreà : - h rngo nferore N ed l suo deermnne è nullo: l mre non è nerble; - gl elemen dell dgonle prnple uoondunze sono qunà non nege; - le ondunze muue non possono essere qunà pose: se d esempo G fosse pos, s rebbe, lmenndo on un generore E V, un nensà Dro delle ezon 6

17 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn 7 d orrene pos I seondo l rfermeno enrne del polo ; remmo qund, nell ree ress lmen dl solo generore E, un nodo nerno poenzle nferore l poenzle del seondo moeo del generore, n onrddzone on l propreà d non mplfzone delle enson; - per l propreà d non mplfzone delle orren, nel so ppen deo, l nensà I non porà m essere superore n lore ssoluo ll nensà I ; s rà qund G j G jj ; - l lolo d G j e d G j s effeu su shem repro, qund G j G j ; - onsderndo he l dee lere qulunque sno lor delle enson de generor sell, s r dll he l somm d u oeffen d un olonn e qund d rg è null 4. In defn, l numero degl elemen essenzl d un mre delle ondunze s oene onsderndo he l mre è smmer e he gl elemen dell dgonle prnple possono oene prre dlle ondunze muue d rg o olonn; esso le qund N -N/ oss NN-/. Tle numero orrsponde lle ombnzon senz rpezone d N elemen su due pos e qund l numero d l n un grfo rdoo ompleo on N nod propr. Possmo qund pensre d ssore d un N-polo un ree equlene he s oene onsderndo un grfo rdoo ompleo eso su N nod, suno orrspondene d un polo; l fgur he s gener ene hm polgono ompleo. S può flmene mosrre he se s pre d un N-polo sruuro ome polgono ompleo on ressor d ressenz j r pol j e, l ondunz muu Gj d le N-polo è pr /j. In lr ermn, è un orrspondenz buno r gl elemen Gj d muu ondunz ìd un N-polo e le ressenze j d un polgono ompleo d ressor. Qund possmo rsformre un N-polo qulss n un polgono ompleo d ressor d N er 5. N-bpol ordmo he un ree essble d N oppe pore d moe ordn -,-,...,N-N prende l nome d N-bpolo N-pore. rerzzzone degl N-bpol può essere effeu prre dll sel dell onenzone sulle sngole pore d esempo può essere sel per ue le pore l onenzone dell ulzzore. e sngole pore possono po essere lmene on generor d ensone o d orrene. Non è lun nolo per le enson e le orren. Nell sel dell rerzzzone dell N-bpolo su bse orrene o su bse ensone s porà proedere ome per l N-polo, rordndo he non sono nol per generor. 4 Pohé l un uoondunz dee essere non neg, s onferm he l lore ssoluo delle ondunze muue, non pose, dee essere nferore l lore dell uoondunz; n prolre, se ques ulm è null, srnno null u gl elemen d olonn o d rg. N.B. Se l uoondunz è null, l polo orrspondene è solo dgl lr. 5 E d nore he on le rsformzone sompono u nod nern dell ree orgnr. Se s olessero ere ndzon, d esempo, su poenzl de nod nern, oorrerebbe rre l lor pre. Dro delle ezon 7

18 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn 8 Sono prese per generor due onfgurzon fondmenl lmenzone n orrene e lmenzone n ensone ed lre brde generor d orrene su lune pore e d ensone su lre. lmenzone fondmenle n orrene preede qund N generor d orrene d lore rbrro I,I,,I N. lmenzone fondmenl n ensone preede N generor d ensone V,V,,V N d lore rbrro ppl lle N pore lmeremo n ques sede ll rerzzzon d N-bpol lner pss nelle onfgurzon fondmenl, soolnendo però he sono onfgurzon brde d un ero rleo e dffusone, l u modello è flmene rble. e relzon r orren e enson lle pore lmenzone su bse ensone è l seguene I G V G V G N V N I G V G V G N V N. I N G N V G N V G NN V N he può essere rsr n form mrle I G V 3 doe I rppresen l rry delle orren ed V l rry olonn delle enson. mre delle ondunze G G G.. G N 4 N G G.. G N G G.. G N NN gode delle seguen propreà : - h rngo sol ugule N l suo deermnne non è nullo: l mre è nerble; - gl elemen dell dgonle prnple uoondunze sono qunà non nege; - le ondunze muue possono essere qunà pose o nege; - per l propreà d non mplfzone delle orren, l nensà I non porà m essere superore n lore ssoluo ll nensà I j, doe s onsdero un generore; s rà qund G j G jj ; - l lolo d G j e d G j s effeu su shem repro, qund G j G j ; In defn, l numero degl elemen essenzl d un mre delle ondunze s oene onsderndo he l mre è smmer; esso le qund [N N -N/] oss NN/. Pohè l mre è nerble, s può nhe onsderre l relzone Dro delle ezon 8

19 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn 9 V G I I doe l mre delle ressenze è l ne dell mre delle ondunze. E ppen l so so d nore he l elemeno j non è l neo d Gj; bs pensre, r l lro he gl elemen dell mre delle ondunze engono r n ondzon d ororuo su N- pore gl elemen delle ressenze n ondzone d pero su N- pore. Dopp bpol Nel so d due oppe d moe l mre delle ondunze e quell delle ressenze rnno 3 elemen ndpenden due d uo e uno d muu. Il modello su bse orrene V I mi V I I m por onsderre uno shem equlene T T o T seond he s m poso o nego, n u b m m b m T T b Il modello su bse ensone I I G V G V G V G V m m por onsderre uno shem equlene Π Π o Π seond he s Gm nego o poso, n u G G G b G G G m G m G m G G G b Π Π G G G b Bpol n regme rble qus szonro: l ressore ed l ondensore del. Se le grndezze sono rbl nel empo, m possmo sempre prlre d un un deermnzone per l nensà dell orrene e dell ensone, prleremo d bpol n regme rble qus szonro. Defnmo ressore dele n l ondzon l bpolo per u lg l relzone qulunque sno lor d ensone e orrene e qulunque s. Il ressore dele ene per queso moo defno bpolo dnmo. Dro delle ezon 9

20 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn Bpol dnm Se l rers del bpolo presen un legme dreo o reo un funzonle on l rble empo, l bpolo ene lssfo ome dnmo. Un bpolo dnmo, d esempo, può presenre un legme r un grndezz e l der dell lr. Nel ondensore dele l nensà dell orrene è proporzonle on l onenzone dell ulzzore, rme l oeffene pà ll der dell ensone. Nell nduore de l ensone è proporzonle on l onenzone dell ulzzore, rme l oeffene ndunz ll der dell orrene. ensone sul ondensore e l nensà dell orrene nell nduore sono funzon d so, lege ll energ mmgzzn. Per rre l lore n un sne genero, oorre onosere l lore d un sne d rfermeno e l negrle dell nensà dell orrene nel ondensore e dell ensone sull nduore r l sne d rfermeno e l sne. Tl grndezze d so rsulno qund onnue ne s ordnr e possono essere onsdere funzon-memor. I bpol sudde sono lner nelle relzon dfferenzl, sono lner nelle relzon negrl solo se srh nell sne nzle d rfermeno. Defnremo nf ondensore dele n ondzon qus szonre l bpolo per u lg, on l onenzone dell ulzzore, l relzone dq/d/ doe l è orrel ll rzone dell r q sulle rmure del ondensore; l ondensore è qund un bpolo dnmo, n quno bbmo un relzone dfferenzle r ensone e orrene. Il oeffene può essere n prm pprossmzone onsdero pr l rpporo r r e ensone n ondzon szonre pà del ondensore. nensà d orrene n un ondensore è n relzone dfferenzle on l ensone. Tle relzone è lnere, m non è suffene fornr le nformzon per rslre l lore dell ensone; nf, onsderndo l onenzone dell ulzzore, s h n un genero sne d o * doe o è un qulss sne d rfermeno. S ede qund he posso onosere l ensone n un ero sne solo se onoso l lore dell sess n un sne preedene e l ndmeno dell nensà dell orrene nell nerllo r gl sn o e. ensone p d un nduore è n relzone dfferenzle on l nensà dell orrene. Tle relzone è lnere, m non è suffene fornr le nformzon per rslre l lore dell nensà d orrene; nf, onsderndo l onenzone dell ulzzore, s h n un genero sne d o ** doe o è un qulss sne d rfermeno. S ede qund he posso onosere l nensà dell orrene n un ero sne solo se onoso l lore dell sess n un sne preedene e l ndmeno dell ensone nell nerllo r gl sn o e. Grndezze d so S dedue dlle *-** he se le enson pple gl nduor e le nensà d orrene ne ondensor sono lme ome ne s rel, l ensone su Dro delle ezon

21 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn ondensor e l orrene negl nduor sono grndezze onnue. Inf se onsdermo l ondzone o, remo he gl negrl nelle *-**, eses d nerll nfnesm, sono nfnesm. In lr ermn remo lm ε lm ε ε lm ε ε o ε o lm o ε o o ε ensone sul ondensore è n ogn sne leg ll energ eleros mmgzzn dl ondensore e l nensà d orrene nell nduore è leg ll energ mgne mmgzzn dll nduore w es wm l Tl grndezze sono lege qund llo so energeo del bpolo e per le moo engono spesso nde ome grndezze d so. Tl grndezze d so sono onnue: se non lo fossero, remmo dsonnuà dell energ, o meglo un rzone fn dell energ n un nerllo nfnesmo; ò mplherebbe l pà del bpolo d ssorbre o erogre poenz llm; ò non è onepble ne s pr. Generor d poenz nfn srnno nrodo formlmene, ome edremo nel seguo, per l nls pù mp de rnsor nelle re on modell lner. S defnse ordne d un ree l ordne del ssem lgebro-dfferenzle ompleo ssoo ll ree n esme. ordne d un ree è qund pr l numero d equzon dfferenzl ndpenden del ssem fondmenle. Se un ree h solo ressor o bpol dnm ess srà d ordne zero. Se un ree h un solo ondensore o un solo nduore, omprrà un sol relzone dfferenzle e qund remo un ree del prmo ordne. Se un ree h pù ondensor e/o nduor e/o prmer muu p e/o ndu oorrerà un nls pù en dell ree per nddure l numero delle equzon ndpenden. Ad esempo, oorrerà edenzre l eenule presenz d ondensor o nduor n sere o n prllelo. memor è leg d esempo ll sol ensone su un ondensore, nhe se queso può essere su ol so ome l equlene d ondensor n sere o n prllelo. In un ree dnm d ordne N, ogn grndezz y può essere rppresen d un equzone dfferenzle d ordne N; l eorem d uhy rhede l onosenz d N ondzon nzl, oè l lore nzle dell y e delle sue N- dere. rer delle ondzon nzl ome edremo porà essere ondo prre d d nzl, oeros d lor d N grndezze d so. Nel so d re d ordne zero, non s h omene neessà d lure lun ondzone nzle ree mmed. Nel so d ree d ordne N lnere, l soluzone è del po Dro delle ezon

22 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn N y e λ y p doe l sommor rppresen l negrle generle dell omogene sso, λ l soluzone dell equzone lgebr sso; lor delle N osn rbrre s prolrzzno re le ondzon nzl; l negrle prolre y p s r dll onosenz del ermne noo forzne dell equzone dfferenzle. Anls mem fornse numeros srumen per l denfzone dell negrle prolre; ossermo u he, ne s d neresse dell Ingegner, per l presenz d nebl prmer dssp, le λ sono nege 6 o pre rele neg per u l negrle prolre ene denf on l soluzone emp lungh oss on l soluzone regme ; ques è d mmed denfzone ne s rorren d regme szonro e snusodle. Esempo d ree del prmo ordne ruo sere : e V Fle E.m: lolre ed ne seguen s: Prmo so fgur : e per <, ee V per >; nf;, - Ω Seondo so fg. : e-e-v per <, ee V per >; nf;, - Ω Terzo so fg. 3: e-e-v per <, ee sen ω E V; ω34 rd/s per >; nf;, - Ω Quro so fg. 4: ee sen ω E V; ω34 rd/s per <, ee eeos ω per >; nf;, - Ω soluzone è del po e e τ τ τ p p Ossermo he nel prmo so l ensone sul ondensore è sempre null per <, nel seondo e erzo so è pr - V, nel quro so è snusodle e le j V E ω E ω π sen rg E ω π ω sen rg j ω ω ω ω ω negrle prolre nel prmo e nel seondo so le EV, nel erzo so le 6 In so onrro, nhe n ssenz d generor, remmo un res dell energ del ssem. Dro delle ezon

23 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn 3 rg sen E j j E V p p ω π ω ω ω ω ω nel quro so rg E j j E V p p ω π ω ω ω ω ω os In u s l osne le p Ossermo nor he nel prmo so l nensà d orrene è sempre null per < ne prm re s, nel quro so è snusodle e le rg sen E j E I ω ω ω ω negrle prolre nel prmo e nel seondo so è nullo, nel erzo so le rg sen E j E I p p ω ω ω ω nel quro so rg E j E I p p ω ω ω ω os In u s l osne le p p e Dro delle ezon 3

24 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn 4 ezone del 9//6 3h Esemp d re del prmo ordne - e V Dnm delle re ssem fondmenle D nzl Il ssem fondmenle per un ree d l l ons d l equzon opologhe sempre lgebrhe e d l equzon rershe d u nn n equzon dfferenzl rel n ed n nduor e ondensor ndpenden. Nel so d ssem lnere, l soluzone è no meno d n osn rbrre, he ndrnno lue n bse l eorem d unà d uhy, oè n bse ll deermnzone del lore dell funzone e delle sue n- dere. onsdero lo zero ome sne d rfermeno, ndheremo on - e rspemene due sn nfnmene n llo zero d snsr e desr e on f- ed f l lme snsro e desro dell funzone f nel puno zero. ondzon nzl -Deermnzone delle osn rbrre Per rre le ondzon nzl dell funzone n genere non s r d un funzone memor s onsder l srur foo del ssem ll sne. In le sne sono nogne qus u lor rnne quell delle n funzon d so, noe dllo -.Inolre sono nogn lor llo delle n dere he ompono nelle rershe dnmhe. In defn bbmo n equzon lor lgebr delle l-n grndezze e delle n dere llo. Il ssem è deermno e qund smo n grdo d onosere llo : - lor delle n grndezze d so; - lor delle l-n grndezze non d so - lor delle n dere prme delle grndezze d so. Dopp bpol dnm onsdermo un doppo bpolo ed un relzone del po d d M d d M Tle relzone è p del muuo nduore dele; n le omponene possono essere onsder fluss d mpo mgneo onen on due ru: l flusso oneno on un ruo rà un onrbuo ollego ll orrene del prmo ruo Dro delle ezon 4

25 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn 5 flusso d uonduzone ed un onrbuo lego ll orrene dell lro ruo flusso d muu nduzone. Φ M Φ M S può dmosrre he due oeffen d muu sono ugul e he M Nel so s M ondzone d oppmeno perfeo l energ mgne w m, M den un qudro perfeo ed è fle edere he ess è null per nfne oppe d lor delle nensà delle orren. In l s oè l mpo mgneo è nullo n uo lo spzo. Vedremo pù n he l muuo nduore è n genere un doppo bpolo dnmo del seondo ordne, rduble d uno del prmo ordne nel so d oppmeno perfeo ed ddrur pprossmo, soo lune poes, d un doppo bpolo d ordne zero. ezone del 3//5 3h Grndezze perodhe Meodo smbolo Operor ompless Operor d mpedenz e d mmeenz e funzon perodhe del empo sono rerzze d un perodo T le he, per ogn, s ft on nero qulss. neo del perodo f/t ene deo frequenz; f s msur n herz [neo del seondo]. e funzon perodhe sono rerzze d un lore mssmo o po poso e d un lore mnmo 7, d un lore medo nel perodo e d un lore medo qudro rms: roo men squre o lore effe nel perodo A medo T T Arms Aeff A T T e funzon perodhe lor medo nullo s dono lerne. Un funzone lern rengolre h l lore effe ondene on l lore mssmo. Un funzone snusodle del po π AM sen α AM sen πf α AM sen ω α T è perod d perodo T, frequenz f e pulszone ω, fse nzle α, è lern ed l suo lore effe è pr AM A eff... AM,77 Il puno d nullo pù prossmo llo zero è l sne *-α/ω. Perno se α l funzone è po seno, se απ/ l funzone è del po oseno. Un funzone bb M senωβ è sfs dell ngolo β-α rspeo d ; se le ngolo è poso, b è sfs n npo rspeo, se è nego è sfs n rrdo rspeo d ; se l suddeo ngolo d sfsmeno è nullo, le due grndezze s dono n fse, se l ngolo d sfsmeno è ±π le due grndezze s dono n opposzone d fse, se l ngolo è ±π/ le due grndezze s dono n qudrur n npo o rrdo. Ossermo he se onsdermo l somm o l dfferenz d due funzon snusodl dell sess pulszone oenmo un grndezz snusodle dell sess pulszone; molplndo un funzone 7 Omene un funzone osne è un so bnle d funzone perod. Dro delle ezon 5

26 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn 6 snusodle per un osne pos [neg] bbmo un funzone snusodle dell sess pulszone n fse [n opposzone d fse]; derndo rspeo l empo un funzone snusodle bbmo un funzone snusodle dell sess pulszone n qudrur n npo. Pohé l ssem fondmenle preede relzon del po nzdeo, se ne dedue he un soluzone snusodle d pulszone ω è ompble on un ssem n u generor ermn no sno snusodl dell sess pulszone; pplndo l prnpo d denà de polnom rgonomer, s può nhe onludere he l soluzone è un; ue le grndezze nogne hnno pulszone ω. e grndezze s defno qund solo per l mpezz e l fse nzle; possmo qund sblre un orrspondenz buno r le funzon snusodl e le oppe ordne d numer rel numer ompless oss pun del pno resno: M jα ω α AM, α A Ax AM osα, Ay AM snα AM e Ax jay A sen operore d Eulero e jα, formlmene defno ome osαjsenα, è un operore d rozone: pplndolo d un eore Ā fsore del pno dell rppresenzone orrspondene dell grndezz snusodle - s oene un eore ruoo d α. Se n prolre απ/, s h e jα j; un lr rozone d π/ por l eore opposo d Ā: nf e jπ j -; un ulerore rozone d π/ por d un rozone ompless e j3π j 3 -j orrspondene d un rozone neg d -π/: e -jπ/ -j/j; un ulerore rozone d π/ rpor sul eore orgnro: e jπ j 4 Alle operzon d ddzone, sorzone e molplzone per osne nel domno nel empo orrspondono ddzone, sorzone e molplzone per osne nel domno dell rppresenzone smbol. All operzone d derzone orrsponde un molplzone per jω oero un rozone d π/ ed un modf dell mpezz. N.B. Nell orrspondenz l opp ordn d numer rel può essere sosu per u fsor d un lore unomene lego ll mpezz d esempo l lore effe e d un rfermeno ngolre qulss. Operor ompless In generle le operzon r fsor orrspondono d un rozone e modf d mpezz. operore he le desre rà l form α M& j M e M x jm y M osα jmsenα on M modulo dell operore, α rgomeno dell operore. ruo - n regme snusodle Se onsdermo un ruo semple osuo d un generore dele d ensone ee M senωα, un ressore d ressenz ed un ondensore d pà, poremo rre per l orrene erog dl generore l espressone e E V V d E I jx I M e V j I I jωv doe X/ω è l renz p. Operor d mpedenz e mmeenz X E jrg M E X M e sen ω rg X X Nel meodo smbolo, l legme r ensone e orrene per un bpolo s esprme nell form legge d Ohm lle grndezze smbolhe, onenzone dell ulzzore: V Z& I oppure I YV & *** Dro delle ezon 6

27 A. A. 6/7 Inroduzone ru pgn 7 operor d mpedenz e d mmeenz jα V V e V Z& M M j α β e Ze jβ I I e I M M jϕ jx Y& I V I V M M e j β α Ye jψ e Z jϕ G jb X j X X rgomeno φ, per mo he edremo n seguo, prende l nome d ngolo d poenz. pre rele dell operore d mpedenz è l operore d ressenz, l oeffene dell pre mmgnr X è l operore d renz. mpedenz s msur n ohm. pre rele G dell operore d mmeenz è l operore d ondunz; l oeffene dell mmgnro è l operore d susenz. mmeenz s msur n semens. D nore he G non è l neo d e B non è l neo d X. Nel so del ressore dele s h Żj, Y & G j, on /G pr l lore d ressenz. ensone è n fse on l nensà d orrene. Nel so dell nduore dele s h ŻjX, Y& j B, doe Xω è l renz ndu menre B /ω è l susenz ndu. ensone è n qudrur ed n npo rspeo ll nensà d orrene. Nel so del ondensore dele s h Żj-X, Y & j B, doe X/ω è l renz p menre B ω è l susenz p. ensone è n qudrur ed n rrdo rspeo ll nensà d orrene. Quese onsderzon nduono d nerprere l operore d mpedenz ome un sere form d un ressore dele e d un reore dele X X -X, oero, on un grdo d lberà, ome un ruo sere; l operore d mmeenz può essere su ol nerpreo ome un prllelo formo d un ressore dele d ondunz G e d un reore dele d susenz B B -B, oero, on un grdo d lberà, ome un ruo prllelo. D l relzone r due operor, s dedue he d ogn ruo sere orrsponde un ruo prllelo 8. I s X e B orrspondono ru rsonn sere e prllelo equlen ressor del. Se X smo n presenz d un bpolo oro-ruo dele. Se GB smo n presenz d un bpolo pero dele. *** può essere sr per qulss bpolo formlmene rppresenble, non solo del po. Può essere sr nhe per un generore rele o dele: n l so l bpolo non può essere rondoo d un ruo equlene. 9 ezone del 6//6 3h ru rsonn Un ruo n regme snusodle, omunque omplesso, nel qule sno presen ressenze, ndunze e pà e un solo elemeno o s de n rsonnz qundo rspeo l generore he lo lmen s ompor ome un ruo purmene ohmo. onsdermo per semolà l ruo sere llusro n Fg..F Fg. ruo sere. 8 Omene on de lor d,, > e on un grdo d lberà sull sel d e. 9 Può u essere rppreseno d un ruo se rsul, G. Dro delle ezon 7